軌跡、路徑類綜合練習（提優）

選擇題

1.如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為16cm,在容器內壁離容器底部4c相的點B

處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿4c機的點A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行

的最短路徑為20”“，則該圓柱底面周長為（）

A.12cmB.14cmC.20cmD.24cm

2.半圓柱底面直徑8c是高AB的兩倍，甲蟲在半圓柱表面勻速爬行，若沿著最短路徑從8經E到。（E

是上底面半圓中點），則甲蟲爬行過程中離下底面的高度h與爬行t之間的關系用圖象表示最準確的是

3.棱長分別為8aw,6c機的兩個正方體如圖放置，點A,B,E在同一直線上，頂點G在棱8C上，點P是

棱以人的中點.一只螞蟻要沿著正方體的表面從點A爬到點尸，它爬行的最短距離是（）

BE

A.（3V5+10）cmB.5V13cmC.V277cmD.（2A/58+3）cm

4.如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中BC=4cm,BF=6cm,點M在棱AB上，且AM

=2cm,點N是FG的中點，一只螞蟻要沿著長方形盒子的外表面從點M爬行到點N,它需要爬行的最

短路程為（）

A.10cmB.44cmC.6立cmD.2V13<?m

5.一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點8,需要爬行的最短距離是（）

C.30D.32

6.如圖，在矩形ABC。中，AB=3V3,AO=9,點P是邊上的一個動點，連接8P,將矩形A8C。沿

折疊，得到△4PB,連接4C,取4c的三等分點Q（C0<4。），當點尸從點A出發，沿邊運

動到點D時停止運動，點。的運動路徑長為（）

4V32V3

A.nB.2V3;rC.71D.n

33

7.如圖，是。。的直徑，弦〃跖V,點C是直徑MN上方半圓上的動點（包括端點M,N）,ZACB

=60°,/ACB和/CAB的平分線相交于點E,當點C從點M運動到點N時，則C,E兩點的運動路徑

長的比值是（）

L3V5

A.迎B.-C.2D.—

22

8.如圖，正方形ABC。的邊長為3,將長為2百的線段。尸的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時滑動.如

果點。從點A出發，在A8上滑動，同時點/在BC上滑動，當點尸到達點C時，運動停止，那么在這

個過程中，線段。尸的中點M所經過的路線長為（）

3V2-V6C.三D,與

A,更B.-----------

2263

二.填空題

9.如圖，長方體的棱AB長為3,棱2C長為4,棱長為2,尸為CG中點，一只螞蟻從點A出發，在長

方體表面爬到點P處吃食物，那么它爬行的路程是

10.如圖.長方體的底面是邊長2cMi的正方形，高為6cwi.如果從點A開始經過4個側面纏繞2圈到達8,

那么所用細線最短需要cm.

11.如圖所示，ABCD是長方形地面，長A8=20〃3寬AO=10機.中間豎有一堵磚墻高MN=2MI.一只螞

蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走機的路程.

12.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面軌道上滾動一個半徑為15c機的圓盤，如圖所示，AB與CD

是水平的，8c與水平面的夾角為60°,其中AB=60aw,CD=40cm,BC=40cm,那么該小朋友將圓盤

從A點滾動到D點，其圓心所經過的路線長為cm.

13.如圖，平面直角坐標系中，一個點從原點O出發，按向右一向上一向右一向下的順序依次不斷移動,

每次移動1個單位，其移動路線如圖所示，第1次移到點A1,第二次移到點A2,第三次移到點A3,…,

14.如圖，的半徑為5,弦AB=6,弦AC,弦3。，點尸為CD的中點，若點。在圓上逆時針運動的

路徑長為jit,則點尸運動的路徑長為.

15.如圖，在矩形428中，AB=?A￡>=3,點P是AD邊上的一個動點，連接2尸，作點A關于直線

的對稱點4,連接4C,設A1C的中點為°,當點尸從點A出發，沿邊運動到點。時停止運動，

點Q的運動路徑長為.

16.如圖，長方體的長AB=5CMI,寬BC=4cm,高A￡=6cm,三只螞蟻沿長方體的表面同時以相同的速度

從點A出發到點G處.螞蟻甲的行走路徑S甲為：翻過棱EH后到達G處（即A-P-G）,螞蟻乙的行

走路徑S乙為：翻過棱EF后到達G處（即A-M-G）,螞蟻丙的行走路徑S丙為：翻過棱BF后到達G

處（即A-N-G）.

