專題06三角形中的倒角模型之平行線+拐點模型

近年來各地中考中常出現一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內角和

定理、外角定理等）。平行線+拐點模型在初中數學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的

一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點模型（豬蹄模型（加

型）、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，

這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。

目錄^航］

...........................................................................................................................................................................1

模型1.豬蹄模型（M型與鋸齒型）............................................................1

模型2.鉛筆頭模型............................................................................8

模型3.牛角模型.............................................................................13

模型4.羊角模型.............................................................................19

模型5.蛇形模型（“5”字模型）..............................................................24

習題練模型］

.......................................................................................................................................................29

模型L豬蹄模型（M型與鋸齒型）

模型解讀

先說說這個名字的由來，為什么叫豬蹄模型呢？因為它長得像豬蹄，也有叫M模型或鋸齒模型的，都是根

據外形來取的，只要你喜歡，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才是關鍵。。

①注意：拐角為左右依次排列；②若出現不是依次排列的，應進行拆分。

條件:如圖1,①己知：AM//BN,結論：ZAPB=ZA+ZB；②條件：ZAPB=ZA+ZB,結論：AM//BN.

證明：如圖1,過點尸作尸。〃AM,

'：PQ//AM,AM//BN,：.PQ//AM//BN,：.ZA=ZAPQ,ZB=ZBPQ,

：.ZA+ZB=ZAPQ+ZBPQ=ZAPB,即：ZAPB=ZA+ZB.

條件：如圖2,已知：AM//BN,結論：ZPI+ZP3=ZA+ZB+ZP2.

證明：根據圖1中結論可得，ZA+ZB+ZP^ZPx+ZPi,

條件：如圖3,已知：AM//BN,結論：ZPl+ZPi+...+ZP2n+i=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2n.

,

證明：由圖2的規律得，ZA+ZB+ZP2+...+/2,!=ZPi+ZP3+ZP5+...+ZP2n+i

模型運用

例1.（2024?山西?二模）如圖是一種衛星接收天線的軸截面示意圖，衛星波束A3與DC平行射入接收天線,

經反射聚集到焦點。處，若NABO=38°,ZDCO=45°,則的度數為（）

A.90°B.83°C.76°D.73°

【答案】B

【分析】本題考查了利用平行線的性質求角的度數，作OE〃四，則/BOE=NABO=38。，結合得出

AB//CD,推出NCOE="CO=45。，最后由=,即可得解.

【詳解】解：如圖，作OE〃孫則/BOE=/ASO=38。，

VAB//CD,OE\\CD,ZCOE=NDCO=45°,

ZBOC=NBOE+ZCOE=38°+45°=83°,故選：B.

例2.（2024九年級下?遼寧?學業考試）如圖，CD,鉆=所,44=25。,/跳。=130。，則/C的度

【答案】80。/80度

【分析】本題考查了平行線的性質、等邊對等角等知識點，作GP〃C。可得A3〃GP〃CD；根據

ZAFC=ZAFG+ZCFG=NA+NC即可求解.

【詳解】解：作G/〃CD,如圖所示：,.,A3〃CD,A2〃G/〃CD

,/AE=EF,：.ZEFA=ZA=25°：.ZAFC=ZEFC-ZEFA=130°-25°=105°

：ZAFC=ZAFG+ZCFG=ZA+ZC：.NC=NAFC-NA=80。故答案為：80°

例3.（2023春?河南駐馬店?九年級專題練習）已知AB〃CD,ZEAF=^ZEAB,NEC尸=g/ECD,若

ZE=66°,則/尸為（）

B

C.44°D.46°

【答案】C

【分析】如圖（見解析），先根據平行線的性質、角的和差可得?EAB2ECD1AEC660,同樣的方法

22

可得NF=NFAB+NFCD,再根據角的倍分可得ZFAB=-ZEAB,ZFCD=-ZECD,由此即可得出答案.

【詳解】如圖，過點E作則

?AEG征42,CEG=?ECD,\?EAB7ECD?AEG?CEG1AEC66°,

同理可得：ZF=ZFAB+ZFCD,ZEAF=-ZEAB,ZECF=-ZECD,

33

22

ZFAB=-ZEAB,ZFCD=-ZECD,

33

2222

\?F?FABIFCD一？EAB-7ECD—QEAB?ECD）一？66鞍44,故選：C.

3333

【點睛】本題考查了平行線的性質、角的和差倍分，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵.

