難點與解題模型12特殊全等三角形五種熱考模型

題型一：一線三等角模型

題型二：手拉手模型

題型三：倍長中線模型

題型四：截長補短模型

題型五：半角模型

,精淮握分

題型一：一線三等角模型

I指I點I迷I津

三步模型抽離法

i

；“一線三等角”模型是指有三個等角的頂點在同一條直線上構成的全等三角形,這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角,解題

步驟如下：

i

，第一步：依據特征找模型

i

特征1:是否存在兩個三角形共頂點；

特征2:是否存在一條直線上有三個等角；

.特征3:是否存在等線段

i

;第二步：抽離模型

i

?在題圖中抽離出兩個全等三角形

i

;第三步：利用性質解題

I

I

;利用全等三角形的性質解題

i

1;常見基礎模型如下：

類型圖示條件結論

同側zUC點P在線段AB上，ZAAPC^ABDP

一線1=Z2=Z3,且AP=BD

三等AP0（或AC=BP或CP=PD）

PB

角APB鈍角一線三等角

銳角一線三等角一線三垂直

異側DD點P在線段AB的延長AAPC^ABDP

擊，4

一線線上,N1=N2=N3,

三等且AP=BD(或AC=BP

扇C或CP=PD)

銳角一線三等角鈍角一線三等角

一線三垂直

【中考母題學方法】

【典例1-1](2024?甘肅?中考真題)【模型建立】

圖2圖3

(1)如圖1,已知_ABE和△BCD,AB1.BC,AB=BC,CDLBD,他工9).用等式寫出線段AE,DE,

8的數量關系，并說明理由.

【模型應用】

(2)如圖2,在正方形ABCD中，點E,尸分別在對角線3。和邊CD上，AELEF,AE=EF.用等式寫

出線段BE,AD,。尸的數量關系，并說明理由.

【模型遷移】

(3)如圖3,在正方形ABCD中，點E在對角線8。上，點P在邊C￡＞的延長線上，AELEF,AE=EF.用

等式寫出線段跳，AD,。尸的數量關系，并說明理由.

【典例1-2】(2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與實踐：如圖1,這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在

注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為"趙爽弦圖"，受這幅圖的啟發，數學興趣小組建立了"一線三直角

模型如圖2,在ABC中，ZA=90°,將線段繞點B順時針旋轉90。得到線段BD,作DELAB交48的

延長線于點E.

圖1圖2圖3

⑴【觀察感知】如圖2,通過觀察，線段48與DE的數量關系是；

(2)【問題解決】如圖3,連接CD并延長交48的延長線于點/，若AB=2,AC=6,求二瓦萬的面積;

⑶【類比遷移】在(2)的條件下，連接CE交BD于點N,則黑=______；

nC

⑷【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線48上找點P,使tan/BCP=q2,請直接寫出線段AP的長度.

【典例1-3】(2024?遼寧?中考真題)如圖，在VABC中，ZABC=90°,ZACB=a(00<a<45°).將線段C4

繞點C順時針旋轉90。得到線段CO,過點。作。垂足為E.

(1)如圖1,求證：AABC咨ACED；

(2汝口圖2,NACD的平分線與的延長線相交于點尸，連接。尸，的延長線與CB的延長線相交于點P,

猜想PC與尸。的數量關系，并加以證明；

(3)如圖3,在(2)的條件下，將沿AF折疊，在a變化過程中，當點尸落在點E的位置時，連接班

①求證：點尸是尸￡>的中點；

②若CD=20,求△CEF的面積.

【典例1-4】（2024?海南?中考真題）正方形ABCD中，點E是邊BC上的動點（不與點8、C重合），Z1=Z2,

AE=EF,AF交CD于點X,PGLBC交BC延長線于點G.

（2）如圖2,硯r,”于點P,交于點M.

①求證：點尸在/ABC的平分線上；

②-當「名H■='"時，猜想釬與尸〃的數量關系，并證明；

UH

③作H7V_LAE于點M連接MMHE,當MN〃/ffi■時，若AB=6,求BE的值.

