2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第一章數(shù)與式

1.1實(shí)數(shù)

備考指南＞

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢

考點(diǎn)1實(shí)數(shù)的分類及正負(fù)數(shù)的意義☆☆實(shí)數(shù)部分，每年考查2~4道題,分值為

6~10分，對于實(shí)數(shù)的復(fù)習(xí)需要學(xué)生熟

考點(diǎn)2實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及科學(xué)記數(shù)法☆☆☆

練掌握實(shí)數(shù)相關(guān)概念及其性質(zhì)的應(yīng)用、

實(shí)數(shù)運(yùn)算法則和等考點(diǎn)。2025年各省

市選擇題會(huì)出現(xiàn)相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)、

☆☆☆

考點(diǎn)3實(shí)數(shù)的運(yùn)算及大小比較科學(xué)計(jì)數(shù)法問題，填空題會(huì)出現(xiàn)實(shí)數(shù)的

簡單計(jì)算、解答題仍然以考查實(shí)數(shù)混合

計(jì)算為主。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表?？键c(diǎn)，☆星表示中頻考點(diǎn)。

<1>

人

乘方9=4開方實(shí)數(shù)

/%

/\

平方根立方根有理數(shù)無理數(shù)

正

Y

邁舁

算術(shù)平方根

能夯實(shí)基礎(chǔ)

叫I知識(shí)清單

考點(diǎn)1實(shí)數(shù)的分類及正負(fù)數(shù)的意義

1.實(shí)數(shù)的分類

(1)按照定義分類

'正整數(shù)

整數(shù)，零

有理數(shù)負(fù)整數(shù)

實(shí)數(shù)‘止分?jǐn)?shù)'

分?jǐn)?shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)’

I>

‘正無理數(shù)'

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)’

I>

(2)按照正負(fù)分類

'正整數(shù)

正有理數(shù)

正實(shí)數(shù)正分?jǐn)?shù)

正無理數(shù)

實(shí)數(shù)零

,負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)

負(fù)實(shí)數(shù)<負(fù)分?jǐn)?shù)

負(fù)無理數(shù)

注意：0既不屬于正數(shù)，也不屬于負(fù)數(shù)，在理解無理數(shù)時(shí)，要注意“無限不循環(huán)”，歸納起來有四類:

(1)開方開不盡的數(shù)，如石，痣等；

(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率”，或化簡后含有”的數(shù)，如兀+2等;

(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；

(4)某些三角函數(shù)，如sin60°等.

2.正負(fù)數(shù)的意義

(1)正負(fù)數(shù)的概念

1)正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。

2)負(fù)數(shù)：正數(shù)前面加上符號的數(shù)叫負(fù)數(shù)。

3)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正負(fù)數(shù)的分界.

【提示】一個(gè)數(shù)前面的號叫做它的符號.有時(shí)，我們?yōu)榱嗣鞔_表達(dá)意義，在正數(shù)前面也加

上“+”(正)號，如+3,+1.8%,+0.5,….不過一般情況下我們省略“+”不寫.

(2)正負(fù)數(shù)的意義

具有相反意義的量應(yīng)滿足的條件：

①必須是同類量,而且是成對出現(xiàn)的；

②只要求意義相反，不要求數(shù)量一定相笠.

(3)正數(shù)、負(fù)數(shù)和0在實(shí)踐中的應(yīng)用

1)可以用來表示體重的變化情況；

2)可以用來表示不同地點(diǎn)的海拔高度;

3)可以用來表示某時(shí)氣溫變化情況；

4)可以用來表示貨物出口額變化情況；

5)其他情況。

考點(diǎn)2實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及科學(xué)記數(shù)法

1.數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、單位氏度和正方向的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上所有的點(diǎn)與全體實(shí)數(shù)一一對應(yīng).

【注意1】在數(shù)學(xué)中，可以用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸。數(shù)軸要滿足以下要求：

(1)在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)0,這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn)；

(2)通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右(或上)為正方向，從原點(diǎn)向左(或下)為負(fù)方向；

(3)選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)長度取一個(gè)點(diǎn)，依次表示1,2,3,4...；

從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)長度取一個(gè)點(diǎn)，依次表示T,-2,-3,-4...。分?jǐn)?shù)或者小數(shù)也可以用數(shù)軸上的

點(diǎn)表示。

【注意2】數(shù)軸的畫法.

A.畫一條水平直線，在直線上取一點(diǎn)表示0,并把這個(gè)點(diǎn)叫作原點(diǎn)，選取某一長度作為單位長度，

規(guī)定直線上向右的方向?yàn)檎较颍偷玫綌?shù)軸.

數(shù)軸的畫法：

(1)畫一條水平直線，定原點(diǎn)(如圖)，原點(diǎn)表示0.

(2)規(guī)定從原點(diǎn)向右為正方向，那么相反的方向(從原點(diǎn)向左)則為負(fù)方向.

