專題13幾何圖形初步

考情聚焦

課標要求考點考向

.了解幾何體的基本概念、基本性質(zhì)和分類。

1考向一幾何體的展開圖

2.會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點常見的

的意義；幾何體考向二點、線、面、體

理解角的概念，能比較角的大小.認識度、分、秒，會—

3.直線、

對度、分、秒進行簡單的換算，并會計算角的和、差；

射線、考向一直線、射線、線段

理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對頂角相

4.線段

等、同角（等角）的余角相等、同角（等角）的補角相等的性質(zhì)；—

考向一角的運算

識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；

5.理解垂線、垂線段的概念，能用三角尺或量角器過一點角考向二角平分線

畫已知直線的垂線；

考向三余角和補角

,真題透視,

考點一常見的幾何體

A考向一幾何體的展開圖

1.（2024?青海?中考真題）生活中常見的路障錐通常是圓錐的形狀，它的側(cè)面展開圖是（）

【答案】D

【分析】本題考查了立體圖形的側(cè)面展開圖.熟記常見立體圖形的側(cè)面展開圖的特征是解決此類問題的關(guān)

鍵.

由圓錐的側(cè)面展開圖的特征知它的側(cè)面展開圖為扇形.

【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.

故選：D.

2.（2024?江西?中考真題）如圖是4x3的正方形網(wǎng)格，選擇一空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展

開圖的方法有（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

【答案】B

【分析】此題主要考查了幾何體的展開圖，關(guān)鍵是掌握正方體展開圖的特點.依據(jù)正方體的展開圖的結(jié)構(gòu)

故選：B.

3.（2024?四川廣安?中考真題）將"共建平安校園"六個漢字分別寫在某正方體的表面上，下圖是它的一種展

開圖，則在原正方體上，與"共"字所在面相對的面上的漢字是（）

【分析】此題考查正方體相對面上的字.根據(jù)正方體相對面之間間隔一個正方形解答.

【詳解】解：與"共"字所在面相對面上的漢字是"校"，

故選：A.

4.（2024?山東青島?中考真題）如圖①，將邊長為2的正方形紙板沿虛線剪掉邊長為1的小正方形，得到如

圖②的“紙板卡"，若用這樣完全相同的"紙板卡"拼成正方形，最少需要塊；如圖③，將長、寬、高分

別為4,2,2的長方體磚塊，切割掉長、寬、高分別為4,1,1的長方體，得到如圖④的"直角磚塊"，若用這樣完

全相同的“直角磚塊"拼成正方體，最少需要塊.

圖①圖②圖③圖④

【答案】12144

【分析】本題考查展開圖折疊成幾何體，最小公倍數(shù)等知識，先拼成一個基礎(chǔ)圖形（體），再根據(jù)正方形

（體）的特征，即可解答.

【詳解】解：先用2個圖②拼成一個長為3,寬為2的長方形，面積為6,

?2,3的最小公倍數(shù)是6,

6個這樣的長方形拼成一個面積為36的正方形，此時邊長為6,

需圖②的個數(shù)：6x2=12（個）

同理用2個圖④拼成長，寬，高分別為4,3,2的長方體,

用4x3=12個這樣的長方體拼成一個長，寬，高為12,12,2的長方體，用6個這樣的長方體可以拼成長,

寬，高為12,12,12的正方體，

此時需要：2x3x4x6=144（個）.

故答案為：12；144.

5.（2024?福建?中考真題）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙ABCD,要求大家利用它

制作一個底面為正方形的禮品盒.小明按照圖2的方式裁剪（其中AE=EB），恰好得到紙盒的展開圖，

并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示.

D

圖

C

1圖2圖3

⑴直接寫出F的值；

AB

⑵如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有"吉祥"和"如意"，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開

圖圖樣是（）

圖4

⑶

卡紙型號型號回型號國型號回

規(guī)格（單位：cm）30x4020x8080x80

單價（單位：元）3520

現(xiàn)以小明設(shè)計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調(diào)整AE,跖的比例，制作棱長為10cm的正方體禮

品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應(yīng)型號卡紙的張數(shù)），

并在卡紙上畫出設(shè)計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所

用卡紙的總費用.

（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計方案；②沒有用到的卡紙，不

要在該型號的卡紙上作任何設(shè)計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考

慮"利用卡紙的合理性"和"所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草

稿用）

型號HI

【答案】(1)2；

(2)C；

⑶見解析.

【分析】本題考查了幾何體的展開與折疊，空間觀念、推理能力、模型觀念、創(chuàng)新意識等知識，掌握相關(guān)

知識是解題的關(guān)鍵.

