微專題23銳角三角函數及其應用

考點精講

構建知識體系

ft用三的心｝

坡角

考點梳理

1.銳角三角函數（6年5考）

圖①

定義：如圖①，在R3A5C中，ZC=90°，NA為△ABC中的一銳角，則NA

的正弦：sinA=^^,NA的余弦…。sA=^=①一,NA的正切：tanA

=1=?一

2.特殊角的三角函數值（6年8考）

A

2IK

示意圖11y/\73

______J

&_J

1

Ji1

a30°45°60°

1V3

sina③

2T

cosa④漫⑤

T

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3.銳角三角函數的實際應用(6年3考)

(1)仰角、俯角：如圖②，圖中仰角是N1,俯角是N2

(2)坡度(坡比)、坡角：如圖③，坡角為a,坡度(坡比)i=tana=?

(3)方向角：如圖④，A點位于。點的北偏東30°方向，5點位于。點的南偏東

60°方向，。點位于O點的北偏西45°方向

鉛

乖

線

困2圖③圖④

練考點

1.如圖，在R3A3。中，NC=90°,AC=1,BC=2,則cos5的值為1

第1題圖

2.如圖，是△人5。的高，AB=4,ZBAD=60°,tanZCAD=^,則的

長為.

Rhc

第2題圖

3.在中，NC=90。.

(1)若NA=60°,則sinA=,cosA=；

(2)若tanA=1,則NA=°.

4.如圖，從熱氣球P看一面墻底部B的俯角是.(用字母表示)

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第4題圖

高頻考點

考點1銳角三角函數（6年5考）

例1（2024東莞一模）如圖，△A5C的頂點都在正方形網格的格點上，則tanA

的值是（）

例1題圖

變式1（2024江西）將圖①所示的七巧板，拼成圖②所示的四邊形A5CD,連接

AC,則tan/CA5=.

變式1題圖

考點2銳角三角函數及其應用（6年3考）

例2小明家與小華家住在同一棟樓，他倆對所住樓對面商業大廈的高進行

了測量.（結果均保留整數）

（1）如圖①，小明與小華在樓下點A處測得點A到"的距離為50m,測得商業大

廈頂部N的仰角為58°,試求商業大廈的高MN；

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(參考數據：sin58°"0.85,cos58°七0.53,tan58°=1.60)

JX58e||

2討”

例2題圖①

⑵現在商場樓下停了一輛車，沒辦法直接測量出4"的長度，小華想了其他辦法

也可以測量.

①如圖②，小明與小華在樓頂的5處，測得商業大廈頂部N的仰角為37°,測

得商業大廈底部V的俯角為60°,已知MN±AM,AB=56m,試求

商業大廈的高MN；

(參考數據sin37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75,V3^1.73)

例2題圖②

②如圖③，小華站在點A處測得塔尖商業大廈頂部N的仰角為45°,向前走了

35m到達點5處測得商業大廈頂部N的仰角為61°,已知小華眼睛到地面的高

度AC（瓦））為1.6m,點4,B,V在同一水平線上，MNLAB,試求商業大廈的

[WjMN；

（參考數據：sin61°心0.87,cos61°^0.48,tan61°^1.80）

例2題圖③

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⑶如圖④，大廈樓頂上有一信號塔印（尸，E,"三點共線），小明和小華想測得

塔尖下到地面的高度，小明在樓頂的5處，測得商業大廈頂部N的仰角為37°,

小華在大廈樓頂G處測得信號塔頂部F的仰角為60°,已知BALAM,MNLAM,

EFINE,AB=56m,AM=50m,GE=10m,試求塔尖廠到地面的高度.（結果

保留整數）（參考數據：sin37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75,V3^1.73）

1///

例2題圖④

真題及變式

命題點銳角三角函數及其應用（6年9考）

模型分析

模型模型分析模型模型分析

基礎模型基礎模型

背AB=AD+BDAD=AC~CD

母

對

子

背模型演變模型演變

AB=AD+CE型RFG=AD+DC,BG=

型

+BFBC+AF

1.（2022廣東11題3分）sin30°=

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2.（2019廠東15題4分?人教九下例題改編）如圖，某校教學樓4。與實驗樓

的水平間距CD=15g米,在實驗樓頂部5點測得教學樓頂部A點的仰角是30°,

底部。點的俯角是45°,則教學樓AC的高度是米（結果保留根號）.

3.（2023廣東18題7分）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發射取得圓滿

成功，3名航天員順利進駐中國空間站.如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂

的一種工作狀態.當兩臂AC=i5C=10m,兩臂夾角NACB=100。時，求A,B

兩點間的距離.（結果精確到0.1m,參考數據sin50°^0.766,cos50°"0.643,

tan50°^1.192)

第3題圖

4.（2024廣東18題7分）中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作

出了巨大貢獻.為滿足新能源汽車的充電需求，某小區增設了充電站，如圖是矩

形尸充電站的平面示意圖，矩形A5co是其中一個停車位.經測量，ZABQ

=60°,AB=5.4m,CE=1.6m,GH±CD,G"是另一個車位的寬，所有車位

的長寬相同，按圖示并列劃定.

根據以上信息回答下列問題：（結果精確到0.1m,參考數據班心1.73）

⑴求尸。的長；

（2）該充電站有20個停車位，求PN的長.

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/1〃6

(J0Z1

BEV

第4題圖

拓展訓練

5.（2024中山一模）中國北斗衛星導航系統是中國自行研制的全球衛星導航系統，

其由空間段、地面段和用戶段三部分組成，可在全球范圍內全天候、全天時為各

類用戶提供高精度、高可靠定位、導航、授時服務.如圖，小敏一家準備自駕到

風景區。游玩，到達4地后，導航顯示車輛應沿北偏西45°方向行駛10千米至

5地，再沿北偏東60°方向行駛一段距離到達風景區。，小敏發現風景區。在A

地的北偏東15°方向.

