2025年中考數學提升訓練：四邊形

一、單選題

1.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD交于點0,E為的中點，菱形的周

長為28,則OE的長等于（）

A.3.5B.4C.7D.14

3

2.如下圖所示，在矩形中，DE工AC于點E,設/ADE=tz,且cosc=《，AB=4,

則AC的長為（）

3.如圖，在口ABCD中，E是邊C。的中點，AE交8。于點0,如果WOE的面積為1,那

4.如圖，在矩形紙片A2CD中，AB=5,BC^3,將△BCD沿8D折疊到的位置，DE

交A8于點尸，則tanNAD尸的值為（）

E

c15

ABcD.—

-u-H-A17

5.由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABC。（如圖所示），連結

則tanN&歸的值為（)

c-1D-i

6.如圖，在VABC中，AB=3fAC=4,BC=5,尸為邊上一動點，PELAB于E,PF1AC

于尸，以為跖的中點，則AM的最小值為（）

A.2.4B.2C.1.6D.1.2

7.如圖，矩形ABC。中，點P在對角線8。上，延長轉交。C于點G,過點尸作砂，AG,

分別交A。、3C于點E、F,AB=3,AD=4.如果ZAEP=NAPB,那么AP的長是（）

r6>/5

X-Z.--------------

5

8.如圖，在平面直角坐標系中，矩形A5C。的頂點A,8分別在y軸正半軸、x軸正半軸上,

頂點C,O在第一象限，已知。4=OB=2,BC=46,將矩形ABCD繞點。逆時針旋轉,

每次旋轉90。，則第2025次旋轉結束時，點C的坐標是（）

A.（6,4）B.（T,6）C.（-6,-4）D.（4,-6）

二、填空題

9.如圖，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,將矩形沿AC折疊，點。落在點。夕處，則重疊

部分AAFC的面積為.

10.如圖，在wWC。中，47,8。交于點。48=13,4?=24,。3=10,則四邊形ABC。

是.

11.如圖，在VABC中，正方形EFG"的兩個頂點區歹在8C上，另兩個頂點G、〃分別

在AC、AB上,8C=15,8C邊上的高是10,則正方形的面積為.

12.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為AB延長線上一點，F為AD上一點，ZDEF=NC,

7

若DE=4,AF=-,則AD的長是.

AFD

E

13.如圖，正方形ABC。中，點區F、G分別在邊極BC、A。上，&AE=BF=DG,

連接CE、FG,交于點H,如果AE:3E=1:2,那么空的值為.

14.如圖，已知正方形A2CD的邊長為12,BE=EC,將正方形邊CD沿DE折疊到,

延長E尸交A3于點G,則A3￡G的周長為.

15.如圖，在矩形A2CZ）中，AB=3,BC=2,將VABC繞點A按逆時針方向旋轉到△AEF

并使點。在AE邊上時，連接CE,則CE=.

16.如圖，已知矩形ABC。，AB=6,AD=8,點E為邊BC上一點，連接DE,以DE為

一邊在與點C的同側作正方形DEFG,連接AF.當點E在邊BC上運動時，AF的最小值

是.

三、解答題

17.已知：如圖，在nABCD中，E,尸分別是A3和CD的中點.

⑴求證：四邊形AE■(才是平行四邊形；

(2)連接AC,當AC與3C滿足怎樣關系時，四邊形AECT為矩形，并說明理由.

18.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,80相交于點。.

⑴求證：OA=OC,0B=0D；

⑵若對角線AC與8。的和為18,AB=6,求VA03的周長.

19.如圖，將兩個全等的矩形ABC。和矩形BEFG交叉重疊，重疊部分為四邊形

E

(1)求證：四邊形為菱形；

(2)若AB=8,BM^10,求MK的長.

20.綜合與探究

問題情境

如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=IO,E為AB邊上的一點,連接CE.將矩形ABCD

沿直線CE折疊，點2的對應點為產.

備用圖

(1)如圖1,當點尸落在AD邊上時.

