專題14相似三角形存在性問題

相似判定：

判定1：三邊對應成比例的兩個三角形是相似三角形；

判定2：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形；

判定3：有兩組角對應相等的三角形是相似三角形.

以上也是坐標系中相似三角形存在性問題的方法來源，根據題目給的已知條件

選擇恰當的判定方法，解決問題.

（2024春?渠縣校級月考）

1.如圖，一次函數y=-]-2與x軸、y軸分別交于A、C兩點，二次函數y=加+bx+c圖

象經過A、C兩點，與無軸交于另一點3,其對稱軸為直線x=

⑴求該二次函數表達式；

（2）在y軸的負半軸上是否存在一點使以點/、0、8為頂點的三角形與△AOC相似,

若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（2023秋?大豐區月考）

2.如圖，已知二次函數y=f2+6x+c的圖象與x軸交于點4-4,0）和點B,與>軸相交于

備用圖

(1)求該二次函數的解析式；

⑵點D在線段以上運動，過點。作x軸的垂線，與AC交于點。，與拋物線交于點P.探

究是否存在點P使得以點P，C,。為頂點的三角形與△A。。相似？若存在，求出點尸的坐

標；若不存在，說明理由.

(2024秋?倉山區校級月考)

3.如圖，二次函數y=o%2+Zzx-4的圖象與x軸交于A,8兩點，且經過點C,點A,C的

坐標分別為4(-1,0),C(2,-6).

⑴求該二次函數的解析式；

(2)點G是線段AC上的動點(點G與線段AC的端點不重合)，若&4SG與VABC相似，求

點G的坐標.

(2023秋?開福區校級月考)

4.如圖，拋物線、=-/+法+3交尤軸負、正半軸于A,B兩點，交y軸于點C,連接AC,

tan/Q4c=3,VABC的外接圓的圓心為M

備用圖

⑴求該二次函數的解析式；

(2)在AC段的拋物線上是否存在一點P,使'BW=］，若存在請求出點尸坐標，若不存在,

說明理由；

(3)圓上是否存在。點，使△AOC與ABQC相似？若存在，直接寫出點。坐標；若不存在,

說明理由.

（2024?內蒙古）

5.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數丁="2+法+0（。工0）的圖象經過原點和點

4（4,0）.經過點A的直線與該二次函數圖象交于點3。,3）,與y軸交于點C

⑴求二次函數的解析式及點C的坐標；

⑵點尸是二次函數圖象上的一個動點，當點P在直線AB上方時，過點P作軸于點E,

與直線A3交于點。，設點P的橫坐標為根.

①加為何值時線段尸。的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點P,使得此叫與△AOC相似.若存在，請求出點尸坐標；若不存在，請說

明理由.

（2024?南皮縣三模）

6.如圖,在平面直角坐標系中，直線y=+4與x軸交于點B（-2,0），與y軸交于點C（0,2）,

二次函數y=-/+%x+c的圖象過8、C兩點,且與x軸交于另一點A,點M為線段08上

的一個動點，過點“作直線/平行于y軸交于點尸，交二次函數y=-x2+&x+c的圖象

⑴求一次函數及二次函數的表達式；

（2）求VABC的面積；

（3）當以點C、E、尸為頂點的三角形與VABC相似時，求線段所的長度.

（2024?閻良區校級二模）

7.如圖，二次函數、="2+法+3的圖象與x軸交于A（-1,O）,3（3，。）兩點，與，軸交于點

C.

（1）求二次函數的表達式;

⑵連接AC,尸為第一象限內拋物線上一點，過點尸作PDLX軸于點。，連接外，是否存

在一點尸，使得AP/M與ACQ4相似，若存在，請求出滿足條件的點P的坐標，若不存在,

請說明理由.

（2024?漣水縣模擬）

8.如圖，二次函數+bx+c的圖象與尤軸交于、B（4,0）兩點，與y軸交于

⑴求這個二次函數的表達式;

⑵作直線x=《0<r<4）,分別交x軸、線段BC、拋物線于。、E、F三點、,連接CP,若以

B、。、E為頂點的三角形與以C、E、尸為頂點的三角形相似，求f的值；

（3）點M為y軸負半軸上一點，且O暇=2,將拋物線沿x軸的負方向平移得到新拋物線，點

8的對應點為點8',點C的對應點為點CLC'B與CE交于點N.在拋物線平移過程中，當

ME+MC的值最小時，試求AB'NC'的面積.

（2024?工業園區校級二模）

9.已知，關于x的二次函數y=/+2依-3。（0>0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B

的左側），與y軸交于點C,圖象頂點為。，連接AC、BC、CD.

