難點07圓的基本性質的常考題型

（6大熱考題型）

0直擊中港

題型一：圓的基本和最值問題

題型二：垂徑定理及其應用

題型三：圓心角、弦、弧之間的關系

題型四：圓周角定理

題型五：圓周角定理的推論和應用

題型六：圓內接四邊形

、精淮提分

題型一：圓的基本和最值問題

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，矩形/BCD中，AB=5BC=T,動點￡,歹分別從點/,C

同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿向終點。運動，過點￡,歹作直線/,過點/作直線

/的垂線，垂足為G,則NG的最大值為（）

A.V3B.—C.2D.1

2

【答案】D

【分析】本題主要考查了矩形的性質、動點軌跡、與圓有關的位置關系等知識，根據(jù)矩形的性質以及直角

三角形斜邊中線的性質確定G的軌跡是本題解題的關鍵.

連接/C,BD交于點、O,取。4中點連接G/Z,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質，可以得出G的軌跡,

從而求出/G的最大值.

【詳解】解：連接/C,BD交于點、O,取CM中點連接G8,如圖所示：

ZABC=90°fOA=OC,AB//CD,

在RtZX/BC中，AC=y]AB2+BC2="可+F=2,

：.OA=OC=-AC=1,

2

AB//CD,

ZEAO=ZFCO,

在△/OE與AC。尸中，

AE=CF

-AEAO=ZFCO

OA=OC

ZUOE絲△COF(SAS),

ZAOE=ZCOF,

：.E,O,廠共線，

---AGVEF,H是。8中點，

.?.在RtZUGO中，GH=-AO=-,

22

，G的軌跡為以H為圓心，；為半徑即NO為直徑的圓弧.

???/G的最大值為的長，即/&四=/。=1.

故選：D.

【典例2】(2023?山東淄博?中考真題)在數(shù)學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活

動.

(1)操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成乜”形圖案，如圖①.

試判斷：的形狀為

(2)深入探究

小紅在保持矩形N8C。不動的條件下，將矩形CEPG繞點C旋轉，若N3=2,AD=4.

探究一：當點尸恰好落在/。的延長線上時，設CG與D尸相交于點M,如圖②.求ACW的面積.

探究二：連接/E,取NE的中點H,連接DH,如圖③.

求線段長度的最大值和最小值.

EE

圖②圖③

【答案】(1)等腰直角三角形

⑵探究一：探究二：線段。H長度的最大值為遙+1,最小值為行-1

【分析】(1)由/C=CF,可知“CF是等腰三角形，再由“8C多AWGC(SAS),推導出//Cb=90。，即

可判斷出A/CF是等腰直角三角形,

(2)探究一：證明ACDM也AFGW(AAS),可得再由等腰三角形的性質可得AD=。尸，在

而ACDMr中，勾股定理列出方程CA/2=22+(4-CM)2,解得CM,即可求ACW的面積；

探究二：連接DE,取DE的中點P,連接〃尸，取A。、3C的中點為V、N,連接血W,MH,NH,分別

得出四邊形是平行四邊形，四邊形HNC尸是平行四邊形，則/MfflV=90。，可知a點在以九W為直

徑的圓上，設MV的中點為T,DT=布,即可得出DH的最大值與最小值.

【詳解】(1)解：,??兩個完全相同的矩形紙片和CEFG,

:.AC=CF,

是等腰三角形，

AB=GF,ZFGC=ZABC=90°.BC=CG,

.?.△/5C/△FGC(SAS),

:./BAC=/GFC,

VAB\\CDf

：.ABAC=ZACG,

ZACG=ZGFC,

???ZGCF+ZGFC=90°1

:.AACG+ZGCF=9Q°f

:.ZACF=90°,

.?.△/C/是等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形；

(2)探究一：?；CD=GF,ZFMG=ZDMC,/G=NCDF=90。,

:.^CDM^FGM(AAS),

:.CM=MF,

?;AC=CF,CDLAF,

AD=DF,

?.?AB=CD=2,AD=DF=4,

:.DM=4-CM,

在比△COM中，CM2=CD2+DM2,

/.CM2=22+(4-CM)2,

解得CM=g,

5

2

:.KMF的面積=LX2X*=9；

222

探究二：連接DE,取DE的中點?，連接HP,CP,取力D、3C的中點為M、N,連接JW,MH,NH,

?.?〃是ZE的中點,

圖③

I1

MH//DE,且

CD=CE,

CPVDE,DP=PE,

■■MH//DP,且MH=DP,

.,?四邊形是平行四邊形，

:.MD=HP,MD//HP,

???AD//BC,MD=CN,

HP//CN,HP=CN,

四邊形HNCP是平行四邊形，

NH//CP,

:.ZMHN=9Q°,

r.H點在以MN為直徑的圓上，

設MN的中點為T,

DT=A/12+22=45，

，D”的最大值為6+1，最小值為退-1.

