專題37最值模型之瓜豆模型（原理）直線

動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該

壓軸點往往成為學生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型

的基本圖形，構建問題解決的一般思路，是中考專題復習的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原

理（動點軌跡為直線型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

目錄導航

模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡）

習題練模型

11

模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡）

瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據某種約束條件，跟著主動點動），當主動點運動時，從動點的軌

跡相同。

只要滿足:

“定”則兩動點的運動軌跡是相似的，運動軌跡

1、兩“動”,

長度的比和它們到定點的距離比相同。

2、兩動點與定點的連線夾角是定角

3、兩動點到定點的距離比值是定值

動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，主動點叫瓜（豆），從動點叫瓜（豆），瓜在直線上運動，豆也在直

線一上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。

模型1）如圖，尸是直線3C上一動點，/是直線3c外一定點，連接/尸，取4P中點。當點P在直線上

運動時，則。點軌跡也是一條直線。

證明：分別過/、0向3c作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，

因為所以0N始終為的一半，即0點到BC的距離是定值，故。點軌跡是一條直線.

模型2）如圖，在A/P。中/尸=/。，/刈。=e為定值，當點尸在直線2C上運動時，則。點軌跡也是一條

證明：在8c上任取一點馬，作三角形△NPQ1,且滿足AQ\=AP\,連結。1。交3C于點N,

AP=AQ,AQ\=AP\,AP\AQ\=APAQ=a,\APP{~KAQQX>AAPP\=AAQQ\,

VZAMP=ZNMQ,：.ZMNQ=ZPAQ=a,即。點所在直線與BC的夾角為定值，故。點軌跡是一條直線.

模型運用

當動點軌跡為一條直線時，常用“垂線段最短”求最值。

1）當動點軌跡已知時可直接運用垂線段最短求最值；

2）當動點軌跡未知時，先確定動點軌跡，再垂線段最短求最值。

3）確定動點軌跡的方法（重點）

①當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線，即模型1）；

②當某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線，即模型2）；

③當一個點的坐標以某個字母的代數式表示時，若可化為一次函數，則點的軌跡為直線；

④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；

注意：若動點軌跡用上述方法不好確定，則也可以將所求線段轉化（常用中位線、全等、相似、對角線）

為其他已知軌跡的線段求最值。

例1.（2024?山東泰安?校考一模）如圖，矩形48CD的邊￡為上一點，且/E=l,F

為/。邊上的一個動點，連接EF,若以E尸為邊向右側作等腰直角三角形EFG,￡F=EG,連接CG,則CG

C.3D.272

【答案】B

【分析】過點G作GHL4B于H,過點G作MN//AB,由可證可得GH=AE=T,

可得點G在平行48且到距離為1的直線MN上運動，則當歹與D重合時，CG有最小值，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點G作于X,過點G作兒W〃/8,

：.ZS=90°,CD=—,AD=3,

2

9

"：AE=\,：.BE=-,'：ZGHE=ZA=ZGEF=90°,

2

ZGEH+ZEGH^90°,NGEH+NFEA=90°,：.ZEGH=ZFEA,

又,：GE=EF,：./\GEH^AEFA（AAS）,：.GH=AE=1,

...點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，

當歹與。重合時，CG有最小值，此時/產=即=3,

；.CG的最小值=杷■一1一31+22=1,故選B.

【點睛】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，確定點G的運動軌跡是本題的關鍵.

例2.（2024?河北邢臺?模擬預測）如圖，VN8C是邊長為2的等邊三角形，點E為中線BD上的動點.連接CE,

將CE繞點。順時針旋轉60。得到CF.連接/尸，則/。4尸=,連接。尸，則VCZ)廠周長的最小值

是.

【答案】30°1+V3

【分析】證明△C8E絲尸(SAS)可得/。尸=/。5￡=30。，得到點尸在射線4尸上運動，如圖所示，作

點C關于/尸的對稱點C',連接。C',可得當D,F,C'三點共線時，FC+FD取最小值，即

FC+FD=F'C'+F'D=C'D,由//。。=90。-/。。=60。得到/。=30。，即得CD=」CC'=1,進而由勾

2

股定理得CD=y/cC2-CD2=6，據此即可求解.