（1）求三只螞蟻的行走路徑S甲，S丙的最小值分別是多少？

（2）三只螞蟻都走自己的最短路徑，請判斷哪只最先到達？哪只最后到達？

17.（1）根據所給的條件，求圖1中2C邊的長度.

（2）如圖2所示，圓柱形玻璃容器，高18c%,底面周長為60cm,在外側距下底lew,點S處有一蜘蛛，

與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側距開口處1cm的點尸處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛,

所走的最短路線的長度.（畫出相應圖形，并解答）

圖1圖2

18.如圖1是邊長為1的六個小正方形組成的圖形，它可以圍成圖2的正方體，一個螞蟻在圖1中的A點,

圍成圖2后，螞蟻從A點開始沿正方體的棱爬行，求爬到B點的最短距離是多少？

圖2

圖1

19.如圖，一只杯子的上下底面分別是直徑為5c機和7.5cm的圓，母線A8的長為15cm.

(1)求杯子的側面積.

(2)從點B出發，繞著杯子兩圈畫一條裝飾線，終點為4求裝飾線的最短長度.

20.如圖，四邊形是邊長為6的正方形，點C,。在邊AB上，且AC=O8=1,點P是線段CD上

的動點，分別以AP,為邊在線段的同側作正方形AMNP和正方形BRQP,E,尸分別為MN,QR

的中點，連接ER設防的中點為G,求當點尸從點C運動到點。時，點G移動的路徑長.

21.如圖，△ABC是一塊直角三角板，且/C=90°,ZA=30°,現將圓心為點。的圓形紙片放置在三角

板內部.

（1）如圖①，當圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時，試用直尺與圓規作出射線CO；（不寫作法與

證明，保留作圖痕跡）

（2）如圖②，將圓形紙片沿著三角板的內部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若8c=9,圓形紙

片的半徑為2,求圓心。運動的路徑長.

AA

圖①圖②

22.如圖，4B是。。的直徑，M,N是噩（異于點A,B）上的兩點，點C是而上的一動點，NACB的平

分線交O。于點。，N2AC的平分線交于點E.

（1）試探究QE與A8的數量關系，證明你的結論；

（2）設。。的半徑為廣，當點C在從點M運動到點N時，點C的運動路徑長為/1,點E的運動路

徑長為/2,求3的值.

23.如圖，把RtZXABC的斜邊AB放在直線L上，按順時針方向在L上轉動兩次使它轉到△。所的位置，

設BC=g,AC=1,則點A運動到點。的位置時，點A經過的路線長是多少？點A經過的路線與直線

乙所圍成的面積是多少？

￡

24.如圖，AB為。。的直徑，且AB=4,點C在半圓上，OCLA8,垂足為點。，P為半圓上任意一點(不

與點C重合)，過尸點作PEL0C于點E,設△OPE的內心為連接。M、PM.

(1)求/OMP的度數；

(2)當點尸在半圓上從點B運動到點A時，求內心M所經過的路徑長.

25.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=60°,AB=6cm,點K在AB上，AK=2cm,點。、E分別

從點K、點A同時出發，都以lcm/s的速度沿△ABC的邊按順時針方向運動，當D點到達A處時，D,

E兩點同時停止運動，設運動時間為窗.

(1)已知點歹在A8邊上，點G在8C邊上，且BF=BG=lc機，求證：當4cf<5時，在。，E兩點的

運動過程中，線段。E始終被線段尸G平分；

(2)求Z),E兩點從出發到停止時，線段。E的中點R所經過的路徑長.

軌跡、路徑類綜合練習（提優）

選擇題

1.如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為16%在容器內壁離容器底部4c機的點8

處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿4c機的點A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行

的最短路徑為20cm,則該圓柱底面周長為（）

A.12cmB.14。"C.20cmD.24cm

【分析】將容器側面展開，建立A關于EG的對稱點A',根據兩點之間線段最短可知4'8的長度即為

所求.

【解答】解：如圖：將圓柱展開，EG為上底面圓周長的一半，

作A關于E的對稱點A,連接交EG于F,則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為AF+8F的長，即

延長8G,過4作AO_L8G于。，

AE—A'E=DG=4cm,

RtZWDB中，由勾股定理得：A'D=V202-162=\2cm,

則該圓柱底面周長為24a”.