【點睛】本題考查四邊形的綜合應用，熟練掌握矩形的性質，直角三角形的性質，三角形全等的判定及性

質，平行四邊形的性質，圓的性質，能夠確定”點的運動軌跡是解題的關鍵.

【變式1-1］（2024?江蘇連云港?中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在。點，另一端綁一重物.將此

重物拉到/點后放開，讓此重物由/點擺動到8點.則此重物移動路徑的形狀為（）

A.傾斜直線B.拋物線C.圓弧D.水平直線

【答案】C

【分析】本題考查動點的移動軌跡，根據(jù)題意，易得重物移動的路徑為一段圓弧.

【詳解】解：在移動的過程中木棒的長度始終不變，故點A的運動軌跡是以。為圓心，CM為半徑的一段圓

弧,

故選：c.

【變式1-2］（2023?江蘇宿遷?中考真題）在同一平面內，已知O。的半徑為2,圓心。到直線/的距離為3,

點尸為圓上的一個動點，則點P到直線/的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】過點。作于點A,連接OP,判斷出當點尸為49的延長線與。。的交點時，點P到直線/的

距離最大，由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點。作于點A,連接OP,

當點P為NO的延長線與的交點時，點P到直線/的距離最大，最大距離為尸/=3+2=5,

故選：B.

【點睛】本題考查了圓的性質，正確判斷出點尸到直線/的距離最大時，點尸的位置是解題關鍵.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?安徽合肥?三模）如圖，P為線段上一動點（點尸不與點43重合），將線段N尸繞點P順時

針旋轉45°得到線段CP,將線段BP繞點P逆時針旋轉45°得到線段DP，連接4D,BC,交點、為Q.若4B=6,

點，是線段N2的中點，則。〃的最小值為（）

【答案】B

【分析】本題考查旋轉的性質、等腰三角形手拉手問題、三角形中位線及四點共圓最小值問題，作

且=先證A/尸。也ACPB,結合旋轉角度問題得到N、。、B、￡四點共圓，結合三角形三邊關系即

可得到答案；

【詳解】解：???線段4尸繞點尸順時針旋轉45。得到線段。尸，將線段5P繞點P逆時針旋轉45。得到線段。P,

AP=CP,DP=BP,ZAPC=ZBPD=45°,

???ZAPD=ZCPB=135°f

在與△CTO中，

AP=CP

?.?(ZAPD=ZCPB,

DP=BP

.??之△(7尸B(SAS),

：.NC=/DAP,

?.?ZCKA=ZC+ZCQA=/DAP+/CPA,

???ZCQA=45°f

：.ZAQB=\3509

作E4_L8/且E4=A4,取5E的中點O,連接。“，OA,OQ,

E"

,/AB=6,EA=BA,

：.AE=6,NE=45。，

:點”、。是中點，

OH——AE=3,OA=OE=OB=—BE=—個6°+6°=36,

222

?/NE+NZ08=45°+135°=18O°,

."、。、B、E四點共圓，

*/OA=OE=OB,

；./、0、B、￡是在以點。為圓心04為半徑的圓上，

當。、“、。在同一直線時，

QH=0Q-0H=3五-3,

當0、H、。不在同一直線時

QH>OQ-OH=342-?>，

則"最小值為3行-3，

故選：B.

2.（2024?浙江嘉興?一模）如圖，在矩形/BCO中，4B=3,￡為8C邊上的一個動點，連接NE,點3關于

NE的對稱點為玄，連接87X若夕。的最大值與最小值之比為2,則4D的長為.

［答案】4±V7

【分析】本題主要考查了一點到圓上一點距離的最值問題，矩形的性質，軸對稱的性質，勾股定理，由軸

對稱的性質可得AB，=AB=3,則點"在以/為圓心，半徑為3的圓上運動，據(jù)此可得當4D、"三點共

線時，B7J最小，當點E與點5重合時，B，D最大,據(jù)此表示出沙。的最大值和最小值，再由9。的最大值

與最小值之比為2列出方程求解即可.

【詳解】解；如圖所示，連接/"，

由軸對稱的性質可得AB，=AB=3,

點"在以/為圓心，半徑為3的圓上運動，

二當4D、"三點共線時，B，D最小,

.?.8'%小=M。一3|；

:點E在線段BC上，

當點￡與點8重合時，B，D最大,最大值即為AD的長,

B，D最大=〃加+/9='AD』,

?：B'D的最大值與最小值之比為2,

.^AD-+9

「曲一3|

AD-+9=A(AD-^,

/.3-8/0+9=o，

解得/￡>=4+療或ZD=4—近，

故答案為：4±J7.