【詳解】解：為等邊三角形，E為高助上的動點，.?.NC8E=』N4BC=30。，BC=/C,

2

?.?將CE繞點C順時針旋轉60。得到CF,.?.C￡=CF,AECF=ZBCA=60°,

ZBCE=ZACF,.-.VCBE@G4F(SAS),ZCAF=ZCBE=30°，，氤F在射線AF上運動,

如圖所示，作點C關于4尸的對稱點C\連接DC,

設CC'交4尸于點O,貝！|//。。=90°,在必AZOC中，ZCAO=30°,則CO=g%C=l,

當D,F,C'三點共線時，/C+FD取最小值，即尸C+陽=FC'+FD=C'。，

ZACO=90°-ZCAO=60°,：.ZC=90°-ZDCO=90°-60°=30°,

???CC="C=2,：.CD=^CC'^1,；.CD=JCC--CD。=我-『=也,

.?.VCD尸周長的最小值為1+百，故答案為：30。；1+6.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱的性質，兩點之

間線段最短，直角三角形的性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵.

例3.（2023?四川成都?模擬預測）如圖，四邊形/BCD為矩形，對角線NC與2。相交于點。，點E在邊DC

上，連接NE,過。做。尸J.NE,垂足為尸，連接OF,若ND4E=30°,DE=10,則。下的最小值

為.

BC

【答案】—

2

【分析】本題考查了矩形的判定和性質，含30。直角三角形的性質，勾股定理，三角形的三邊關系，先根據

面積法可計算。尸的長為5若，根據三角形的三邊關系可得：尸是一個定點，。的軌跡為中垂線上的一

部分，所以垂線段最短，可知F7V的長是O尸的最小值，最后由等邊三角形三線合一的性質可得結論.

【詳解】解：???四邊形/BCD是矩形，

ZADE=90°,AC=BD,OA=-AC,OD=-BD,OA=OD,

22

ZDAE=30°,DE=IQ,AE=IDE=20,AD=^AE2-DE2=7202-102=1073?

VDFLAE,；.=；xl0xl06=；x20xD尸，。尸=乎

???廠是一個定點，。的軌跡為中垂線上的一部分，如下圖所示，過點尸作于尸，過點。作

。飲，4。于初，過點尸作FNLOM于N,所以垂線段最短，則Ob的最小值為FN的值，

FP//DE,：.ZDFP=ZEDF=30°,:.PD=-DF=—,RtZ\ZZ)￡中，/。=10百，

22

OMLAD,OA=OD,:.AM=DM=5百，■-7W=PM=573----，

22

即。尸的最小值為孚.故答案為：攣.

22

例4.（2023?安徽?合肥三模）如圖，在必△ZBC紙片中，ZACB=90°,AC=4fBC=3,點、D,石分別在

BC,4g邊上，連接?！?將沿翻折，使點8落在點尸的位置，連接N尸，若四邊形3EED是菱形,

則/b的長的最小值為（）

I-廠-5

A.V5B.>/3C.—D.—

【答案】A

【分析】連接8尸交ED于點0,設所與/C交于點G.根據菱形的性質可得點/在N/BC的平分線上運

動，從而得到當/時，/尸的長最小.再證明A8￡OsZ^8N凡可得BE」4B=4E,再證明ANGES

2

△ACB,EG=-BC=1.5,AG=-AC=2,從而得至ljGF=1,再由勾股定理，即可求解.

22

【詳解】解：如圖，連接BF交ED于點、O,設M與NC交于點G.

?.,四邊形3EFD是菱形，，夕尸平分N48C,.,.點廠在N43C的平分線上運動，

.?.當時，4F的長最小.在菱形BEFD中，BFLED,OB=OF,EF//BC,

BEOEBO

---————1Rk卜,——1—Zj—卜1

：.EO//AF,:.ABEOS^BAF,：.AFBF2,1?.2,

在RtUBC中，AC=4,BC=3,：.AB=5,:.BE=AE=25,

'JAFLBF,：.EF=2.5,'JEF//BC,:.AAGEs"CB,

—=-,ZAGE=ZACB=90°,/.EG=-BC=1.5,AG=-AC=2,GF=EF-EG=1,

BCACAB222

AF2222

?:NAGF=/AGE=90°,：.=^AG+GF=A/2+1=75.故選：A

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，菱形的性質，熟練掌握相似三角

形的判定和性質，直角三角形的性質，菱形的性質，準確得到點/在N/8C的平分線上運動是解題的關鍵.