(1)由折疊和題意可知，GH=AE+FB,AH=DH,四邊形團是正方形，得到EM=￡F,BPAG=EF,

即可求解；

(2)根據(jù)幾何體的展開圖即可求解；

(3)由題意可得，每張型號III卡紙可制作10個正方體，每張型號H卡紙可制作2個正方體，每張型號I卡

紙可制作1個正方體，即可求解.

【詳解】(1)解:如圖:

AGHn

E

F

B

上述圖形折疊后變成：

由折疊和題意可知，GH=AE+FB,AH=DH,

回四邊形ERVM是正方形，

0EM=EF,即AG=EF,

團GH+AG=AE+FB+EF,^AH=AB.

QAH=DH,

ADAH+DH、

0—=------=2,

ABAB

嗤的值為：2

（2）解：根據(jù)幾何體的展開圖可知，"吉"和"如"在對應(yīng)面上，"祥"和"意"在對應(yīng)面上，而對應(yīng)面上的字中間

相隔一個幾何圖形，且字體相反,

團C選項符合題意，

故選：C.

⑶解：

卡紙型號型號I型號II型號m

需卡紙的數(shù)量（單位：張）132

所用卡紙總費用（單位：元）58

根據(jù)（1）和題意可得：卡紙每格的邊長為5cm,則要制作一個邊長為10cm的正方體的展開圖形為：

團型號III卡紙，每張卡紙可制作10個正方體，如圖：

型號II卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個正方體，如圖：

型號I卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個正方體，如圖：

團可選擇型號in卡紙2張，型號I［卡紙3張，型號I卡紙I張，則

10x2+2x3+1x1=27（個）,

團所用卡紙總費用為：

20x2+5x3+3x1=58（元）.

A考向二點、線、面、體

6.（2024?陜西?中考真題）如圖，將半圓繞直徑所在的虛線旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是（）

A.BC.D.

【答案】C

【分析】本題主要考查了點、線、面、體問題.根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的特征判斷即可.

【詳解】解：將一個半圓繞它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是球，

故選：C.

考點二直線、射線、線段

A考向一直線、射線、線段

7.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，推動水桶，以點O為支點，使其向右傾斜.若在點A處分別施加推

力式I、則^的力臂。4大于尸②的力臂.這一判斷過程體現(xiàn)的數(shù)學依據(jù)是（）

A,垂線段最短

B.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

C.兩點確定一條直線

D.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行

【答案】A

【分析】本題考查了力臂，平行公理，垂直的性質(zhì)，直線特點，垂線段最短，根據(jù)圖形分析得到過點。有

OBA.AB,進而利用垂線段最短得到。4>08即可解題.

【詳解】解：?.?過點。有03LAB,

OA>OB,

即得到6的力臂大于尸2的力臂08，

其體現(xiàn)的數(shù)學依據(jù)是垂線段最短，

故選：A.

8.（2024?吉林?中考真題）如圖，從長春站去往勝利公園，與其它道路相比，走人民大街路程最近，其蘊

含的數(shù)學道理是

長春站

。丹東路小區(qū)長,站

杭州踞0|?

歐亞超市封春客運中心站

四平踣

西廣場

嫩江痛守"3

【答案】兩點之間，線段最短

【分析】本題考查了兩點之間線段最短，熟記相關(guān)結(jié)論即可.

【詳解】從長春站去往勝利公園，走人民大街路程最近，

其蘊含的數(shù)學道理是：兩點之間，線段最短

故答案為：兩點之間，線段最短.

考點三角

A考向一角的運算

9.（2024?海南?中考真題）如圖，直線根〃人把一塊含45。角的直角三角板ABC按如圖所示的方式放置,

點8在直線“上，ZA=90°,若/1=25。，則N2等于（）

A.70°B.65°C.25°D.20°

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)求角的度數(shù).如圖，過點C作直線CO平行于直線孫易得m〃CD〃”，

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N3=/l=25。，由NACB=45。可求出N4的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)可得/2的度數(shù).

【詳解】解：如圖，過點C作直線CD平行于直線見

A

m

El直線相〃n,

El7〃〃CD//n,

回N3=4=25。，Z4=Z2,

由題意可得/ACB=45。，

0Z4=45°-25O=2O°,

0Z2=Z4=2O°,

故選：D.