（1）請直接寫出點A、B、C、。的坐標（用數字或含。的式子表示）：

A_；B_；C_；D_；

（2）作出點C關于對稱軸的對稱點E,連接AE、CE、DE,若八40￡和△OCE相似，求a

的值；

⑶若NACBN90。，直接寫出a的取值范圍.

（2024?岱岳區二模）

10.如圖①，已知拋物線>=加-2依-3as<0）的圖象與x軸交于A、8兩點（A在8的左

（1）求出拋物線的解析式;

⑵如圖②Q”,0）是尤的正半軸上一點，過點。作y軸的平行線，與直線BC交于點與拋

物線交于點N,若以點C、0、M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，求出。點的坐標；

⑶在（2）的條件下，若N點在直線BC的上方，連結CN,

①若△MQV與ABQW相似，請求出點。的坐標；

②將ACMN沿CN翻折,M的對應點為AT,是否存在點。，使得恰好落在y軸正半軸上？

若存在，請直接寫出出。的坐標.

（2024?思明區校級二模）

11.如圖，己知二次函數-加+桁+c的圖象與x軸交于A和3（3,0）兩點，與>軸交于

c(o,-2),對稱軸為直線尤=：,連接BC,在線段BC上有一動點尸，過點尸作y軸的平行

線交二次函數的圖象于點N,交X軸于點

(1)求拋物線的函數解析式：

(2)請你從以下三個選項中，任選一個為條件，另一個作結論，組成一個真命題，并證明.

cS

①P的橫坐標為；；②ZXPCN與相似；③港區”=5

2、ABPM

(3)若動點尸橫坐標記為f,△CBN的面積記為跖，ACBM的面積記為$2,且5=51-邑，寫

出S與/的函數關系，并判斷S是否有最大值，若有請求出；若沒有請說明理由.

(2024春?贛榆區校級月考)

12.如圖，二次函數y=G：2+bx+c(〃<0)的圖象與x軸交于4(-1,0),8兩點，與y軸交

于點C,已知03=304,OC=OB.

⑴求該二次函數的表達式；

(2)點M為拋物線對稱軸上一動點，是否存在點/使得怛河-。田有最大值，若存在，請直

接寫出其最大值及此時點M坐標，若不存在，請說明理由.

(3)連接AC,尸為第一象限內拋物線上一點，過點P作尸軸，垂足為。，連接心，若

△PZM與ACQ4相似，請求出滿足條件的P點坐標：若沒有滿足條件的P點，請說明理由.

(2024?鄒城市二模)

13.如圖，二次函數的圖象與無軸交于A(TO),B(4,0)兩點，與y軸交于點C(0,3),點尸

是直線BC上方拋物線上的一個動點，連接BC,過點尸作PQL3C,垂足為0.

y,y.yt

備用圖i備用圖2

(1)求拋物線的解析式;

(2)求尸。的最大值；

(3)連接CP,拋物線上是否存在點P,使得以C、P、。為頂點的三角形與A3OC相似？如果

存在，請求出點尸坐標；如果不存在，請說明理由.

(2024?科爾沁區模擬)

14.如圖,已知二次函數廣加+法+3(470)的圖象與x軸交于點點4(-3,0)和點2(1,0),

與y軸交于點C,點P是拋物線上點A與點C之間的動點(不包括點A,點C).

(1)求此二次函數的解析式；

(2)如圖1,連結E4,PC,求AR4c的面積的最大值；

(3)如圖2,過點尸作x軸的垂線交于點。，與AC交于點Q.探究是否存在點P,使得以點

P、C、。為頂點的三角形與△ADQ相似？若存在，直接寫出點尸的坐標；若不存在，說明

理由.

(2024春?游仙區月考)

15.如圖，二次函數>=-丁+笈+2>0)的圖象與x軸分別交于A,B兩點(點A在點B的左

側)，與y軸交于點CQ4),二次函數的最大值為2弓5，P為直線上方拋物線上的一動點.

4

(1)求拋物線和直線BC的解析式；

(2汝口圖1,過點尸作PDL5C,垂足為。，連接CP.是否存在點P,使以點C,D,P為

頂點的三角形與△AOC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,點。也是直線2c上方拋物線上的一動點(點。在點尸的左側)，分別過點P,Q

作》軸的平行線，分別交直線于點N,連接PQ.若四邊形PQNM是平行四邊形,

且周長/最大時，求/的最大值及相應的點P的橫坐標.

(2024?金壇區二模)

16.如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數》=_?+桁+4的圖象與x軸正半軸交于點A、

B,與，軸交于點C,。。=4。4,點尸是線段BC上一點(不與點3、C重合)，過點尸作

PQJ_x軸，交拋物線于點連接。Q,四邊形是平行四邊形.