例5.（2024?四川達州一模）如圖，在矩形/8CZ）中，48=4,8c=56，點尸在線段8c上運動（含B,

C兩點），連接/尸，以點/為中心,將線段AP逆時針旋轉60°到AQ，連接。。，則線段DQ的最小值為.

71

【答案】-/3-/3.5

22

【分析】如圖，以為邊向右作等邊△AB尸，作射線方。交/。于點E,過點。作于”.利用全

等三角形的性質證明4尸。=90。，推出乙4斯=60。，推出點。在射線FE上運動，求出。可得結論.

【詳解】解：如圖，以為邊向右作等邊△力時，作射線尸。交4。于點過點。作于

???四邊形/灰刀是矩形，：?/ABP=NBAD=90。,丁△45RA4P。都是等邊三角形,

AZBAF=ZPAQ=60°,BA=FA,PA=QA,：.ZBAP=ZFAQf

BA=FA

在△54尸和△"0中，］ZBAP=ZFAQ,/.^BAP^Z\FAQ(SAS),AZABP=ZAFQ=90°,

PA=QA

ZFAE=90°-60°=30°,ZAEF=90°-30°=60°,

VAB=AF=4,.-.AE=^^=—,.,.點0在射線相上運動,

cos3003

,:AD=BC=5右,:.DE=AD-AE=S,DH1EF,ADEH=AAEF=60°,/.

3

Z>7Z=D￡,.sin60°=—x^=-.據垂線段最短可知，當點。與8重合時，。。的值最小，最小值為工.

3222

7

故答案為：-

【點睛】本題考查矩形的性質，旋轉變換，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形

等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，本題的突破點是證明點0的在射

線FE上運動.

例6.(2024?重慶模擬預測)如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線＞=I+2上的一個動點,將Q繞點尸(T0)

逆時針旋轉90。，得到點Q',連接。。'，則。。'最小值為.

【答案】V5

【分析】設0g1力+2),作48工x軸，作作。根據44s可證明V/園=V加戶，由此

2

可求。'(-；t-3"+1),令入=-；6-3,y=t+l,可得°,在直線y=-2x-5上運動，當。。1時,

。。'的值最小，再由1211/。0=！得七211/網'=1，進而得出。石=5,即可得出答案.

22

【詳解】設+2),過點P作軸，過點。作交于2點，過點。作。交于8點，

AQPQ'=90°,AQPA+AQ'PB=90°.

NQPA+ZAQP=90°,：.NQ'PB=NAQP.

?：QP=Q'P,:."PQ=ABQ'P(AAS),：.QA=PB,AP=Q'B.

■：P(-l,0),：.QA=-t-1,AP-t+2,,：.Q'{~t-3,t+1),

22

令牙=一工方一3,y=t+l,y=-2x-5,

2

.?.點0'在直線y=-2x-5上運動，當，園時，。。'的值最小.

在y=,x+2中，令x=0,則y=2,令y=o,則x=-4,/.C(0,2),。(一4,0),/.tanZCDO=-.

22

,/ACDO=AOEQ',：.tanZOEQ'=^,：.Q'E=2OQ',

在y=-2x-5中,令x=0,則》=-5,/.￡(0,-5),：.OE=5.

VW)2+(EQ')2=OE2,即5(07)2=25,解得〃Q，=&,所以。。'的最小值為VT故答案為：75.

【點睛】本題主要考查了一次函數的圖象及性質，旋轉的性質，三角形全等的判定及性質，確定點0的運

動軌跡是解題的關鍵.

例7.(2024?廣東?九年級?？计谥?如圖，RtA/8C中，ZACB=90°,ZA=30°,8C=5,點￡是邊/C上

一點，將BE繞點2順時針旋轉60。到8F,連接CF,則CF長的最小值是()

A.2B.2.5C.V5D.—

2

【答案】B

【分析】取48的中點為點。，連接。￡,過點。作垂足為〃，在RM/BC中，利用含30度角

的直角三角形的性質可求出NB的長，的度數，再根據線段的中點定義可得/。=氏0=1/8=5,從

而可得￡)〃=工/。=2.5,然后利用旋轉的性質可得：BE=BF,NEBF=60。，從而利用等式的性質可得

2

ZABE=ZCBF,進而利用SAS證明△ADE會△5CB,最后利用全等三角形的性質可得。E=CF,再根據

垂線段最短，即可解答.