故選：D.

【點評】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計

算是解題的關鍵.同時也考查了同學們的創造性思維能力.

2.半圓柱底面直徑8C是高A8的兩倍，甲蟲在半圓柱表面勻速爬行，若沿著最短路徑從8經E到。（E

是上底面半圓中點），則甲蟲爬行過程中離下底面的高度h與爬行f之間的關系用圖象表示最準確的是

【分析】平面展開圖如圖所示，根據兩點之間線段最短可知，甲蟲的最短路線是BfE,然后在圓柱的上

底面上，沿線段DE行走即可，此時甲蟲離下底面的高度〃不變.由此即可判斷.

【解答】解：平面展開圖如圖所示，根據兩點之間線段最短可知，甲蟲的最短路線是B-E,然后在圓柱

的上底面上，沿線段。E行走即可，此時甲蟲離下底面的高度〃不變.

ED

B

由題意所以在甲蟲到達E之前，離下底面的高度場是逐漸升高，圖形比較緩,

故選：D.

【點評】本題考查平面展開-最短路徑問題，函數圖象等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學

知識解決問題.

3.棱長分別為8c7九，6c機的兩個正方體如圖放置，點A,B,E在同一直線上，頂點G在棱8c上，點P是

棱￡1人的中點.一只螞蟻要沿著正方體的表面從點A爬到點P,它爬行的最短距離是（）

A.(3V5+10)cmB.5V13cmC.7271cmD.(2V58+3)cm

【分析】求出兩種展開圖外的值，比較即可判斷.

【解答】解：如圖，有兩種展開方法：

方法一：PA=V142+92=727rlem,

方法二：PA=V172+62=V325cm.

故需要爬行的最短距離是^Cffl.

故選：C.

【點評】本題考查平面展開-最短問題，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型.

4.如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中AB=8c機，BC=4cm,BF=6cm,點M在棱AB上，且AM

=2cm,點N是BG的中點，一只螞蟻要沿著長方形盒子的外表面從點M爬行到點N,它需要爬行的最

短路程為()

A.lOc/wB.4衣cmC.6y[2cmD.2413cm

【分析】利用平面展開圖有3種情況，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長即可.

【解答】解：如圖1中，MN=^JFN2+FM2=V122+22=2府(cm),

如圖2中，MN=y/MB2+BN2=V62+82=10(cm),

如圖3中，MN-7PM2+PN2=V82+62=10(cm),

V10<2V37

一只螞蟻要沿著長方形盒子的外表面從點M爬行到點N,它需要爬行的最短路程為10cm,

故選：A.

圖2

圖3

【點評】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應用，利用展開圖有3種情況分析得

出是解題關鍵.

5.一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點8,需要爬行的最短距離是（）

C.30D.32

【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側面展開，然后利用兩點之

間線段最短解答.

【解答】解：只要把長方體的右側表面剪開與前面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖：

:長方體的寬為10,高為20,點8離點C的距離是5,

/.BD=CD+BC=10+5=15,AD=20,

在直角三角形ABD中，根據勾股定理得：

：.AB^y/BD2+AD2=25；

只要把長方體的右側表面剪開與上面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖:

:長方體的寬為10,高為20,點8離點C的距離是5,

/.BD=CD+BC=20+5=25,A￡>=10,

在直角三角形A3。中，根據勾股定理得：

：.AB=<BD2+AD2=V102+252=5回；

只要把長方體的上表面剪開與后面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第3個圖:

20Z)10C

圖3

;長方體的寬為10,高為20,點8離點C的距離是5,

.?.AC=C0+AO=2O+1O=3O,

在直角三角形ABC中，根據勾股定理得：

：.AB=yjAC2+BC2=V302+52=5737;

V25<5V29<5V37.

螞蟻爬行的最短距離是25,

故選：B.

【點評】本題考查的是平面展開-最短路徑問題，勾股定理，根據勾股定理求解是解答此題的關鍵.

6.如圖，在矩形48C。中，AB=3V3,AO=9,點尸是邊上的一個動點，連接3P,將矩形ABC。沿

BP折疊，得到△A1PB,連接AC,取4C的三等分點。當點尸從點A出發，沿邊運

動到點D時停止運動，點。的運動路徑長為（）

【分析】如圖，連接A41,在BC取一點0,使得。C=^BC,連接O。，BD.利用三角形的中位線定理

證明。。=百=定值，推出點。的運動軌跡是以。為圓心，。。為半徑的圓弧，圓心角為120°,即可

解決問題.

