微專題15二次函數(shù)綜合題

類型一二次函數(shù)與線段有關(guān)問題

一階設(shè)問突破

方法解讀

1.求線段長

⑴與％軸垂直的線段的長：縱坐標(biāo)相減(上減下)；

(2)與y軸垂直的線段的長：橫坐標(biāo)相減(右減左).

2.線段數(shù)量關(guān)系問題

若兩條線段的長均可計算或表示出來，直接根據(jù)線段數(shù)量關(guān)系列方程即可求解，

若兩條線段的長無法直接計算或表示出來，可通過％軸或y軸的平行線構(gòu)造相似

三角形，將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)線段數(shù)量關(guān)系列方程求解.

3.利用二次函數(shù)性質(zhì)求線段最值

(1)求豎直線段的最值

第一步：設(shè)則m?+?)；

第二步：表示線段A/N的長，MN—at2+bt-\-c—mt—n；

第三步：化簡MN—at2-\-bt-\-c—mt—n=at1~\-(b—m)?+c—n,利用二次函數(shù)性質(zhì)

求最值；

XXVSIWOJl

Mf

/4

I/\

I\

⑵求斜線段的最值

利用銳角三角函數(shù)化斜為直得：MP=MNsinZMNP,再根據(jù)(1)的步驟解題即可.

ML

\V'BIIX?OX.f

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4.利用對稱性質(zhì)求線段和最值及點坐標(biāo)，即“將軍飲馬”問題(求PA+P5的最小

值及點P的坐標(biāo))；

(1)求點B關(guān)于對稱軸/對稱的點C的坐標(biāo)；

⑵連接AC交直線/于點P,此時點尸滿足要求，從而可求出PA+P5的最小值;

(3)用待定系數(shù)法求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

(4)將/對應(yīng)的x的值代入AC的函數(shù)表達(dá)式可得點P的坐標(biāo).

例1如圖①，已知二次函數(shù)y=一??—2%+3的圖象與次軸相交于A,5兩點(A

點在B點左側(cè))，與y軸相交于點C點P是直線AC上方的拋物線上的一個動

點，過點尸作尸軸，垂足為點O,交直線4。于點。.設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為用.

例1題圖①

一、表示點坐標(biāo)

(1)點P的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為,點Q的坐標(biāo)為

二、表示線段長

(2)PZ)的長為,。。的長為,尸。的長為.；

(3)點P到對稱軸的距離為，CQ的長為；

三、與線段數(shù)量關(guān)系有關(guān)的計算

(4)如圖②，若尸。=。。，求點尸的坐標(biāo)；

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例1題圖②

(5)如圖③，若42=2。。，求點尸的坐標(biāo)；［2020廣東25(2)題考查］

四、線段最值

⑹如圖④，過點尸作入軸的平行線，交直線4。于M點，求的最大值;

例1題圖④

(7)如圖⑤，點G是拋物線的對稱軸/上的一個動點，當(dāng)AG。。的周長最小時,

求言的值.

(JD

例1題圖⑤

二階綜合訓(xùn)練

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1.(2024佛山二模)如圖,拋物線y=X2+b%+c與直線＞=丘+祖(原0)相交于點A(0,

-4),5(5,6),直線AB與％軸相交于點C.

⑴求拋物線與直線45的表達(dá)式；

(2)點D是拋物線在直線A5下方部分上的一個動點，過點D作DE//x軸交A5

于點E,過點。作。尸〃y軸交A5于點尸，求。尸一QE的最大值.

\|/

\V/

\//

t,oc，/，/_:

第1題圖

類型二二次函數(shù)與面積有關(guān)問題

一階設(shè)問突破

方法解讀

求幾何圖形面積

方法一：直接公式法

一邊在坐標(biāo)軸上(或平行于坐標(biāo)軸)，S^ABC=^AB-h.

rc業(yè)

LA

一B/

1V)H*Ox

方法二：分割法

三邊都不在坐標(biāo)軸上(或都不平行于坐標(biāo)軸).

11

5AABC=SAABD+&BCD=~^D-(AE+CF)=-BD(yc~yA).

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方法三：補(bǔ)全法

三邊都不在坐標(biāo)軸上(或都不平行于坐標(biāo)軸).

5AABC~SJ\ACD—5AABD—SABCC.

注：對于四邊形面積計算，可連接一條對角線將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個三角形面積之

和求解.

例2如圖，拋物線y=—f+3%+4與％軸交于A,5兩點(點A在點5左側(cè)),

與y軸交于點。，點。是第一象限拋物線上的動點，設(shè)點。的橫坐標(biāo)為

一、求三角形、四邊形面積

(1)如圖①，當(dāng)點。位于拋物線的頂點處時，連接OO,CD,求△OCD的面積;

例2題圖①

(2)如圖②，若1=2,連接AC,CD,BD,求四邊形的面積;

例2題圖②

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二、面積定值及最值

(3)如圖③，連接A。，BD,若△人與。的面積為15,求點。的坐標(biāo);

方法解讀

利用二次函數(shù)性質(zhì)求面積最值：用同一未知數(shù)表示出動點的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出所

求圖形的面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解最值.

(4)核心設(shè)問如圖④，連接5。，過點。作。尸〃5。交工軸于點尸，連接尸。，求

△BPD面積的最大值及此時點D的坐標(biāo)；［2022廣東23⑵題考查］

三、面積等值、倍分關(guān)系

(5)如圖⑤，連接5。，CD,OD,若SABOD=&COD,求點。的坐標(biāo).

例2題圖⑤

二階綜合訓(xùn)練

1.(2024福建)如圖，已知二次函數(shù)y=%2+for+c的圖象與％軸交于A,5兩點,

與y軸交于點。，其中A(—2,0),C(0,-2).