3.（2024?江蘇南京?模擬預測）如圖，點C是。/上一動點，8為一定點，。隨著C點移動而移動，EG為BD

的垂直平分線，NCBD=90。,BD=2BC,EG=ABC,若04半徑為2,點8到點/的距離為4,則在C點

【答案】6y（26

【分析】該題主要考查了勾股定理，正方形的性質和判定，垂直平分線的定義，圓中相關知識點，解題的

關鍵是找到CE取得最大值時點C的位置.

過點C作C尸，GE交GE所在直線于點尸，證明四邊形8CFG是正方形，設8C=x,則

BD=2x,EG=4x,EF=5x,BG=CF=x,勾股定理得出Cl=26/,確定出8c=6時BC最大，求解即可;

【詳解】解:過點C作CFLGE交GE所在直線于點尸，

:EG為8。的垂直平分線，ZCBD=90°,

：.NCBG=ZBGF=ZCFG=90°,

BC=BG,

二四邊形3CFG是正方形，

設BC=x,則BD=2x,EG=4x,EF=5x,BG=CF=x,

在RMCFE中,CE2=CF2+EF2=26x2,

故當x最大時，CE最大,

BC<AB+AC,

BC=/3+NC=4+2=6時8c最大，即x最大,

止匕時CE=^^=6而，

故答案為：6^/26?

4.（2024?河北秦皇島?一模）某校社團實踐活動中，有若干個同學參加.先到的"個同學均勻圍成一個以O

點為圓心，1m為半徑的圓圈，如圖所示（每個同學對應圓周上一個點）.

（1）若〃=6,則相鄰兩人間的圓弧長是m.（結果保留兀）

（2）又來了兩個同學，先到的同學都沿各自所在半徑往后移。米，再左右調整位置，使這（"+2）個同學之

間的圓弧長與原來〃個同學之間的圓弧長相等.這（〃+2）個同學排成圓圈后，又有一個同學要加入隊伍，重

復前面的操作，則每人須再往后移。米，才能使得這（"+3）個同學之間的圓弧長與原來〃個同學之間的圓弧

長相同，貝U2=.

a

【答案】?T

【分析】本題考查圓的周長和弧長，

(1)先計算出圓的周長，再計算出圓的弧長即可；

(2)先計算出半徑往后移。米的圓的周長，求出弧長，根據(jù)弧長相等建立等式即可求出a,再計算出6,即

可得到答案.

【詳解】解：(1)當〃=6時，圓的周長為：2%，

相鄰兩人間的圓弧長是牛=￡,

63

故答案為：y;

(2)又來了兩個同學后圓的周長為：2萬(1+Q),

,21(1+4)_71

??--------=—,

6+23

??14—,

3

當又有一個同學要加入隊伍后，圓的周長為：2〃(1+。+6),

.2〃(l+a+6)兀

??--------=—，

6+2+13

b=—,

6

??一——,

a2

故答案為：y.

5.(2024?浙江?模擬預測)如圖，以點/為圓心的圓交數(shù)軸于瓦C兩點(點C在點/的左側，點8在點N

的右側)，若4,3兩點表示的數(shù)分別為1,百，則點C表示的數(shù)是.

【答案】2-V3/-V3+2

【分析】本題主要考查了是數(shù)軸上兩點之間的距離和圓的性質.根據(jù)/,8兩點表示的數(shù)可求得。幺的半徑

為6-1,再利用3點表示的數(shù)減去。N的直徑即可解題.

【詳解】解：3兩點表示的數(shù)分別為1,6，

根據(jù)圓的性質可得：

，/C=3C=G-l，

OC=V3-2x（萬1）=2-瓦

..?點C表示的數(shù)是2-6,

故答案為：2-6

6.（2024?陜西?模擬預測）如圖，在矩形N2CD中，AB=2,BC=3,M是平面內一動點，且倒f=l，則

線段的最大值為

【答案】VB+I/I+VB

【分析】該題主要考查了矩形的性質，勾股定理，圓相關知識點，解題的關鍵是明確點M的運動軌跡.

根據(jù)勾股定理算出舊，再根據(jù)題意確定點”在以1為半徑的。8上運動，。河的最大值=3。+8河,

即可求解；

【詳解】解：：四邊形/BCD是矩形，

ZC=90°,CD=AB=2,

,?BD=,2?+3?=5^3"，

...點M在以1為半徑的08上運動,

如圖當8,三點共線時，

DM最大,最大值=8。+及恢—y/\3+1.