①求AE的長.

②如圖2,連接BF交CE于點G,過點B作BNLCF于點、N,交CE于點跖試判斷研，MN

與的數量關系，并說明理由.

深入探究

(2)當點F落在上方時，EP交于點P,CE交4)于點°,連接4尸.若“1PF為

等腰三角形，請直接寫出的長.

《2025年中考數學一輪復習提升訓練：四邊形》參考答案

題號12345678

答案ADBABDCB

1.A

【分析】本題考查了菱形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，由菱形的周長可求得">=7,

再利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可求得答案.

【詳解】解：；菱形ABCD的周長為28,

邊長為AD=7,

ACJ.BD,

：.ZAOD=90°,

E為AD的中點，

OE=-AD=3.5.

2

故選：A.

2.D

【分析】本題考查了矩形的性質，銳角三角函數的定義.根據同角的余角相等求出

ZADE^ZACD,再根據兩直線平行，內錯角相等可得NR4C=NACD,然后求出AC即可.

【詳解】解：AC,

:.ZADE+ZCAD^9Q°,

ZACD+ZCAD=90°,

Z.ACD=Z.ADE=cc,

;矩形A5CD中，AB//CD,

,\ZBAC=ZACD,

3

COS6Z,

AB3

???_—―，

AC5

“統4=型，

33

故選：D.

3.B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質.解決本題的關鍵是根據

相似三角形的面積比等于相似比的平方求出AABO的面積.首先根據平行四邊形的性質可證

血叱心）且相似比為g，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方可得小磔=1,

從而可求AABO的面積.

【詳解】解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB\\CDS.AB^CD,

:.AEDMAABO,

■.?點E是CD的中點，

,DE一1

??~-=一,

CD2

DE_1

??一，

AB2

??v—1

?"EDO-1，

S-ABO=4.

故選：B.

4.A

【分析】先根據矩形的性質和折疊的性質，利用“AAS”證明△例）四AEEB,得出AF=EF,

DF=BF,設AF=EF=x,則DF=BF=5-x,根據勾股定理列出關于x的方程，解方程

得出尤的值，最后根據正切函數的定義求出結果即可.

【詳解】解：：四邊形9CD為矩形，

CD=AS=5,AD=3C=3,ZA=/C=90°,

根據折疊可知，BE=BC=3,DE=DC=5,ZE=ZC=90°,

ZA=ZE=90°

在△AFD和AEFB中■ZAFD=NEFB,

AD=BE=3

：.&4FD/曲B(AAS),

:.AF=EF,DF=BF,

^AF=EF=x,貝！|D尸=3尸=5—x,

在RtAADB中，DF2=AF2+AD2,

即（5-x）2=f+32,

解得：X=|，

,■,AF=I

8

tan4OF=竺=5故人正確?

DF315

故選：A.

【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質，勾股定理，三角函數

的定義，根據題意證明△AFD絲△EEB,是解題的關鍵.

5.B

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、正切的定義、正

方形的性質，作的_LCG于由題意可得/=尸C=N/MF=90。證明

IMCM1

△ICMs^CF,得出——=——=—,設CM=a,IM=b,則3尸=3匕，CF=3a,由全等

BFCF3

三角形的性質可得5石=CF=OG=3a,由正方形的性質EF=G尸=3尸一3石=3〃一3々，證

明△"NSSPG,得出2〃=b,最后再由正切的定義求解即可.

由題意可得：NFGD=NBFC=NIMF=90。，

ZICM=ZBCF,

：.小ICMs小BCF,

.IMCMCl

**BF-CF-BC

V—=2,

IC

.IMCM

??赤一方一

設CM=a,IM—b,則BF=3b,CF—3a,

??,四個直角三角形全等，

:.BE=CF=DG=3a,

??,中間為正方形，

EF=GF=BF-BE=3b-3a,

9：ZIFM=ZDFG,

：.^IFM^DFG,

.IMDG

.b_3a

2a3b-3a'

解得：2a=b^a=—b（不符合題意，舍去），

._BE3a3a1

..tanZBAE=——=——=——=一，

AE3b6a2

故選：B.