10.（2024?廣西?中考真題）如圖，2時整，鐘表的時針和分針所成的銳角為（）

A.20°B.40°C.60°D.80°

【答案】C

【分析】本題考查了鐘面角，用30。乘以兩針相距的份數(shù)是解題關(guān)鍵.根據(jù)鐘面的特點，鐘面平均分成12

份，每份是30。，根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)，可得答案.

【詳解】解：2時整,鐘表的時針和分針所成的銳角是30以2=60。，

故選：C.

11,（2024?北京?中考真題）如圖，直線A3和CD相交于點。，OE±OC,若NAOC=58。，則/欣陽的大

小為（）

A.29°B.32°C.45°D.58°

【答案】B

【分析】本題考查了垂直的定義，平角的定義，熟練掌握知識點，是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)OE_LOC得到NCOE=90。，再由平角/AOB=180。即可求解.

【詳解】解：回OELOC,

0ZCOE=90°,

0ZA（9C+ZCOE+ZBOE=18OO,ZAOC=58°,

0Z.EOB=180°-90°-58=32°,

故選：B.

12.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）將三角尺ABC按如圖位置擺放，頂點A落在直線乙上，頂點8落在直線

4±,若h〃k,4=25。，則N2的度數(shù)是（）

A.45°B.35°C.30°D.25°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，有關(guān)三角板中角度的計算.

由平行線的性質(zhì)可求出N3=4=25。，又由三角板中NC4B=60。，根據(jù)角的和差即可求出N2

【詳解】解：如圖,則〃4

EIN3=N1=25°,

團在三角板A3C中，ZG4B=60°,

0Z2=ZC4B-Z3=6O°-25O=35°.

故選：B

考向二角平分線

13.（2024?四川?中考真題）如圖，AB//CD,4。平分/BAC,Zl=30°,貝（］/2=（）

AB

A.15°B.30°C,45°D.60°

【答案】B

【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的計算，根據(jù)平行線的性質(zhì)求角，根據(jù)=/I、=即可

求解.

【詳解】解：回AB〃8,Zl=30°,

0ZBAT>=Z1=3O°

EL4O平分/8AC,

0Z2=ZR4￡）=3OO

故選：B

14.（2024?山東泰安?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，C,。是。。上兩點，54平分NC3D,若口人0口=58。,

A.65°B.55°C.50°D.75°

【答案】A

【分析】本題考查圓周角定理、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理，先根據(jù)角平分線的定義得到根據(jù)

圓周角定理得到ZABC=ZABD,再根據(jù)圓周角定理得到ZACB=90°,ZABC=ZABD=-ZAO￡>=25°,

2

然后利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：回54平分NCBD,

BZABC=ZABD,

EIA8是0。的直徑，口人0口=58°,

0ZACB=90°,ZABD=-ZAOD=25°,則ZABC=25°,

2

0ZA=180°-ZC-ZABC=180°-90°-25°=65°,

故選：A.

考向3余角和補角

解題技巧/易錯易混

1.識別對頂角時，要抓住兩個關(guān)鍵要素：一是頂點，二是邊.先看兩個角是否有公共頂點，再看兩個角的

兩邊是否分別互為反向延長線.兩條直線相交形成兩對對頂角.

2.互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定是鄰補角；一個角的鄰補角有兩個，但一個角的

補角可以有很多個

15.（2024?甘肅?中考真題）若44=55。，則ZA的補角為（）

A.35°B.45°C.115°D,125°

【答案】D

【分析】根據(jù)和為180。的兩個角互為補角，計算即可.

本題考查了補角，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】ZA=55。。

貝IJ/A的補角為180。一55。=125。.

故選：D.

16.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，直線AB〃CD,點E在直線AB上，射線防交直線CO于點G,

則圖中與NAE產(chǎn)互補的角有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，補角的定義等知識，利用平行線的性質(zhì)得出

NAEF+NCGE=180。，得出結(jié)合對頂角的性質(zhì)NAEF+NDG產(chǎn)=180。，根據(jù)鄰補角的定義得出

ZAEF+ZBEG=180°,即可求出中與—AEF互補的角，即可求解.

【詳解】解EBAB〃CD

0^AEF+ZCGE=180°,

?NCGE=/DGF、

0ZAEF+ZZX?F=180°,

又ZAEF+NBEG=180°,

團圖中與，AEF互補的角有NCGE,ZDGF,NBEG,共3個.

故選回C.

17.（2024?甘肅蘭州?中考真題）已知朋二80。，則0A的補角是（）

A.100°B,80°C.40°D.10°

【答案】A

【分析】直接利用互補兩角的關(guān)系進而得出答案.