故答案為：V13+1.

7.（2023?四川樂山?模擬預測）【發(fā)現(xiàn)問題】

小明在練習簿的橫線上取點。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓,

描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點的位置有一定的規(guī)律.

【提出問題】

圖1圖2備用圖

【分析問題】

小明利用已學知識和經驗，以圓心。為原點，過點。的橫線所在直線為x軸，過點。且垂直于橫線的直線

為丁軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標系，如圖2所示，當所描的點在半徑為5的同

心圓上時，其坐標為.

【解決問題】

請幫助小明驗證他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設點尸（0,加），加為正整數(shù)，以。尸為直徑畫。是否存在所描的點在OM上，若存在，

求他的值；若不存在，請說明理由.

【答案】【分析問題】（-3,4）或（3,4）,【解決問題】見解析，【深度思考】4

【分析】分析問題：利用垂徑定理與勾股定理解答即可；

解決問題：設所描的點在半徑為為正整數(shù)）的同心圓上，則該點的縱坐標為1,再進一步求解橫坐標

即可；

深度思考：設該點的坐標為（土歷二結合OM的圓心坐標，利用勾股定理，即可用含"的代數(shù)式表示

出加的值，再結合加，"均為正整數(shù)，即可得出小，〃的值.

【詳解】解：分析問題：根據(jù)題意，可知：所描的點在半徑為5的同心圓上時，其縱坐標＞=5-1=4,

yt

?.?橫坐標X=±五彳=±3,

.?.點的坐標為（-3,4））或（3,4）；

解決問題：證明：設所描的點在半徑為為正整數(shù)）的同心圓上，則該點的縱坐標為"-1,

該點的橫坐標為土J：/—（〃—if=±J2〃-1,

該點的坐標為卜石二或"T）,

（士=2n-1,?-1=~~~~~~,

...該點在二次函數(shù)＞=-1）=；/的圖象上，

小明的猜想正確；

深度思考：設該點的坐標為上歷二的圓心坐標為加］,

J^±y/2n-1-0j+fj加,

2-1+1Y-lY+2仿—1)+11

又???加，〃均為正整數(shù)，

-1=1,

/.m=l+2+l=4,

???存在所描的點在。M上，冽的值為4.

【點睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理的應用，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及與圓有關的位置關系,

解題的關鍵是找出點在二次函數(shù)y=：x2-1的圖象上.

22

8.（2024?湖南?模擬預測）如圖，在6x6的正方形網格中，小正方形的頂點叫做格點.A,8兩點均為格點,

請僅用無刻度直尺找出經過4,2兩點的圓的圓心O,并保留作圖痕跡.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)圓心確定的條件即弦的垂直平分線的交點，再利用垂徑定理解答即可.

本題主要考查了線段的垂直平分線的性質、垂徑定理等知識點，靈活運用垂徑定理是解題的關鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，畫圖如下：

則點。即為所求.

9.（2025?湖北十堰?模擬預測）如圖，O。的直徑48垂直弦CD于點E,尸是圓上一點，。是8尸的中點,

連接CF交OB于點、G,連接BC.

（1）求證：GE=BE；

（2）若NG=6,BG=4,求CD的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）8

【分析】（1）利用ASA證明△CEG之△CE8,即可得到6后=8￡；

（2）連接。C,求出直徑的長，即得半徑OC=O8=5,求出。G,由（1）知GE=BE=；BG=2,再

求出OE,利用勾股定理求出CE,根據(jù)垂徑定理即可求出。.

【詳解】（1）證明：???。是筋的中點，

???ZFCD=/BCD,即ZGCE=/BCE,

u：CDLAB,

：.ZCEG=/CEB=9（F,

又,：CE=CE,

.?.△C￡G%C￡B（ASA）,

:?GE=BE；

AB=6+4=10,

OC=OB=-AB=5,

2

OG=OB—BG=5—4=T,

由（1）知GE=BE=LBG=2,

2

OE=OG+GE=1+2=3,

CE=yj0C2-0E2=4，

?.?直徑A8_LCD,

CD=2CE=2x4=8.

【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形全等的判定與性質，垂徑定理，勾股定理.熟練掌握圓的基本性

質、三角形全等的判定定理是解題的關鍵.

題型二：垂徑定理及其應用

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在＜30中，弦的長為8,圓心。至U/B的距離OE=4,則。。

的半徑長為（）

B.472C.5D.5A/2

【答案】B

【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，先根據(jù)垂徑定理得到ZE,再根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：：在。。中，弦N8的長為8,圓心。到的距離0E=4,

OEVAB,AE=-AB=4,

2

在RtZ\/OE中，04=yjoE-+AE2=A/42+42=472，

故選：B.