【詳解】解：取48的中點為點。，連接DE,過點。作L/C,垂足為“，二N4ffi)=90。，

A

VZACB=90°,N/=30°,BC=5,：.AB=2BC=10,ZABC=90°-ZA=60°,

?.?點。是43的中點，AAD=BD=-AB=5,：.DH=-AD=2.5,

22

由旋轉得：BE=BF,4EBF=60°,ZEBF=ZABC=60°,

ZEBF-ZEBC=ZABC-ZEBC,：.NABE=ZCBF,

BD=BC=5,:.ABDE知BCF(SAS),：.DE=CF,

當。E//C時，即當點￡和點"重合時，DE有最小值，且最小值為2.5,

；.C戶長的最小值是2.5,故選：B.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，垂線段最短，全等三角形的判定與性質，根據題目的已知條件并結合圖

形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

習題練模型

1.（2024?河南周口?一模）如圖，平行四邊形/BCD中，48=16,4D=12,N/=60。，E是邊ND上一點,

且4E=8,尸是邊AB上的一個動點，將線段E/繞點E逆時針旋轉60°,得到EG,連接BG、CG,則BG+CG

的最小值是（）.

A.4B.4A/15C.4721D.亞

【答案】C

【分析】本題考查旋轉變換，軌跡，菱形的性質，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性質等知

識.取的中點N.連接EN,EC,GN,作交CD的延長線于利用全等三角形的性質證明

NGA?=60。，點G的運動軌跡是射線NG,由“SAS”可證AEGN之zXBGN,可得GB=GE,推出

GB+GC=GE+GC>EC,求出EC即可解決問題.

【詳解】解：如圖，取AB的中點N.連接EN,EC,GN,作EX，交CD的延長線于“，

VAE=8,AD=n,DE=4,,點N是NB的中點，:.AN=NB=8,:.AE=AN,

=60°,...ANEN是等邊三角形，ZAEN=ZFEG=60°,:.NAEF=NNEG,

-：EA=EN,EF=EG,:.AAEF為NEG（SAS）,ZENG=ZA=60°,

ZANE=60°,AGNB=180°-60°-60°=60°,...點G的運動軌跡是射線NG,

BN=EN,ZBNG=ZENG=60°,NG=NG,：.^EGN^BGN（SAS）,:.GB=GE,:.GB+GC=GE+GC>EC,

在RtADE“中，ZH=90°,DE=4,NEDH=60°,：.DH=；DE=2,EH=2區,

在RtZkEC“中，EC=EH2+CH2=V12+182=4721，，G3+GC22,GB+GC的最小值為4后，故選：C.

2.（2024?湖南長沙?一模）如圖，矩形4BCD中，AB=6,BC=8,尸是48上一點，E為&。上一點，且5E=2,

連接防，將EF繞著點E順時針旋轉45。到EG的位置，則CG的最小值為.

【答案】3V2+2/2+3V2

【分析】將線段BE繞點￡順時針旋轉45。得到線段ET,連接GT,ED,設EZ）交CG于/證明

△EBFAETG（SAS）,根據垂線段最短計算即可.

【詳解】解：如圖，將線段3E繞點E順時針旋轉45。得到線段ET,連接GT,ED,設成＞交CG于/

:四邊形48CD是矩形，48=6,BC=8,BE=2,

：.AB=CD=6,BC=8,EC=CD=6,ZB=ZBCD=90°,ZCED=ZCDE=45°,

*.?ABET=ZFEG=45°,ZBEF=Z.TEG,

EB=ET

在AEB尸和AETG中，；＜NBEF=NTEG,：.^EBF^AETG（SAS）：.ZB=ZETG=90°,

EF=EG

.?.點G的在射線7G上運動，，當CGLTG時，CG的值最小，

ZCED=ZCDE=45°,ABET=NFEG=45°ZTEJ=90°=ZETG=ZJGT=90°,

.??四邊形ETGJ是矩形，DE//GT,GJ=TE=BE=2：.CJLDE,

：.AECJ=ZDCJ=45°,；.CJ=ECsin45°=3V^，：,CG=GJ+CJ=3五+2，

，CG的最小值為30+2,故答案為：30+2.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，解直角三角形，三角形全等的判定和性質，垂線段最短，

熟練掌握相應的知識是解題的關鍵.