【詳解】解：EHA=80。,

03A補角為：180。-80。=100。.

故選A.

【點睛】主要考查了互補兩角的關(guān)系，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

新題特訓

一、單選題

1.（2024?貴州?模擬預測）如圖所示的長方體的截面是（）

A.長方形B.正方形C.三角形D.三棱柱

【答案】C

【分析】本題考查幾何體的截面圖形.根據(jù)題中圖示，可得圖中的截面是三角形.

【詳解】解：圖中沿著長方體的三個頂點截圖，其截面是一個三角形.

故選：C.

2.（2024?河北?模擬預測）如圖，下列給出的直線，射線，線段能相交的是（）

b----------------------------------

A.a與bB.b與dC.b與c口.。與4

【答案】C

【分析】本題考查線段、直線、射線的概念和性質(zhì)，直線：直線向兩方無限延伸，無法度量長度；射線：

射線只能向一方無限延伸，無法度量長度；線段：線段不能向任何一方無限延伸，能度量長度.

【詳解】A、線段不能向兩邊延伸，

回。與6不會相交，故本選項錯誤；

B、射線d向右上方方向延伸，

團6與d不會相交，故本選項錯誤；

C、射線c向左下方方向延伸，

團6與c會相交，故本選項正確；

D、射線d向右上方方向延伸，射線c向左下方方向延伸，

回c與d不會相交，故本選項錯誤；

故選：C.

3.（2024?湖南?模擬預測）如圖是正方體的一種展開圖，那么在原正方體中，與"我"字所在的面相對的面上

【答案】B

【分析】本題考查了正方體展開圖的相對面，根據(jù)正方體展開圖的特點即可得出答案，解題的關(guān)鍵是掌握

正方體展開圖相對面的特征"隔一個或成Z字端".

【詳解】解：由圖可知，與"我"字所在的面相對的面上的漢字是"麗"，

故選：B.

4.（2024?廣東?模擬預測）如圖所示，正方形盒子的外表面畫有3條粗黑線，將這個正方形盒子表面展開

（外表面朝上），其展開圖可能是（）

【分析】本題考查了正方體表面展開圖，觀察原正方體的3條粗黑線的特征，有兩條交于一個頂角，第三

條與前面兩條粗黑線沒相交，據(jù)此逐個選項分析，即可作答.

【詳解】

解:觀察

團其展開圖可能是,

故選：D.

5.（2024?山西?模擬預測）如圖，這是某幾何體的展開圖，則該幾何體需要剪開的棱數(shù)為（）

A.2條B.3條C.4條D.5條

【答案】D

【分析】此題考查了三棱柱的展開圖，掌握三棱柱的展開圖是解題的關(guān)鍵.

首先得到這個幾何體是三棱柱，然后根據(jù)三棱柱的棱數(shù)和展開圖中沒有剪開的棱數(shù)求解即可.

【詳解】根據(jù)題意的，這個幾何體是三棱柱

團三棱柱共有9條棱，展開圖中有4條棱沒有剪開

回該幾何體需要剪開的棱數(shù)為9-4=5（條）.

故選：D.

6.（2024?湖南?模擬預測）媛媛一家準備周末從A地前往8地游玩，導航提供了三條可選路線（如圖），

其長度分別為21km,24km,19km,而兩地的直線距離為12.1km,解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識最合理的是（）

34分鐘33分鐘36分鐘

A.兩點確定一條直線B.垂線段最短C.兩點之間線段最短D.公垂線段最

短

【答案】C

【分析】本題考查了線段的性質(zhì)，由兩點之間，線段最短即可得出答案，熟練掌握線段的性質(zhì)是解此題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得：解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識最合理的是兩點之間線段最短，

故選：C.

7.（2024?遼寧?模擬預測）如圖所示的幾何體是由5個完全相同的小正方體搭成的，從它的上面看到的平

面圖形是（）

【分析】本題考查從不同方向看幾何體.解答本題的關(guān)鍵是掌握從上面看的觀察位置.

畫出從上向下看得到的平面圖形，判斷即可.

【詳解】解：從上面看，得到的圖形為：

故選：C.