1

【解答】解：如圖，連接A4i,在取一點O,使得OC=*C,連接。。，BD.

???四邊形ABC0是矩形,

：.ZBAD=90°,

9

tanZABD==V3,

373

AZABD=60°,

9：A\Q=2QC,BO=2OC,

..CQCO1

?CAr~CB~3

：.OQ//BA1,

.,.△COQ^ACBAi,

.OQ_CQ_1

A1B~CAr~3'

0Q=%B=V3,

點。的運動軌跡是以。為圓心，。。為半徑的圓弧，圓心角為180°-2ZCOQ=120°,

；?點Q的運動路徑長=I2寓＞=孥底.

故選：D.

【點評】本題考查軌跡，矩形的性質，軸對稱的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，

屬于中考常考題型.

7.如圖，是O。的直徑，弦點C是直徑上方半圓上的動點（包括端點N）,ZACB

=60°,/AC8和NCAB的平分線相交于點E,當點C從點M運動到點N時，則C,E兩點的運動路徑

長的比值是（）

l3V5

A.V2B.-C.2D.—

22

【分析】如圖，連接ObEB.設OM=r.證明NAEB=120。，利用弧長公式計算即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接。3,EB.設。M=r,

VZACB=60°,

作△AEB的外接圓。/,連接JA,JB,“交AB于"

當點C在點M的位置時，ZAMB=60°,點E在點E的位置處，而點E在如上，

當點C到點N的位置時，NAN2=60°,點E在點的位置處，而點E在N7上，

而MG=NJ,OM=ON=OJ,

：.NMJN=90°

.?.點E在G）J上運動，運動路徑的長=能需=*tr,

loUZ

..?點C的運動路徑的長=nr,

,-1

AC,E兩點的運動路徑長的比值=冗七丁r=2：1,

故選：C.

【點評】本題考查弧長公式，圓周角定理，三角形的內心等知識，解題的關鍵是理解題意，正確尋找點

的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

8.如圖，正方形ABC。的邊長為3,將長為2遙的線段。尸的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時滑動.如

果點。從點A出發，在A8上滑動，同時點尸在8c上滑動，當點P到達點C時，運動停止，那么在這

個過程中，線段。尸的中點〃所經過的路線長為（）

3V2-V6

A.更B.-----------c.三D.三

2263

【分析】求出兩種特殊位置時，ZABM,ZCBM1的值，利用弧長公式求解即可.

【解答】解：如圖，連接

當點。與A重合時，在RtAABF中,

../D4C,AB3V3

.?.NR4P=30°,

?；AM=MF,

：.BM=AM=MF=V3,

AZABM=ZBAM=30°,

當為與C重合時，同法可得NMi8C=NMiC3=30°,

VZABC=90°,

：.ZMBMi=90°-30°-30°=30°,

?：BM=BMi=也,

線段QF的中點M所經過的路線長=當祟=容,

【點評】本題考查軌跡，正方形的性質，弧長公式等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識

解決問題.

二.填空題

9.如圖，長方體的棱A8長為3,棱長為4,棱BE長為2,尸為CG中點，一只螞蟻從點A出發，在長

方體表面爬到點P處吃食物，那么它爬行的路程是」魚

【分析】畫出圖形，利用勾股定理求出AP的長即可.

【解答】解：如圖尸+

1,AP='AC?+CP2=J(3+4(2+2)2=5A/2,

AB

圖1

故它爬行的路程是5V2.

故答案為：5V2.

【點評】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應用，畫出圖形是解題關鍵.

10.如圖.長方體的底面是邊長2cm的正方形，高為6cm.如果從點A開始經過4個側面纏繞2圈到達8,

那么所用細線最短需要2gcm.

【分析】如果從點如果從點A開始經過4個側面纏繞2圈到達點B,相當于直角三角形的兩條直角邊分

別是8和3,再根據勾股定理求出斜邊長即可.

【解答】解：將長方體的側面沿展開，取A'B'的中點C,取的中點C',連接/C,AC,

則AC+B'C為所求的最短細線長，

'：AC2=AA'2+1C2,AC=473cm,

：.B'C2=BB?2=73,

：.B'C=V73(cm),

：.AC+B'C=2V73(cm),

答：所用細線最短長度是

【點評】本題考查了平面展開-最短路線問題和勾股定理的應用，能正確畫出圖形是解此題的關鍵，用

了數形結合思想.

