微專題26菱形

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識(shí)體系

rill

角線

fE?-I1特殊化對(duì)就性

|平竹四邊形’I

由

對(duì)角線

考點(diǎn)梳理

1.菱形的性質(zhì)與判定（6年3考）

⑴定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

（2）菱形的性質(zhì)

邊對(duì)邊平行，四條邊①

角對(duì)角②

對(duì)角對(duì)角線互相③,并且每一條對(duì)角線④

線組對(duì)角（人教獨(dú)有）

既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，有⑤條對(duì)稱軸,

對(duì)稱

對(duì)稱軸為兩條對(duì)角線所在的直線，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線

性

的交點(diǎn)

⑶菱形的判定

、①有一組⑥的平行四邊形是菱形（定義）;

邊

②⑦相等的四邊形是菱形

對(duì)角

對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形

線

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期鄰邊相等

/平行四邊形，

2.菱形面積

面積計(jì)算公式：S=a/z=詈(a表示一條邊長(zhǎng)，"表示此邊上的高，m,〃表示對(duì)角

線的長(zhǎng)).

練考點(diǎn)

1.如圖，在菱形A5CZ)中，ZABC=60°,對(duì)角線AC與瓦)交于點(diǎn)O,E為BC

的中點(diǎn)，連接OE,已知OE=1.

AD

:，-

*■"J7

HEC

第1題圖

(1)ZABD=°,ZBAD=°；

(2)菱形ABCD的周長(zhǎng)為；

(3)ABOE的形狀為；

(4)AC=,BD=；

(5)菱形ABCD的面積為.

2.如圖，四邊形45CD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,且互相平分，添加下列條

件，仍不能判定四邊形A5CD為菱形的是()

/2ibC*****^/

第2題圖

A.BC=CD

B.AB=AC

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C.AC±BD

D.ZABD=ZCBD

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1與菱形有關(guān)的證明及計(jì)算(6年3考)

例如圖①，在矩形A5co中，E,尸分別是線段A。，邊上的點(diǎn)，EF與BD

相交于點(diǎn)0,且EFLBD,連接5E,DF,BE=DF.

/^^\/

7］

RFC

例題圖①

(1)求證：四邊形BEDF為菱形;

(2)核心設(shè)問(wèn)若NABE=30°,且四邊形5ED尸的面積為4g,求四邊形尸

的周長(zhǎng)；［2022廣東13題考查］

(3)若NAD5=30°,EF=2,求的長(zhǎng);

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(4)若AD=6,AB=4,求七的值.

(5)如圖②，連接0C,若A5=4,BF=5,求tanNOCB的值.

例題圖②

真題及變式

命題點(diǎn)與菱形性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算（6年3考）

1.（2022廣東13題3分）菱形的邊長(zhǎng)為5,則它的周長(zhǎng)為.

2.（2024廣東15題3分）如圖，菱形的面積為24,點(diǎn)E是A5的中點(diǎn)，點(diǎn)

尸是5C上的動(dòng)點(diǎn).若ABE尸的面積為4,則圖中陰影部分的面積為.

第2題圖

2.1變圖形——將菱形背景變?yōu)榫匦?/p>

如圖，矩形A5CD的面積為36,E,F,G分別為ABBC,CD的中點(diǎn)，H為AD

上任一點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為.

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變式2.1題圖

3.（2017廣東21題7分）如圖所示，已知四邊形A5CZ）,AOE/都是菱形，ZBAD

=ZFAD,NBAZ）為銳角.

4

A

HfAF

第3題圖

（1）求證：AD±BF；

Q）若BF=BC,求NA。。的度數(shù).

拓展訓(xùn)練

4.（2024遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，菱形A05C的頂點(diǎn)A在％軸負(fù)

半軸上，頂點(diǎn)5在直線丁=9上，若點(diǎn)5的橫坐標(biāo)是8,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

4

第4題圖

A.(—1,6)

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B.(-2,6)

C.(-3,6)

D.(-4,6)

新考法

5.［注重過(guò)程性］(2024重慶A卷)

在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識(shí)后，智慧小組進(jìn)行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)，

過(guò)矩形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條

對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論.根

據(jù)他們的想法與思路，完成以下存留和填冬

(1)如圖，在矩形A5CD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn).用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)O作4。的垂

線，分別交ABCD于點(diǎn)E,F,連接ARCE(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)；

(2)已知：矩形ABC。，點(diǎn)E,尸分別在ABCD上，E/經(jīng)過(guò)對(duì)角線4。的中點(diǎn)O,

且EFLAC求證：四邊形AEC尸是菱形.

證明：二?四邊形A5CD是矩形，

：.AB//CD.

①,ZFCO=ZEAO.

二?點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

△CFO^^AEO(AAS).