⑴填空：b=_；

⑵求四邊形OCPQ的面積；

(3)若點。是OC的中點，連接A。、AC.點E(5,4)是拋物線上一點，尸是直線QE上一點,

連接BE、BF.若與反山。相似，求點尸的坐標.

參考答案：

1,3

1-⑴>=5彳+2%-2

⑵存在，(0,-2)或卜,-，

【分析】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，相似三角形的判定和性質，解

直角三角形等知識，分類討論是本題求解的關鍵.

(1)分別求出點A,點C的坐標，根據對稱軸求出另一交點，再根據交點式得出答案；

(2)以點M、。、3為頂點的三角形與△AOC相似，AAOC=/觥旨=90°,貝|NMBO=NG4O

或/MBO=/ACO,根據正切值求解即可.

【詳解】(1)解：對于y==x-2,當x=O時，尸一2,即點C(0,-2),

令y-2=0,則x=T,即點A(-4,0),

3

???拋物線的對稱軸為直線》=-金，則點3(1,0),

拋物線與%軸的另一個交點為(T,0),

設二次函數表達式為：y=a(x-1)(x+4)=a{x2+3x-4),

..?拋物線過點C(0,-2),

則Ta=—2,

解得："g，

故拋物線的表達式為：丁尤-2；

(2)解：存在，理由：

CO1

在Rt^AOC中，AO=4,C0=2>貝［Jtan/CAO=-----=—,

AO2

:以點M、O、8為頂點的三角形與△AOC相似，ZA0C=ZM0B=9Q°,

：.ZMB0=ZCA0或ZMBO=ZACO,

tanAMBO=tanZ.CA0--或tanAMBO=tanZACO=2,

2

OMOMi

即0n獷/或萬，

解得：利二;或2,

??,點M在y軸的負半軸上,

即點M的坐標為(0,-2)或

2.(l)_y=-x2-3x+4

(2)存在,(-3,4)或(-2,6)

【分析】本題是二次函數的綜合，考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數與面積的

綜合，相似三角形的性質，等腰三角形的判定與性質等知識，涉及分類討論思想.

(1)用待定系數法求解即可；

(2)先求出直線AC解析式為y=x+4,設點P坐標為3m+4),可得PQ=-m2-4m,

分兩種情況考慮：AADQSKPQ；AADQSAPCQ,利用等腰三角形的性質建立方程即可求

得點尸的坐標.

【詳解】(1)解：???拋物線》=一/+法+。過4(一4,0)與點C(0,4),

J—16-4Z?+c=0

[c=4

[c=4

拋物線的解析式為y=-3了+4；

(2)解:存在，

設直線AC解析式為y=履+〃，

f-4k+n=0\k=\

則有,,解得:“，

[n=4[n=4

即直線AC解析式為y=x+4；

設點P坐標為(肛-布-3根+4),

?/PD_Lx軸，

點Q的坐標為+4),

22

PQ=-m-3機+4-(in+4)=-m-4機；

當AADQSACPQ時；

如圖，連接PC,

/.PC=—m,

???A(-4,0),C(0,4),

?.?Q4=OC=4,

.\ZDAO=ZACO=45°f

:.ZPCQ=ZDAQ=45°,

:.NPCQ=NPQC=45。，

/.PQ=PC,

即-病-4m=-m,

解得：m=—39m=0(舍去)，

此時P(-3,4)；

當△ADQszj>c。時，

則ZPCQ=ZADQ=90。，?QPC?QAD45?,

則有？PQC?QPC45?,

\PC=QC；

過點。作。石2于石，則PQ=2CE,

?<,CE=—m,

/.-m2-4m=-2m，

解得：m=-2,m=0(舍去)，

此時尸(-2,6)；

綜上，尸(-3,4)或尸(一2,6).

3.(1)y=x2-3A--4

【分析】本題主要考查二次函數綜合應用，涉及待定系數法、相似三角形的判定和性質、勾

股定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

(1)利用待定系數法可求得拋物線的解析式；

(2)可求得直線AC的解析式，設G的-2左-2),可表示出AB、BC、4G的長，由條件可

知只有AAGBSAABC,再利用相似三角形的性質可求得上的值，從而可求得G點坐標.

【詳解】(1)解：將A(TO),C(2,-6)代入＞=辦2+版-4

a—b—4=0

得:

4a+2Z?—4二一6

a=l

解得:

b=-3

...解析式為：y=x2-3x-4；

(2)解：對于y=f—3工一4,當y=。時,

貝底-3%-4=0,

解得：x=4或x=—1,

?..8(4,0),

AB=5,

設直線AC的函數解析式為丫=$%+^,

0=—s+1,s=-2.