3.（2023?江蘇宿遷?三模）如圖，在矩形/BCD中，4B=8,BC=86,點￡為矩形對角線8。上一動點,

連接CE,以CE為邊向上作正方形CEFG,對角線CF、EG交于點打，連接則線段■的最小值為

G

BC

【答案】2H

【分析】作CT，BD于點I,則ZEIC=90°,由正方形的性質得ZEHC=90°,CH=EH,所以

NHCE=NHEC=45°,取CE的中點O,連接OH、O/,以點。為圓心OE為半徑作OO,則點H、點/都在。。

上，所以/fflE=/"CE=45。,可知點H在過點/且與直線m所交成的銳角為45。的直線上運動，則當

。/7,由時，線段?！ǖ闹底钚?，此時?！倍?,由矩形的性質得NBCD=90。，8=45=8,則

2

)0~)2

助=而__5_H______=16,由air=而m=儂40c得0=需=4,所以9=亨/y,4=2死于是得到問題的

答案.

【詳解】如圖1,作C7L8D于點/,則/E/C=90。,二?四邊形CMG是正方形，

圖2

CF1EG,CH=FH=EH=GH=；EG,且CF=EG,

NEHC=90°,CH=EH,NHCE=ZHEC=45°,

取CE的中點O,連接OH、O/,以點O為圓心OE為半徑作O。，

;OH=OI=OE=gcE,.X、H、點/都在。。上，；.ZfflE=NHCE=45。，

...點〃在過點/且與直線BD所交成的銳角為45°的直線上運動，

當。X，陽時，線段ZW的值最小，如圖2,DH=90°,

:點〃、點/都在以CE為直徑的圓上，；./印0=180。一/〃出=/”CE=45。，.?.DH=〃).sin45°=?/D,

:四邊形A8CD是矩形，AB=8,BC=86,:./BCD=90°,CD=AB=8,

22CD

:.BD=y/cD+BC=,6+(8班『=16,vZCID=90°,備——=cos/BDC,

BD

ID=—=—=4,.-.DH=—x4=272,ADH的最小值為2行,故答案為：2血.

BD162

【點睛】此題重點考查矩形的性質、正方形的性質、圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數與解直角三角

形、垂線段最短等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

4.（2023上?湖北武漢?九年級校聯考期中）如圖，已知/MON=30。，B為OM上一點,BALON于4,四

邊形/BCD為正方形，P為射線的上一動點，連接CP,將CP繞點C順時針方向旋轉90。得CE,連接BE,

【答案】1+V3/V3+1

【分析】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質以及垂線段最短的性質的綜合

應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據全等三角形的對應邊相等以及垂線段最短進行解

答.連接尸依據SAS構造全等三角形，即ABCE且AOCP,將BE的長轉化為尸。的長，再依據垂線段最

短得到當最短時，8E亦最短，根據/WON=30。，OD=2+2y/3,即可求得的長的最小值.

【詳解】解：如圖，連接P。，

M

由題意可得，PC=EC,NPCE=90°=NDCB,BC=DC,：.2DCP=ZBCE,

DC=BC

在AOCP和ABCE中，＜NDCP=NBCE,；.^DCP^ABCE(SAS),：.PD=BE,

CP=CE

當。尸，（W時，PD最短,此時BE也最短,

VZ^05=30°,AB=2=AD,03=2x2=4,OA=742-22=273:-OD=OA+AD=2鳳2,

當。PLOW時，n尸=A。。=2+26=I+G，，BE的最小值為1+VL故答案為：l+0.

22

5.（2023上?陜西渭南?九年級統考期中）如圖，在矩形48c。中，=6,點E為邊ND的中點，連接CE.點

廠是邊CE上一動點，點G為邊8F的中點，連接。G.當4B=4時，DG的最小值是.