【典例1-5】（2024?重慶?中考真題）在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC,過點B作3D〃AC.

（1）如圖1,若點。在點8的左側,連接CD,過點A作AELCD交BC于點E.若點E是BC的中點，求證:

AC=2BD；

⑵如圖2,若點。在點B的右側,連接AD,點尸是AD的中點，連接區并延長交AC于點G,連接CF.過

點歹作9，H;交A3于點CN平貨/ACB交BG于點、N,求證：AM=CN+—BD；

2

⑶若點。在點8的右側，連接AD,點尸是AD的中點，且AF=AC.點P是直線AC上一動點，連接FP,

將改繞點尸逆時針旋轉60。得到尸。，連接BQ,點尺是直線AD上一動點，連接BR,QR.在點尸的運動

過程中，當8。取得最小值時，在平面內將一2Q?沿直線。R翻折得到△TQE,連接廠T.在點R的運動過程

中，直接寫出霽的最大值.

【中考模擬即學即練】

【變式1-1］（2024?上海寶山?一模）在直線/上放置三個正方形a,b,c,正方形a的邊長為3,正方形c的

邊長為4,則正方形b的面積是

BE

【變式1-2](2024?云南昆明?模擬預測)如圖，在Rt^ABC中，ABLBC,CD//AB,DE上AC于點E,

S.AB=CE.求證：△<?￡?絲△ABC.

【變式1-3](2024?甘肅嘉峪關?二模)矩形ABC3中，粵=日(左>1),點E是邊BC的中點，連接AE,過

nC2

點E作AE的垂線EF,與矩形的外角平分線CF交于點F.

(1)(2)

(1)【特例證明】如圖(1),當左=2時，求證：AE=EF；

小明不完整的證明過程如下，請你幫他補充完整.

證明：如圖，在54上截取=連接EH.

NB=90。，BH=BE,

.-.Z1=Z2=45O,

.?.ZAfffi=180°-Zl=135°.

CF平分■NDCG,NDCG=90°,

Z3=-ZDCG=45°.

2

ZECF=N3+N4=135。.

團……（只需在答題卡對應區域寫出剩余證明過程）

AF

⑵【類比探究】如圖（2）,當左力2時，求器的值（用含左的式子表示）.

【變式1-4］（2024?青海西寧?三模）類比探究題：

【建立模型】（1）如圖1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90。，CB=G4,直線ED經過點C,過A作ADLED

于點。，過8作于點E.求證：AACDqACBE.

【應用模型】（2）如圖2,點A的坐標為（0,1）,點B是x軸正半軸上的一動點，以為直角邊作等腰直角

NABC,使NBAC=90。，設點B的橫坐標為x,點C的縱坐標為y,請寫出y與x的函數關系.

【拓展拔高】（3）如圖3,矩形ABC3中，AB=3,5c=5,點尸是BC邊上的一個動點（點尸與點8,C

都不重合），現將△PCD沿直線PD折疊，使點C落到點尸處；過點尸作/歷步的角平分線交A3于點￡.設

BP=x,BE=y,則y與x的函數關系是,BE最大值為.

圖1圖2圖3

題型二：手拉手模型

!三步模型抽離法

第一步：依據特征找模型

特征1:是否存在兩個等腰三角形；

特征2:是否存在兩個等腰三角形的頂角相等，且共頂點

第二步：抽離模型

以兩個等腰三角形的腰及對應頂點的連線圍成的兩個新三角形全等

i

;第三步：利用性質解題

利用全等三角形的性質解題

常見基礎模型如下：

圖示D

AB

ABAfB

OC在AOAB內且拉手線OC在AOAB外且拉手線OC在aOAB外且拉手線

無交點無交點有交點

條件在等腰AOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,NAOB=NCOD=a[^AOCD

繞點。旋轉一定角度后，連接AC,BD（稱為“拉手線”左手拉左手,右手拉右手），若

拉手線有交點，記相交于點，連接OE

結論LZkAOC也△BOD,AC=BD（即拉手線相等）；

2.EO平分NAED:

3.NAEB=NAOB=a

【中考母題學方法】

【典例2-1]（2024?新疆,中考真題）【探究】

（1）已知VABC和VADE都是等邊三角形.