8.（2024?上海?三模）七巧板由五個等腰直角三角形與兩個平行四邊形（其中一個平行四邊形是正方形）

組成.用七巧板可以拼出豐富多彩的圖形，圖中的正方形A3C。就是由七巧板拼成的.下面四個選項中,

不正確的是（）

DC

AEB

A.用一副七巧板之中的三塊板可以拼出一個正方形

B.用一副七巧板之中的四塊板可以拼出一個正方形

C.用一副七巧板之中的五塊板可以拼出一個正方形

D.用一副七巧板之中的六塊板可以拼出一個正方形

【答案】D

【分析】本題主要考查了七巧板拼圖，正確理解題意畫出示意圖是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖所示，用一副七巧板之中的三塊或四塊或五塊都可以拼成正方形，但是六塊不可以拼成

正方形

9.（2024?湖南?模擬預測）如圖，在DABCD中，E是邊上一點，若分別是的平

分線，若DABCD的周長為18,則的長為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，根據(jù)平行四邊的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義得到

ZADE=ZAED,NBCE=NCEB,進而得到=BE=BC,由平行四邊形ABCD的周長18,即可求

解.

【詳解】解：團DE、CE分別是/ADC、4BCD的平分線，

BZADE=ZCDE,NDCE=NBCE.

回四邊形ABCD是平行四邊形，

0AB/7CD,AD=BC,

0NCDE=NDEA,ZDCE=Z.CEB,

SZADE=ZAED,ZBCE=NCEB,

^AD=AE,BE=BC,

/.AE=BE=AD=BC=-AB,

2

???平行四邊形ABC。的周長18.

AB+AT)+CD+BC=3AB=18,

/.AB=6,

故選：c.

10.（2024?湖南?模擬預測）如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，線段PQ的兩個端點都在格點上，網(wǎng)格內(nèi)另有A、夙

C、。四個格點，下面四個結(jié)論中，正確的是（）

A.A、8、C三點在一條直線上

B.連接CB、BD,則△CBO是直角三角形

C.連接AB,AB//PQ

D.連接AB、BD,則

【答案】D

【分析】本題考查了直線、三角形的分類、平移的性質(zhì)，垂直的定義，理解網(wǎng)格的特點，掌握相關(guān)知識點

是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：A、連接A8并延長，點C不在直線上，即A、B、C三點不在一條直線上，結(jié)論錯誤，不

符合題意；

B、連接CB、BD,取格點E,NDBE=90。,而NCBD>ZDBE,即△C3D是鈍角三角形，結(jié)論錯誤，不符

合題意；

C、連接將點A向上平移三個單位，再將點3向上平移三個單位，點3不在直線PQ上，即相、PQ不

平行，結(jié)論錯誤，不符合題意；

D、由網(wǎng)格可知，AB±BD,結(jié)論正確，符合題意；

故選：D.

11,（2024?廣西?二模）從A地到8地有許多條路，一般地人們會從直路上通過，而不會走曲折的路，這是

因為.

【答案】兩點之間，線段最短

【分析】此題主要考查了線段的性質(zhì)，正確記憶線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短即可得出答案.

【詳解】解：從A地到8地有多條道路，人們一般會選中間的直路，而不會走其它的曲折的路，

這是因為兩點之間，線段最短.

故答案為：兩點之間，線段最短.

12.（2024?山西?模擬預測）已知直線力將一副三角板按如圖所示的方式放置，直角頂點。在直線機

上，ZF=30°,另一直角三角板一直角邊與直線w重合，ZC=45°,若BC〃EF,則=.

【答案】15。/15度

【分析】】把所分別向兩方延長交直線機于點“，交直線”于點G,先根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可

得ZABC=45°,然后利用平行線的性質(zhì)可得ZBGH=ZABC=45°,再利用平行線的性質(zhì)可得

ZDHE=ZBGH=45°,最后根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得/￡>￡尸=60。，從而利用三角形的外角性質(zhì)進

行計算即可解答.本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適

當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：把所分別向兩方延長交直線機于點打，交直線〃于點G,

/.ZABC=90°-ZC=45°,

???BC//EF,

:.ZBGH=ZABC=45°,

m\\n,

.\ZDHE=ZBGH=45°,

\-ZEDF=90°,N尸=30。，

ZDEF=900-ZF=60°,

?;ZDEF是ADEH的一個外角，

ZMDE=ZDEF-ZDHE=15°,

故答案為：15。

13.（2024?全國?模擬預測）如圖，在VABC中，48=60。，ZADC=110°,AD是V43C的角平分線，貝4c

的度數(shù)是.

【答案】100°/100&

【分析】本題考查了三角形的外角和角平分線的定義.通過三角形的外角得出NBAD的度數(shù)，再通過角平

分線得出/A4C的度數(shù).

【詳解】解：?.?ZB+Zfi4Z）=ZA￡>C,ZB=60°,ZADC=110°,

.-.ZS4￡>=50°,

AD是VABC的角平分線，

:.ZBAD^ZCAD=50°,

.'.ZB4C=100°,

故答案為：100°.