把AC的坐標代入，可得一6=3解得

t=—2,

A直線AC的函數解析式為y=-2x-2.

設點G的坐標為七-2左-2).

點G與點C不重合，

.-.AABG與VABC相似只有^AGB^^ABC這一種情況.

4GAB

由AAGBAMC,得7落=就

-.■AB=5,AC=7[2-(-1)]2+(-6-0)2=3A/5,

AG="(3+1)2+0-21-2)2二6左+1],

有k+i|5

5一3班

解得：z=g或左=-1(舍去)，

?e?點G的坐標為■，-?).

4.(l)y=-x2+2x+3

+4(3-V133+屈)

⑵存在，一^，―^

I/27

⑶存在，(—1,2)或(2,-1)

【分析】(1)利用待定系數法直接求出拋物線解析式；

(2)分兩種情況用三角形BC尸的面積建立方程，解方程即可得出點P的坐標；

(3)先判斷出三角形BCQ是直角三角形，進而得出。是M的直徑的一個端點，再分兩種

情況求出直線交點坐標，進而判定是否相似即可.

【詳解】(1)解:,?,拋物線>=-丁+法+3交y軸于點C,

.?.C(0,3),

..0C=3,

oc

???tanZOAC=——=3,

OA

:.OA=lf

A(—1,0),

代入拋物線解析式y=-/+版+3得：

0=-l-Z?+3,

解得b=2,

該二次函數的解析式為y=-/+2*+3；

3

(2)解：在AC段的拋物線上存在一點P,使￡B?>=E；理由如下：

令y=-x2+2x+3=-(x-3)(x+1)=0,

解得：%=一1,%=3,

???8(3,0),

設尸(工,一;^+2尤+3),

,點尸在AC段的拋物線上,

一1WxW0,

如圖1,過尸作包，工軸于L,

圖1

則：S&BCP~S&BOC+S梯形PLOC—S&PLB

T3X3+(3+2X+3+3)X("(3T)X(T2+25]

22'

32932

,丁一產―X-3》=1，

解得，工=三巫或x=三巫(舍去)，

22

?'?點P縱坐標為：—X2+2x+3=—x2+3x—x+3=—1—--+3=1+,

22

二點尸坐標為(三普，耳1)；

(3)解:圓上存在。點，使AAOC與ABQC相似；理由如下：

如圖2,

???CQ3),

BC=1于+e=3叵，

的垂直平分線是拋物線的對稱軸尤=1,

點M的橫坐標是1,

?.?△AOC是直角三角形，AAOC與ABQC相似,

M8QC是直角三角形，

3c不是直徑，

點。是0"的直徑的一個端點,

①當4BCQ是直角，則8。是直徑，

CQ1BC,

■：^AOC^^QCB,

.QC_BC_BQQC_30_BQ

AOCOCA13V10

BQ=245,C。=&,

BM=QM=；BQ=y^,

設點

7（3-l）2+Z2=A/5,

解得，f=l或-1（舍去），

???8（3,0）,

設點Q（機M,

T點M是8Q的中點，

3+m

----=1

.<2

0+〃'

----=1

12

???Q（T2）；

②當N伙2。=90。時，則Q2是直徑,

設。（孫〃）,

???點M是C。的中點,

0+m

-------=1

.2,

3+n

----二1

I2

\m-2

解得：I,

=-1

綜上，滿足條件的Q(-1,2)或。(2,-1).

【點睛】本題主要考查的是二次函數的圖象性質，求二次函數解析式、相似三角形的判定和

性質、勾股定理，圓周角定理，作輔助線夠構造直角三角形是解題的關鍵.

5.(1)y=-x2+4x,C(0,4)

(2)①加=2.5時，長度最大為2.25；②存在，(3,3)或(2,4)

【分析】(1)把點。，A,B代入,=依2+a+4。70)求解，利用待定系數法求出直線AB解

析式，然后令x=O,求出》即可求出C的坐標；

(2)①根據尸、。的坐標求出尸￡>,然后根據二次函數的性質求解即可；②先利用等邊對等

角，平行線的判定與性質等求出/尸。8=NACO=45°,然后分△BPDsaAOC,

兩種情況討論，利用相似三角形的性質、等腰三角形的判定與性質等求解

即可.

【詳解】(1):二次函數經過。(0,0),4(4,0),3(1,3),

二將三點坐標代入解析式得

0=c

<0=16a+4Z?+c,

3=a+b+c

解得：a=—lfb=4,c=0f

???二次函數的解析式為：y=-x2+4x；

??,直線經過A、3兩點，設直線AB解析式為：y=kx+n,

0=4左+〃

???將A、6兩點代入得

3=k+n

解得：k=—lfn=4f

直線AB解析式為：y=-x+4,

:點C是直線與y軸交點，

...令x=0,則y=4,

C（0,4）.