①如圖1,當點。在BC上時，連接CE.請探究C4CE和CD之間的數量關系，并說明理由；

②如圖2,當點。在線段BC的延長線上時，連接CE.請再次探究C4CE和CD之間的數量關系，并說

明理由.

【運用】

（2）如圖3,等邊三角形A3C中，AB=6,點E在AC上，CE=273.點。是直線BC上的動點，連接DE,

以DE為邊在DE的右側作等邊三角形ZJEF,連接C尸.當△CEF為直角三角形時，請直接寫出3。的長.

【典例2-2］（2024?廣西?中考真題）如圖1,VABC中，?B90?,AB=6.AC的垂直平分線分別交AC,

A3于點M,O,CO平分NAC3.

圖2

⑴求證：AABC^ACBO；

⑵如圖2,將△AOC繞點。逆時針旋轉得到“'。C，旋轉角為打（0。＜。＜360。）.連接AM,C'M

①求△AMC面積的最大值及此時旋轉角a的度數，并說明理由；

②當△AMC'是直角三角形時，請直接寫出旋轉角a的度數.

【典例2-3】（2024?山東泰安?中考真題）如圖L在等腰Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=CB,點、D,E分

別在AB,CB上，DB=EB,連接AE,CD,取AE中點E,連接BF.

圖1

⑴求證：CD=2BF,CDLBE；

（2）將D3E繞點8順時針旋轉到圖2的位置.

①請直接寫出BF與CD的位置關系:

②求證：CD=2BF.

【中考模擬即學即練】

【變式2-1］（2024?浙江寧波?二模）如圖VABC與VADE均為等腰直角三角形，AD=^AB=a,直線8。與

直線CE交于點P,在VA5c與VADE繞點A任意旋轉的過程中，P到直線BC的距離的最小值為（）

C.—7yflciD.5—

64

【變式2-2］（2024?吉林長春?二模）如圖，點C為線段A3上一點，△D4C、都是等邊三角形，AE.

OC交于點DB、EC交于點N,DB、AE交于點P,連結給出下面四個結論：①MN〃AB；

②NZ）PM=60。；③NAEB=90。；@VACM^DCN.上述結論中，一定正確的是（填所有正確結論

的序號）.

【變式2-3】（2023?吉林長春?模擬預測）兩個大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個三角板抽

象成如圖2所示的VABC和△AE。，其中/54。=/￡4￡>=90。，點8、C、E依次在同一條直線上，連結

CD.若BC=4,CE=2,則的面積是—.

圖1圖2

【變式2-4］（2024?內蒙古包頭?模擬預測）如圖，點。是正方形ABCD對角線的交點，一EFG是等腰直角三

角形，EG=FG,NEG尸=90。，當一EFG的頂點G在線段AC（不與A,C重合）上繞點G旋轉的過程中，

直角邊EG交邊AD于點直角邊FG交邊C。于點N.

（1）如圖1,當點G與點。重合時，求證：EM=FN；

（2）如圖2,當CG=nAG（〃為正整數，〃*1）時，在旋轉過程中,

①請寫出線段GM,GN之間的數量關系，并說明理由；

②若AD=a,CN=b,求40的長(用含a,6的代數式表示).

題型三：倍長中線模型

I指I點I迷I津

倍長中線

E

圖一

i方法一：直接倍長法：

如圖一，在AABC中，D為BC中點，連接AD并延長至E,使AD=ED,連接BE,

則AADC三AEDB(SAS)

A

圖二

j方法二：間接倍長法(1)：

如圖二，在AA3C中，D為BC中點，過點B、C作BE、CF垂直于AD,垂足分別為E、F,

貝IJABEDsACFD(AAS)

方法二：間接倍長法（2）：

如圖三，在AA3C中，D為BC中點，M為AB上一點，連接MD并延長至點N,使DN=DM,連

接CN,則三AM）C（SAS）

3、過端點向中線作垂線

i

【中考母題學方法】

【典例3-1】（山東泰安?中考真題）若VABC和△AED均為等腰三角形，且/B4C=/K4D=90。.

