微專題27正方形

考點精講

構建知識體系

一邊

一角

d平行四邊形了‘殊化|正方形卜中畫—

-對角線

對稱性

［四邊形卜I

「邊

「概念［判定）——角

i中點四邊形-

I形狀I對角線

4?^

考點梳理

1.正方形的性質與判定（6年8考）

（1）定義：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形

（2）正方形的性質

邊四條邊都相等，對邊平行

角四個角都是直角

對角線相等且互相①；

對角線

每一條對角線平分一組對角

既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有4條對稱軸，對

對稱性

稱中心是兩條②的交點

⑶正方形的判定

有一組鄰邊相等，并且有一個角是③的平行四邊形是正方形（定

邊義）；

有一組鄰邊④的矩形是正方形

角有二個角是⑥的菱形是正方舷

對角線⑥的矩形是正方形;

對角線

對角線⑦的菱形是正方形;

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對角線互相⑧_________的四邊形是正方形

2.正方形面積

面積計算公式：5=〃=駟3表示邊長，/表示對角線長)

3.平行四邊形與四邊形、特殊四邊形之間的關系

4.中點四邊形

概念依次連接任意二個四邊形各邊中點所得的四邊形

任意四對角線相等的對角線垂直的對角線垂直且

原圖形矩形菱形正方形

邊形四邊形四邊形相等的四邊形

中點四平行四

菱形矩形正方形菱形矩形正方形

邊形形狀邊形

【溫馨提示】連接任意四邊形各邊中點得到的四邊形面積是原圖形面積的一半

練考點

1.如圖，在正方形ABC。中，對角線AC與5。交于點0,且4VLE是

對角線AC上一點，連接5E

第1題圖

(l)ZACB的度數為

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(2)A0的長為；

(3)正方形A5C。的周長為,面積為；

(4)若NABE=15°,則5E的長為.

2.下列說法中，正確的是()

A.有一個角是直角的平行四邊形是正方形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

D.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

3.如圖，E,F,G,"分別是四邊形A5co四條邊的中點，則四邊形E/G”一

定是.(填“平行四邊形”“矩形”“菱形”或“正方形”)

UD

二

HFC.

第3題圖

高頻考點

考點1與正方形有關的證明及計算(6年8考)

例1已知四邊形ABCO為正方形，邊長為4,點加為5。上一點，連接4V.

⑴如圖①，過點M分別作A5,5。的垂線，垂足分別為E,F,求證：四邊形

BEMF是正方形;

例1題圖①

(2)如圖②，若5M=3。〃，求AM的長；

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例1題圖②

(3)如圖③，連接AC交友)于點0,若AM平分ND4C,延長AM交于點N,

例1題圖③

(4)如圖④，過點5作于點E,分別延長5E,AM交于點尸，交CD

于點N,連接。E,若N是CD的中點，求NDEN的度數.

E7<Z

例1題圖④

考點2中點四邊形

例2如圖，在四邊形AJ5CD中，E,F,G,"分別是邊ABBC,CD,D4的

中點.請你添加一個條件，使四邊形瓦6”為菱形，應添加的條件是()

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例2題圖

A.AB=CDB.AC±BDC.CD^BCD.AC=BD

變式1（2024山西）在四邊形ABC。中，點E,F,G,"分別是邊AS,BC,CD,

D4的中點，EG,FH交于點O.若四邊形45CD的對角線相等，則線段EG與FH

一定滿足的關系為（）

A.互相垂直平分B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等

真題及變式

命題點與正方形性質有關的計算（6年8考）

1.（2024廣東7題3分）完全相同的4個正方形面積之和是100,則正方形的邊長

是（）

A.2B.5C.10D.20

2.（2019廣東10題3分）如圖，正方形A5CD的邊長為4,延長C3至點E使防

=2,以防為邊在上方作正方形EFGR延長尸G交。。于點V,連接4V,AF,

”為的中點，連接分別與45,AM交于點N,K.則下列結論：

①&ANH咨AGNF；②/AFN=/HFG；③FN=2NK；④8AFN:5AADM—1:4.

其中正確的結論有（）

第2題圖

變式

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2.1變條件——增加線段DF

如圖，正方形ABC。的邊長為4,延長。5至點E使E5=2,以EB為邊在上方

作正方形E/G5,連接。F,“是。尸的中點，連接5”,則5"的長為.

EB（

變式2.1題圖

3.（2023廣東15題3分）邊長分別為10,6,4的三個正方形拼接在一起，它們的

底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為.

第3題圖

變式

3.1變條件——增加線段改變陰影區域的位置

如圖，邊長分別為5,3,2的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上,

圖中陰影部分的面積分別為Si,S2,則的值為?

變式3.1題圖

新考法

4.［數學文化］（人教八下習題改編）2002年8月在北京召開的國際數學家大會會徽

取材于我國古代數學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正

方形拼成的大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13,小正方形的面積為

1,直角三角形的較短直角邊長為a,較長直角邊長為b,那么3+初2的值為（）

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第4題圖

A.13B.19C.25D.169

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考點精講

①垂直平分②對角線③直角(90°)④相等

⑤直角(90°)⑥互相垂直⑦相等⑧垂直平分且相等

練考點

1.(1)45°；(2)272；(3)16,16；(4)呼

2.C

3.平行四邊形

高頻考點

例1(1)證明：二?四邊形A5CZ)是正方形，

ZABC=90°,/ABD=/CBD=45°.