11.如圖所示，48c。是長方形地面，長AB=20相，寬AO=10根.中間豎有一堵成墻高A/N=2nj.一只螞

蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走26m的路程.

【分析】連接AC,利用勾股定理求出AC的長，再把中間的墻平面展開，使原來的矩形長度增加而寬度

不變，求出新矩形的對角線長即可.

【解答】解：如圖所示，將圖展開，圖形長度增加2WN,

原圖長度增加4米，則48=20+4=24%,

連接AC,

:四邊形ABC￡＞是長方形，AB=24m,寬AQ=10m,

：.AC=7AB2+BC2=V242+102=V676=26%,

螞蚱從A點爬到C點，它至少要走26m的路程.

【點評】本題考查的是平面展開最短路線問題及勾股定理，根據題意畫出圖形是解答此題的關鍵.

12.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面軌道上滾動一個半徑為15cm的圓盤，如圖所示，AB與CD

是水平的，BC與水平面的夾角為60°,其中AB=60c〃z,CD^40cm,BC^40cm,那么該小朋友將圓盤

從A點滾動到D點，其圓心所經過的路線長為(140-10百+5TT)cm.

【分析】根據題意，知圓心所經過的路線的長度為線段。。1的長度+線段0102的長度+圓弧碎的長度

+線段。3。4的長度.

【解答】解：如下圖，畫出圓盤滾動過程中圓心移動路線的分解圖象.

可以得出圓盤滾動過程中圓心走過的路線由線段OO1,線段。1。2,圓弧碎，線段。3。4四部分構成.

其中OiE_LAB,0}F±BC,O2CLBC,03c_LC￡),OAD±CD.

由(1)知00i=AE=(60-5V3)cm,

易得RtZXOiBE和RtZXOiB尸全等，

BF=BE=5y/3cm,

：.OIO2=BC-BF=(40-5V3)cm.

'JAB//CD,BC與水平夾角為60°,

.\ZBCD=120°.

又；NO2CB=NO3CD=90°,

.?.NO2co3=60°.

則圓盤在C點處滾動，其圓心所經過的路線為圓心角為60°且半徑為的圓弧伙.

/.的長=，附5—5ftcm.

.四邊形。3O4DC是矩形，

。304=CD=40cm.

綜上所述，圓盤從A點滾動到D點，其圓心經過的路線長度是(60-5V3)+(40-5A/3)+5n+40=(140

-10V3+5n)cm.

故答案為(140-10V3+5TC).

【點評】本題考查了弧長公式，切線的性質，切線長定理，解直角三角形等知識，綜合性較強.解題的

關鍵是畫圓心的軌跡圖，進而理解圓心所走的路線是由哪幾段組成的.

13.如圖，平面直角坐標系中，一個點從原點。出發，按向右一向上一向右一向下的順序依次不斷移動，

每次移動1個單位，其移動路線如圖所示，第1次移到點4,第二次移到點A2,第三次移到點A3,…,

【分析】根據圖象可得移動4次圖象完成一個循環，可先得下標為4的倍數的點的坐標：A4(2,0),A8

(4,0)…，發現橫坐標為下標的一半，從而可得出點A2019的坐標.

【解答】解：Ai(1,0),A2(1,1),A3(2,1),A4(2,0),As(3,0),A6(3,1),…，

20194-1

...A2019的坐標為(------，1),

2

即點42019的坐標為(1010,1),

故答案為：(1010,1).

【點評】本題主要考查點的坐標的變化規律，解題的關鍵是根據圖形得出下標為4的倍數時對應長度即

為下標的一半，據此可得.

14.如圖，。。的半徑為5,弦AB=6,弦AC,弦8。，點尸為CO的中點，若點。在圓上逆時針運動的

路徑長為京，則點尸運動的路徑長為」

D

【分析】如圖，連接。4,OB,AD,OP,OD,過點。作OHJ_A5于〃.證明△OHAg/XCPO(A4S),

推出。尸=A〃=3,推出點尸的運動軌跡是以。為圓心，。尸為半徑的圓，求出點。旋轉的角度即可解決

問題.