AE

圖⑴

圖(2)

（1）如圖（1）,點B是OE的中點，判定四邊形3EAC的形狀，并說明理由；

（2）如圖（2）,若點G是EC的中點，連接G8并延長至點F,使CF=CD.求證：@EB=DC,②

NEBG=NBFC.

【典例3-2】（2024?貴州遵義?模擬預測）輔助線是解決幾何圖形問題的利劍，合理添加輔助線，會使問題變

得簡單，下表給出了二角形中幾個常見利用中點添加輔助線的模型，請根據要求解決問題.

2.等腰三角形+底邊中3.直角三角形+斜邊中

題眼1.普通三角形+中點4.兩個中點

點點

A_______EA

3A

—

大致圖形

BC

BC/A

BADC

輔助線名

倍長中線三線合一斜邊中線中位線

稱

延長到點E,

具體做法連接AD連接co連接。E

使DE=BD,連接AE

△AED沿MBDADIBC

產生效果①②

AE//BCABAD=ACAD

⑴請在①，②中任選擇一個填空：

你選擇的是,產生效果是.（產生效果寫一個或兩個）

⑵如圖①，在三角形中，AD是VA3c的一條中線，AB=5,AC=3,AD=2,求8C的長.

（3）如圖②，在VABC中，/4=30。,/。=90。,43=4,點M,N是邊AC上兩個不同的動點，以為邊在

VA3C內部（包括邊界）作等邊三角形,PMN,點E,尸分別是AM,R0的中點，當APMN的周長取最大

值時，求線段EF的長.

【典例3-3】（2024?吉林長春?一模）【發現問題】數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣的一個問題:

如圖①，在VA3c中，AB=6,AC=8,第三邊上的中線AQ=x,則x的取值范圍是.

【探究方法】小明同學通過組內合作交流，得到了如下解決方法：

（1）如圖②，延長AD至點A,使得〃4'=皿，連結AC,根據"SAS”可以判定△M￡＞絲_________,

得出AC=AB=6.在△AA'C中，ArC=6,AC=8,AA'=2x,故中線AD的長尤的取值范圍是.

【活動經驗】當條件中出現"中點"，"中線"等條件時，可以考慮將中線延長一倍，構造全等三角形，把分散

的已知條件和所求的問題集中到同一個三角形中，進而解決問題，這種作輔助線的方法叫做“倍長中線”法.

【問題解決】（2）如圖③，已知AB=AC,AD=AE,Z5AE+ZC4D=180°,連接BE和CD,點/是CO

的中點，連接求證：跳;=2AF.小明發現，如圖④，延長AF至點A,使=連接AO,通過

證明ABE^.DAA,可推得BE=A4'=2A廠.

下面是小明的部分證明過程：

證明：延長AF至點4,使FA=AF,連接AD,

團點歹是CD的中點，

SCF=DF.

SAF=AF,ZAFC=ZAFD,

回一AC/四,A'DF(SAS),

^\A'D=AC,ZADF=ZACF,

0AD//AC,ZADA+ZCAD=180°.

請你補全余下的證明過程.

【問題拓展】(3)如圖⑤，在VABC和防中，AB=AE,AC=AF,NE4C+NRLF=180。，點

N分別是BC和族的中點.若BC=4,EF=6,則MN的取值范圍是.

【中考模擬即學即練】

【變式3-1](2023?黑龍江大慶?三模)如圖，四邊形ABDE中，ZABD=ZBDE=90°,C為邊BD上一點，

連接AC,EC,M為AE的中點，延長BM交DE的延長線于點歹，AC交BM于點G,連接DM交CE于點H.

(1)求證上出=皿；

(2)若AB=BC,DC=DE,求證：四邊形MGCH為矩形.

【變式3-2］（2024?山西?模擬預測）綜合與實踐

【問題情境】

如圖1,在Rt/XABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點、D,E分別在邊48,AC上，AD=AE,連接DE,CD,

BE,尸為CD的中點，連接AP.