【變式2-1］（2024?內蒙古通遼?中考真題）如圖，圓形拱門最下端在地面上，。為N8的中點，C為拱

門最高點，線段CD經過拱門所在圓的圓心，若/3=lm,CD=2.5m,則拱門所在圓的半徑為（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【答案】B

【分析】本題考查的是垂徑定理的實際應用。勾股定理的應用，如圖，連接04,先證明CDL/3,

AD=BD=0.5,再進一步的利用勾股定理計算即可；

【詳解】解:如圖，連接04,

?.?。為的中點，C為拱門最高點，線段。經過拱門所在圓的圓心，/8=lm,

CD1ABfAD=BD=0.5,

設拱門所在圓的半徑為小

OA=OC=r,而CD=2.5m,

J00=2.5--,

/.r2=0.52+（2.5-r）2,

解得：r=1.3,

拱門所在圓的半徑為1.3m；

故選B

【變式2-2X2024?新疆?中考真題）如圖，是。。的直徑，CD是O。的弦，48_L。，垂足為E.若CD=8,

。。=5,則BE的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理的應用，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

根據(jù)垂徑定理求得。￡=：。。=4,再對RtVOED運用勾股定理即可求OE,最后BE=05-OE即可求解.

【詳解】解：：48是。。的直徑，

：.DE=-DC=4,ZOED=90°,

2

...在RtVOE。中，由勾股定理得O￡=Ja>2一E￡>2=3,

BE=OB-OE^5-3=2,

故選：B.

【變式2-3］（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在O。中，直徑48LCD于點E,CD=6,BE=1,貝！］弦

NC的長為.

A

【答案】3V10

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關鍵.

由垂徑定理得CE=ED=，CO=3,設OO的半徑為/，則。E=08-￡2=r-1,在AAOED中，由勾股定

2

理得出方程，求出廠=5,即可得出/E=9,在比AZEC中，由勾股定理即可求解.

【詳解】解：???/8，a),co=6,

CE=ED=-CD=3,

2

設。。的半徑為，，則。￡=。8-防=-1,

在比AOED中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2,即(—I)?+32=/,

解得:r=5,

/.0A=5,OE=4,

/.AE=0A+0E=9,

在比A/￡C中，由勾股定理得：AC=^CE2+AE2=V32+92=3>/10-

故答案為：3V10.

【變式2-4](2024?江西?中考真題)如圖，是。。的直徑，”=2,點C在線段N8上運動，過點。的

弦DEqB,將萬壺沿DE翻折交直線NB于點R當。E的長為正整數(shù)時，線段F2的長為.

【答案】2-6或2+b或2

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質，根據(jù)。E4/8,可得。E=1或2,利用勾股定理

進行解答即可，進行分類討論是解題的關鍵.

【詳解】解：為直徑，DE為弦,

DE<AB,

???當DE■的長為正整數(shù)時，。石=1或2,

當。￡=2時，即。E為直徑，

DE±AB

，將磁沿。E翻折交直線43于點尸，此時尸與點A重合,

故必=2；

當DE=1時，且在點C在線段08之間,

如圖，連接

DE1.AB,

22

OC=y/OD2-DC2=—

2

BC=OB-OC=2^L，

2

:.BF=2BC=2-0

當DE=1時，且點C在線段CM之間，連接OD,

BF=2BC=2+y/3,

綜上，可得線段EB的長為2-6或2+百或2,

故答案為：2-6或2+6或2.

【中考模擬即學即練】

1.（2023?廣東東莞?一模）如圖，48是OO直徑，點C在。。上，CD,48垂足為。，點E是。。上動點

（不與C重合），點廠為CE的中點，若/。=3,CD=6,則。廠的最大值為.

【答案】7.5

【分析】本題考查了垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理，延長CD交O。于點G,連接GE、OC,根

據(jù)垂徑定理得到CD=Z）G,推出。尸=；GE,得到當GE取最大值時，。尸也取得最大值，設O。的半徑為「，

則。。=廠-3,利用勾股定理求出〃即可求解，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：延長C。交O。于點G,連接GE、OC,

'：CDLAB,即CG_L/3,是。。的直徑,

/.CD=DG,

:點尸為CE的中點，

：.DF=-GE,

2

當GE取最大值時，。廠也取得最大值，

設OO的半徑為『，則。。=―3,

在RtAOCZ）中，OC2=OD2+CD2,

r2=(r-3)2+62,解得：r=7.5,

???GE的最大值為15,

二。廠的最大值為7.5,

故答案為：7.5.