(3)選擇適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度.

-3-2-10123

B.畫數(shù)軸注意事項(xiàng)：

(1)原點(diǎn)、單位長度和正方向三要素缺一不可;

(2)直線一般畫水平的；

(3)正方向用箭頭表示，一般取從左到右；

(4)取單位長度應(yīng)結(jié)合實(shí)際需要，但要做到刻度均勻。

2.相反數(shù)：只有符號不同,而維i值相同的兩個(gè)數(shù)稱為互為相反數(shù)，若a、6互為相反數(shù)，則左0.

一般地，a和-a互為相反數(shù)；特別地，0的相反數(shù)是0.

【溫馨提醒】相反數(shù)的幾何意義

(1)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別位于原點(diǎn)的兩側(cè)(0除外)；

(2)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離相等.

(3)一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離是a的點(diǎn)有兩個(gè)，它們分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，表

示a和-a,這兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.

3.絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的地邕稱數(shù)a的絕對值，記作|a|.

性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.

即(1)如果a>0,那么|a|=a

(2)如果a<0,那么|a|=-a

(3)如果a=0,那么|a|=0

4.倒數(shù)：1除以一個(gè)不等于雯的實(shí)數(shù)所得的商，叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù).若a、6互為倒數(shù)，則a慶1.

5.科學(xué)記數(shù)法：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a義10",其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù).當(dāng)原數(shù)絕對值大于

10時(shí)，寫成aXlO”的形式,，其中l(wèi)W|a|<10,n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時(shí),

寫成aXl(T的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n等于原數(shù)左邊第一個(gè)非零的數(shù)字前的所有零的個(gè)數(shù)(包括

小數(shù)點(diǎn)前面的零).

【易錯(cuò)點(diǎn)提示】用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)時(shí)，需要從兩個(gè)方面入手，關(guān)鍵是確定a和n的值.

(1為值的確定：1?瓜|〈10；(2)n值的確定：①當(dāng)原數(shù)大于或等于10時(shí)，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；

②當(dāng)原數(shù)大于0且小于1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)，它的絕對值等于原數(shù)左起第一位非零數(shù)字前所有零的個(gè)數(shù)

(含小數(shù)點(diǎn)前的零)；③有計(jì)數(shù)(量)單位的科學(xué)記數(shù)法，先把數(shù)字單位轉(zhuǎn)化為純數(shù)字表示，再用科學(xué)記

數(shù)法表示.常用的計(jì)數(shù)單位有：1億=108,1萬=104,計(jì)量單位有：lmm=ICT*m,lnm=l()Tm等.

6.近似數(shù)：近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度通常用精確度來表示，近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五

入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。

7.平方根：(1)算術(shù)平方根的概念：若*=a(x>0),則正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.

(2)平方根的概念：若Y=a,則x叫做a的平方根.

(3)表示：a的平方根表示為土6，a的算術(shù)平方根表示為6.

'只有非負(fù)數(shù)才有平方根，。的平方根和算術(shù)平方根都是0

⑷息義?°)；病=問

8.立方根：(1)定義：若則x叫做a的立方根.

(2)表示：乃的立方根表示為布.

⑶意義［吁。.

(布)3=a

9,數(shù)的乘方：求n個(gè)相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫費(fèi).在址中，a叫底數(shù)，n叫指

數(shù).

考點(diǎn)3實(shí)數(shù)的運(yùn)算及大小比較

1.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

(1)有理數(shù)的運(yùn)算定律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運(yùn)算定律有加法結(jié)合律、加法交換律、乘法

交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律.

(2)運(yùn)算順序：先算乘方(開方)，再算乘除，最后算加減；有括號的先算括號里面的.

(3)指數(shù)，負(fù)整數(shù)指數(shù)累：aWO,則a°=l；若aWO,〃為正整數(shù)，則。-"=七.

a

【注意】-1的奇次幕為-1,偶次幕為L

2.實(shí)數(shù)的大小比較方法

(1)平方法:當(dāng)a>0,6>0時(shí)，a>b^4a>4b.

(2)移動(dòng)因數(shù)法:利用a=J/(a2O),將根號外的因數(shù)移到根號內(nèi)，再比較被開方數(shù)的大小.

(3)作差法:當(dāng)a—8=0時(shí)，可知石=6；當(dāng)己一6>0時(shí)，可知石>6；當(dāng)3—6<0時(shí)，可知3Vb.

AAA

(4)作商法：若一=1,則2=8；若一>1,則/>凡若一<1,則/<6(48>0且郎0).