(3)

又?:04=0。，

???四邊形AECF是平行四邊形.

'：EF±AC,

???四邊形AECF是菱形.

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進(jìn)一步思考，如果四邊形A5CD是平行四邊形呢？請(qǐng)你模仿題中表述，寫(xiě)出你猜

想的結(jié)論：④.

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考點(diǎn)精講

①相等②相等③垂直平分④平分⑤2⑥鄰邊相等⑦四條邊

教材改編題練考點(diǎn)

1.(1)30,120(2)8(3)等腰三角形(4)2,2舊(5)273

2.B

高頻考點(diǎn)

例(1)證明：???四邊形A5CZ)是矩形，

ZA=ZC=90°,AB=CD,AD=BC,AD//BC,

4Tq(BE=DF,

在RtAABE和RtACDF中，

kAB=CD,

.,.RtAABE^RtACDF(HL),

：.AE=CF.

"：AD=BC,

：.DE=BF.

\'DE//BF,

：.四邊形BEDF是平行四邊形.

又?：EFLBD,

J四邊形BEDF為菱形;

(2)解：VZABE=30°,

：.ZEBF=60°.

由(1)知四邊形BEDF是菱形，

：.BE=BF,ZEBO=30°,

；.△BE尸為等邊三角形，OB=WOE,即5。=舊石尸，

：.BE=EF,

,?*S四邊形8皮)尸

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：3BDEF=LxaEP=,

22

解得E尸=2近(負(fù)值已舍去)，

:.BE=BF=DE=DF=EF=2近,

：.四邊形BEDF的周長(zhǎng)=5石+5/+。石+。尸=8夜;

(3)解：?.?四邊形BED廠是菱形，

：.DE=DF.

'：BD±EF,ZADB=30°,

：.ZEDF=2ZADB=60°,

.?.△DE尸是等邊三角形，

：.DE=DF=EF=BF=2.

?.?四邊形A5CD是矩形，

ZADC=ZC=90°,

：.ZCDF=30°,

1

在RtACDF中，CF=jDF=1,

：.AD=BC=BF+CF=2+1=3；

(4)解：?.?四邊形5石。尸是菱形，

：.BF=DF.

"：AD=BC=6,

設(shè)。尸=%,則。尸=5/=BC—C尸=6一%.

二?四邊形A5CD是矩形，

：.CD=AB=4,ZC=90°,

在R3CD尸中，由勾股定理得，尸=。尸，

即42+x2=(6—%)2,

解得％=|，

???C尸的長(zhǎng)為|,

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：.DF=6-CF=—.

3

2

在R35C。中，由勾股定理，^DB=JBC2+CD=2y/13,

13____

?DF_y_V13

??DB2^136'

(5)解：?.?四邊形BE。尸為菱形，

：.BF=DF=5,BO=DO,

???四邊形A5CZ)為矩形，

:.NDCB=90°,

.,.在R35CD中，0為50中點(diǎn)，

1

0C=-BD=B0,

2

：.Z0BC=Z0CB.

又???四邊形A5CZ)為矩形，

ZBCD=90°,

"：CD=AB=4,

：.CF=JDF2~CD2=3,

.,.BC=3+5=8,

CD41

.,.tanZOCB=tanZOBC=—BC82

真題及變式

1.20【解析】???菱形的四條邊都相等，且邊長(zhǎng)為5,...菱形的周長(zhǎng)為20.

2.10【解析】如解圖①，連接5。，丁石是45的中點(diǎn)，.?.金AED=ABD=

24

菱形ABCD=6,連接EC,同理可得SABEC=SAAED=6,VSABEF=4,ASABEF=^SABEC，

：.FC=-BC,ADFC=；SABCD=：S菱形A8CQ=4,/.S陰影=S菱形ABCD—SAAED—SABEF

336

—5ADFC—24—6—4—4=10.

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第2題解圖①

一題多解法

如解圖②，延長(zhǎng)DE,CB交于點(diǎn)G,,：四邊形ABCD為菱形，，，ZGBE

=ZDAE,E是A3中點(diǎn)，BE=AE,,：/GEB=ZDEA,

：.△AED^ABEG(ASA),：.GE=DE,為。G中點(diǎn)，:&DEF=SAFGE=SABEF

1

+SBEG=4+SAED=4+24X-=10.

AA4

第2題解圖②

變式2.118【解析】如解圖，連接C",在矩形A5C。中，設(shè)AD=a,AB=

b,則AE="GC,BF=^a,：.S陰影=S長(zhǎng)方形ABC。一AEH—5AHFC-HCG=36—

111III

-AEAH--FCAB--HDCG=36--ADAE--FCAB=36--ab=18.

222222

,4HD

7c

Rk'C

變式2.1題解圖

3.