2.（2025?安徽?模擬預測）已知。。的半徑為5,是。。的弦,P是弦48的延長線的一點，若尸N=8,尸8=2,

則圓心。到弦NB的距離為（）

A.V41B.6C.V30D.4

【答案】D

【分析】本題考查了垂徑定理：垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.關鍵是根據(jù)勾股定

理解答.作OCJ.43于C,連接。4,根據(jù)垂徑定理得至IJNC=8C=L/8=Lx6=3,然后在RMZOC中，利

22

用勾股定理計算OC即可.

【詳解】解：作OCL/3于C,連接。4,如圖，

PA=8,PB=2,

：.AB=PA-AB=8-2=6,

,：OCLAB,

：.AC=BC=-AB=--x6=?>,

22

在RbUOC中，04=5,

?*-OC=y/o^-AC2=J52-32=4，

即圓心。到弦的距離為4.

故選：D.

3.（2024?山西長治?模擬預測）明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了“筒車”（一種水利灌溉工

具）的工作原理.如圖2,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心。為圓心的圓.已知圓心O在水面上方，且。。

被水面截得弦2B長為8米，。。半徑長為6米，若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦4B所在直線的距

離是（）

圖1圖2

A.2米B.4米C.（6-2指）米D.（6+2指）米

【答案】C

【分析】本題考查的知識點是垂徑定理、勾股定理，解題關鍵是熟練掌握垂徑定理.

連接OC交4B于點根據(jù)垂徑定理得到/?=2?=1/8=4米，OCYAB,再根據(jù)勾股定理得到

2

。斤+，斤=0/2即可得解.

【詳解】解：連接OC交2B于點

依題得：AH=BH=LAB=4米,OC1AB,O/=OC=6米,

2

設OH=x,即CH=6-x,

?.?火區(qū)/。”中，OH?+=OA?,

即/+42=62,

解得尤=2不，

即。〃=2?米,

.?.C7/=（6-2石）米,

即點C到弦所在直線的距離是（6-2石）米.

故選：C.

4.（2024?云南怒江?一模）如圖，48是OO的弦，半徑OC_L/3,垂足為。，設NB=6,CD=1,則OO的

半徑長為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，連接3,由垂徑定理可得==設CM=OC=r,則

OD=OC-CD=r-1,再由勾股定理計算即可得解.

：43是。O的弦，半徑OCJ,/8,垂足為D,

Z.AD=-AB=3,

2

設O/=OC=r,則。。=。。一。=V一1,

由勾股定理可得：0/2=0。2+/。2,即/=（—“+32,

解得：r=5,

故選：C.

5.（2024?四川成都?二模）如圖，48是OO的弦，若。。的半徑04=10,圓心O到弦NB的距離OC=6,

【答案】C

2

【分析】根據(jù)垂徑定理，得4C=BC=g/B,RAC=^O^-OC=710^=8,解答即可.

本題考查了勾股定理，垂徑定理，熟練掌握兩個定理是解題的關鍵.

【詳解】解：根據(jù)垂徑定理，得4c==,

根據(jù)勾股定理，得ZC=^OA2-OC2=Vltf-62=8，

故/5=2/C=16.

故選：C.

6.（2024?湖北武漢?模擬預測）如圖，分別是以NA/C為直徑的兩個半圓，其中ZC是半圓。的一條弦,

￡是就中點，。是半圓石3中點.若48=6，DE=\,且NC>3,則/C的長為（）

A.3+V3B.4+百C.3+V2D.4+V2

【答案】D

【分析】本題考查圓的垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理，作出合理的輔助線證明。、E、尸、。在

同一條直線上是解題的關鍵.連接。4DC,EO,BC.E是左中點，推OE垂直平分/C,。是半圓寂

中點，推O垂直平分NGD、E、F、。在同一條直線上，下是/C的中點，。是中點，推。廠是VN8C

的中位線，在RtZ\48C中，根據(jù)勾股定理得NC長.

【詳解】解：連接。4DC,EO,BC,OE交AC于點、F,

.?.。￡垂直平分/（?,

尸是4c的中點.

???/C為。尸的直徑,

NADC=90°,

,?,。是半圓而中點,

.??即垂直平分/C,

..D、E、F、。在同一條直線上，DA=DC,/DFA=90。,

ZDAF=45°f

DF=AF,

設環(huán)=x,DF=AF=CF=x+l,OF=-x6-x=3-x,

2

AC=2x+2,

?.?尸是/c的中點，。是NB中點，

尸是V4BC的中位線，

\BC=2OF=6-2x,

AB為OO直徑，

ZACB=90°,

在RtZ\48C中，根據(jù)勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

62=（2+2r）2+（6-2x）2,

..x=1i,

2

vAC>3,

,A/2

..X=1H，

2

\/C=2x+2=4+收

故選：D.