（2）①：點尸在直線48上方，

0<m<4,

設P（九一療+4時,￡）（m,-m+4）,

2

PD=yP—yD=-m+4m—（―m+4）

=-m2+5m-4，

②存在，理由如下：

VA（4,0）,C（0,4）,

???AO=CO=4,

???ZAOC=90°,

???ZACO=ZAOC=45°,

丁PD_L九軸，

：.PD//y^,

：.ZPDB=ZACO=45°,

當時,

NBPD=ZAOC=90。

8尸〃x軸

的縱坐標為3,

...把＞=3代入y=+4x,得3=-d+4x,

解得：再=1,x2=3,

m=3j

—m2+4m=3，

???P的坐標為(3,3)；

法一：當△PBDS^AOC時，

NPBD=ZAOC=90°,

?.?OC=OA=4f

???ZBDP=ZADE=ZOAC=45°,

???Va)E為等腰直角三角形，

PD=4iBD，

由①知PD=—m2+5m—4，

VB(l,3),m+4),

BD=^(m-1)2+(-m+4-3)2=A/2(m-1),

,**PD=4iBD，

—m2+5m-4=2(m-l),

解得叫=2,m2=1（舍）,

???尸（2,4）；

方法二：當△尸50szvioc時，

：.ZPBD=ZAOC=90°,

過5作G"〃丁軸，作PG_LG/f,作OH_LGH,

???/PGB=DHB=9U0,

:?/PBG+/BPG=9伊,ZDBH+ZBDH=90°

,/NPBD=90。,

/PBG+ZDBH=90°,

：./BPG=/DBH,

：.APGBsABHD,

,PGBG

??~=~~，

BHDH

VPG=m—l,BG=—m2+4m—3,BH=m—1,DH=m—1,

.m-1_-m2+4m-3

??--,

m-1m-1

解得g=2,m2=1（舍），

—m2+4m=4,

；?尸（2,4）；

方法三：如圖，過2作3尸J.ED于產,

又NBDP=45。,

；?NBPD=45。=NBDP,

BP=BD,

:.PF=DF,

：.BF=-PD,

2

m-1=—（一根2+5m-4）,

解得叫=2,加2=1（舍去），

?9AA

??—m+4m=4，

的坐標為P（2,4）

綜上，存在點尸使此田與△AOC相似，此時P的坐標為（3,3）或（2,4）.

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數、一次函數解析式，二次函數的性質，相似三角

形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質等知識，明確題意，添加合適輔助線，合理

分類討論是解題的關鍵.

6.(1)>=尤+2,y——x~-x+2

（2）3

Q3

（3）所=§或i

【分析】（1）待定系數法求一次函數與二次函數的解析式，即可求解；

（2）根據二次函數解析式與x軸的交點，令y=0,得出A點的坐標，進而根據三角形的面

積公式，即可求解；

⑶先證明/AfiC=/MFB=/CFE=45。，設E（”,f?+2）,貝分別表示

出EF,CF,①當△ABCs^CFE時，②當時，分別根據相似三角形的性質,

列出比例式，進而即可求解.

【詳解】(I)解：?.?直線y=與X軸交于點B(—2,0),與y軸交于點。(0,2),

_2a+Z?,—0a—\

一，解得:

4二2

，一次函數的表達式為：y=x+2；

把8(—2,0),C(0,2),代入y=_%2+仇]+c得:

-4—2bz+c=0b=-1

\，解得:2

c=2c=2

二?二次函數的表達式為y=-爐_工+2；

(2)在y=—％2—x+2中，令y=。，得%=-2或％=1,

.-.A(1,O),

:.AB^3,OC=2,

SAABC=]X3X2=3；

：.ZABC=/MFB=NCFE=45°,

.,.以C、E、尸為頂點的三角形與VABC相似，B和尸為對應點,

設同〃,-/-”+2),則-“jz+Z),

EF—(--n+2)-+2)-—-2〃,

①當△ABCs^CFE時，—,

CFEF

2A/2

~41n-n2-2n

2

??〃=—§或〃=o（舍去），

②當時，—=—

EFCF

.3_272

-n2-In-yfln

解得〃=-《或，n=0（舍去）

2

:.EF=-,

4

oq

綜上所述，EF=；或=.

94

【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，二次函數解析式，面積問題，相似三角

形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

7.（1）該二次函數的表達式為>=-父+2為+3；

⑵滿足條件的P點坐標為（IC].

【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，相似三角形的性質，一元二次方程的解法，

利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵.