E

圖1圖2圖3

【數學思考】

（1）線段AP與班的數量關系，說明理由.

【猜想證明】

（2）若把VADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，猜想（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證

明；若不成立，請寫出新的結論并說明理由.

【深入探究】

（3）若把VADE繞點A逆時針方向旋轉到圖3的位置，若N是8E的中點，連接AN,若AN=1,直接寫

出CD的長.

【變式3-3](2024?重慶蒙江?二模)在等邊VABC中，。為BC邊上一點，OE2AC于E.

(1)如圖1,若AB=6,BD=2,求cos/ADE的值；

⑵如圖2,線段CD的垂直平分線交DE于尸，點G為AD的中點，連接3G,BF,GR,求證：BG='F；

⑶如圖3,將線段AD繞點。順時針旋轉120。得到線段D暇,點N為BC邊上點D右邊一動點、,連接BM、MN,

當5M+MN取得最小值時，直接寫出色產”的值.

?ABC

題型四：截長補短法

「藉iMT逑T承....................I

"截長補短法”是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種靠略，截長就是在長邊

上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題.

截長或補短后，如果出現的全等三角形或特殊三角形能推動證明，那么輔助線是成功的，否則，就應該換

一個截長或補短的方式，甚至換一種解題思路.

方法截長法補短法

條件在AABC中AD平分/郎&/。=2/8,求證：AB=AC+CD

A

A

圖示

B/、、

、

BDCX\

7

E

方法在AB上截取AE=AC,連接DE延長AC到點E,使CD=CE,連接DE

結論AACD^AAEDAABD^AAED

△DEB是等腰三角形△CDE是等腰三角形

【中考母題學方法】

【典例4-1】(2024?黑龍江牡丹江,中考真題)數學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究.在

中，ZAC3=9(r,ZBAC=30。，點。在直線2c上，將線段AD繞點A順時針旋轉60。得到線段AE,過點E

作EF〃BC,交直線A3于點R

圖①圖②圖③

(1)當點。在線段3C上時，如圖①，求證：BD+EF=AB-,

分析問題：某同學在思考這道題時，想利用=構造全等三角形,便嘗試著在AB上截取AM=EF,

連接。欣，通過證明兩個三角形全等，最終證出結論：

推理證明：寫出圖①的證明過程：

探究問題：

(2)當點。在線段BC的延長線上時，如圖②：當點。在線段CB的延長線上時，如圖③，請判斷并直接

寫出線段3D,EF,之間的數量關系；

拓展思考：

(3)在(1)(2)的條件下，若AC=6g,CD=2BD,則EF=.

【典例4-2】如圖，△4BC和ABDC是等腰二角形，S.AB=AC,BD=CD,^BAC=80°,zBDC=100°,

以D為頂點作一個50。角，角的兩邊分別交邊4B,AC于點E、F,連接EF,點E、尸分另U在AB、CA延長線上,

則BE、EF、FC之間存在什么樣的關系？并說明理由.

E

D

【中考模擬即學即練】

【變式4-1】課堂上，老師提出了這樣一個問題：

圖

圖12

圖4

如圖1,在,ABC中，AD平分/54C交BC于點。，S.AB+BD=AC,求證：/ABC=2NACB,小明的方

法是：如圖2,在AC上截取AE,使AE=AB,連接OE,構造全等三角形來證明.

(1)小天提出，如果把小明的方法叫做"截長法"，那么還可以用“補短法"通過延長線段A3構造全等三角形進

行證明.輔助線的畫法是：延長A8至F,使BF=,連接請補全小天提出的輔助線的畫法，并在

圖1中畫出相應的輔助線；

(2)小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進一步的拓展，給同學們提出了如下的問題：

如圖3,點。在一ABC的內部，AD,BD,CD分別平分/BAC,ZABC,ZACB,S.AB+BD^AC.求證:

ZABC2ZAC3.請你解答小蕓提出的這個問題(書寫證明過程)；

⑶小東將老師所給問題中的一個條件和結論進行交換，得到的命題如下：

如果在ABC中，NABC=2NACB,點。在邊BC上，AB+BD^AC,那么AD平分N54C小東判斷這個

命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的.請你利用圖4對這個命題進行證明.