例4.（2023?廣東深圳?校聯考模擬預測）北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵志故事也激勵著我們

青少年，很多同學紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運健兒在賽場上風馳電掣的感覺，但是第一次走進

滑雪場的你，如果不想體驗人仰馬翻的感覺，學會正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺

直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態，如圖所示，AB//CD,當人腳與地面的夾角

NCDE=60°時,求出此時上身A3與水平線的夾角/&LF的度數為（）

A.60°B.45°C.50°D.55°

【答案】A

【分析】延長AB交直線即于點a,利用平行線的性質得出NCZ）E=/DH4=60。，再由兩直線平行，內錯

角相等即可得出結果.

【詳解】解：延長AB交直線ED于點H,VAH//CD,ZCDE=ZDHA=60°,

???根據題意得AF〃硝，:.AFAB=ADHA=(^°,故選：A.

【點睛】題目考查平行線的性質，理解題意，熟練掌握運用平行線的性質是解題關鍵.

例5.（23-24七年級下?廣東云浮?期末）小明學習了角平分線的定義以及平行線的判定與性質的相關知識后，

對角之間的關系進行了拓展探究.如圖，直線AB〃C￡>,直線AC是直線AB,CO的第三條截線，AK,CK

分別是NBAC,ND6的平分線，并且相交于點K.

問題解決:

圖3

（1）/BAC,NDC4的平分線AK,CK所夾的NK的度數為:

問題探究：（2）如圖2,ZBAK,NDCK的平分線相交于點號,請寫出NA&C與NAKC之間的等量關系，

并說明理由；

拓展延伸：（3）在圖3中作/胡&,NOC&的平分線相交于點K,作/曲（，/DCK?的平分線相交于點

K},依此類推，作/區46儂，/。。（⑵的平分線相交于點（⑼，求出/（儂的度數.

2024

【答案】（1）90°；（2）ZAKlC=^ZAKC,理由見解析；（3）Z^2024=（1）x90°

【分析】本題考查利用平行線的性質和平行公理的推論探究角的關系（拐點問題），角平分線的相關計算等知

識，掌握平行線的性質是解題的關鍵.（1）證明過點K作則KM〃A5〃CE）,利用平行線的性

質推出NA4C+ZACD=180°,繼而推出N2AK+NOCK=）/&4C+；ZACD=g（/a4C+ZAC￡>）=90°,從

而得到NAXC=NAKM+NCKM=N54K+NDCK=90。；（2）與（1）同理可得：

ZAK.C-ZBAKt+ZDCK1={ABAC+ZDCA）=45°,繼而得解；（3）由（2）得同理得

3

Ng=；N&=；NK,ZK3=^ZK2=^ZK,繼而總結規律得NK“=（1）”NK,從而得解.

【詳解】解：(1)如圖，過點K作用則KV/〃

ZAKM=ZBAK,ZCKM=ZCDK,ABAC+ZACD=180°

VAK,CK分別是一&IC,NDC4的平分線，并且相交于點K,/BAK=!/84C,/DCK=《NAC￡),

22

NBAK+ZDCK=|NBAC+1ZACD=1(ABAC+ZACD)=90°,

：.ZAKC=ZAKM+ZCKM^ZBAK+ZDCK=90°,故答案為：90°.

(2)ZAKlC=^ZAKC.理由：如圖，過點K[作KJ〃42.

■.■AB\\CD,K.J//AB,KXJ//CD,ZAKtJ=ZBAKt,NJ&C=ND%.

QZBAK,/OCK的平分線相交于點Kj,:.ZBAKt=^ZBAK,ZDCKt=^ZDCK,

111

/./AKC=/BAK】+NDCK]=-(/BAK+/DCK)=-(ZBAC+ZDCA)=-xl80°=45°.

由(1),知ZA?r=90。，:.ZAK}C=^ZAKC.

(3)由(2),可知N&=gNK.同理，可得=；NK,

ZK3=^ZK2=5/K,……/&=§)"NK.

20242024

當"=2024時，Z^2024=(1)NK=(1)x90°.

例6.(2024?上海?八年級校考期中)已知，直線AB〃C。。(1)如圖(1),點、G為AB、CD間的一點,

聯結AG、CG.若/A=140。，ZC=150°,則/AGC的度數是多少？

(2)如圖(2),點G為AB、CD間的一點，聯結AG、CG.ZA=x°,ZC=y°,則NAGC的度數是多少？

(3)如圖(3),寫出NBAE、NAEF、ZEFG.NFGC、NGCD之間有何關系？直接寫出結論.