7.（2024?湖南長沙?模擬預測）如圖，。/是。。的半徑，弦于點。，連接02.若。。的半徑為5cm,

BC的長為8cm,則AD的長是cm.

【答案】2

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出的長，進而求出/。的長即可.

【詳解】解：由題意，OA=OB=5cm,

是。。的半徑，弦3CLQ4于點。，

BD=-BC=4cm,

2

OD=y/0B2-BD2=3cm，

AD=OA-OD=2cm；

故答案為：2.

8.（2024?上海嘉定?二模）如圖在圓。中，NB是直徑，弦CD與45交于點E,如果/E=l,EB=9,AAEC=45°,

點M是CD的中點，連接0河，并延長CW與圓。交于點N,那么兒W=.

【答案】5-2V2/-2V2+5

【分析】本題主要考查圓有關性質.熟練掌握垂徑定理推論，等腰直角三角形性質，是解決問題的關鍵.

由題意可知43=10，則ON=GL4=5,根據(jù)垂徑定理推論得到（W，CD,結合NNEC=45。可得是

等腰直角三角形，求得PM=與OE=26,即可求得兒W=5-2啦.

2

【詳解】解：：在圓。中，是直徑，4E=1,EB=9,

：.AB=10,

：.3=5,

OE=4,

?.?點M是CD的中點，

OMLCD,

:ZAEC=45°,

AEOM是等腰直角三角形，

PM^—OE=242,

2

MN=ON-OM=5-2A/2，

故答案為：5-272.

9.（2024?湖南?二模）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點。為圓心的圓的一部分，如果。是。。中

弦48的中點，CD經過圓心。交。。于點。，且/8=8m,（9C=3m,則CD=______m.

【答案】8

【分析】本題考查了垂徑定理的應用、勾股定理.連接04,先根據(jù)垂徑定理、線段中點的定義可得0CL/8,

AC=4m,設。。的半徑長為rm,再在RbNOC中，利用勾股定理即可得。。的半徑，進一步計算即可求

解.

【詳解】解：如圖，連接。4,

設。。的半徑長為mi,則。N=O￡）=rm,

22

在RtAZOC中，r=73+4=5>

則CD=OD+OC=8（m）,

故答案為：8.

10.（2024?廣東湛江?模擬預測）如圖，在破殘的圓形殘片上，弦的垂直平分線交弧于點C,交弦AB

（1）求作此殘片所在的圓的圓心。（不寫作法，保留作圖痕跡）;

⑵求出（1）中所作圓的半徑.

【答案】(1)見解析

(2)5cm

【分析】本題考查了垂經定理的應用和基本作圖，用到的知識點是線段垂直平分線的作法與性質、垂徑定

理、勾股定理的應用，基本作圖需要熟練掌握.

(1)在圓形殘片上作弦BE的垂直平分線交CD于點P,連接/尸，以P為圓心，NP為半徑的圓為所

求殘片的圓.

(2)先設圓尸的半徑為r,根據(jù)和已知條件求出=PD=(r-2)cm,在RtA/PD中，

WAP2=AD2+DP\得出r=42+(一2『，求出r即可.

【詳解】⑴解：作圖如下，

(2)解：設圓尸的半徑為r,

ABJ_CD,AB=8cm,CD=2cm,

/D==4cm,PZ)=(r-2)cm,

在RtA4P。中，AP?=AD?+DP?，

：.r2=42+(r-2)2,

解得r=5,

。尸的半徑為5cm.

11.(2024?湖南?模擬預測)某校組織九年級學生前往某蔬菜基地參觀學習，該蔬菜基地欲修建一頂大棚.如

圖，大棚跨度AB=8m,拱高CD=2m.

同學們討論出兩種設計方案：

方案一，設計成圓弧型，如圖1,已知圓心O,過點。作0CL/8于點。交圓弧于點C.連接04.

方案二，設計成拋物線型，如圖2,以NB所在直線為x軸，線段的垂直平分線為〉軸建立平面直角坐標

系.

(1)求方案一中圓的半徑；

(2)求方案二中拋物線的函數(shù)表達式；

(3)為擴大大概的空間，將大棚用1米高的垂直支架支撐起來，即袒=M=lm.在大棚內需搭建2m高的

植物攀爬竿，即6"=助=201,GM,4g于點尸，HN，AB于點、Q,G8與。C交于點K.請問哪種設

計的種植寬度0W)要大些？(不考慮種植間距等其他問題，且四邊形GACV〃是矩形)

【答案】⑴5m

(2)y=--x2+2

o

⑶方案一中的種植寬度(NV)要大些

【分析】本題考查二次函數(shù)與圓的綜合，涉及垂徑定理、勾股定理、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，求

得拋物線的函數(shù)表達式是解答的關系.