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(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵若尸是二次函數(shù)圖象上的一點，且點尸在第二象限，線段PC交%軸于點。,

△PDB的面積是^CDB的面積的2倍，求點P的坐標(biāo).

第1題圖

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類型一二次函數(shù)與線段有關(guān)問題

一階設(shè)問突破

例1解：(1)(根，—m2—2根+3),(m,0),(m,m+3)；【解法提不】令y=0,

得一x2—2%+3=0,解得％1=—3,%2=1,???點A(—3,0),點5(1,0)；令％=0,

得y=3,???點。(0,3)；設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=Ax+b(?0),將點A(—3,0),

點C(0,3)代入中，得｛1:字匕=°，解得｛:二;，,直線AC的表達(dá)

式為y=%+3...,點尸的橫坐標(biāo)為相，，點P縱坐標(biāo)為一/一2機(jī)+3,..,PQ_LX軸，

...點。橫坐標(biāo)為處則縱坐標(biāo)為根+3,二?尸。軸，，點。橫坐標(biāo)為機(jī)，縱坐

標(biāo)為0.

(2)~m2—2m+3,m+3,—m2—3m；

(3)Im+1I,-V2m；

(4)由(2)可知。。的長為加+3,P。的長為一小一3根，

'：PQ^DQ,

—m2-3m=m+3,

解得m=—1或m=—3,

???點P不與點A重合，

??m的值為一1,

???P(T,4)；

(5)：PQ〃y軸，

.AQAD

??ACAO9

'：AQ^2CQ,

.AQ2

??AC3,

.AD2

..一=一，

AO3

VA(-3,0),

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：.A0=3,

：.AD=2,OD=1,

'.m——1,止匕時一m2—2機(jī)+3=4,

1,4),

(6Y：OA=OC=3,PA/〃入軸，

ZPMQ=ZCAO=45°,

'：PD±x^,

：.ZADQ=/QPM=90°,

△PMQ為等腰直角三角形，

：.MQ=y[2PQ,

OQ

PQ=-m2—3m=—(m+-)2+-,—l<0,-3<m<0,

:.PQ的最大值為:

：.MQ的最大值為手.

，拋物線對稱軸為直線％=--=

(7)Vy=—2%+3,一2-1.

如解圖，連接AC,交拋物線對稱軸I于點G,由拋物線的對稱性得GA=GB,：.GB

+GC=AG+GC>AC,即當(dāng)A,G,。三點共線時，G5+GC取得最小值，止匕時

△G5C周長最小.

由(1)得直線AC的表達(dá)式為y=%+3,

當(dāng)x=-1時，y=2,

：.G(-b2).

0),C(0,3),

.GC_心+聲_i

GB122+222

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例1題解圖

二階綜合訓(xùn)練

［解：(1)由題意,將點A(0,-4),B(5,6)代入y=l?+6%+c中,

c=—4b=-3

，解得

、25+5b+c=61c=-4

拋物線的表達(dá)式為y=%2—3%—4.

將點A(0,-4),5(5,6)代入丁=日+加中，

得4,解得上=—4,

<5k+m=65=2

???直線AB的表達(dá)式為y=2x—4；

(2)由題意，設(shè)Z)(〃，a2—3a—4)(0<〃<5),

令2x—4—屋一3a—4,得％=3次-3a),

/.￡(：〃2一a2—3a—4).

令x=a,則尸2〃一4,

:?F(a,2a—4).

/.DF—DE=2a—4—(次一3a—4)—[a-(|^z2—§〃)]

——Q2+-Q

1

V--＜o(jì),0＜。＜5,

2

..?當(dāng)寸，一OE取得最大值，最大值為總

2o

類型二二次函數(shù)與面積有關(guān)問題

一階設(shè)問突破

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例2解：(1)令X=0,得y=4,

.,.C(0,4),

OC=4,

Vy=-x2+3x+4=—(x—1)2+^^

**?5AOCD=~OC-IXDI=5X4X5=3；

(2)如解圖①，連接5C,過點。作。E，次軸交于點E,

令一%2+3%+4=0,解得％=—1或%=4,

0),5(4,0),

由(1)可知，C(0,4),

：.AB=5,OB=OC=4,

設(shè)BC所在直線的表達(dá)式為丁=丘+6(厚0),

將5(4,0),C(0,4)代入〉=履+。中，

得『憶+5=。，解得g=—1,

(b=45=4

：.BC所在直線的表達(dá)式為y=—%+4,

.,.當(dāng)1=2時，一戶+3彳+4=6,—/+4=2,

???0(2,6),EQ,2),

：.DE=4,

11

?，-S四邊形ABDC=SAABC+SABCD=-x5x4+-x4x4=18；

例2題解圖①

(3)由(2)可知，AB=5,

第11頁共13頁

112

.?.5AABD=jAB-yD=jx5x(-/+3r+4)=15,

解得r=l或t=2.

當(dāng)彳=1時，一尸+3/+4=—l2+3xl+4=6；

當(dāng)彳=2時，一5+3%+4=—2?+3x2+4=6,

綜上所述，點。的坐標(biāo)為(1,6)或(2,6)；

(4)如解圖②，連接5C,CD,過點。作軸交于點0,

,：CP//BD,

1

=

???5ABPD=S&BCD=S&BDQ~\~S^CDQ-DQOB,

由⑵可知，所在直線的解析式為y=—%+4,

二?。(工一，+4),

F+3/+4—(―%+4)=一戶+4%,

-1

=2

S&BPD-(—F+4力x4=—2(?—2)+8,

V-2<0,0<Y4,

???當(dāng)/=2時，&8PD有最大值，最大值為8,

此時一F+3/+4=—22+3x2+4