14.（2024?陜西?模擬預測）如圖，線段AB=10,以A3為斜邊構(gòu)造等腰直角VABC和直角△"￡>,C、D

CF

在A3兩側(cè)，BE平分ZAB￡>交C￡>于點E,則7r的最小值為.

c

【分析】證出A,C,B,。共圓，E為△AB￡＞的內(nèi)心，貝I]CB=CE=CA=9A8=5及，故當C￡＞為該圓直

2

徑時，。最大=43=10,即可得出答案.本題考查了三角形的內(nèi)心、等腰直角三角形的性質(zhì)、四點共圓、

圓周角定理、等腰三角形的判定等知識；證明CB=CE是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,??以AB為斜邊構(gòu)造等腰直角VABC和直角

ZACB=ZADB=90°,ABAC=ZABC=45°,

:.ZACB+ZADB=180°,

:.A,C,B,￡）共圓，

.\ZADC=ZABC=45°fNBDC=ZBAC=45。,

.?.ZADC=NBDC,

..CD平分上4D5,

??以平分—4BD,

后為△AaD的內(nèi)心，

:.ZABE=ZDBE,

/.ZCBE=ZABC+ZABE=45°+ZABE,ZCEB=ZBDC+NDBE=45。+NDBE,

/.ACBE=ACEB,

:.CB=CE=CA=—AB=5y/2,

2

???當CD為該圓直徑時，CD最大=AB=10,

?.?雪的最小值為述=也，

CD102

故答案為：當.

2

15.（2024?吉林?模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，AB=4,NABC=60。，點E,尸分別是B。，CD±

的點，若BE=2CF、則AF+；AE的最小值是.

AD

【答案】2垂

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短，勾

股定理，會構(gòu)造相似三角形，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意構(gòu)造相似三角形，作"CM=30。，^LCM=-AB=2,連接AC,AM,得到AABESWCF,進

2

而得出4斤+145=4/+根，當A,三點共線時，AF+F70的值最小，即+的值最小，最后

利用勾股定理即可解出.

【詳解】作"CM=30。，取CM=；AB=2,連接AC,AM,如圖所示，

在菱形ABCD中，ZABC=60°

:.ZABE=ZDCM=30°,

BE=2CF,AB=2CM,

"△ABEs.CF

:.AE=2FM,

:.-AE=FM

2

AF+-AE=AF+FM,

2

當ARM三點共線時，AF+Rkf的值最小，即AF+的值最小,

在菱形ABC￡>中，ZABC=60°,

.-.ZBCD=120°,VABC是等腰三角形，

:.ZACD=60°,AB=AC=4,

.■.ZACM=90°,

在Rtd4CM中，AC=4,CM=2,

AM=AC1+CM2=A/42+22=2A/5，

故答案為：2出.

16.（2024?安徽?三模）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具（如圖1）,小明用圖1中的一副七巧板拼

出如圖2所示"企鵝”的圖形，已知正方形ABCD的邊長為4,則圖2中所的長為.

【答案】V26

【分析】該題主要考查了七巧板，勾股定理，等腰三角形的判定，解直角三角形等知識點，解題的關(guān)鍵是

理解圖形.

根據(jù)題意對應(yīng)上圖1和圖2中七巧板，過點E作，產(chǎn)G交FG的延長線于點H,算出EH=HG=LHF=5,

再根據(jù)勾股定理即可求解；

【詳解】解：如圖，圖1和圖2中七巧板對應(yīng)如下，

團正方形ABCD的邊長為4,

^\GF=AB=4,MG=MF,ZMGF=45。,NEGM=90°,

過點E作EHLFG交FG的延長線于點H,

則ZEGH=ZGEH=45°,

EH=HG=—￡G=—x1AC=—X-X4XV2=1,

22424

；.HF=l+4=5,

EF=^EH2+HF2=回

故答案為：＞/26.

三、解答題

17.（2024?陜西?模擬預測）將如圖所示的直角三角形紙片ABC以直角邊A3所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到

一個圓錐，若這個圓錐的體積與一個底面半徑是4cm的圓柱的體積相等，則這個圓柱的高是多少？

（%柱=""'%錐=鏟，％）

【分析】本題考查圓錐的體積公式，熟練運用圓錐的體積公式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意可知，所得圓錐的

底面半徑是2cm,設(shè)這個圓柱的高是/icm,根據(jù)題意，得*2?3=共4”,即可求出圓柱的高.