B

B

【分析】（1）過點G作GE"48,利用平行線的性質即可進行轉化求解.（2）過點G作G尸，42,利用

平行線的性質即可進行轉化求解.（3）過點E作過點產作過點G作GQ〃CO,利用

平行線的性質即可進行轉化找到角的關系.

【詳解】解：（1）如圖，過點G作GE/幺2,

VZA=140°,AZAGE=40°.?:AB〃GE,AB//CD,：.GE//CD.

...NC+NCGE=180。(兩直線平行，同旁內角互補).

VZC=150°,Z.ZCGE=30°.：.ZAGC=ZAGE+ZCGE=40o+30°^0°.

(2)如圖，過點G作GF〃AB

,:AB〃GF,(兩直線平行，內錯角相等).

VABz/GF,AB〃CD,:.GF〃CD.：.ZC=ZCGF.

：.ZAGC=ZAGF+ZCGF=ZA+ZC.'：ZA=x°,ZC=y°,：.ZAGC=(x+y)0.

(3)如圖所示，過點E作過點尸作兩入IB,過點G作GQ〃C￡),

'JAB/7CD,:.AB〃EM〃FN〃GQ〃CD.

ZBAE=ZAEM,/MEF=NEFN,ZNFG=ZFGQ,ZQGC=ZGCD（兩直線平行，內錯角相等）.

NAEF=/BAE+NEFN,ZFGC=ZNFG+GCD.

,：ZEFN+ZNFG=ZEFG,：.ZBAE+ZEFG+ZGCD=ZAEF+ZFGC.

【點睛】本題考查平行線的判定與性質，本題構造輔助線利用平行線的傳遞性結合平行線性質是解題關鍵.

模型2.鉛筆頭模型（子彈模型）

模型解讀

因為它長得像鉛筆頭或，也有叫子彈模型的，都是根據外形來取的，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才

是關鍵。

①注意拐角朝同一方向②若出現拐角不朝同一方向的，應進行拆分.

圖1圖2圖3

條件：如圖1,已知：AM//BN,結論：Z7+Z2+Z3=360°；（該結論和條件互換結果任然成立）。

證明：在圖2中，過尸作AM的平行線尸尸，：.PF//CD,

.\Z1+ZAPF=18O°,Z3+ZCPF=180°,Nl+N2+N3=360°；

條件：如圖2,已知：AM//BN,結論：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

證明：在圖2中，過Pi作AM的平行線PiE,過點2作AM的平行線PR

,JAB//CD,：.PxE//BN//P?F,/.Zl+ZAPiE=180°,ZP2PI￡+ZPIP2F=180°,ZFP2B+Z4=180°,

AZl+Z2+Z3+Z4=540°；

條件：如圖3,已知：AM//BN,結論：Zl+Z2+...+Zn=（〃一1）180°.

證明：在圖3中，過各角的頂點依次作的平行線，

根據兩直線平行，同旁內角互補以及上述規律可得：Zl+Z2+Z3+...+Zn=(n-1)180°.

模型運用

例1.(2024.遼寧?模擬預測)如圖，平行于主光軸的光線A3和經過凸透鏡的折射后，折射光線BE

和折射光線。尸交主光軸于點P,若/ABE=155°,ZCDF=160°,則/">E=°.

【分析】根據平行線的性質和對頂角的性質即可得到結論.此題主要考查了平行線的性質，準確識圖，熟

練掌握平行線的性質是解決問題的關鍵.

【詳解】解：■■AB\\MN\\CD,.-.ZABE+ZBPM=18O°,CDF+ZDPM=180°,

又?.?NABE=155°,ZCDF=160°,

ZBPM=180°-ZABE=180°-155°=25°,ZDPM=180°-NCDF=180°-160°=20°,

ZBPD=Z.BPM+ZDPM=250+20°=45°,ZEPF=ZBPD=45°.故答案為：45.

例2.（2024?陜西咸陽?模擬預測）如圖，直線4〃/2〃/3,4=25°,乙4氏7=73。，則/2的度數為（）

A.142°B.140°C.138°D.132°

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的性質，根據4〃/2〃4/l=25°,ZABC=73。，得出N4=/4BC-25。=48。，結

合N2+N4=180。，代入數值進行計算，即可作答.

