直角三角形的存在性問題

L如圖1,拋物線y=ax2+|x+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C,直線y=-jx-2經過點A、C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線AC于點M,設點P的橫坐標為m.

①當APCM是直角三角形時，求點P的坐標；

②作點B關于點C的對稱點B,則平面內存在直線1,使點M、B、B到該直線的距離都相等.當點P在y軸

右側的拋物線上，且與點B不重合時，請直接寫出直線1：y=kx+b的解析式(k、b可用含m是式子表示).

2.已知二次函數y=ax2+bx-4(a〉0)的圖像與x軸相交于A、B兩點(A在B的左側，且OA<OB),與y軸相

交于點C.

(1)求點C的坐標，并判斷b的正負性；

(2)設這個二次函數的圖像的對稱軸與直線AC相交于點D,已知DC：CA=1：2,直線BD與y軸相交于點E,

連接BC.

①若ABCE的面積為8,求這個二次函數的表達式；

②若ABCD為銳角三角形，請直接寫出0A長的取值范圍.

圖1備川圖

3定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點A(a,b),B(c,d),若點T(x,y)滿足x=年,y=工-,那么稱點T

是點A、B的融合點.

例如:A(-1,8),B(4,2),當點T(x,y)滿足K=三匕=1，＞=手2=2時,則點T(l,2)是點A、B的融合點.

(1)已知點A(-l,5),B(7,7),C(2,4),請說明其中一個點是另外兩個點的融合點；『

(2)如圖1,點D(3,0),點E(t,2t+3)是直線1上任意一點，點T(x,y)是點D、E的融合點；|

①試確定y與x的關系式；.

-DX

②若直線ET交x軸于點H.當ADTH為直角三角形時,求點E的坐標./

圖1

4.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=mx2-2x+n是常數)經過點A(-2,3)、B(-3,0),與y軸的交

點為點C.

(1)求此拋物線的表達式；

⑵點D為y軸上一點，如果直線BD和直線BC的夾角為15。,求線段CD的長度;

(3)設點P為此拋物線的對稱軸上的一個動點，當ABPC為直角三角形時，求點P的坐標.

5.如圖1,已知。O的半徑長為1,AB、AC是。O的兩條弦，且AB=AC,BO的延長線交AC于點D,聯結OA、OC.

(1)求證:AOADs^ABD;

(2)當AOCD是直角三角形時，求B、C兩點的距離；

(3)記AAOB、AAODXACOD的面積為S2sS3若S2是S1和S3的比例中項,求0D的長.

B

0

6如圖1,四邊形ABCD中,/BCD=/D=90。,E是邊AB的中點.已知AD=1,AB=2.

⑴設BC=x,CD=y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域;

⑵當NB=70。時，求NAEC的度數；

(3)當AACE為直角三角形時.求邊BC的長.

ffli

7.如圖1,拋物線y=Y+次+c與x軸交于A、B兩點,點B的坐標為(4,0),與y軸交于點C(0,4).

(1)求拋物線的解析式；

⑵點P在x軸下方的拋物線上，過點P的直線y=x+m與直線BC交于點E,與y軸交于點F,求PE+EF的

最大值；

(3)點D為拋物線對稱軸上一點.

①當ABCD是以BC為直角邊的直角三角形時，直接寫出點D的坐標；

②若ABCD是銳角三角形，直接寫出點D的縱坐標n的取值范圍.

2

8如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線(C1：y=ax+bx-1經過點A(-2,l)和點B(-1,-1),拋物線(C2:y=

2x2+x+1,動直線x=t與拋物線Ci交于點N,與拋物線C2交于點M.

(1)求拋物線a的表達式；

(2)直接用含t的代數式表示線段MN的長；

(3)當AAMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值；

⑷在⑶的條件下，設拋物線Ci與y軸交于點P,點M在y軸右側的拋物線C2±,連接AM交y軸于點K,

連接KN,在平面內有一點Q,連接KQ和QN,當KQ=1且/KNQ=NBNP時,請直接寫出點Q的坐標.

9.如圖，已知在平面直角坐標系中點A的坐標為(-2,0)，點B是點A關于原點的對稱點『是函數y=|(%)0)

圖像上的一點，且AABP是直角三角形，求點P的坐標.

10.如圖，已知在平面直角坐標系中點A的坐標為(-2,0)點B是點A關于原點的對稱點F是函數y=：(久)0)

圖像上的一點，且AABP是直角三角形，求點P的坐標.

1.滿分解答

(1)由y=—[%—2彳導A(-4,0),C(0,-2).