----BBB

(5)絕對值比較法:設(shè)a、6是兩負(fù)實(shí)數(shù)，貝!］時(shí)>網(wǎng)00</?。

備注：遇到有理數(shù)和帶根號的無理數(shù)比較大小時(shí)，讓“數(shù)全部回到根號下”，再比較大小。

u考點(diǎn)梳^"〉

考點(diǎn)1實(shí)數(shù)的分類及正負(fù)數(shù)的意義

【例題1】(2024福建省)下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是()

A.-3B.OC.1D.yf5

【答案】D

【解析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是

整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，由此即可判

定選擇項(xiàng).

本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：肛2%等；開方開不盡的數(shù)；以及

^0.1010010001....,等數(shù).

【詳解】根據(jù)無理數(shù)的定義可得：無理數(shù)是逐

故選：D.

【對點(diǎn)變式練1](2024?南昌市一模)有下列四個(gè)論斷：①-」是有理數(shù)；②也是分?jǐn)?shù)；③

32

2.131131113…是無理數(shù)；④兀是無理數(shù)，其中正確的是()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【解析】根據(jù)無理數(shù)的概念即可判定選擇項(xiàng).

①是有理數(shù)，正確；②也是無理數(shù)，故錯(cuò)誤；

32

③2.131131113…是無理數(shù)，正確；④兀是無理數(shù)，正確；正確的有3個(gè).故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：兀，2兀等；開方開不盡的

數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù).

【對點(diǎn)變式練2](2024四川綿陽一模)下列說法：

(1)0是整數(shù)；

(2)-7/3是負(fù)分?jǐn)?shù);

(3)4.2不是正數(shù)；

(4)自然數(shù)一定是正數(shù)；

(5)負(fù)分?jǐn)?shù)一定是負(fù)有理數(shù).

其中正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】(1)0是整數(shù)整數(shù)，說法正確；

(2)-7/3是負(fù)分?jǐn)?shù)，說法正確；

(3)有限小數(shù)4.2是分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)也有正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，4.2是正分?jǐn)?shù)，也是正數(shù)；題中說法錯(cuò)誤；

(4)0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)?！?”既不是正數(shù)又不是負(fù)數(shù)，但是“0”是自然數(shù)或整數(shù).

所以自然數(shù)一定是正數(shù)的說法及其錯(cuò)誤；

。是整數(shù)，正確；

(5)分?jǐn)?shù)是有理數(shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)一定是負(fù)有理數(shù).說法正確。

【例題2】(2024武漢市)中國是世界上最早使用負(fù)數(shù)的國家.負(fù)數(shù)廣泛應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中，例

如，若零上3℃記作+3℃,則零下2℃記作℃.

【答案】—2

【解析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一

個(gè)就用負(fù)表示.

零上3℃記作+3℃,則零下2℃記作—2℃.,

故答案為：-2.

【對點(diǎn)變式練1］（2024云南一模）下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.一個(gè)正數(shù)的前面加上負(fù)號就是負(fù)數(shù)

B.不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)

C.0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)

D.正負(fù)數(shù)可用來表示具有相反意義的量

【答案】B

【解析】A.一個(gè)正數(shù)的前面加上負(fù)號就是負(fù)數(shù)，說法正確；

B.不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)，說法錯(cuò)誤，因?yàn)?不是正數(shù)，但也不是負(fù)數(shù)；

C.0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，說法正確；

D.正負(fù)數(shù)可用來表示具有相反意義的量，說法正確。

【對點(diǎn)變式練2］（2024黑龍江綏化一模）中國人很早開始使用負(fù)數(shù)，中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》

的“方程”一章，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù).如果收入100元記作+100元.那么TO元表示

（）

A.支出20元B.收入20元C.支出80元D,收入80元

【答案】C

【解析】收入用正數(shù)，則支出為負(fù)數(shù)。支出80元記作-80元.-80元九表示支出80元。

考點(diǎn)2實(shí)數(shù)的相關(guān)概念（含平方根、算術(shù)平方根、立方根）及科學(xué)記數(shù)法

【例題3】（2024黑龍江齊齊哈爾）實(shí)數(shù)-5相反數(shù)是（）

=11

A.5B.—5C.—D.—

55

【答案】A

【解析】本題主要考查了相反數(shù)的判斷，根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可.

-5的相反數(shù)是5.

故選：A.

【對點(diǎn)變式練1］（2024大連二模）下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）

A.-2與J（—2（B.-2與/C.-2與—gD.2與卜2|

【答案】A

【解析】分析出每個(gè)選項(xiàng)的兩個(gè)值到底是多少，再判定是否互為相反數(shù).

A.-2與1（—2）2淇中J（-2）2=2,所以正確;B.-2與/，其中二=一2,錯(cuò)誤

仁-2與-,，兩數(shù)互為負(fù)倒；D.2與卜2|,其中卜2|=2,錯(cuò)誤

2

【點(diǎn)睛】熟練掌握必=時(shí)對解此類問題至關(guān)重要.