【詳解】解：如圖：?.“〃4〃4/1=25°,/ABC=73°

Z1=Z3=25°,N2+N4=180°則N4=ZABC-25°=73°-25°=48°

?..N2+N4=180°，/2=132°故選：D

例3.（2023下?江蘇南通?七年級統考期末）如圖，直線AB〃C￡>,點E,P分別是直線AB,8上的兩點,

點尸在直線和8之間，連接瓦^依/尸仍和/2陽的平分線交于點。，下列等式正確的是（）

A.ZP+2/0=360°B.2NP+NQ=360°C.NQ=2NPD./P+NQ=180°

【答案】A

【分析】過點P作尸過點Q作QN〃A3,可得PM〃AB〃CD〃QN,從而得到

ZEPM=ZAEP,ZFPM=ZCFP,Nl=ZEQN,Z2=ZFQN,NPEB+ZEPM=180°,ZPFD+ZFPM=180°,

進而得到NEQ/=N1+N2,再由角平分線的定義可得NP￡B+NPFD=2（/1+N2）=2N￡QB,即可求解.

【詳解】解：如圖，過點P作過點。作QN〃A8,

,/AB//CD,：.PM//AB//CD//QN,

：.ZEPM=NAEP,ZFPM=ZCFP,Z1=ZEQN,Z2=ZFQN,

NPEB+ZEPM=180°,ZPFD+ZFPM=180°,/.ZEQF=Z1+Z2,

,/ZPEB和NPFO的平分線交于點Q,：.4EB=2/1/PFD=2Z2,

ZPEB+ZPFD=2（Z1+Z2）=2（ZEQN+ZFQN）=2ZEQF,

?：ZPEB+ZEPM=180°,NPFD+ZFPM=180°,

NEPF+2ZEQF=ZAEP+ZCFP+NPEB+ZPFD=360°.故選：A.

【點睛】本題考查平行線的性質，平行公理的推論，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵.

例4.（2023上?廣東廣州?八年級校考開學考試）如圖①所示，四邊形肱VBD為一張長方形紙片.如圖②所

示,將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（NBAE、ZAEC,ZECD）,則ZBAE+ZAEC+ZECD=（度）；

（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角JBAE、NAEF、NEF、NFCD）,則

ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=（度）；

（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（/BAE、NAEF、/EFG、/FGC、/GCD）,

貝I]/BAE+/A￡F+/EFG+NTGC+?CD=（度）；

（3）根據前面的探索規律，將本題按照上述剪法剪〃刀，剪出〃+1個角，那么這”+1個角的和是（度）.

【答案】360540720180〃

【分析】過點E作即〃AB,再根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到三個角的和等于180。的2倍；

（1）分別過E、尸分別作A3的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的和等于180。的

三倍；（2）分別過E、F、G分別作的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的和

等于180。的四倍；（3）根據前三問個的剪法，剪〃刀，剪出"+1個角，那么這"+1個角的和是180〃度.

【詳解】過E作田〃AB（如圖②）.

?.?原四邊形是長方形，CD,

又,：：.CD//EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）.

-：EH//AB,^1=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

?/CD//EH,：.Z2+ZDCE=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

NBAE+N1+/2+NECD=360°,

又：/I+N2=ZAEC,NBAE+ZAEC+NECD=360°；

圖③

（1）分別過E、尸分別作A3的平行線，如圖③所示，

用上面的方法可得N54E+/A￡F+/EFC+/FCD=540。；

（2）分別過E、F、G分別作A3的平行線，如圖④所示，

用上面的方法可得NBAE+ZAEF+NEFG+NFGC+NGCD=720°；

（3）由此可得一般規律：剪”刀，剪出〃+1個角，那么這〃+1個角的和是180〃度.

故答案為：360；540；720；180”.

【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內角互補是解本題的關鍵,

總結規律求解是本題的難點.

例5.（2023下?江蘇南京?七年級統考期中）從特殊到一般是數學研究的常用方法，有助于我們發現規律,

探索問題的解.

(1)如圖1,45〃CD,點E為A3、8之間的一點.求證：Zl+ZAffiZV+Z2=360°.

(2)如圖2,AB//CD,點、E、F、G、H為AB、8之間的四點.貝UNl+N2+N3+N4+N5+N6=

(3)如圖3,AB//CD,貝IJ/1+N2+/3+…+/〃=

【答案】（1）證明見詳解；（2）900°；（3）180°（?-1）;