將A(-4,0)、C(0,-2)兩點分別代入y=a/+梟+2得-2+；=解得l一2.所以y=次+

2IC=—Z.a=4c=4

-2.

(2)①直線PM與直線AC的夾角保持不變，直角三角形PCM存在兩種情況：

⑴如圖2,當/MPC=90。時,PC〃x軸.所以P、C關于拋物線的對稱軸x=l對稱.此時P(-2,-2).

(ii)如圖3,當NMCP=90。時作MG±y軸于G作PH±y軸于H.

由APHCs/iCGM狷器=焉?設+刎一2),M(m，一刎一2).

所以—V=卻因為n#0，化簡，得上=去解得m=6.此時P(6,10).

-m2+-mm-m+-2

②直線1的解析式是y=-總x-2.

ZTTi—4

考點伸展

第⑵題②可以這樣思考：如圖4,ABB,M的三條中位線所在的直線，每條都滿足點M、B、B到該直線的距離

都相等.

2k+b=0,

(i)將B(2,0)、M-|m-2)兩點分別代入y=kx+卜得

mk+b=--m—2.

解得k=-表，此時直線1的解析式為y=-2.

-2k+b=0,

(ii)將B'(—2，—4)、M(m>-綱-2)兩點分別代入y=kx+b,得

mk+力=--m—2.

解得卜=一段.此時直線1的解析式為y=一”久-2.

2m+4J2m+4

(iii)因為直線BC的斜率k=l,BM的中點為Dgm+1),將點D代入y=x+b得b=-|m-2.此時

直線1的解析式為y=x--m—2.

4AV

OB,

M

2.滿分解答

⑴由y=ax2+bx-4,得C(0,-4).

又因為a>0,所以點A在x軸的負半軸，點B在x軸的正半軸.

由OA<OB,得拋物線的對稱軸在y軸右側，即x=-/>0.所以b<0.

(2)①如圖2,因為DHCO黑吟=三

設HO=m,那么OA=2m,HB=3m.\

如圖3,因為==\

nUHD3N

c

所以=8.所以CE=4.

如圖4,SBCE=^CE-OB=|x4x4m=8m—8.E

所以m=l.此時A(-2,l),B(4,0).

設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4).

根據常數項相等，得-8a=-4.所以a=l，

所以拋物線的解析式為y=|(x+2)(%-4)-x-4.

@2V2<OA<4.

考點伸展

第⑵題②可以這樣考慮：

①如圖5,當乙BEC=90。時.由拋物線的軸對稱性，可得/DAB=/DBA=45。.

所以AAHD是等腰直角三角形,AH=HD.所以3m=6.解得m=2.此時OA=4.

②如圖6,當NBCE=90。時,ABOCs/^CFD.所以器=5所以等=4

OCFD4m

解得m=此時CM=2V2.

所以當2V2<OX<4時"BCD為銳角三角形.

3.滿分解答

⑴因為-1+7=6=3X2,所以.知+4=3xc.

因為5+7=12=3x4,所以.yA+yB=3yc.

所以點C是點A、B的融合點.

⑵①因為點T(x,y)是點D(3,0)、E(t,2t+3)的融合點，所以x=^,y=等,由t=3x-3,2t=3y3得2(3x-3)=3y-3.

整理彳導y=2x-l.

②第一步，確定點H.

如圖2,作EE'±x軸于E',作TT_Lx軸于T'.

由注=三=二，得HE，=3H『.

HE'EE13’

所以比H-t=3(如-詈)解得xH=|.所以H(|，0).

第二步，分類討論直角三角形DTH.

已知.D(3,0),?(|，0),E(t，2t+3),T(誓，等).

①如圖3,如果/THD=90。,那么XT=XH.

解詈=|彳導”|.此時E(|，6).

②如圖4,如果/TDH=90。,那么.xt=xD.

解詈=3,得t=6.此時E(6,15).

③不存在/HTD=90。的可能.

考點伸展

已知定點D和定直線1,如果點E在定直線1上，點T是點D、E的融合點，那么點T的軌跡是和定直線1

平行的一條直線.

設D(m,n),直線1為y=kx+b,可設E(t,kt+b).

如果點T(x,y)是點D、E的融合點，那么%=等,y="等2.

由t=3x-m,kt=3y-b-n,,得k(3x-m)=3y-b-n.

整理，得y=kx+若處.這條直線的斜率為k,與直線1平行.

4滿分解答

(1)將A(-2,3)、B(-3,0)兩點分別代入.y=mx2-2x+n,

f4m+4+n=3,解得*=-1,

付19m+6+ri=0.用牛仲In=3.