【詳解】解：由題意可知，所得圓錐的底面半徑是2cm,

高是3cm,設(shè)這個圓柱的高是/zcm,根據(jù)題意，得：T*22*3=少42*%,

解得〃=；,

這個圓柱的高是!cm,

4

故答案為：gem.

4

18.（2024?福建?模擬預測）如圖，已知/4=13,04=03,力。與3C相交于點E,則OE平分/A03嗎？

說明理由.

A

【答案】0E平分/A08,理由見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義.掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.全

等三角形的判定條件有四種：SSS,SAS,ASA,AAS.要說明OE平分NAOB,可證明AOCE絲AODE或

者AOLE絲AOBE.缺少邊的條件，可通過證明AACE絲ABDE獲得.

【詳解】解：OE平分，AO3.理由如下：

在AOAD和AOBC中，

'ZA=NB

<OA=OB

ZAOB=ZBOA

BSAOAD^AOBC(ASA)

B1OC=OD,

H1OA-OC=OB-OD,即AC=3￡>.

在AACE和ABDE中，

ZAEC=ABED

<ZA=ZB

AC=BD

國AACE知BDE(AAS)

團EC=ED

在△OCE和△(?￡)￡中，

OC=OD

<OE=OE

CE=ED

回△OC￡竺△ODE(SSS)

國NCOE=NDOE,

回。￡平分NAOB.

19.(2024?廣東?模擬預測)如圖，拋物線丁=以2+法+。交軸于點4(-1,0),5(3,0).交V軸于點C,

NC4B=60。，點E是線段上一動點，作EF〃AC交線段于點尸.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖1,延長線段跖交拋物線于點G,點。是AC邊中點，當四邊形ADG歹為平行四邊形時，求出G點

坐標；

⑶如圖2,M為射線所上一點，且EM=EB,將射線所繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60。，交直線AC于點N,連

接MN,P為MN的中點，連接AP,問："+族是否存在最小值，若存在，請求出這個最小值，若

不存在，請說明理由.

【答案】+空x+6；

33

⑵或6僅/）；

⑶存在，2不■

【分析】（1）用待定系數(shù)法解題；

（2）由已知點尸的橫坐標為，可得點尸和點。的坐標，用熱的代數(shù)式表示尸。和ZJE,根據(jù)平行四邊形對

邊相等的性質(zhì)，列出/的方程即可；

（3）證明點P在直線y=石上運動，再利用軸對稱的性質(zhì)解決最短路徑問題.

【詳解】⑴解：回點A（TO）,

回。4=1,

在Rt&4OC中，ZC4B=60°,

團NACO=30°,

0AC=2AO=2,OC=V3,

團C（0,⑹，

把點A（-LO）,8（3,0）,C（0,道）代入拋物線y="2+"+c中得

a=------

3

a-b+c=O

,2若

9a+3b+c=Q,解得b=------

3

c=y/3

c=A/3

回拋物線的解析式為y=+3叵x+6；

33

（2）如圖中，連接OG,AF,

0A（-1,O）,C（0,4）,5（3,。）,

AD=DC,

.—/I-

回直線CB的解析式為y=-也x+百，設(shè)尸m-^-m+^3

3（3

回四邊形ADGV是平行四邊形，

^AD=FG,AD//FG,

J16

團Gm+—,------m+

23

（3）如圖，過點/作MT_LAB于T,過點N作N/_LAB于J,過點尸作PH_LAB于"，連接期,

設(shè)AE=r,貝1jE3=4—r,

^EM=EB,NMEB=60°,

EIAMEB是等邊三角形，

^\MT±EB,

J3

回MT=*_(4T),

^\ZAEN=ZEAN=6Q°,

回zk/WE1是等邊三角形，

^NJIAE,

SNJ=—t,

2

0NJ〃PH〃MT.NP=PM,

&JH=HT,

BIPH=；(NJ+MT)=5

El點P的運動軌跡是直線y=A/3,

作點A關(guān)于直線y=6是對稱點A',連接A8交直線y=5于P\

連接P'A,此時尸A+尸'5的值最小，

最小值=48=J(2/y

+42=2幣.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合運用，涉及待定系數(shù)法求解析式、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性

質(zhì)、勾股定理、利用軸對稱求最值問題等知識，是重要考點，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

20.(2024?重慶?模擬預測)已知VABC為等邊三角形，D,E分別為線段AC,A3上一點，AE=CD.CE

與BD交于點F

(1)如圖1,若ZABD=3ZACE,BF=l+y/3,求跖的長；

(2)如圖2,H為射線3c上一點，連接狼，將線段狼繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)120。得GP,連接BG,若

ZH+ZG+ZACE=60°,證明：BG=BF+2CF；

⑶如圖3,在(2)的條件下，AB=1,。為線段AC上的動點，F(xiàn),G隨著。的運動而運動，連接CG,

當5G-立CG取得最大值時，直接寫出AGFH的面.