【分析】（1）過點E作可得OE〃鈣〃8,根據平行線的性質可得N1+NMEO=180。,

ZO￡7V+Z2=180°,再計算角度和即可證明；⑵分別過點E、F、G、〃作A2的平行線，在兩相鄰平行

線間利用兩直線平行同旁內角互補求得兩角度和后，再將所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知

在A3、8之間每有一條線段便可求得一個180。角度和，結合圖3找出w和線段條數的關系便可解答；

【詳解】（1）證明：如下圖，過點E作OE〃居，

o

o

o1

o3

4

VAB//CD,OE^AB,：.OE\\CD,

根據兩直線平行同旁內角互補可得：Z1+ZMEO=180°,ZO￡2V+Z2=180°,

Z1+Z.MEO+ZOEN+N2=360°,Z1+/MEN+N2=360°；

(2)解：如下圖，分別過點E、F、G、H作O】E〃AB,O2F//AB,O3G//AB,O.H//AB,

結合（1）解答在兩相鄰平行線間可得：NAME+NMEQ=180。,

NQ斯+NE/。2=180°,ZO2FG+ZFGO3=180°,ZO3GH+ZGHO4=180°,

ZO4HN+ZHNC=180°,將所有角度相力口可得：Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=180°x5=900°；

(3)解：由(2)解答可知在A2、8之間每有一條線段便可求得一個180。角度和，

由圖3可知：當AB、CO之間有2條線段時，〃=3,當A3、8之間有3條線段時，”=4,

當A3、CO之間有4條線段時，n=5,當AB、CD之間有5條線段時，n=6,

當A3、8之間有("-1)條線段時，"=N1+N2+N3+…+/〃=180。(〃一1)；

【點睛】本題考查了平行線公理的推論，平行線的性質，歸納總結的解題思路，通過作輔助線將角度按組

計算是解題關鍵.

模型3.牛角模型

模型解讀

因為它長得像犀牛角，故取名牛角模型。

F

條件：如圖1,已知：AB//CD,且NE=a,ZABE=/3,Z.CDE=y,結論：/3=a+y.

證明：如圖，延長AB交。E于點F'：AB//CD,：.ZBFE=ZCDF=y,

?.,/ABE=/8/E+/E（外角定理），AZABE=ZCDF+ZE,尸=。+7；

條件：如圖2,已知：AB//CD,且/K=a,/ABE=0,/CDE=y,結論：/?=?+1800-/.

證明：如圖，延長交DE于點R

'：AB//CD,:.NBFD=/CDF=y,：.ZBF￡=1800-ZBFD=1800-7,

（外角定理），AZABE=ZE+180°-ZBFD,尸=￡+180°—/；

模型運用

例1.（2024?山西?模擬預測）抖空竹是一種傳統雜技節目，是國家級非物質文化遺產之一.如圖1是某同

學“抖空竹”的一個瞬間，若將其抽象成圖2的數學問題：在平面內，已知AB〃C￡>,ZEBA=80°,ZE=25°,

則的度數為（）

C.105°D.95°

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行線的性質，三角形外角的性質，延長CD交BE于E根據兩直線平行，同位

角相等得到NEFC=NEBA=80。，再由三角形外角的性質即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，延長8交班于凡

VAB//CD,ZEBA=80°,

：.ZEFC=ZEBA80°,

,/NEDC=ZE+/EFC,/E=25°,

Z￡DC=105°,

例2.（2023?安徽滁州?校聯考二模）如圖，若AB"CD,貝|（）

A.Z1=Z2+Z3B.Nl+/3=/2C.Zl+Z2+Z3=180°D.Zl-Z2+Z3=180°

【答案】A

【分析】如圖所示，過點E作則四〃CD〃防，由平行線的性質得到

Z3+ZCEF=180°,Zl+ZAEF=180°,進一步推出/I=N2+N3.

【詳解】解：如圖所示，過點E作

,/AB//CD,：,AB//CD//EF,：.Z3+ZCEF=180°,Zl+ZAEF=180°,

ZAEF=180°-ZLN3=180°—NCaF=180°—N2—NAEP,

/.Z3=180°-Z2-180°+Z1,/.Z1=Z2+Z3,故選A.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，同旁內角互補是解題的關鍵.

例3.（2022?湖北洪山?七年級期中）如圖，已知AB〃C。，P為直線A3,C。外一點，BP平分NABP,DE

平分NCDP,8尸的反向延長線交。E于點E,若/FED=a,試用。表示/尸為.

【分析】根據角平分線的性質得出/1=N2,Z3=Z4,平行線的性質得出N1=N5,N6=NPOC=2N3,

進而根據三角形內角和得出/5、ZFED,再得到々和。的關系，然后即可用。表示4.