【對點(diǎn)變式練2］（2024吉林一模）寫出一個(gè)負(fù)數(shù)，使這個(gè)數(shù)的絕對值小于3.

【答案】-1

【解析】根據(jù)絕對值的定義及有理數(shù)的大小比較方法求解即可.

1<3,.?.這個(gè)負(fù)數(shù)可以是-1.故答案為：-1（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】一個(gè)正數(shù)的絕對值等于它的本身，零的絕對值還是零，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù).

【對點(diǎn)變式練3】（2024南寧一模）-7的倒數(shù)是（）

11

A.-B.7C.--D.-7

77

【答案】C

【解析】此題根據(jù)倒數(shù)的含義解答，乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，所以-7的倒數(shù)為1+（-7）.

-7的倒數(shù)為：1+（-7）=-故選C

7

【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是倒數(shù).解答此題的關(guān)鍵是要知道乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，所以-7

的倒數(shù)為1+（-7）.

【例題4】（2024江蘇常州）16的算術(shù)平方根是.

【答案】4

【解析】;（±4）2=16

.?.16的平方根為4和-4,

；.16的算術(shù)平方根為4

【對點(diǎn)變式練1］（2024武漢一模）3的平方根是（）

A.9B.y/3C._小D.±73

【答案】D

【解析】直接根據(jù)平方根的概念即可求解.

；（土6『=3，3的平方根是土6.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根的概念，解決本題的關(guān)鍵是熟記平方根的定義.

【對點(diǎn)變式練2］（2024海南二模）”的算術(shù)平方根為（）

A.+V2B.72C.±2D.2

【答案】B

【解析】先求得”的值，再繼續(xù)求所求數(shù)的算術(shù)平方根即可.

；飆=2,而2的算術(shù)平方根是血，.?.、〃的算術(shù)平方根是④，故選B.

點(diǎn)睛：此題主要考查了算術(shù)平方根的定義，解題時(shí)應(yīng)先明確是求哪個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，否則容易出現(xiàn)

選A的錯(cuò)誤.

【對點(diǎn)變式練3］（2024福建廈門一模）實(shí)數(shù)8的立方根是.

【答案】2.

【解析】根據(jù)立方根的定義解答.

：23=8，,8的立方根是2.故答案為2.

【點(diǎn)睛】本題考查立方根的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵.

【例題5】（2024深圳）如圖，實(shí)數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上表示如下，則最小的實(shí)數(shù)為（）

abcd

----?----?——?------?----->

0

A.aB.bC.cD.d

【答案】A

【解析】本題考查了根據(jù)數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小.根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大即可判斷.

由數(shù)軸知，a<b<0<c<d,

則最小的實(shí)數(shù)為。

【對點(diǎn)變式練1］（2024蘇州一模）下列數(shù)軸表示正確的是（）

IIIIIII.IIIi1II.

A.3210-1-2-3B.-1-2-30123

????????.

c.-3-2-1123D.-3-2-10123

【答案】D

【解析】注意數(shù)軸的三要素以及在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大即可做出判斷.

/選項(xiàng)，應(yīng)該正數(shù)在右邊，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

6選項(xiàng)，負(fù)數(shù)的大小順序不對；

C選項(xiàng)，沒有原點(diǎn)；

〃選項(xiàng)，有原點(diǎn)，單位長度.

【對點(diǎn)變式練2］（2024濟(jì)南一模）若則實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置是（）.

11-1_I_I_I_I_B.-J~1~11_1_ta1>

-3-2-10123-3-2-10123

I]?Iii?i.D]??i][]].

-3-2-10123-3-2-10123

【答案】A

【解析】首先根據(jù)a的值確定a的范圍，再根據(jù)a的范圍確定a在數(shù)軸上的位置.

a~2.3,

-2.5＜a＜-2,

...點(diǎn)/在數(shù)軸上的可能位置是：

I21I???I.

-3-2-10123'

【例題6】（2024黑龍江齊齊哈爾）共青團(tuán)中央發(fā)布數(shù)據(jù)顯示：截至2023年12月底，全國共有共青

團(tuán)員7416.7萬名.將7416.7萬用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】7.4167X107

【解析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4X10"的形式，其中1＜忖＜10,九為

整數(shù).確定”的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對值大于1與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)

的位數(shù)相同.

7416.7萬=74167000=7.4167xlO7

【對點(diǎn)變式練4（2024福建寧化一模）中國華為麒麟985處理器是采用7納米制程工藝的手機(jī)芯片，

在指甲蓋大小的尺寸上塞進(jìn)了120億個(gè)晶體管，是世界上最先進(jìn)的具有人工智能的手機(jī)處理器，將

120億個(gè)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.2x109個(gè)B.12x109個(gè)C.1.2x101。個(gè)D.1.2x10”個(gè)

【答案】C

【解析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中14同＜10,n為整數(shù).確定n的值時(shí)，要看

把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞10時(shí)，

n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù).