6.D

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，矩形的性質和判定，直角三角形的性質，先說

明VABC是直角三角形，進而得出四邊形詆￡是矩形，可知當3c時，AM最小，然

后根據面積相等得出答案.

【詳解】解：連接AP,如圖.

AB2+AC2=BC2,

...VABC是直角三角形，且N54C=90。.

PE±AB,PFLAC,

，四邊形AFPE是矩形，

AP與EF互相平分，

為EP的中點，

...點〃在AP上，且

2

...當AP最小時，AM最小,

根據直線外一點到直線上任意一點的距離，垂線段最短，即AP，3c時，AP最短，同樣,

最短.

Sw=2-AB2AC=-BCAP,

即AP=W=2.4,

/.AM」AP=1.2.

2

故選：D.

7.C

【分析】如圖，過點A作于點Q,根據矩形的性質得BD=〃爐+A>=5，由

SAABD=^BD-AQ=^AB-ADnAQ=^,由勾股定理得=匚而7=個，證明

△AQPsAAPE得"=些，即箓=與，證明APDE^AADP^A-=—繼而得到

PEAPAQAPAPAD

1_6__尤

蕓=黑，設。P=x，則尸。=’一無，得啟，解得：尤=2，再根據4尸=，4。2+。尸2

AQ/\L)545

y

可得結論.

【詳解】如圖，過點A作AQL3O于點。,

???矩形A5CD中，AB=3,AD=4,

BD=>JAB2+AD2=V32+42=5，

-：SAABD=^BD-AQ=^AB-AD,

ABDAQ=ABAD,即5AQ=3x4,

??.Y

在Rt"QD中，QD=』AD2-AQ2=16

y

AQ1BD,EFlAG,

ZAQP=ZAPE=90°,

XVZAEP=ZAPB,

：.AAQP^AAPE,

.QP_^Q曰n"="

??PE~AP'AQAPf

VZ1+ZA￡P=9O°,N2+NDPG=90。,

XVZAEP=ZAPB=/DPG,

Z1=Z2,

又?："DE二ZADP,

APDE^AADP,

.PEPD

**AP-AD?

.QPPD

??而一茄’

設QP=x,貝|尸。=當一%,

??以二4

y

解得：x=［，

2

126

在R3AQP中,AP=y/AQ2+QP2=

AP的長是述.

5

故選：C.

【點睛】本題考查矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，直角三角形兩銳角互

余，等積變換等知識點.掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

8.B

【分析】過點C作CELx軸于點E,連接OC,求出點C坐標，矩形A8CD繞點。逆時針

旋轉,每次旋轉90。,360。+90。=4,得到每循環4次與原圖形重合，根據2025+4=506-1,

得到第2025旋轉結束時，點C的坐標與第1旋轉結束時點C的坐標相同.根據矩形繞點。

逆時針旋轉1,即線段OC繞點0逆時針旋轉90。，得到線段OC，其中點C'落在第二象限.求

出點C的坐標，即可得出結果.

【詳解】解：如圖，過點C作CE，x軸于點E,連接OC,

/A5c=90。，

:.NCBE=45。,

ZBCE=45°=ZCBE,

：.BE=CE,

CE2+BE2=BC2,

2CE2=(4揚2,

,-.CE=BE=4,

OE-6,

.-.C(6,4).

:矩形繞點。逆時針旋轉，每次旋轉90。，360。+90。=4,

每循環4次與原圖形重合，

,/2025+4=506…1,

...第2025次旋轉結束時，點C的坐標與第1次旋轉結束時點C的坐標相同,

即第2025次旋轉結束時，點C落在第二象限，

如圖，過點C'作軸于點

則OC'=OC,ZCOC=90°,

ZC'OE'=ZCOE,ZC'E'O=ZCEO,

:.?OE會?OE,

:.OE'=OE=6,C'E'=CE=4,

...第2025次旋轉結束時，點C的坐標為(T,6).