（1）求NC的度數；

⑵求以。兩地的距離.（如果運算結果有根號，請保留根號）

北

t（:

S,57

V

Al

第5題圖

新考法

6.［項目式學習］（2024蘭州）單擺是一種能夠產生往復擺動的裝置.某興趣小組利

用擺球和擺線進行與單擺相關的實驗探究，并撰寫實驗報告如下.

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實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化

實驗用］擺球，擺線「支架，攝像機等

如圖①，在支架的橫桿點。處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松

手，擺球開始往復運動.（擺線的長度變化忽略不計）

實驗說明如圖②，擺球靜止時的位置為點A,拉緊擺線將擺球拉至點5處，

BD±OA,ZBOA=64°,50=20.5cm；當擺球運動至點。時，ZCOA

=37°,（點O,A,B,C,D,E在同一平面內）

實驗圖不

圖①圖位:

第6題圖

解決問題：根據以上信息，求石。的長.（結果精確到0.1cm）

參考數據:sin37°=0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75,sin64°=0.90,

cos64°^0.44,tan64°=2.05.

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考點精講

①2②m③"④手⑤？⑥當⑦迎

cb2223

教材改編題練考點

2.2V3+1

3.⑴'I；(2)45

4.ZBPC

高頻考點

例1C【解析】如解圖，連接格點5。，CD在R3A5D中，tanA=%=：.

AD3

例1題解圖

變式1|【解析】根據題意，易知A5=CD設A5=2,則CD=BD=2,VZABD

=45°+45°=90°,ZBDC=90°,：.AB//CD,，四邊形A5CQ是平行四邊

形.如解圖，設AC,50交于點O,：.BO=-BD=1,.,.tanZCAB=—=-.

2AB2

變式1解圖

例2解：(iy：MN±AM,

.?.在R3AMN中，tanNA/AN=絲，NMAN=58°,AAf=50,

AM

：.MN=AM-tstn58°七50X1.60=80,

答：商業大廈的［WjMV約為80m；

(2)①如解圖①，過點B作BC1MN于點、C,

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，四邊形A5cM是矩形，

：.BA=CM=56,

在R35CM中，tanNM5C=生=遍71.73,

BC

：.BC=-^-^32.4,

tan60°

在R35CN中，tanZNBC=—,

BC

：.NC=BC-tan37°=32.4X0.75=24.3,

MN=CM+NC=56+24.3=80.3^80,

答：商業大廈的高MN約為80m；v

/TX17口

PN\6OrT1

例題解圖①

②如解圖②，連接CD并延長交MN于點E,

由題意可知，四邊形A5OC,均為矩形,

AC=BD=ME=1.6,CD^AB=35,

設EN=x,

在RtACEN中，/ECN=45°,

：.EN=CE=x,

：.DE=CE-CD=x~35,

:在RtADNE中,ZNDE=61°,

.*.tanZA?E=—=^—^1.80,

DEx—35

解得入y78.8,:.ENF8.8,

:.MN=EN+MEF8.8+1.6=80.4七80,

答：商業大廈的［WjMV約為80m；

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l___1__39

ASu

例題解圖②

(3)如解圖③，過點5作于點C,交MN于點、D,FH即為下到地面的高

度.

易得DN=CE,AB=DM=CH=56,

由題意得50=AM=5O,ZNBD=31°,GE=10,

在RtA5Z)N中，DN^BDtan37°七37.5,

在R3E/G中，EF=GEtan60°七17.3,

:.FH=EF+CE+CH=EF+DN+AB^W.3+37.5+56=110.8^111,

答：塔尖廠到地面的高度約為Ulm.

例題解圖③

真題及變式

1.-

2

2.(15+15V3)【解析】如解圖，設過點5的水平線與AC交于點E,易得四邊

形3OCE為矩形，則5E=CZ)=15g,?:/CBE=45°,：.CE=BE=1543,在

R3ABE中，4石=5石皿1130°=15g乂且=15,.\4。=4石+石。=(15+15g)米.

.

4.堂■

.

45/

.，

wA

r-*

第11頁共14頁

3.解：如解圖，連接A5,過點。作CDLAB于點O,

\'AC=BC,ZACB=100°,

：.ZACD=^ZACB=^X100°=50°,（3分）

：.AD=ACsin50°^10X0.766=7.66（m）,

：.AB=2AD=2X1.66^15.3（m）,

答：A,5兩點間的距離約為15.3m.（7分）

第3題解圖

4.解：（1）由題意，得N0=9O°,ZABQ=60°,AB=5.4m,

.?.在R3A5Q中，ZBAQ=3Q°,50=5.4Xcos60°=2.7m,

AQ=5.4Xsin60。=誓m,（1分）

???四邊形A5CD為矩形，CE=1.6m,

ZABC=90°,ZCBE=180°-AABC-ZABQ=30°,

在R3CBE中,叱='=?m,5E=嬴=3.2m,

：.BC=AD=^-m,

同理可得，在Rt△P中，ZPAD=60°,

Dc°s6。。=Wxc°s6。。=?m,（3分）

??.PQ=PA+4Q=手

答：PQ的長約為6.1m；(4分)

(2)\,充電站有20個停車位,

：.QM=QB+20BE,

由⑴得，Q5=2.7m,BE=3.2m,

：.QM=2.7+3.2X20=66.7m,

第