120億個(gè)用科學(xué)記數(shù)法可表示為：1.2x101°個(gè).故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為oxi。"的形式,其中1W同＜10,

〃為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

【對點(diǎn)變式練2］（2024四川達(dá)州一模）今年我市參加中考的學(xué)生人數(shù)約為6.01:丁人.對于這個(gè)近

似數(shù)，下列說法正確的是（）

A.精確到百分位，有3個(gè)有效數(shù)字B.精確到百位，有3個(gè)有效數(shù)字

C.精確到十位，有4個(gè)有效數(shù)字D.精確到個(gè)位，有5個(gè)有效數(shù)字

【答案】B

【解析】有效數(shù)字的計(jì)算方法是：從左邊第一個(gè)不是。的數(shù)字起，后面所有的數(shù)字都是有效數(shù)字.

；6.01x104=60100,.?.它有3個(gè)有效數(shù)字，6,0,1,精確到百位.故選B.

考點(diǎn)3實(shí)數(shù)的運(yùn)算及大小比較

【例題7】（2024福建?。┯?jì)算：

（-1）°+|-5|-^4

【答案】4

【解析】本題考查零指數(shù)幕、絕對值、算術(shù)平方根等基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)零指數(shù)累、絕對值、算術(shù)平方根分別計(jì)算即可；

原式=1+5-2=4.

【對點(diǎn)變式練1】（2024河南許昌一模）計(jì)算：（%+1）°+|6—2|—.

【答案】-1-73

【解析】先計(jì)算0次累，絕對值和負(fù)指數(shù)累，再算加減.

（TZ-+1）0+|A/3-2|-Q^|=1+2_6_4=_1_6故答案為：—1—6

【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算.理解0次幕，絕對值和負(fù)指數(shù)塞的意義是關(guān)鍵.

【對點(diǎn)變式練2］（2024湖南益陽一模）計(jì)算：（—3）2+2x（0—1）—卜2夜|

【答案】7

【解析】先算乘方、二次根式的混合運(yùn)用和絕對值，最后算加減即可.

（-3）2+2x（后—1）—,2碼=9+2夜-2-2&=7.

【點(diǎn)睛】考查了乘方、二次根式的混合運(yùn)用和絕對值等知識(shí)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

【例題8】（2024甘肅威武）下列各數(shù)中，比-2小的數(shù)是（）

A.-1B.-4C.4D.1

【答案】B

【解析】本題主要考查了有理數(shù)比較大小，根據(jù)正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對

值越大其值越小進(jìn)行求解即可.

V|^|=4>|-2|=2>|-1|=1,

,?—4<—2<—1<1<4，

四個(gè)數(shù)中比-2小的數(shù)是T.

2

【對點(diǎn)變式練1］（2024浙江溫州一模）數(shù)1,0,—-，-2中最大的是（）

3

2

A.1B.0C.——D.-2

3

【答案】A

【解析】將各數(shù)按照從小到大順序排列，找出最大的數(shù)即可.

2

排列得：-2<——<0<1,則最大的數(shù)是1,故選：A.

3

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)大小比較，將各數(shù)正確的排列是解本題的關(guān)鍵.

【對點(diǎn)變式練2］（2024南京一模）比較大?。呵叶?—-（填“>”、“<”或“="）.

28

【答案】<.

【解析】史二1為黃金數(shù)，約等于0.618,工=0.625顯然前者小于后者.

28

或者作差法：昱13=4非-9=廂一庖<0,所以，前者小于后者.故答案為<.

2888

【對點(diǎn)變式練3］（2024哈爾濱一模）a,〃在數(shù)軸上位置如圖所示，則。，b,-。，-沙的大小順

序是（）

b0aA

A.-a<b<a<-bB.b<-a<-b<aC.-a<-b<b<aD.b<-a<a<-b

【答案】D

【解析】從數(shù)軸上ab的位置得出bVOVa,|b|>|a|,推出-aVO,-a>b,-b>0,-b>a,根據(jù)以上結(jié)

論即可得出答案.

從數(shù)軸上可以看出bVOVa,|b|>|a|,-a<0,-a>b,-b>0,-b>a,

即bV-a<aV-b,故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和有理數(shù)的大小比較，關(guān)鍵是能根據(jù)a、b的值得出結(jié)論-aVO,-a>b,-b>

0,-b>a,題目比較好，是一道比較容易出錯(cuò)的題目.

UI真題在線〉

考點(diǎn)1.實(shí)數(shù)的分類及正負(fù)數(shù)的意義

1.（2024甘肅臨夏）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

711/

A.-B.-C.Q^27D.0.13133

23

【答案】A

【解析】本題考查無理數(shù)的定義，根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)結(jié)合立方根的定義，進(jìn)行判斷即可.