【詳解】解：延長AB交PD于點G,延長FE交CD于點H,

?.,BP平分/ABP,DE平分/CDP,：.Z1=Z2,Z3=Z4,

'：AB//CD,：.Z1=Z5,N6=NPDC=2/3,

VZPBG=180°-2Z1,.,.ZPBG=180°-2Z5,.,.Z5=90°-ZPBG,

'：ZFED=iS0°-ZHED,Z5=180°-ZEHD,ZEHD+ZHED+Z3=180°,

A1800-Z5+1800-ZF￡D+Z3=180°,：.ZFED=180°-Z5+Z3,

：.ZFED^180°-(90°--ZPBG)+1z6=90°+1(ZPBG+Z6)=90°+?(180°-ZP)=180°-；

/P,,：ZFED=a,.*.fl=180°-1ZPAZP=360°-2a.故答案為：ZP=360°-2a.

【點睛】此題考查了角平分線的性質和平行線的性質及三角形內角和，有一定的綜合性，認真找出角的關

系是關鍵.

例4.（2023春?廣東深圳?九年級校校考期中）已知直線CD,點P為直線A3,。所確定的平面內

的一點，（1）問題提出：如圖1,ZA=120°,ZC=130°.求NAPC的度數:

（2）問題遷移：如圖2,寫出NAPC,—A,NC之間的數量關系，并說明理由:

(3)問題應用：如圖3,ZEAH,ZHAB=1:3,ZECH=20°,

圖1

3

【答案】（1）110°（2）ZAPC=ZA-ZC,理由見解析（3）［

【分析】（1）過點P作易得相〃/^〃8,由平行線的性質可得/”。=60。，ZCPQ=50°,

即可求出/APC；（2）過點尸作尸。〃A3,易得AB〃PQ〃CD,根據平行線的性質可得NAPC=NA-NC；

（3）過點E作過點H作瀝〃AB,易得EAf||C￡）,HN〃CD,根據平行線的性質可得

ACEA=ZBAE-Z.DCE,ZCHA=ZBAH-ADCH,再由己知等量代換，即可求得久的值.

ZE

【詳解】（1）解：如圖1所示，過點P作ZA+ZAPQ=180。,

圖1

圖3

ZA=120°,ZAPQ=180°-ZA=180°-120°=60°,AB//CD,---PQ//CD,r./C+NCPQ=180°.

ZC=130°,ZCPQ=180°-ZC=180°-130°=50°,ZAPC=ZAPQ+ZCPQ=60°+50°=110°；

(2)解：ZAPC=ZA-ZC,理由如下：

如圖2,過點P作尸。〃A3,ZAPQ=180°-ZA,AB//CD,PQ//CD,ZCPQ=180°-ZC,

■：ZAPC=ZCPQ-ZAPQ,ZAPC=180°-ZC-(180°-ZA)=ZA-ZC:

(3)解：如圖3,過點E作EW〃AB,過點H作HN〃AB,

■AB//CD,:.EM\\CD,HN//CD,

ACEA=NCEM-ZAEM=180。-NDCE-(180°-NBAE)=ZBAE-ZDCE,

ZCHA=ZCHN-ZAHN=180°-ZDCH-(180°-ZBAH)=ZBAH-ZDCH,

???ZEAH.ZHAB=1:3,ZECH=20°,NDCH=60。,

???ZCEA=ZBAE-ZDCE=4ZEAH-80°,ZCHA=ZBAH-ZDCH=3ZEAH-60°,

NCHA3/￡417-60。3(/￡AH-20。)_3

"ZCEA_4ZEAH-800-4(ZE4H-20°)-4'

【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質，正確構造輔助線是解題的關鍵.

例5.(2023下?遼寧大連?七年級統考期末)如圖，ZABE+ZBED=ZCDE.

(1)如圖1,求證AB〃CD；(2)如圖2,點尸在AB上，NCDP=NEDP,BF平分NABE,交PD于點F,探

究ZBFP,/血>的數量關系，并證明你的結論；(3)在(2)的條件下，如圖3,尸。交ED延長線于點

Q，ZDPQ=2ZAPQ,NPQD=80°,求NC￡>E的度數.

【答案】⑴見解析⑵=見解析(3)120°

【分析】(1)證明：延長CD交BE于點H,則NCDE=ZDHE+ZBED,結合已知即可得出NDHE=Z4BE,

據此即可得出結論；⑵設NEBF=a,ZCDP=J3,由角平分線的定義得ZEBB=ZAB尸，NPBE=2a,

由(1)可知A3〃CD,則NDP8=NCr>P=尸，ZAPD=180°-J3,然后由4P0=/4所+々》(得

ZBFP=180°-(a+J3),再四邊形的內角和等于360。得NB￡D+NEDP+NDPB+NPBE=360。，即

ZBED=360°-2(a+/3),據此可得出加了，N3ED的數量關系；

(3)設44尸。=6?,貝l]NQPQ=2。，ZAPD=36,由AB〃CO得/6?尸=180。一3。，而

NEDP=NPQD+NDPQ=80。+2。,然后根據NCDP=NED尸得180。-3。=80。+2。，據此可求出，=20。，則

ZCDP=ZEDP=120°,最后根據周角的定義可求出NCDE的度數.