3

【答案】(1)2

⑵證明見解析

⑶拽

12

【分析】⑴過點E作EGLBD,如圖所示，由等邊三角形性質(zhì)及全等三角形判定與性質(zhì)得到NACE=/CB￡>,

設(shè)ZACE=NCBD=a,則NASD=3NACE=3a,由4a=60。，解得&=15。，由等腰直角三角形及含30。的

直角三角形性質(zhì)，設(shè)/G=x,則跖=2x,BG=EG=^x,列方程求解即可得到答案；

(2)延長CE交3G于J,在GB上取G/=FC,如圖所示，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)、三角形全等的判定與性

質(zhì)，通過構(gòu)造的AAEC%CDB(SAS)、AHFC”AFGI電AS)、“"包尸BC(AAS)將線段轉(zhuǎn)化到一條線上即可得證；

(3)將A3繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到A3,以GC為底邊，向左作頂角為120。的等腰AGKC,延長E7到

點、L,使幾=FC,由/ACFB(SAS),得到乙3=CB=1,由AGA'B/ALBC(SAS),得到G4'=L8=1,由

—=—=AKBCSAG4，C,得到國.=1,gp：KB=—,在△GKB中，GB-—GC<—,此

ACGC3GA'3333

時NBKC=60。，點J,K重合，JG=JC,JF=BF=FC,得到G3_L3C,在Rt/M7皮f中，求出GH的長，

在AGFH中，求出的長，即可求解.

【詳解】(1)解：過點E作EGL3D,如圖所示：

在等邊VABC中，AC=BC,ZA=ZACB=ZAfiC=60°,

在△AEC和△CD3中，

AE=CD

<ZA=ZACB=60°,

AC^BC

.-.△AEC^ACDB(SAS),

,\ZACE=ZCBD,

設(shè)ZACE=NCBD=a,則ZABD=3ZACE=3a,

/.4a=60°,

解得a=15。，

??在RtZk5GE中，NEGB=90。、N石5G=45。，則NBEG=45。，

?.?/BEF=ZA+ZACE=75。,

二.NG石尸=30。，

在RtAEFG中，設(shè)FG=x,則￡/=2%，

由勾股定理可得EG=^EF2-FG2=瓜，

BG=EG=Cx,

??BF=1+=A/3X+x)

解得x=l,貝ljEF=2九=2

(2)證明：延長CE交BG于人在G5上取G/=R7,如圖所示：

在等邊三角形ABC中，AC=BC,ZA=ZACB=ZABC=60°,

在△AEC和△CD5中，

AE=CD

</A=/AC3=60。，

AC=BC

.-.△AEC^ACDB(SAS),

,\ZACE=ZCBD,

-/FCB是7FCH的一個外角，

:./FCB=/H+/HFC,

???NFCB+ZACE=3=ZH+ZHFC+ZACE,NH+NG+NACE=60。,

.\ZHFC=ZG,

,/將線段HF繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)120°得GF,

:.FH=FG,ZHFC+NGFE=6。。

在△*C和△/G/中，

FH=FG

</HFC=/G,

GI=FC

.?.△HFC%FG/(SAS),

.\ZGFI=ZH,

由ZHFC+NGFE=60。知，AHFC+Z.GFI+ZJFI=60°,貝1JZ/7FC+N/7+NJ77=60。，

?.-ZH+ZHFC+ZACE=60°,

.\ZJFI=ZACE,即N〃7=NCBD

?.?ZFJB是4FJI的一個外角，

:./FJB=ZJFI+ZJIF=/JFI+/G+NGFI=60。,

?：ZBFJ是AFBC的一個外角，

ZBFJ=NFCB+NCBD=60°,

.,.△BE7是等邊三角形，貝ljB/=_F7=,

???ZJIF=/G+/GFI,/FCB=/H+HFC,

:.ZJIF=ZFCB,

在和AFBC中，

ZJIF=ZFCB

<ZJFI=ZFBC,

BF=FJ

■.^JFI^FBC(AAS),

：.JI=FC,

:.BG=BJ+JI+IF=BF+2CF；

(3)解：將A3繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到AB