TT

A、一是無理數(shù)，符合題意；

2

B、工是有理數(shù)，不符合題意；

3

C、病=3是有理數(shù)，不符合題意；

D、0.13133是有理數(shù)，不符合題意；故選A.

2.（2024湖南?。┰谌粘Ｉ钪?，若收入300元記作+300元，則支出180元應(yīng)記作（）

A.+180元B.+300元C.一180元D.-480元

【答案】C

【解析】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，明確什么是一對

具有相反意義的量.首先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義，結(jié)合題意解答即可；

【詳解】收入為“+”，則支出為“一”，

那么支出180元記作-180元.故選：C.

3.（2024山東威海）一批食品，標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每袋454g.現(xiàn)隨機(jī)抽取4個(gè)樣品進(jìn)行檢測，把超過標(biāo)準(zhǔn)

質(zhì)量的克數(shù)用正數(shù)表示，不足的克數(shù)用負(fù)數(shù)表示.那么，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（）

A.+7B.-5C.-3D.10

【答案】C

【解析】本題考查了絕對值的意義，正負(fù)數(shù)的意義，直接利用正負(fù)數(shù)的意義以及絕對值的意義可得最

接近標(biāo)準(zhǔn)是哪一袋.

【詳解】：超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)用正數(shù)表示，不足的克數(shù)用負(fù)數(shù)表示.

H<H<M<|io|

最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是-3故選：C.

4.（2024江蘇連云港）如果公元前121年記作T21年，那么公元后2024年應(yīng)記作年.

【答案】+2024

【解析】本題考查正負(fù)數(shù)意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)表示一對相反意義的量，公元前為負(fù)，則公元后為正,

進(jìn)行作答即可.

公元前121年記作-121年，那么公元后2024年應(yīng)記作+2024年.

考點(diǎn)2.實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及科學(xué)記數(shù)法

1.（2024河南省）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)尸表示的數(shù)是（）

P

-4~I_I_?~~>

-1012

A.-1B.OC.1D.2

【答案】A

【解析】本題考查了數(shù)軸，掌握數(shù)軸的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)數(shù)軸的定義和特點(diǎn)可知，點(diǎn)尸表示的數(shù)為-1，從而求解.

【詳解】根據(jù)題意可知點(diǎn)尸表示的數(shù)為-1，故選：A.

2.（2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A,M,8分別表示數(shù)a,a+b,b,若AM>BM，則下列

運(yùn)算結(jié)果一定是正數(shù)的是（）

------------1----------------------1--------1---------->

AMB

A.a+bB.a—bC.abD.時(shí)一b

【答案】A

【解析】本題主要考查了列代數(shù)式、數(shù)軸、正數(shù)和負(fù)數(shù)、絕對值等知識(shí)點(diǎn)，得到a<0,且時(shí)<網(wǎng)

是解題的關(guān)鍵.

數(shù)軸上點(diǎn)A,M,2分別表示數(shù)a,a+b,b,則AM=a+b-a=b、BM=b-（a+b）=-a,由

AM>府可得原點(diǎn)在A、M之間，由它們的位置可得a<0,a+b>0,6>0且時(shí)<同，再根據(jù)整

式的加減乘法運(yùn)算的計(jì)算法則逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】數(shù)軸上點(diǎn)A,M,8分別表示數(shù)a,a+b,b,

AM=a+b—a=b^BM=b-（^a+b^=—a,

AM>BM,

，原點(diǎn)在A,M之間，由它們的位置可得6>0且

.,.a+b>0,a-b<0,ab<0,\a\-b<0,

故運(yùn)算結(jié)果一定是正數(shù)的是a+b.故選：A.

3.（2024山東煙臺(tái)）實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

.Q.也，,,■,C.f

-3-2-10I2345

A.Z?+c>3B.ci-c<0C.|tz|>|c|D.-2a<-2b

【答案】B

【解析】本題考查了數(shù)軸，絕對值，不等式性質(zhì)，根據(jù)數(shù)軸分別判斷。，b,。的正負(fù)，然后判斷

即可，解題的關(guān)鍵是結(jié)合數(shù)軸判斷判。，b,。的正負(fù).

由數(shù)軸可得，—3<a<—2,-2<b<-l,3<c<4,

A、b+c<3,原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意，

B、a-c<0,原選項(xiàng)判斷正確，符合題意，

C、根據(jù)數(shù)軸可知：時(shí)<卜|,原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意，

D、根據(jù)數(shù)軸可知：a<b,則—2a>—2），原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意，故選：B.

4.（2024湖南?。┯?jì)算：—（—2024）=.

【答案】2024

【解析】本題考查了求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)相反數(shù)的定義,

即可求解.

-(-2024)=2024.

5.（2024江蘇鹽城）有理數(shù)2024的相反數(shù)是（)

11

A.2024B.-2024C.-------D.----------

20242024

【答案】B

【解析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0,

據(jù)此求解即可.