【詳解】(1)證明：延長CD交BE于點、H，：.NCDE=ZDHE+ZBED，

ZABE+ZBED=Z.CDE,:.ZDHE=ZABE,：.AB//CD.

(2)解：ZBFP,4BE。的數量關系是：ZBED=2ZBFP,理由如下：

設NEBF=a,NCDP=0,...BF平分/ABE,ZCDP=ZEDP,

ZEBF=ZABF=a,NCDP=NEDP=q，NPBE=2ZEBF=2a,

由(1)可知：AB//CD,：.ZDPB=ZCDP=J3,ZAPD=180°-ZDPB=180°-,

ZAPD=ZABF+ZBFP,：.ISO°-J3=a+ZBFP,ZBFP=180°-(a+/3),

由四邊形的內角和等于360°得：ZBED+ZEDP+ZDPB+ZPBE=360P,

即：NBED+p+(3+2a=360°,ABED=360°-2(a+/)，ZBED=2ZBFP.

(3)解：設ZAPQ=6,..ZDPQ=2ZAPQ=20,

ZAPD=ZAPQ+ZDPQ=30,由(1)可知：AB//CD,

:.ZCDP+ZAPD=1SQ°,ZCDP=180°-ZAPD=180°-36,

APQD=80°,NEDP=ZPQD+ZDPQ=800+20,

?；NCDP=NEDP,.1180。-3。=80。+26,解得：0=20°,

Z.CDP=1800-30=120°,ZEDP=800+20=120°,根據周角的定義得：NCDE+NCDP+ZEDP=360°,

ZCDE=360°-(ZCDP+ZEDP)=360°-(120°+120°)=120°.

【點睛】此題考查平行線的判定和性質，角平分線的定義等，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握平行

線的判定及性質：兩直線平行O同位角相等，兩直線平行O內錯角相等，兩直線平行O同旁內角互補.

模型4.羊角模型

模型解讀

因長像酷似山羊角，故取名羊角模型。

條件：如圖1,已知：AB//DE,且/C=a,ZB=13,/D=y,結論：y=a+/3.

證明：'JAB//DE,:.NAFC=ND=y,

?.?/APC=/8+/C（外角定理），ZD=ZB+ZC,/.7=?+/7；

條件：如圖2,已知：AB//DE,且/C=e,ZB=p,/D=y,結論：180°-/=々+尸.

證明：\'AB//CD,：.ZBFD+ZD^180°ZBFD=180°-ZZ）=180°-/,

?.?/8切=/8+/。（外角定理），.?.180°-ZD=ZB+ZC,180°—7=a+尸；

模型運用

例1.（2024?重慶江津?模擬預測）如圖，已知/CDE=110。，如果AC〃DE,AC=BC,那么的度數

為.

【答案】35。/35度

【分析】本題考查平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形的外角定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

先根據平行線的性質得到NACD=70。，再根據等邊對等角以及外角定理即可求解.

【詳解】解：,/AC//DE,NCDE+ZACD=180°,

,：ZCDE=110°,：.ZACD=r70°,'：AC=BC,：.ZA=ZB,

,：ZACD=ZA+ZB,：.ZB=1x70°=35°,故答案為：35°.

例2.（2024.山東濟南.中考真題）如圖，已知/|〃4,VABC是等腰直角三角形，NR4C=90。，頂點A,2分

另！J在4,上，當/1=70。時，Z2=.

【答案】65。/65度

【分析】本題考查等腰三角形的性質，平行線的性質，根據平行線的性質，得到/3=/1,等邊對等角，得

到ZABC=45°,再根據角的和差關系求出Z2的度數即可.

【詳解】解：：VABC是等腰直角三角形，ZBAC^90°,：,ZABC=ZACB=45°,

2AA3

B

'：lA//l2,N3=Nl=70。，Z2=180°-Z3-ZABC=65°；故答案為：65°.