AED

【答案】y

【分析】取BC的中點以，連接作。G'LZH于點G',根據四邊形48co為矩形，4D=6得AD=BC=6,

根據點E為邊的中點，點石為8C的中點，得4E=DE=3,8H=CH=3,可得ZE=C〃，根據NE〃CE

得四邊形N8CE為平行四邊形，則/8〃CE,根據8"=C"得與BF的交點為3尸的中點，根據G為BF

的中點，得///過點G,即點G在線段上隨點P運動而運動，當。G14H時有最小值，則DG，即為所

求，根據勾股定理得/〃=5,根據得49=/D/G',根據//3〃=/DG'/=90。得

4R4H

AABH^ADG'A,則一；=—,進行計算即可得.

DG'DA

【詳解】解：如圖所示，取8c的中點連接作。GU/H于點G',

BHC

?.?四邊形48CD為矩形，/。=6,ND=8C=6,?..點E為邊的中點，點X為8C的中點，

AE=DE=-AD=-x6=3,BH=CH=-BC=-x6=3,：,AE=CH,

2222

,/AE//CE,，四邊形/HCE為平行四邊形，AH//CE,

'：BH=CH,與3尸的交點為昉的中點，；G為3尸的中點，

過點G,即點G在線段///上隨點/運動而運動，當DGL4/時有最小值，則DG，即為所求,

^ABH=90°,AB=4,BH=3，；.AH=^AB2+BH1=^42+32=5，

AD//BC,：.AAHB=ZDAG',,：ZABH=ZDG'A=90°,A/\ABH^/\DG'A,

.?.四=9，."G，=g="T,故答案為：二.

DG'DAAH555

【點睛】本題考查了線段最小值，矩形的性質，垂線的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，平行

四邊形的性質，解題的關鍵是掌握這些知識點，添加輔助線.

6.（2023上?湖南長沙?九年級校聯考期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點/Q,0）,點C是y軸

上一動點，設其坐標為（0,加），線段◎繞點。逆時針旋轉90。至線段C2,則點2的坐標為,連

接BO,則BO的最小值是.

【分析】本題考查坐標與圖形變化一旋轉，全等三角形的判定和性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是

正確尋找點3的運動軌跡，屬于中考?？碱}型.

設C（0,M，過點3作8〃，了軸，垂足為點證明A49C也AC〃B（44S）,推出〃C=O4?汨=OC,可得

點8的坐標為（加加+1）,推出點B的運動軌跡是直線y=x+l,根據垂線段最短解決問題即可.

【詳解】設C（0,m）,過點3作3〃，＞軸，垂足為點H,二NBHC=90°,NHCB+ZB=90°,

?..線段C4繞著點C按逆時針方向旋轉90。至線段C5,

ABAC=90°,CB=CA,ZHCB+ZACO=90°,ZB=ZACO,

QBAOC=90°,;."OC知CHB(AAS),HC=OA,HB=OC,

:點C(O,?J),點4(1,0),.?.點3的坐標為(在加+1),.,.點3的運動軌跡是直線y=x+l,

?.?直線y=x+l交X軸于￡(-1,0),交了軸于尸(0,1),;.OE=O尸=1,斯=亞,

過點。作OT_LE尸于T.則。7=工昉=業，

22

根據垂線段最短可知，當點3與點T重合時，08的值最小，最小值為史，故答案為：（見機+1）；Y2.

22

7.（2024?山東校考一模）如圖，正方形/BCD中，=4,點￡為邊8c上一動點，將點/繞點￡順時針

旋轉90°得到點F,則DF的最小值為

【答案】2及

【分析】A8上截取/G=EC,過點。作交CF的延長線于點/7,證明A/GE也AEC尸，ADCH是

等腰直角三角形，進而根據垂線段最短即可求解.

【詳解】如圖，48上截取/G=EC,過點。作DHLCF交CF的延長線于點”,

正方形ABCD中，48=4,將點/繞點E順時針旋轉90。得到點F,

BG=BE△BEG是等腰直角三角形NAEF=90°,NABE=NC=90°,

NBAE+NAEB=NAEB+ZFEC=90°ZGAE=ZBAE=ZCEF

；.AAGE、ECF：.AAGE=ZECF=135°NDCF=45°，F在射線CF上運動,

則AOCW是等腰直角三角形，，尸與H點重合時，DF取得最小值，等于DH=^DC

2

■.DC=4DH=2V2即。尸的最小值為20故答案為：2夜

【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質，垂線段最短，求得尸的軌跡是解題的關鍵.