有理數(shù)2024的相反數(shù)是-2024,

故選：B.

6.（2024黑龍江大慶）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

,1

A"—2024和—2024B.2024和-----

2024

D.-2024和」一

C.-20242024

2024

【答案】A

【解析】本題考查相反數(shù).根據(jù)只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù),結(jié)合絕對值的意義逐項(xiàng)判斷即可.

A.|-2024|=2024和—2024互為相反數(shù)，故A選項(xiàng)符合題意；

B.2024和互為倒數(shù)，故B選項(xiàng)不符合題意；

2024

C.|-2024|=2024和2024不互為相反數(shù)，故C選項(xiàng)不符合題意；

D.-2024和不互為相反數(shù)，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：A.

2024

7.（2024內(nèi)蒙古包頭）若以〃互為倒數(shù)，且滿足m+/削=3,則九的值為（）

11

A.-B.4C.2D.4

42

【答案】B

【解析】本題主要考查了倒數(shù)的定義，根據(jù)根，〃互為倒數(shù)，則7%?〃=1,把利?〃=1代入加+=3,

即可得出m的值，進(jìn)一步即可得出n的值.

?.?W互為倒數(shù)，

mn=l,

m+nm=3>

m=2,

則〃=一，故選：B.

2

8.（2024江蘇揚(yáng)州）實(shí)數(shù)2的倒數(shù)是（）

11

A.-2B.2C.——D.-

一22

【答案】D

【解析】本題考查了倒數(shù)的定義，根據(jù)倒數(shù)的定義：“乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”即可求解，掌握

倒數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

【詳解2x^=1,

2

，2的倒數(shù)為工，故選：D.

2

9.（2024陜西省）-3的倒數(shù)是（）

A.3B.-C.—D.—3

33

【答案】C

【解析】由互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1,即可求解.

-3x

???—3的倒數(shù)是-；.故選C

10.（2024福建?。?jù)《人民日報(bào)》3月12日電，世界知識(shí)產(chǎn)權(quán)組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，

全球PCT（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請

量最大的來源國.數(shù)據(jù)69610用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.6961x10B.696.1xlO2C.6.961xlO4D.0.6961xlO5

【答案】C

【解析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義解答，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為OX10"的形式，其中a|＜10,n

為整數(shù)，確定"的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位

數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時(shí)，凡是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，凡是負(fù)數(shù).

本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟悉科學(xué)記數(shù)法概念是解題的關(guān)鍵.

69610=6.961xlO4

故選：C.

11.（2024甘肅臨夏）據(jù)央視財(cái)經(jīng)《經(jīng)濟(jì)信息聯(lián)播》消息：甘肅天水憑借一碗香噴噴的麻辣燙成為最

“熱辣滾燙”的頂流.2024年3月份，天水市累計(jì)接待游客464萬人次，旅游綜合收入27億元.將

數(shù)據(jù)“27億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.7xlO8B.0.27xIO10C.2.7xlO9D.27xl08

【答案】C

【解析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1W同＜10,

〃為整數(shù)，正確確定。的值以及〃的值是解決問題的關(guān)鍵.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式,

其中14時(shí)＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對

值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值210時(shí)，w是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，〃是負(fù)整

數(shù).

27億=27000000（X）=2.7x109.故選：c.

12.（2024廣西）廣西壯族自治區(qū)統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2023年全區(qū)累計(jì)接待國內(nèi)游客8.49億人

次.將849000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.849xlO9B.8.49xlO8C.84.9xlO7D.849xlO6

【答案】B

【解析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法：。*10”（1＜問＜10）,“為整數(shù)，進(jìn)行表

示即可.

849000000=8.49義及；故選B.

13.（2024黑龍江綏化）中國的領(lǐng)水面積約為370000km2,將數(shù)370000用科學(xué)記數(shù)法表示為:

【答案】3.7X105

【解析】科學(xué)記數(shù)法是指：aX10",且lw|a|<10,〃為原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減一，370000=3.7X105.

考點(diǎn)3.實(shí)數(shù)的運(yùn)算及大小比較

1.（2024四川內(nèi)江）16的平方根是（）

A.-4B.4C.2D.+4

【答案】D

【解析】題考查了平方根，熟記定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平方根的定義計(jì)算即可.

16的平方根是±4，故選：D.

2.（2024黑龍江大慶）計(jì)算：V=8=一.

【答案】-2

【解析】根據(jù)立方根的定義，求數(shù)。的立方根，也就是求一個(gè)數(shù)無，使得爐=小則x就是。的立方根.

（-2）3=—8,

/.0=-2

3.（2024內(nèi)蒙古包頭）計(jì)算：網(wǎng)+（—1124=.

【答案】3

【解析】本題考查實(shí)數(shù)的混合混算，先進(jìn)行開方和乘方運(yùn)算，再進(jìn)行加法運(yùn)算即可.