（1）利用待定系數法解答即可；

（2）設P（利-布+2加+3）,由題意得：m>0,OD=m,PD——m2+2m+3,再利用相似

三角形的性質得出比例式，解關于加的方程即可得出結論.

【詳解】（1）解：把A（—1,O）,川3,0）代入"渡+"+3得，

J〃-Z?+3=0

一19。+3匕+3=0'

解得:

???該二次函數的表達式為y=-九2+2X+3；

（2）解：設尸（見一川+2zn+3）,

軸，尸為第一象限內拋物線上一點,

/.m>0,OD=m,PD=—m2+2m+3,

.\AD=OA+OD=m+l,

???△PIM與△CQ4相似，

OAAD_^OAPD

?二——二——或——=——，

OCPDOCAD

.1m+1_p.1-m2+2m+3

?--=——Z------------------或一=------------.

3—m+2m+33m+1

Q

解得：叫=0,冽2=-1或砥=-1,m4=-.

*/m>0,

c8cn

+2x—+3=——

39

“PDA與￡04相似，滿足條件的P點坐標為

7

8.（1）y=~x9+—x+2

73

⑵r或/

⑶:

【分析】（1）待定系數法求出拋物線的解析式即可;

（2）分兩種情況：當NCEE=90。時，當/FCE=90。時，分別畫出圖形，求出結果即可；

（3）設拋物線沿x軸的負方向平移m個單位長度得到新拋物線，將點M向右平移m個單位

長度得到點AT,證明MC'=M'C,=說明當取最小值時，MC+MB'

的值最小，作出點B關于直線＞=-2對稱的對稱點方，連接C"交直線y=-2于點/，，連

接根據兩點之間線段最短，得出此時ATC+MB最小，即MC+M9取得最小值，求

出直線ar的解析式是：y=-|x+2,求出-2）得出平移的距離是機=|,根據平

行四邊形面積公式和平行四邊形的性質得出結果即可.

【詳解】（1）解：：二次函數y=-f+bx+c的圖象與X軸交于”-3可、3（4，°）兩點，

----b+c=Q

42

—16+4b+c=0

b=一

解得：,2,

c=2

7

???這個二次函數的表達式為y=-V+-x+2；

(2)解：以8、D、E為頂點的三角形與以C、E、尸為頂點的三角形相似，則存在/CFE或

/FCE為直角,

當NCFE=90。時，如圖所示：

■:/BDE=9伊,

：.NCFE=/BDE,

:?CF〃BD,

7

把％=0代入y=一兀2+5冗+2得：y=2,

???C（0,2）,

???點廠的縱坐標為2,

7

把＞=2代入y=-%2+5％+2得：

2=-fH—x+2,

2

7

解得：石=0,%2=耳，

，一7

***F的橫坐標為,，

7

此時；

當/FC￡=90。時，過點尸作/軸于點G,如圖所示:

*.*/FGC=NFCE=ZBOC=90。,

：.ZFCG-^-ZOCB=ZOCB+ZOBC=90°,

:.ZFCG=ZOBC,

：.AFCGS^CBO,

.CGFG

%'~OB~~CO"

設尸+7+2],

7

則V9+?+2—2J,

4-2

3

解得：==或"0（舍去），

2

3

此時才=7；

2

I7T3

綜上，或，=;;

（3）解：設拋物線沿無軸的負方向平移能個單位長度得到新拋物線，將點/向右平移機

個單位長度得到點AT,作出圖形如下：

由平移的性質可知，MM'//CC,MM'=CC,

四邊形MMCC'為平行四邊形，

MC'=M'C,

同理得：MB'=M'B,

...當MC+MB取最小值時，MC+皿9的值最小，

顯然點M'在直線＞=-2上運動，

作出點B關于直線y=-2對稱的對稱點"，連接C"交直線y=-2于點,連接河乩

???兩點之間線段最短，

,此時ATC+MB最小，即+取得最小值，

:點2關于直線＞=-2對稱的對稱的點是點B",B（4,0）,

*（4,T）,

設直線CB”的解析式是：y=kix+bl,

/、,、f〃=2

將點C（0,2）,&（4T）代入得向+,7’

,=_3

解得「2,

4=2

3

工直線C5"的解析式是：y=—]]+2,

OO

令y=-；冗+2=-2,解得：x=|,

Q

...平移的距離是機=1,

BB'=-,

3

根據平移可知：BB'//CC,BB'=CC,

四邊形BCC'B'為平行四邊形，

:N是對角線CB與CB'的交點，

?S二5-1x^x2-4

?,MBNC_40OBCC'B'_433,

【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，求二次函數解析式，軸對稱的性質，相似三

角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，求一次函數解析式，解題的關鍵是數形結合，

注意分類討論.