8.（2023?江蘇連云港?統考一模）如圖，在矩形48co中，AB=4,/。=6,點E為邊8c上的動點，連接

AE,過點E作斯_L/￡,且EF=4E,連接CF,則線段CF長度的最小值為_____.

【答案】V2

【分析】如圖：在2/取一點7使得37=連接ET,在EC上取一點K,使得

NFKC=45。,連接廠K,利用全等三角形的性質證明8K=/8=4,由矩形的性可得。。=4?=4、

BC=AD=6,進而推出點尸在射線K尸上運動，當CFLKF時CF值最小.

【詳解】解：如圖：在切取一點T使得BT=BE,連接ET,在EC上取一點K,使得

NFKC=45°,連接尸K

VZB=90°,BT=BE：.ABTE=ABET=45°,/.ZATE=ZEKF=13>5°,

VZBAE+ZAEB=90°,ZAEB+ZFEK=90°,：.ZTAE=ZEFK,

"：AE=EF,：.VATE=VEKF（AAS）：,AT=EK,

:矩形中，AB=4,AD=6：.CD=AB=4,BC=AD=6

'：BT=BE,：.AB=BK=4,：.CK=BC-BK=2,

點尸在射線K尸上運動，當C尸，KF時，CF的值最小，最小值為sin45O-CK=^x2=J^.

2

故答案為0.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、解直角三角形等知識點，正確作出輔助

線、構造全等三角形并確定是解答本題的關鍵.

9.（23-24八年級下?遼寧丹東?期中）如圖，點3在直線/上，于點8,AB=7,點C在直線/上運動,

以/C為邊作等邊“C。，連接則8。的最小值為.

A

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，垂線段最短，以

為邊作等邊,連接CE,證明知C4E（SAS）,由全等三角形的性質得出BD=CE,過點E作E/F/

于點尸，則CE的最小值為EF,再直角三角形的性質求出所即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，以為邊作等邊連接CE,:.AB=AE=BE=7,NABE=NBAE=60。，

?：AACD為等邊三角形，AD=AC,ND4c=60°,ZDAB=Z.CAE,/.ADAB知CAE（SAS）,

：.BD=CE,；.CE最小時，8。有最小值，：C為直線/上的動點，過點E作斯，/于點廠，

17

CE的最小值為斯，VABll,：.ZABC^90°,：.ZEBF=30°,：.EF=-BE=-,

22

/.的最小值為:7，故答案為：7

22

10.（2024?四川達州?三模）如圖，在等腰RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC=3拒，點、M是BC邊上一

動點，將線段繞點A順時針旋轉60。，得到線段/N,連接MN,CN,則/N+CN的最小值

是_____________.

【答案】3百+3/3+3百

【分析】在8C上取一點。，連接NO,使/胡。=60。,在4B上截取"=連接ZV,作直線W,因為

NBAC=90。,/8=/。=3五,所以/口。=30。，ZACB=ZABC=45°,BC=&/C=6,求得=75°,

可證明之AD/M,得乙4IN=/ADM=15。,可知點N在經過上的定點/且與43相交成的銳角等

于75。的直線W上運動，作點A關于直線W的對稱點尸，連接"交W于點Z,連接月V、FI、DI,則

FN=AN,FI=AI=DI,則N/E4=N"尸=15°,ABID=120°,可證明尸=NTO5=15°,所以點尸在

C3的延長線上，NAFD=30°,作4E_L8C于點E,貝l]AE=CE=BE==BC=3,AF=2AE,所以

2

EF=J/產-AE?=出AE=36，求得。尸=36+3，由FN+CN2CF得4N+CN±3把+3,貝UNN+CN

的最小值3百+3,于是得到問題的答案.