例3.（2023?河南?統考三模）如圖，已知ZABC=150°,ZCDE=15°,則NBC。的度數為（）

A.55°B.60°C.45°D.50°

【答案】C

【分析】過點C作CF〃AB,則AB〃DE〃CE,根據平行線的性質可得到N3CF=/ABC=150。,

NDCF=180°-NCDE=105°,即可求得NBCD=ZBCF-ZDCF=45°.

【詳解】如圖，過點C作CF〃AB,Z￡>CF+ZCDE=180°

,/AB//DE,CF//AB,：.AB//DE//CF.

AZBCF=ZABC=150°,.

?：NCDE=75°,NDCF=180°-75°=105°.

ZBCD=ZBCF-ZDCF=150°-105°=45°.故選C.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，正確作出輔助線，利用平行線的性質求解是解決問題的關鍵.

例4.（23-24七年級下?湖北武漢?期末）如圖，AB〃CD,的角平分線3尸交的角平分線的反

向延長線于點P,直線PB交CD于點、N,若NHCD-2NBNC=24。,貝°

D

【答案】36

【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形的外角定理，平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關的

性質定理,

根據角平分線的性質和NHCD—2/BNC=24。可得ZDCQ-ZBNC=12°,再根據三角形的外角定理分別求出

ZP,NH,進而可求解

【詳解】解：如圖所示：PQ交HM于點、E,

由題意可知：HP平分NASA/,CQ平分NHCD,

ZABP=ZMBP=|ZABM,ZHCQ=ZDCQ=|ZHCD,

ZHCD-2NBNC=24°,/.2ZDCQ-2NBNC=24°,即ZDCQ-ZBNC=12°,

ZDCQ^ZBNC+ZP,.?.ZP=12°,-.?AS11CDZBNC=ZABP=ZMBP

ZMBP是ABPE的一個外角，ZBEP=ZMBP-ZP=ZBNC-12°

NHEC=ZBEP=NBNC—12。；ZHCQ是^HCE的一個外角，

NH=NHCQ-ZHEC=ZDCQ-(NBNC-12°)=ZDCQ-NBNC+12°=12°+12°=24°

.?/+///=12。+24。=36。,故答案為：36

例5.(2023七年級下?江蘇?專題練習)已知AB〃MV.

⑵若b為直線MN、AB之間的一點，NE=1NEFB,BG平濟ZABF交MN于點、G,EF交MN于點、C.

①如圖2,若NN=57。，且BG〃EN,求—E的度數；②如圖3,若點K在射線BG上，且滿足

NKNM=>NENM,若ZNKB=NEFB,ZE=ZFBD,直接寫出ZE的度數.

4

【答案】⑴見解析⑵①NE=41。；②22.5。或18°

【分析】（1）過E作團〃MN,然后根據兩直線平行，內錯角相等進行解答即可；（2）①過尸作EP〃硒，

交.MN于H點、,過點尸作。尸〃則BG〃EN〃FP,MN〃。歹〃AB,根據平行線的性質可得

Z.CHF=Z.CGB=ZABG=57°,根據角平分線的性質結合=,從而得出

ZMHF+NHFB+ZABF=360。,進而得出答案；②過點尸作">〃AD,設/E=a=NFBD,則NPF5=a,

a

/EFP=3a,所以/￡7VM=2（z,ZKNM=~,然后分當K在BG上；當K在BG延長線上兩種情況進行解

答即可.

【詳解】（1）解：如圖，過E作EH〃MN,：,NN=NHEN,

XVMN//AB,：.EH//AB//MN,：.ZB^ZHEB,即ZB=ZHEN+ZNEB=ZN+ZBEN；

(2)①如圖，過F作FP〃EN,交MN于H點，過點尸作。尸〃AB,則BG〃石N〃FP,MN//QF//AB,

?：NN=57°,：.ZCHF=ZCGB=ZABG=ZBGC=ZN=57°,ZMHF=180°-57°=123°,

?.?86平分/45/，ZABF=2ZABG=114°,,:EN〃PF,：,ZE=ZEFP,

VZE=-ZEFB,即ZEFB=4ZE,：.ZHFB=3ZE,

4

ZMHF+ZHFQ=180°,ZQFB+ZABF=180°,/.ZMHF+ZHFB+ZABF=360°,

即123。+3/石+114。=360。，AZE=41°；

②如圖，過點尸作EP〃AD,設NE=a=NFBD,則NPF3=?,NEFP=NEHM=3a,

(y

：.ZEHN=1800-3a=1800-ZE-ZENM：.ZENM=2a,/KNM=一,

f2

7

當K在5G上，ZNKB=ZEFB=4a,：.ZNGB=-a=ZABG=ZGBF,

2