所以拋物線的表達式為y=-%2-2x+3.點C的坐標為(0,3).

(2)由B(-3,0)、C(0,3),得/CBO=45。.

如圖2,分兩種情況討論/DBC=15。.

①當點D在點C下方時,NDBO/CBO-ZCBDudSO-lSLSO。.

在R3BOD中,/DBO=3(rQB=3,所以0D=V3.

止匕時CD=OC-OD=3-V3

②當點D在點C上方時，記作D,此時/DBO=/CBO+/CBD=45o+15o=60。.

在RtABOD中，Z-D'BO=60°,OB=3,所以0D'=3百.

止匕時CD=OD'-0C=3V3-3.

(3)分三種情況討論直角三角形BPC.

①如圖3,當.Z.PCB=90。時過點C作直線x=-l的垂線垂足為E.止匕時/PCE=45。.所以CE=1,PE=1.所以P(-l,4).

②如圖3,當Z.PCB=90。時,設直線x=-l與x軸交于點H,此時/PBH=45。.

所以BH=2,所以PH=2.所以P(-l,-2).

③如圖4,以BC為直徑做OG,那么。G與直線x=-l的兩個交點，就是直角頂點P.

由B(-3,0)、C(0,3),得G(—1，|)設設P(-l,y).

根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得GP=所以GP2=

Z4

所以(—1+1)2+(y-|)2=；(32+32).整理，得必一3y-2=0.

解得”亨.此時P(-1，t)或(-1，上/)

考點伸展

第(3)題求解/BPC=90。,也可以構造R3BMPSR3PNC(如圖5所示).

由型=型，得Z=工.

MPNC2y-3

整理，得必一3y-2=0.

解得y=過尹.

5滿分解答

(1)如圖2,因為OA=OB=OC,所以N1=N2,N3=N4.

由弦AB=A。得圓心角NAOB=NAOC.所以Nl=/2=/3=/4.

又因為/ADO=NBDA,所以AOADs/^ABD.

(2)因為等腰三角形的底角不可能為直角，所以不存在NOCD=90。的情況.分兩種情況討論直角三角形OCD:

①如圖3,當NODC=90。時,弦心距ODL弦AC,所以BD垂直平分AC,AB=CB.

所以AABC是等邊三角形，O是等邊三角形的中心.此時BC=V30C=V3.

②如圖4,當/COD=90。時,ABOC是等腰直角三角形，此時BC=V20C=V2.

⑶如圖5,因為弦AB=AC,所以它們所對應的弦心距相等，也就是說AAOB、AAOD.ACOD的高相等.

當Sz是Si和S3的比例中項時，AD2=AB-CD.

等量代換，得.AD2=AC.S.所以點D是AC的黃金分割點金=黑=合.

C>2A"Z

所以包="=旦.所以。。=漁二。B=漁工.

SiOB222

考點伸展

第⑶題因為St=Sz+S3,S2是Si和S3的比例中項，所以會=會=-1.所以黑=案一1.因為

3]0202UtSUL)

OB=1,所以。。=今一1.解得OD=等.

6滿分解答

(1)如圖2,作BHLAD,垂足為H.

在RtAABH中.BH=CD=y,AH=BC-AD=x-l,AB=2.

由勾股定理，得必+0—1)2=22.整理，得y=V3+2x-合.定義域是0<x<3.

⑵如圖3,設CD的中點為F,聯結EF,那么EF是梯形ABCD的中位線.

因為/D=90。,所以EF垂直平分CD.所以Nl=/2.

由EF〃人口〃3(2,可得/8人口=180。-/8=110。,/2=/4.

在AADE中，由AD=AE=1,可得/3=/4=35。.

所以，AAEC=zl+Z2+Z3=35°+35°+35°=105°

圖3

(3)直角三角形ACE存在兩種情況：

①如圖4,當/AEC=90。時，由于AD=AE=BE=1,一方面,CE垂直平分AB;另一方面,AACD絲4ACE.

于是可得CA、CE三等分NBCD.所以NACB=60。.

所以AACB是邊長為2的等邊三角形.此時BC=2.

②如圖5,當NCAE=90。時,△CDAsAAHB.

所以器所以衿號即y2=x-l.

U/inD±y

解方程3+2久—/=x—L得x=1士了,此時BC=計了.

考點伸展

從第⑵題的解題過程可以看出,/l=N2=N4=N3.

設/B=a,那么ZSXD=180°-a.

在AADE中，由于AD=AE,所以N4=43=*所以/-AEC=y.