【解答】解：如圖，連接04,OB,AD,OP,OD,過點。作0H_LA3于

VAC±BZ),

：.ZDAC+ZADB=90°,

9：ZDOC=2ZDAC,/A0B=2/ADB,

：.ZDOC+ZAOB=1SO°,

VOHLAB.DP=PC,

1

：.OPLCD,AH=HB=?B=3,

9：OA=OB=OC=OD,

：.ZAOH=/BOH,ZCOP=ZDOP,

：.ZAOH+ZCOP=90°,

VZAOH+ZOAH=90°,

：.ZCOP=ZOAHf

VZAHO=ZCPO=90°,OA=OC,

/.△O/M^ACPO(A4S),

???0P=A"=3,

???點尸的運動軌跡是以。為圓心，。尸為半徑的圓，

丁點。在圓上逆時針運動的路徑長為|m設圓心角為〃,

.n-7r-55

/.----=1R,

1803

：.n=60°,

'：OD,OP的旋轉角度相等，

點P的運動路徑的長=粵需=71.

loU

故答案為：TT.

【點評】本題考查軌跡，垂徑定理，全等三角形的判定和性質，弧長公式等知識，解題的關鍵是學會添

加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

15.如圖，在矩形ABCD中，AB=V3,4D=3,點P是AO邊上的一個動點，連接8P,作點A關于直線

BP的對稱點4,連接A1C,設4c的中點為。當點尸從點A出發，沿邊AD運動到點。時停止運動，

一V3

點Q的運動路徑長為日~TT.

【分析】如圖，連接541,取使得中點O,連接O。，BD.利用三角形的中位線定理證明。0=苧=定

值，推出點。的運動軌跡是以。為圓心，。。為半徑的圓弧，圓心角為120°,即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接BA1,取BC使得中點。，連接。。BD.

B；C

???四邊形ABC。是矩形，

：.ZBAD=90°,

An

???tanNA3O=器=逐

AZABD=60°,

VAiQ=2C,BO=OC,

***OQ=^BA\=4AB=

???點。的運動軌跡是以。為圓心，。。為半徑的圓弧，圓心角為120°,

點。的運動路徑長=―[go2-=y-ir.

故答案為w。

【點評】本題考查軌跡，矩形的性質，軸對稱的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,

屬于中考常考題型.

三.解答題

16.如圖，長方體的長AB=5cm,寬BC=4cm,高AE=6a〃，三只螞蟻沿長方體的表面同時以相同的速度

從點A出發到點G處.螞蟻甲的行走路徑S甲為：翻過棱EH后到達G處(即A-P-G),螞蟻乙的行

走路徑S乙為：翻過棱EF后到達G處(即A-M-G),螞蟻丙的行走路徑S丙為：翻過棱BF后到達G

處(即A-N-G).

(1)求三只螞蟻的行走路徑S甲，S乙，S丙的最小值分別是多少？

(2)三只螞蟻都走自己的最短路徑，請判斷哪只最先到達？哪只最后到達？

【分析】(1)將長方體展開，根據勾股定理解答即可得到結論；

(2)根據(1)中的結論，比較三只螞蟻的行走路徑S甲，S乙，S丙的大小，即可得到結論.

【解答】解：(1):長AB=5c%,寬2C=4CMJ,高AE=6的，

；.EF=AB=5cm,CF=BC=EH=4cm,AE=BF=CG=6cm,

22

：.S甲=J(AE+EF)2+CF2=Vil+4=V137(cm)

2222

S乙=yJ(AE+EH)+GH=V10+5=A/125=5立(cm),

22

S丙={(AB+BC)2+CG2=V9+6=V117{cm),

答：三只螞蟻的行走路徑S甲，S乙,S丙的最小值分別是5讓cm,小成cm；

(2)由(1)矢口，5甲=舊7(cm),S乙=5或(cm),5丙="17(cm),

VVT37>V125>VT17,

.??螞蟻丙最先到達，螞蟻甲最后到達.

【點評】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用勾股定理進行計算是解題的關鍵.

17.(1)根據所給的條件，求圖1中BC邊的長度.

(2)如圖2所示，圓柱形玻璃容器，高180",底面周長為60cm在外側距下底1cm點S處有一蜘蛛，

與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側距開口處1cm的點尸處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛,

所走的最短路線的長度.(畫出相應圖形，并解答)

圖1圖2

【分析】(1)利用勾股定理進行計算，即可得出BC的長；

(2)把立體圖形展開為平面圖形，根據兩點之間線段最短，利用勾股定理即可解決問題.