9.(1)(—3,0),(1,0),(0,—3a),(―1,Ta)

(2)見解析，曲

3

(3)0<aW走

3

【分析】(1)把x=0、y=0分別代入函數解析式可求出A、B、C坐標，再求出拋物線的

對稱軸即可求出。的坐標；

(2)根據對稱性可得E(-2,-3a),DC=DE,再根據AACE和aCE相似得AE=CE,即

可得J[-3-(_2)f+[0_(_3a)f=2,解方程即可求解；

(3)設拋物線的對稱軸x=-l與x軸的交點為點產，以點尸為圓心,2為半徑畫圓，連接FC,

可知當點C在。尸上或。尸內時，ZACBN90。，得FCW2,即得廳荷行42,解不等式

即可求解.

【詳解】(1)解：寸巴％=0代入y=〃/+2以一3。得，y=-3a,

C(0,—3ci),

才巴y=0代入y-ax2+2ax-3a^,ax2-^2ax-3a=0,

\'a>0,

x?+2x-3=0,

解得石=一3,%2=1，

A(-3,0),3(1,0),

拋物線的對稱軸為直線X=弁1=T,

把％=_]代入y=a/+2ax_3Q得，y=a-2a-3a=—4a,

???頂點為。(T—4Q),

故答案為：(-3,0案(1,0)；(0,-3磯(-1,-4。)；

(2)解：如圖1,?.?點C、E關于對稱軸x=-l對稱，C(0,-3a),點。在對稱軸上,

CE—2,

?.?△ACE和△DCE相彳以，

/.AE=CE,

7t-3-(-2)]2+[0-(-3a)]2=2,

整理得，3a2=1,

解得°=且或。=_/(不合，舍去)，

33

.V3

,?a=—；

3

(3)解：設拋物線的對稱軸％=-1與％軸的交點為點方，以點尸為圓心，2為半徑畫圓,

連接bC,如圖2,

:.FC<2,

即心+西了42,

解得一"邛,

又ra〉。，

【點睛】本題考查了二次函數與坐標軸的交點問題，頂點坐標，相似三角形的性質，圓周角

定理，勾股定理，根據題意，正確畫出圖形和作出輔助線是解題的關鍵.

10.(1)y=—x2+2尤+3

⑵冷,。）

⑶①點Q的坐標為（1,0）或（2,0）；②以3-五,0）

【分析】（1）先求出二次函數的對稱軸為尤=-2=1，得到￡（1,0）即OE=\,OC=3OE=3,

得到-3a=3,即可求出。=-1,從而得到拋物線的解析式;

（2）先求出C（0,3）,B（3,0）,先用待定系數法求得直線的解析式為y=-x+3,由Q（f,0）,

阿〃〉軸，點M在直線BC上，點N在拋物線上可得M（t,f+3）,N（r,-r2+2r+3）,分當

。叢。0為對角線和。汽,0河為對角線，兩種情況討論，利用平行四邊形的性質求解即可；

（3）①由（2）知C（0,3）,2?（3,0）,Q（f,0）,M（?,—f+3）,N^t,—t2+2t+3）,從而得到MQ=—t+3,

MN={-r+2t+^-{-t+3）=-t-+3t,8。=3T.若AMCN與ABQM相似，貝U

ZCNM=ZBQM=90°或ZNCM=ZBQM=90°,分兩種情況討論：ZCNM=ZBQM=90°,

CNMN

則蔽=而，代入即可求出t的值’從而得到點。的坐標；若NNCM=NBQM=90°,則

MNCM

苗=刀7,利用勾股定理和三角函數求得CM的長，再分別代入即可求出f的值，

MB

從而得到點。的坐標.

②點N在直線BC上方，由折疊可得到MC=MN,用含/的式子表示MC,"N的長，從而

可以列出關于I的方程，求解即可得到點。的坐標.

【詳解】（1）解：,??二次函數丫=依2—2ox-3a（a<0）的對稱軸為尤=-?=1,二次函數

的對稱軸與x軸交于點E,

E（l,0）即OE=1,

OC=3OE=3,

「?—3a=3,

??a=11,

拋物線的解析式y=-x2+2x+3；

(2)解：令y=-Y+2x+3=0

解得人=-1,無2=3,

根據題意得：3(3,0),

令x=0,貝i]y=3

.-.C(0,3),

設直線BC的解析式為y=kx+b

???直線3C過點3(3,0),C(0,3)

3左+6=0k=-1

,二，解得:

b=3b=3

/.直線BC的解析式為y=-x+3

v2(/,o),肱v〃、軸

???點點N的橫坐標都為f

:點M在直線2C上，點N在拋物線上

M(t,—t+3),N(t,—廠+2f+3),

如圖，當ON,CM為對角線時,

?：MN//CO,

???當=時，OMNC是平行四邊形,

(—產+2/+3)—(T+3)=3,即/_3/+3=0,

...A=(-3)2-4x3xl<0,

?.1無解，此時，不存在點。使得點c、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形;