故選：B.

【點睛】本題考查坐標系下圖形的旋轉，點的規律探究，勾股定理，等角對等邊，全等三角

形的判定及性質.解題的關鍵是確定旋轉過程中點的坐標規律.

9.10

【分析】本題主要考查了矩形的折疊，勾股定理，全等三角形的性質和判定，

先根據矩形的性質和折疊的性質證明再設=貝I|AF=8-x,根據

勾股定理可求出AF,進而得出答案.

【詳解】解：：四邊形ABC。是矩形，

/.AD=BC=4,ZB=ZD=90°.

根據折疊可知AD=AD'=BC,ZD=ZD'=ZB=90°.

??ZAFD'=ZBFC,

：.AAED'出Z\CFB,

-?DF=BF>

設ZXF=x,則AF=8—x,

在RMAFZ7中，(8-X)2=X2+42,

解得：x=3,

：.AF=AB-FB=8-3=5,

--S^AFC=^AFBC=10.

故答案為：10.

10.菱形

【分析】本題主要考查了菱形的判斷、平行四邊形的性質、勾股定理的逆定理等知識，熟練

掌握菱形的判定定理是解題關鍵.首先根據平行四邊形的性質可得Q4=12,03=5,再結

合勾股定理的逆定理證明AC人9,結合“對角線相互垂直的平行四邊形為菱形”證明四邊

形ABC。是菱形即可.

【詳解】解：；四邊形A5CD為平行四邊形，A3=13,AC=24,=10,

11

/.OA=-AC=12,OB=-BD=5,

22

又,/OA2+OB2=169=AB2,

AZAOB=90°,即ACj"

???四邊形A3CD是菱形.

故答案為：菱形.

11.36

【分析】本題主要考查正方形的性質、相似三角形的判定及其性質等幾何知識點的應用問題,

作輔助線，構造三角形相似是解題的關鍵.過點人作4。垂直于于點。，交用于點

則可證明△AHGSAABC,進而求出HG的長，即可解決問題.

【詳解】解：過點A作AD垂直于3c于點。，交用于點/，則NADC=90。,

■.?四邊形EFGH是正方形

:.HG\\EF

ZAHG=ZB,ZAMG=ZADC=90°

???ZA=ZA

.△AHGs^ABC

:.AM:AD=HG:BC

設HG=尤貝(JAM=1O—x

???BC=15,AD=10

「.x:15=(10-x):10

解得：x=6

???正方形EFGH的面積為6x6=36，

故答案為:36.

【分析】本題考查了平行四邊形的性質及相似三角形的判定與性質，由平行四邊形的性質得

出AD=5C,ZA=ZC,結合已知得出△。尸ESADE4,利用相似三角形的性質結合題意

求出AD的長度即可.

【詳解】解：???四邊形ABC。是平行四邊形,

；?AD=BC,ZA=ZC,

9：ZDEF=ZC,

???ZDEF=ZA,

■:ZEDF=ZADE,

:./\DFEc^ADEA,

.DEAD

''~DF~~DE'

7

VDE=4,AF=-,

3

7

???DF=AD-AF=AD一一，

3

4AD

*,*AD--4'

3

/.42=^AD-1^AD,

=?或AD=—3（舍去），

???AD的長是g,

故答案為：—.

13.-

4

【分析】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，延長ZM、CE交于點P,設

AE=a,貝|AE=5尸=DG=a,BE=2AE=2a,由正方形的性質可知AD=3C=AB=3a,

3

AD//BC,故AG=CF=2a,^APE^BCE,根據相似三角形的性質求出=，貝|

□7RHPC1

PG=2〃+立=彳〃，最后證明△PGHs<FH,根據相似三角形的性質力=:二即可求解,

22HFCF

掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，延長04CE交于點P,

設AE=a,

?：AE=BF=DG,AE:BE=l:2f

：.AE=BF=DG=a,BE=2AE=2a,

四邊形ABC。是正方形，

：.AD=BC=AB=3afAD//BC,

：.AG=CF=2a,^APE^^BCE,

.APAE1AP1

.?==—,艮RnJ=——,

BCBE23a2

337

??A,P=-a,?.PG=2QH—ci——a,

222

■:PG//CF,

入PGHsCFH,

7

AGHPG2aJI,

HF~CF~2a~l

7

故答案為：—.