(1)根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解即可；

(2)利用待定系數(shù)法求解拋物線的函數(shù)表達式即可；

(3)根據(jù)題意，分別求得兩個方案中的G8長，然后比較大小可得結論.

【詳解】(1)解：如圖1,設圓的半徑為rm,

,/OCLAB,/B=8m,

AD=—AB=4m,

2

在RtANOD中，OD=OC-CD=(r-2)m,

由勾股定理得戶=4?+(―2),解得廠=5,

即圓的半徑為5m；

(2)解：根據(jù)題意，力(一4,0),8(4,0),C(0,2),

設該拋物線的函數(shù)表達式為y=ax?+2,

將點8(4,0)代入＞=62+2中，得16。+2=0,解得。=一：，

O

...該拋物線的函數(shù)表達式為＞=-：./+2；

O

(3)解：如圖1,連接OH,

or

圖3

由題意，GH=MN,KD=Im,GK=KH,ZOKH=90°,

在RtAO/K中，OH=5m,OK=OD+KD=5-2+1=4m,

由勾股定理得KH=yjoH2-OK2=V52-42=3m，

二MN=GH=2KH=6m；

如圖4,由題意，點”和點G的縱坐標均為1,

圖4

將尸1代入＞=-卜+2得1=-*+2,解得』2行,

OO

?,MN—GH—4-\/2＞

?4^/2＜6，

，方案一中的種植寬度(肱V)要大些.

題型三：圓心角'弦'弧之間的關系

【中考母題學方法】

【典例1】（2023?河北?中考真題）如圖，點月?4是。。的八等分點.若ARPi,四邊形月匕4月的周長分

別為a,b,則下列正確的是（）

Pi

P5

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,b大小無法比較

【答案】A

【分析】連接依題意得耳￡=鳥△=4勺=44，乙1=44,AAA4的周長為。=44+耳4+乙片，

四邊形的周長為人=月與+舄［+［，+月片，故6-。=々￡+￡8-4月，根據(jù)△△的三邊關系即可

得解.

【詳解】連接與鳥出月，

尸?

尸5

???點月?月是。。的八等分點，即質=朋=筋4=筋=麗=蔗=“8=而

.?.月月=月4=月月=44,筋=筋+筋=耳目+麗=德

乙A=PR

又△《鳥鳥的周長為。=《月+耳片+月A,

四邊形月勺月，的周長為6=月與+與1+1月+月月,

.?.6-。=（月月+與線+月4+月片）一（月月+耳，+月6）=（65+々6+￡片+月片）一（々鳥+46+乙乙）

=48+5鳥—PR

在△《5月中有片鳥+P2P3>PR

:.b—Cl=P^2+^2^3_4片>0

故選A.

【點睛】本題考查等弧所對的弦相等，三角形的三邊關系等知識，利用作差比較法比較周長大小是解題的

關鍵.

【變式3-1］（2022?山東聊城?中考真題）如圖，/8,CD是。。的弦，延長4S,CD相交于點P已知/尸=30。，

ZAOC=80°,則前的度數(shù)是（）

C.20°D.10°

【答案】C

【分析】如圖，連接。8,OD,AC,先求解/。/。+/。。4=100。，再求解/尸/O+/PCO=50。，從而可

得/BO/+/COZ）=260。，再利用周角的含義可得N8O￡>=360。-80。-260。=20。，從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接05,OD,AC,

'：ZAOC=80°,

/.ZOAC+ZOCA=100°,

'：NP=30°,

/.NPAO+NPCO=50°,

,?OA=OB,OC=OD,

：.NOBA=NOAB,NOCD=NODC,

：.ZOBA+ZODC=5Q°,

：.ZBOA+ZCOD=260°,

：.ZBOD=360°-80°-260°=20°.

二麗的度數(shù)20。.

故選：C.

【點睛】本題考查的是圓心角與弧的度數(shù)的關系，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理的應用，掌握“圓

心角與弧的度數(shù)的關系”是解本題的關鍵.

【變式3-2](2023?山東煙臺?中考真題)如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量

角器的外弧分別交于點N,B,C,D,連接AB,則/84D的度數(shù)為.

【答案】52.5°

【分析】方法一：如圖：連接由題意可得：OA=OB=OC=OD,

ZAOB=50°-25°=25°,然后再根據(jù)等腰三角形的性