【詳解】解：在3c上取一點。，連接AD,使/340=60。，在上截取4=/。，連接作直線W,

,?ABAC=90°,AB=AC=3a，^CAD=90°-ABAD=30°,ZACB=NABC=45°,

BC7AB\AC2=6AC=MX36=6,:.ZADM=NCAD+ZACB=75。,

:由旋轉得/N=4W,AMAN=60°,ZIAN=ZDAM=6Q°-ZBAM,

AN=AM

在A"N和4M中，"ZIAN=ADAM,：.AIAN^ADAM(SAS),/.ZAIN=AADM=75°,

AI=AD

...點N在經過48上的定點/且與相交成的銳角等于75。的直線W上運動，

作點A關于直線W的對稱點尸，連接相交W于點工，連接尸N、FI、DI,

垂直平分'，是等邊三角形，，4億/'=90。，FN=AN,FI=AI=DI,ZAID=ZADI=60°,

：.ZIFA^ZIAF=90°-ZAIN=15°,Z.BID=180°-AAID=120°,:.ZBIF=ZIFA+ZIAF=30。,

：.AD1F=ABID+ABIF=150°,連接。尸，則N/DF=N/FD=；x(180°-/ZVF)=15。，

:NIDB=NADM-NADI=15。，：./IDF=NIDB,：.點、F在CB的延長線_L,：.NAFD=NIF4+NIFD=30。,

作4EJ.BC于點E,則N/EF=90。，AE=CE=BE^-BC=3,：.AF=2AE,

2

EF=>]AF2-AE2=^(lAE^-AE2=43AE=73x3=373-:.CF=CE+EF=3&3，

?：FN+CN>CF,：.AN+CN>3^+3,，NN+CN的最小值是3省+3,故答案為：3行+3.

【點睛】此題考查等腰直角三角形的性質、等邊三角形的判定與性質、旋轉的性質、軸對稱的性質、全等

三角形的判定與性質、三角形內角和定理、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，正確地作出所需要的輔

助線是解題的關鍵.

11.(2024?四川成都?一模)如圖，在矩形48c。中，BC=2AB,點、M,N為直線4D上的兩個動點，且

ZMBN=30°,將線段四關于BN翻折得線段BAT,連接CAT.當線段的長度最小時，乙的度

［分析】將線段加繞點B順時針旋轉60°后點/落在點E,連接BE,得到VABM@EBM，,再由當CM」跖

時，有最小值，可得A￡2G與AM'CG均為30。、60。、90。直角三角形，再證明A48M為等腰直角三角形，

△MBAT是等邊三角形，進而得到NEM5=乙必e=60。，最后當CAT，斯于X時，有最小值，由此

可以求出ZMM'C=ZEM'C-ZEM'M=90°-15°=75°.

【詳解】解：將線段詡繞點8順時針旋轉60。后點/落在點￡,連接BE,設EAT交BC于G點，如下圖所

示：在矩形/BCD中，//=//3C=90。，AD=BC,根據折疊可知，/MBM'=60。,BM=BM',

：.ZABM=/ABE-NMBE=60°-ZMBE,/EBM'=ZMBM'-ZMBE=60°-ZMBE,：.ZABM=ZEBM',

'：BA=BE,BM=BM',：.—BM%EBM'(SAS),；.AM=EM',NE=NN=90。，

；ZEBG=90°-60°=30°,：.ZBGM'=ZEBG+ZBEG=90°+30°=120°,：.ZEGC=120°,

：.ZCGM'=NEGB=180°-120°=60°,.?.點M'在EF上，

:垂線段最短，，當CM'，E尸時，CAT有最小值，與AM'CG均為30。、60。、90。直角三角形，

.

F

設EG=x,BC=2y,則BG=2EG=2x,CG=BC-BG=2y-2x,GM'=-CG=y-x,

2-

/.EM'=EG+GM'=x+(y—x)==^BC,,:BC=2AB,:.AB=；BC,/.EM'=AB,

：.AM=EM',：.AB=AM,，為等腰直角三角形，:.NEM'B=NAMB=45。,

VZMBM'=60°,BM=M'B,；.是等邊三角形，Z.ZBM'M=60°,

ZEM'M=ZBM'M-ZEM'B=60°-45°=15°,ZMM'C=ZEM'C-ZEM'M=90°-15°=75°,

故答案為：75.

【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法、矩形的性質、旋轉的性質、軸對稱的性質，等邊三角形的判

定和性質，屬于四邊形的綜合題，難度較大，熟練掌握各圖形的性質是解題的關鍵.

12.(23-24八年級下?遼寧沈陽?期中)如圖，RtZ\48C中，乙4c3=90。，ZABC=30°,AC=6,。是線

段A8上一個動點，以8。為邊在“3C外作等邊△8OE.若尸是DE的中點，連接CF,則CF