原式=2+1=3

4.（2024四川廣安）3-也=.

【答案】0

【解析】本題考查的是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先計(jì)算算術(shù)平方根，再計(jì)算減法運(yùn)算即可.

3-^/9=3-3=0

5.（2024四川成都市）若冽，〃為實(shí)數(shù)，且W+M+J二=0,貝匹根+4的值為.

【答案】1

【解析】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)平方式和算術(shù)平方數(shù)的非負(fù)數(shù)求得相、“值，進(jìn)而代值求解即

可.

（m+4y+y/n—5=0,

???加+4=0,〃-5二0,

解得m=—4,〃=5,

/.(m+=(T+5)2=1.

6.(2024吉林省)若(-3)義口的運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)，則口內(nèi)的數(shù)字可以為()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】D

【解析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法計(jì)算，根據(jù)有理數(shù)的乘法計(jì)算法則，分別計(jì)算出-3與四個(gè)選

項(xiàng)中的數(shù)的乘積即可得到答案.

【詳解】(一3)x2=-6,(-3)xl=-3,(-3)x0=0,(-3)x(-l)=3,

四個(gè)算式的運(yùn)算結(jié)果中，只有3是正數(shù)，故選：D.

7.(2024廣西)計(jì)算：(―3)x4+(—2)2

【答案】-8

【解析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算.先算乘法和乘方，再算加法即可.

【詳解】原式=-12+4

=-8.

8.(2024湖北省)計(jì)算：(-1)X3+79+22-20240

【答案】3

【解析】本題主要考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，根據(jù)零指數(shù)累運(yùn)算法則，算術(shù)平方根定義，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(一1)x3+?+22-2024°

=—3+3+4—1

=3.

9.(2024江蘇鹽城)計(jì)算：卜2|—(l+?)°+4sin30。

【答案】3

【解析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，計(jì)算絕對值、零指數(shù)累、代入特殊角三角函數(shù)值，再進(jìn)行混合

運(yùn)算即可.

|-2|-(l+7Z-)°+4sin300

=2-l+4x-

2

=2-1+2

=3

10.(2024甘肅臨夏)計(jì)算：卜+2025°.

【答案】0

【解析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先進(jìn)行開方，去絕對值，零指數(shù)累和負(fù)整數(shù)指數(shù)暴的運(yùn)算，再進(jìn)

行加減運(yùn)算即可.

［詳解］原式=2—3+1=0.

11.(2024貴州省)在①22,②卜2|,③(-1)°,④;x2中任選3個(gè)代數(shù)式求和；

【答案】見解析

【解析】利用實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算的法則和運(yùn)算順序解題即可.

選擇①，②，③，

22+|-2|+(-1)°

=4+2+1

=7；

選擇①，②，④，

22+|-2|+-X2

112

=4+2+1

=7；

選擇①，③，④，

22+(-1)°+|X2

=4+1+1

=6；

選擇②，③，④，

|-2|+(-l)°+|x2

=2+1+1

=4

12.(2024黑龍江齊齊哈爾)計(jì)算：a+k4cos60°|—(7i—5)°+(；)

【答案】7；

【解析】根據(jù)算術(shù)平方根，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)塞，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，進(jìn)行計(jì)算即可求解.

原式=2+4義工一1+4

2

=2+2—1+4

=7

13.（2024甘肅威武）定義一種新運(yùn)算*,規(guī)定運(yùn)算法則為：m*n=m"—m〃Cm,w均為整數(shù)，且

m^O).例：2*3=23—2x3=2，貝|(-2)*2=

【答案】8

【解析】根據(jù)定義，得（―2）*2=（—2）2—2x（—2）=8,解得即可.

本題考查了新定義計(jì)算，正確理解定義的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】根據(jù)定義，得（—2）*2=（—2）2—2x（—2）=8.

14.（2024廣西）下列選項(xiàng)記錄了我國四個(gè)直轄市某年一月份的平均氣溫，其中氣溫最低的是（）

【答案】A

【解析】本題考查了溫度的比較以及正負(fù)數(shù)的概念，掌握比較有理數(shù)大小的方法是解決本題的關(guān)

鍵.0℃以下記為負(fù)數(shù)，0℃以上記為正數(shù)，溫度都小于0℃時(shí)，絕對值最大的，溫度最低.

【詳解】解：???|46|=4.6,13.2|=3.2,4.6>3.2,

*,?—4.6<—3.2<5.8v8.1,

?,?氣溫最低的是北京.故選：A.

15.（2024廣西）寫一個(gè)比G大的整數(shù)是.

【答案】2（答案不唯一）

【解析】本題考查實(shí)數(shù)大小比較，估算無理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵.

先估算出g的大小，再找出符合條件的整數(shù)即可.

【詳解】1<3<