【變式4-2］如圖，正方形A3cD中，E是3C的中點,EFJ_AE交/DCE外角的平分線于F.

(2)如圖，當石是BC上任意一點，而其它條件不變,/a=跖是否仍然成立？若成立，請證明，若不成

【變式4-3］如圖，AABC為等腰直角三角形，AB^AC,N8AC=90。，點。在線段AB上，連接CD,ZADC

=60。，AD=2,過C作CE_LCD,且CE=CD,連接DE,交BC于F.

(1)求ACDE的面積；(2)證明：DF+CF=EF.

DB

【變式4-4］在AABC中，BE,C。為AABC的角平分線，BE,8交于點F.

(1)求證：乙BFC=90°+2;

(2)已知乙4=60°.

①如圖1,若BD=4,BC=6.5,求CE的長;

②如圖2,若BF=4C,求N2EB的大小.

題型五：半角模型

:而TMi%T承

i

半角模型

A已知：aABC是等邊三角形，。為AABC外一點，

ZSDC=120°,BD=CD,點E,F分另lj在AB,AC上，

等邊三角形含

ZEDF=60°.

半角

結論1：EF=BE+CF,

D

ZDEB=ZDEF,ZDFC=ZDFE.

AD已知：四邊形ABCD是正方形，點E,F分別在BC,CD

正方形含半角廠CP上，/EAF=45°.

結論2：EF=BE+DF,

BEC/AEB=NAEF,/AFD=/AFE.

1A已知：AABC是等腰直角三角形，/MC=90。，

等腰直角三角點。，E在BC上，ZDAE=45°.

形含半角//\\

BDEC結論3：DE2=BD2+CE2.

【中考母題學方法】

【典例5；】（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）已知VABC是等腰三角形，AB^AC,/MAN=g/BAC,

/MAN在/胡。的內部，點M、N在8C上，點M在點N的左側，探究線段做T、NC、MN之間的數量關

系.

(1)如圖①，當4c=90。時，探究如下:

由ZBAC=90°,AB=AC可知,將AACW繞點A順時針旋轉90°,得到一,則CN=3尸且NPBM=90°,

連接易證△AMP四△AWN,可得MP=M7V,在RtAiPBM中，BM2+BP2=MP2,則有

BM2+NC2=MN2.

(2)當ZB4C=60。時，如圖②：當Z8AC=120。時，如圖③，分別寫出線段5M、NC、MN之間的數量關

系，并選擇圖②或圖③進行證明.

【典例5-2】(2024?四川樂山?中考真題)在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：

【問題情境】

如圖1,在VA3C中，ABAC=90°,AB^AC,點。、E在邊2C上，且NZM￡=45。，BD=3,CE=4,

求DE的長.

解：如圖2,將繞點A逆時針旋轉90。得到八48，，連接ED.

A

圖I

由旋轉的特征得/BAD=/C4D，，NB=ZACD',AD=AD',BD=CD'.

0ZBAC=90°,ZDAE=45°,

El/BAD+/E4c=45°.

SZBAD=ZCAD',

[3NC4D'+NE4C=45°,^ZEAD'=45°.

^ZDAE=ZDrAE.

在iZM石和DAE中，

AD=AD'ZDAE=ZD'AE,AE=AE,

回①.

^DE=D'E■

又ElNECD=ZECA+ZACD'^ZECA+ZB=90°,

El在RtZXECD中，②.

0CD,=BD=3,CE=4,

BDECtB)

圖2

0DE=D'E=@

【問題解決】

上述問題情境中，"①"處應填：；"②"處應填：；"③"處應填：.

劉老師進一步談到：圖形的變化強調從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以

不變應萬變.

【知識遷移】

如圖3,在正方形ABC。中，點E、尸分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長等于正方形A3。的周長的

一半，連結AE、AF,分別與對角線3D交于M、N兩點.探究BM、MN、DN的數量關系并證明.

【拓展應用】

如圖4,在矩形ABC。中，點、E、尸分別在邊BC、