【解答】解：(1)由題可得，中，BC=y/AB2-AC2=V172-82=15；

(2)如圖是圓柱的側面展開圖，線段ST就是蒼蠅走的最短路線，

1

在Rt/XS/W中，產=90°,FN=18-2=16,SN=x60=30,

SF=yJSN2+NF2=V302+162=34(cm).

.?.蜘蛛所走的最短路線的長度為34cm.

【點評】本題考查了平面展開-最短路徑問題、勾股定理等知識，解題的關鍵是根據題意把立體圖形展

開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑.一般情況是兩點之間，線段最短.在平面圖形上構造直

角三角形解決問題.

18.如圖1是邊長為1的六個小正方形組成的圖形，它可以圍成圖2的正方體，一個螞蟻在圖1中的A點，

圍成圖2后，螞蟻從A點開始沿正方體的棱爬行，求爬到2點的最短距離是多少？

【分析】根據正方體的平面展開圖與正方形的關系，正確找到點A、8的位置即可解決問題.

【解答】解：將圖1中的小正方形圍成圖2的正方形后，點A、B對應的位置如圖,

圖1

所以螞蟻從點A開始沿正方體的棱爬行，爬到B點的最短距離是1.

【點評】本題考查正方體平面展開圖，最短問題等知識，把展開圖圍成正方體是解題的關鍵，屬于中考

常考題型.

19.如圖，一只杯子的上下底面分別是直徑為5c機和7.5°九的圓，母線A8的長為15cm.

（1）求杯子的側面積.

（2）從點B出發，繞著杯子兩圈畫一條裝飾線，終點為A,求裝飾線的最短長度.

【分析】（1）將紙杯的側面展開，設N。的度數是小則根據弧長的計算公式，可得7.5兀=與辭，5TT=

loU

血禽竺）,解得。1=45。加”=30°,最后求得紙杯的側面展開圖的面積；

loU

（2）將兩個紙杯的側面展開圖拼接在一起，根據兩點之間線段最短，并運用勾股定理，求得裝飾線的最

短長度即可.

【解答】解：（1）紙杯的側面展開如圖所示：

延長AB,A8交于點0,

設N。的度數是〃，則

__nn-OA_717r<02—15)

7$n=F5-，5n=一訪一，

解得：OA=45cmfn=30°,

???50=45-15=30cm,

307r452307T-302375

，紙杯的側面展開圖的面積為：——~--——~-=--7T(cmo2)；

3603604

(2)如圖所示，將兩個紙杯的側面展開圖拼接在一起，連接2。，則2。的長度是裝飾線的最短長度.

過8作BE_LOO于E,則RtZXBOE中，08=30,ZBOE=60°,

OE—15cm,BE—15V3cm,

；.DE=45-15=30(cm),

.,.在Rt/XBDE中，BD=<BE2+DE2=J(15V3)2+302=15V7(cm).

故裝飾線的最短長度為1577cs.

【點評】本題考查了平面展開-最短路線問題，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質等知識點的綜

合運用，畫出平面展開圖，作輔助線構造扇形是解答此題的關鍵.

20.如圖，四邊形AB"是邊長為6的正方形，點C,￡>在邊上，且點尸是線段C。上

的動點，分別以AP,P8為邊在線段A8的同側作正方形AMNP和正方形BRQP,E,尸分別為MN,QR

的中點，連接EF,設EF的中點為G,求當點P從點C運動到點。時，點G移動的路徑長.

【分析】取K”的中點H,連接AE,ET,AT,PE,PF,PT,BF,TF.想辦法證明四邊形PETF是平行

四邊形，推出GP=GT,推出G的運動軌跡是△TCD的中位線，由此即可解決問題.

【解答】解：取K”的中點“，連接AE,ET,AT,PE,PF,PT,BF,TF.

四邊形AMNP是正方形,

AM=MN,ZAMN=90°

ME=EN,

AM

----=2,

ME

四邊形AKH8是正方形,

AK=KH,NK=90°,

KT=TH,

AK

-=2,

KT

AMAK

ME—KT'

AMME

AK-KT'

ZAME=ZK=90°,

△AMES/XAKT,

ZMAE=ZKAT,

A.E.T共線,

同理可證：B,F,T共線，

_AMPQ

?ME-QF-2,

.AMME

PQ~QF'

VZAME=ZPQF=90°,

/.AAMEs/\PQF,

：.ZAEM=ZPFQ,

,：AB//MN//QR,

：.ZPAE=ZMEA,ZBPF=ZQFPf

ZBPF=ZPAE,

：.PF//AT,

同法可證：PE//BT,

...四邊形尸E7F是平行四邊形，

...EF與PT互相平分，即TG=GP,

；.G的運動軌跡是△TCP的中位線，軌跡的長=知）=立6-2）=2.