如圖，當CN,OM為對角線時，

同理得：當MN=C。時，OM0C是平行四邊形,

;.(—/+3)—(—廠+2f+3)=3,即產—3r—3=0,

解得：公三叵或"三叵<o(舍去)，

22

綜上，當Q---,0時，ONMC是平行四邊形，

(3)解：①由(2)知C(0,3),3(3,0),。?,0),+N(t,-t2+2t+3),

：.MQ=-t+3,=(—產+2f+3)—(T+3)=—產+3f,BQ=3-t,

'：ZNMC=NQMB

：.若4MCN與ABQM相似，則ZCNM=ZBQM=90°或ZNCM=ZBQM=90°

分兩種情況討論：

如圖，NCW=ZBQM=90。時，

"BQ-W

即Hn--t-=-—-1~--+-3-t-

3~t—t+3

解得：％=2,^=0(舍去)

二點。的坐標為(2,0)

②如圖，NNCM=NBQM=9伊，

:在RG^OC中，30=3,CO=3

.BC=CO,ZOBC=ZOCB=45°,BC=4O停+OC=30

???QN//OC,

.?.在RtABQM中，BM=C°SMBM=^=3?-后，

~T

：.CM=BC-BM=3日-母斗=&,

.-*+3tsfzt

3^/2—^2t—t+3

解得：％=1,%2=°（舍去）

...點。的坐標為(1,0)

綜上所述，點。的坐標為(1,0)或(2,0)；

②解：?.?點N在直線上方時，如圖

?.?肱軸，

：.N2=N3,

由折疊可得N1=N3,

Z1=Z2,

;.M'C=M'N,

:.MC=MN,

?：MN=y2+3t,MC=M

??y/2t=—t2+3/

解得：=3—V2,二°(舍去)

...點0的坐標為(3-3,0).

【點睛】本題是一道二次函數與幾何及銳角三角函數綜合的題，解題的要點是：(1)能通過

二次函數的特殊點的坐標；(2)通過坐標得到線段的長，挖掘題中的等量關系列出方程求解

(即方程思想)；(3)分類討論思想.

11.(1)y=—x2--x-2

33

⑵條件：尸的橫坐標為g,結論：△PCV與相似，證明見解析

725

(3)S與/的函數關系為3=-2r+7%-3,當時，S有最大值，最大值為營

4o

【分析】(1)由已知對稱軸可得6=-口，再將點8(3,0),。0,-2)代入y=加+桁+°,

即可求出二次函數的解析式;

(2)條件：P的橫坐標為!■,結論：△「但與相似.根據點尸的橫坐標為!■,確

22

定得出CN〃x軸，即可得證；

(3)確定直線BC的解析式為y=\尤-2,設點尸橫坐標記為《0V/W3),得

N'g產一尸，？一2)M?,0),繼而得到球二一3/+小，得到

2

Si=^PN\xB-xc)=-2t+6t,S2=^BMOC=3-t,進一步可得S=-2產+7-3,根據

二次函數的性質可得結論.

【詳解】(1)解：：拋物線的對稱軸為直線x=3，

4

.__L_5

**2〃—4，

??b=-a,

2

?V—分25

??y—CLX-ClX-rC,

2

將點5(3,0),C(0,—2)代入，

c15八

yd-----Q+C=0

??.J2,

c=-2

.4

ci——

解得：,3,

c=-2

4in

???拋物線的函數解析式為y=一可1_2；

(2)條件：戶的橫坐標為g,結論：△PQV與相似.

證明：??,過點尸作y軸的平行線交二次函數的圖像于點N,交X軸于點M,且點尸的橫坐

標為大,

???點N的橫坐標為,

2

AIQ

，:點N在拋物線y=尤2-黃-2匕

???當X=一時，得：y=—xf———x——2=-2,

23032

VC（0,-2）,

cv〃彳軸，

:.NPCN=NPBM,/PNC=NPMB,

：.APCN^APBM,

即於PCN與乙BPM相似；

（3）設直線BC的解析式為y=^x+%c,過點3（3,0）,C（0,-2）,

.”BC+3C=。

,'[bBc=-2，

解得：1BC=-3,

bBC=-2

直線BC的解析式為y=jx-2,

設點尸橫坐標記為，0W),

:過點尸作》軸的平行線交二次函數的圖像于點N,交x軸于點",

M（?,0）,

42

一緊=—t+44/

3

設乙，%分別為點3（3,0）,