特別地，當a=70。時，/-AEC=拳=答:=105

第⑴題y隨x變化的函數圖像為什么是一段圓弧呢?

因為AB=2為定值，所以點B在以A為圓心、2為半徑的圓上運動.

如果以D為坐標原點、AD長為單位長度建立平面直角坐標系，那么BC=x的意義就是點B的橫坐標，CD=y

的意義就是點B的縱坐標的相反數.

所以y隨x變化的函數圖像如圖6所示

7.滿分解答

⑴因為拋物線與x軸交于點B(4,0),設y=(x-4)(x-x2).

代入點C(0,4),得4=4x2.解得x2=1-

所以y=(%—4)(x—1)=x2—5x+4.

(2)第一步，說理，轉化.

如圖2.由B(4,0)、C(0,4),可得NBCO=45。.

由y=x+m,可知NEFO=45。.

如圖3,過點C作x軸的平行線交直線EF于點G.作PHXCGTH.

所以ACFG、ZCEG和ACFE保持等腰直角三角形的形狀.

所以PE+EF=PE+EG=PG=V2HP.

第二步，計算.

如圖3,設H(a,4),P(a,a2-5a+4),那么HP=4-(a2?5a+4)=-a2+5a.

所以當a=,時，HP取得最大值，最大值=-(f)2+§=今

所以PE+EF的最大值=魚HP=YV2.

4

(3)①點D的坐標為(|號)或(|e|)

②點D的縱坐標n的取值范圍是-1＜幾＜手或手＜n＜色

考點伸展

第⑶題的思路是這樣的：

如圖4,以BC為直角邊的直角三角形BCD有2個，1(|號)，4(|一|)以BC為直徑的。Q與拋物線的

對稱軸有兩個交點D,符合乙BDC=90。.求得03gli尹)，。4glz/).

如果ABCD是銳角三角形，那么點D在線段D1D3上或線段外。4上(都不含端點).

8.滿分解答

2

(1)將A(-2,l\B(-l,-1)兩點分別代入y=ax+bx-L得｛丁二造二，解得a=l,b=l.所以拋物線C1的

表達式為y=x2+x-1.

(2)MN-y^/[—yN=(2/+t+1)—Q?+力—1)=/+2.

(3)先確定直角，再驗證是否等腰.分兩種情況：

已知4(一2,1),2產+t+1),N(t，t2+t-1).

①當NAMN=90。時,yM=yA.解方程2戶+t+1=1得t=0,或t=

當t=0時,AM=2,MN=t2+2=2.所以AAMN是等腰直角三角形(如圖2).

當t=—泄，AM=l，MN=t2+2=:所以AAMN不是等腰直角三角形.

②當NANM=90。時,yN=yA.解方程t2+t-1=1,,得t=l,或t=-2.

當t=l時.AN=3,MN=t2+2=3.所以AAMN是等腰直角三角形(如圖3).

當t=-2時，直線過點A,所以AAMN不存在.

綜上所述，當AAMN是以MN為直角邊的等腰三角形時，t=0或t=l.

(4攻口圖4,Qi(-l,3),Q2(0,2),Qa(|,￡,)Qi(熊/)

考點伸展

第(4)題的解題過程:先來梳理一下A、B、M、N、P、K等6個點.

已知A(-2,l),B(-l,-l),M(t,2t2+t+l),N(t,t2+t-l),P(O,-1).

當t=0時，M(0,1)在y軸上，不在y軸右側.所以不考慮這種情況.

當t=l時,M(1,4),N(1,1).由A(-2,l)sM(l,4),可得K(0,3)(如圖5所示).

再來認識這6個點的位置關系和數量關系.

如圖5,由B(-l,-l)、N(l,l).P(O,-1),可得B、N關于原點對稱,BN過原點,BP=OP=L

由K(0,3)、P(0—l)sN(l,l),可知點N在KP的垂直平分線上,所以NP=NK.

第一次變換：

如圖6,過點N畫水平直線y=l,以直線y=l為對稱軸，將ANBP翻折，那么點B對應點Q1,點O對應點

Qz,符合KQ=BP=1,ZKNQ=ZPNB.

點關于直線y=l的對應點Qi的坐標是(-1,3);點0(0,0)關于直線y=l的對應點Q?的坐標是(0,2).

第二次變換:

如圖7,以K為圓心畫單位圓.以直線NK為對稱軸，作Qi、Q2的對應點Q3、,那么點QssQ4—XE洛在

圓上,而且弦Q1Q3II弦QzQ*直線NK垂直平分Q1Q3、Q2Q4.

①如圖8,