【點評】本題考查軌跡，正方形的性質，平行四邊形的判定和性質，三角形的中位線定理等知識，解題

的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題.

21.如圖，△ABC是一塊直角三角板，且/C=90°,ZA=30°,現將圓心為點。的圓形紙片放置在三角

板內部.

（1）如圖①，當圓形紙片與兩直角邊AC、8c都相切時，試用直尺與圓規作出射線CO；（不寫作法與

證明，保留作圖痕跡）

（2）如圖②，將圓形紙片沿著三角板的內部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若2C=9,圓形紙

片的半徑為2,求圓心。運動的路徑長.

圖①圖②

【分析】（1）作NACB的平分線得出圓的一條弦，再作此弦的中垂線可得圓心。，作射線CO即可；

（2）添加如圖所示輔助線，圓心0的運動路徑長為Cm。人?，先求出△ABC的三邊長度，得出其周長,

證四邊形。瓦＞。1、四邊形013HG、四邊形002小均為矩形、四邊形OEC尸為正方形，得出/OO1O2

=60°=/ABC、/。1。。2=90°,從而知△OOiO2s/\CA4,利用相似三角形的性質即可得出答案.

【解答】解：（I）如圖①所示，射線co即為所求;

A

（2）如圖，圓心。的運動路徑長為CAO。1。?,

圖②

過點O1作。1CBC、OiF±AC.OiG±AB,垂足分別為點。、F、G,

過點。作0EL2C,垂足為點E,連接。23,

過點。2作。OIILAC,垂足分別為點〃、I,

在Rt/XABC中，ZACB=90Q、ZA=30°,

；.AC=*黑。=W=9次,AB=2BC=18,ZABC^6Q°,

cflz7,1-0vJVo

T

CA?IBC=9+9V3+18=27+9后

VOiDlBC.OiG±AB,

；.D、G為切點，

：.BD=BG,

在RtAOiBD和RtAOiBG中,

(BD=BG

(0/=。12

：./\OiBD^AOiBG(HL),

：.ZOiBG=ZOiBD^30°,

在Rt/XOiB。中，ZO\DB=9Q°,Z<9iB￡>=30°,

?BD__ta2nI320°_~_BA_-2V33'

T

001=9-2-2V3=7-2V3,

'：O\D=OE=2,OiDLBC,OELBC,

：.OiD//OE,且0iD=0E,

四邊形OEDOi為平行四邊形，

VZOE￡>=90°,

四邊形OEDOi為矩形，

同理四邊形0102HG、四邊形。。2/尸、四邊形0ECV為矩形,

又OE=OF,

四邊形OECB為正方形,

ZOiGH=ZCDOi=90°,ZABC=60°,

：.ZGO\D=nO°,

又,.?NFOI￡)=/O2OIG=90°,

：.ZOOIO2=360°-90°-90°-120°=60°=AABC,

同理，Z(?IOO2=90°,

：./\OOIO2^/\CBA,

C

.AOO1O2。1。2刖心。。1。27-28

??—,即I——,

C&ABCBC27+9遮9

?"AOOQ=15+A/3,即圓心。運動的路徑長為15+V3.

【點評】本題主要考查作圖-復雜作圖、切線的判定與性質、矩形和正方形的判定與性質及相似三角形

的判定與性質，熟練掌握切線的判定與性質、矩形和正方形的判定與性質及相似三角形的判定與性質是

解題的關鍵.

22.如圖，AB是。。的直徑，M,N是醺(異于點A,B)上的兩點，點C是斜上的一動點，/ACB的平

分線交O。于點。，NA4c的平分線交C。于點E.

(1)試探究。E與AB的數量關系，證明你的結論；

(2)設。。的半徑為廣，當點C在。。從點M運動到點N時，點C的運動路徑長為/1,點E的運動路

徑長為/2,求3的值.

【分析】（1）結論：AB=V2D