'：ME±AB,MFLBC,

，四邊形尸是矩形.

VZABD=45°,ZMEB=90°,

：./EBM=/EMB=45°,

：.BE=EM,

：.四邊形BEMF是正方形；

(2)解：如解圖①，連接AC交友)于點O,

?.?四邊形是正方形，

：.AC=BD,AC±BD,OA=OD.

,/正方形ABCD的邊長為4,

OA=OD=—AD=2V2.

2

?：BM=3DM,

???點M是0。的中點，

：.OM=42,

在RtAAOM中，

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由勾股定理得A〃=OA2+OM2=V10；

例1解圖①

(3)解：如解圖②，過點N作NGL4C于點G,

AD

例1題解圖②

???四邊形A5CZ)是正方形，

.*.ZDAC=45°,

,.NV平分NZMC,

：.DN=GN.

設DN=x,則GN=x,CN=4—x.

VZNCG=45°,

?\△NGC是等腰直角三角形，

：.CN=42CG,即4—%=缶，解得％=4&一4,

(4)解：如解圖③，過點。作。GLOE交AN的延長線于點G,

\'BF±AN,

：.ZABF+ZAFB=ZDAN+ZAFB=90°,即NA5/=NZMN.

又?；AB=DA,ZBAF=ZADN=90°,

.,.AABF^^DAN,

:.AF=DN,ZAFB=ZDNA,

：.ZDFE=ZDNG.

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TN是CD的中點,

11

DN=-CD=-AD=AF,

22

尸為A。的中點，

:.DF=DN.

'：DE±DG,

：.ZEDF+ZEDN=ZGDN+ZEDN,即NEDF=ZGDN,

...ADEFQADGN,

:.DE=DG,

ADEG是等腰直角三角形，

.,.NDEN的度數為45°.

R

例1題解圖③

例2D【解析】應添加的條件是TE,F,G,"分別為A5BC,

1111

CD,0A的中點，且：.EH=-BD,FG=-BD,HG=-AC,EF=-AC,

2222

:.EH=HG=GF=EF,則四邊形EFG”為菱形.

變式1A【解析】?..在四邊形ABC。中，點E,F,G,"分別是邊AbBC,

CD,D4的中點，如解圖，連接ERFG,GH,EH,BD,AC,：.EF=kxC,FG

=1BD,GH=^AC,石”=舞）.?.?四邊形A5CD的對角線相等，n\iAC=BD,：.EF

=尸6=6"=石"，???四邊形E/GH為菱形，與下”互相垂直平分.

真題及變式

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1.B【解析】由題意得每個正方形的面積為100+4=25,.?.正方形的邊長為

5.

2.C【解析】?.?四邊形石尸G5是正方形，仍=2,.?.尸G=5E=2,ZFGB=90°,

?.?四邊形是正方形，”為的中點，：.AD=4,AH=2,ZBAD=90°,

ZHAN=ZFGN,AH=FG,'：ZANH=ZGNF,:.bANHQ△GNF〈KAS),

故①正確；ZAHN=ZHFG,,:AG=FG=2=AH,：.AF=V2FG=V2AH,

：./AFH于/AHF,'."AD//FG,：.ZAHF=ZHFG,:./AFN力/HFG,故②

錯誤；?:kANH"MGNF,：.AN=-AG=1,\"GM=BC=4,：.—=—=2,

VZHAN=ZAGM^9Q°,：.AAHN^^GMA,：.ZAHN=ZAMG,ZMAG=

/HNA,：.AK=NK,\"AD//GM,：.ZHAK=ZAMG,：.ZAHK=ZHAK,：.AK

=HK,：.AK=HK=NK,?:FN=HN,：.FN=2NK；故③正確；易知四邊形ADMG

111

是矩形，：.DM^AG=2,?:SAAFN=：AN-FG=：XIX2=T,S^ADM=^ADDM=

=

|X4X2=4,：.SAAFN:5AADM1:4,故④正確，.??選c.

變式2.1V10【解析】如解圖，連接5。，BF,在正方形A5CD和正方形瓦65

中，/ABD=NGBF=45°,：.ZDBF=90°.由題意，得EB=2,BC=4,：.BF

=V2EB=242,BD=aBC=Aa,在R305尸中，由勾股定理，得DF=

22

JBF+BD=2VTO,又:”是。下的中點，；.BH=TDF=E.

AD

變式2.1題解圖

3.15【解析】如解圖，?.?四邊形ABC。，ECGF,/G"K均為正方形，

AD=10,CE=FG=CG=EF=6,ZCEF=ZF=90°,GH=IK=4,：.CH=CG

+GH=10,：.CH=AD,VZD=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

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，△ADJ^AHCJ(AAS),CJ=DJ=5,，EJ=1，丁GL//CJ,：.△HGLs^HCJ,

,

：.GL=2,：.FL=4,：.S陰影=S梯形EJ￡F=；(EJ+F￡).￡F=-X(1+4)X6

CJCH522

A10D