4

14.24

【分析】本題考查了正方形的折疊問題，勾股定理，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵

是熟練運用勾股定理，全等三角形的判定與性質.

連接GD,證明AADG絲AEDGCffi）得出AG=fG,設AG=RJ=x,貝i]EG=x+6,

BG=n-x,勾股定理求得X=4,則AG=G/=43G=8,進而勾股定理求得GE,即可求

解.

【詳解】解：連接GO,如圖所示，

由折疊可知，DF=DC=DA,

ZDFE=ZC=90°,

:.ZDFG=ZA=90°,

RaADG注RtJDG(HD,

AG=FG,

正方形邊長是12,

:.BE=EC=EF=6,

^AG=FG=x,則EG=x+6,

5G=12—%,

由勾股定理得：EG2=BE2+BG2,

即：(%+6/=6。+(12-x)2,

解得：x=4,

,-.AG=GF=4fBG=8,

GE=JBE。+BG?=A/62+82=10，

/\BEG的周長為BE+EG+GB=6+8+10=24,

故答案為：24.

15.710

【分析】本題考查了矩形的性質，旋轉的性質，勾股定理,根據矩形的性質可得AB=CD=3,

BC=AD=2,ZADC=ZCDE=90°,根據旋轉的性質得出AB=AB=3,則可求

DE=AE-AD^\,然后在Rt^CDE中，根據勾股定理求解即可.

【詳解】解：：矩形ABC。中，AB=3,BC=2,

：.AB=CD=3,BC=AD=2,ZADC=ZCDE=90°,

,/將VA3C繞點A按逆時針方向旋轉到△AEF并使點。在AE邊上，

AE=AB=3,

：.DE=AE-AD=1,

CE=VCD2+DE2=V10，

故答案為：y/10.

16.10A/2

【分析】過點E作EH_LAD于點過點/作交BE的延長線于點K,交AB的

延長線于點M,利用矩形的判定與性質，正方形的性質，直角三角形的性質和全等三角形

的判定與性質得到狂=團=6,KE=HD,設AH=x,則印)=EK=8—x,MH=x,

利用勾股定理，配方法以及非負數的意義解答即可得出結論.

【詳解】解：過點E作于點過點尸作交8E的延長線于點K,交AB

的延長線于點

M

8

G

AHD

??,四邊形ABC。為矩形，

.*?AB=CD=6,AD=BC=8,Z.C=ZADC=90°,

?；EH工AD,

???四邊形CDHE為矩形，

???EH=CD=6,

??,四邊形。￡FG為正方形，

AEF=ED,/FED=90。,

:?NKEF+NHED=90。,

■:FKLBE,

：.NKFE+NKEF=90°,

???NKFE=ZHED,

在△KFE和△/￡￡￡>中，

NFKE=ZEHD=90°

<NKFE=ZHED,

EF=DE

：.△仔E%HED（AAS）,

；.KF=EH=6,KE=HD，

???ZBAH=ZAHE=ZMKH=9Q0,

：.四邊形AEKM為矩形，

；?AH=MK,AM=HK,ZM=90°,

設=則HD=EK=8—x,MH=x,

：.AM=HK=HE+EK=\A-x,MF=KF+MK=6+x,

222

在RtZWM中，AM-^MF=AF9

???AF=^（14-X）2+（6+X）2=^2（X-4）2+200,

V2（X-4）2>0,

，當尤=4時，,取得最小值為血而=100，

AF的最小值是100,

故答案為：10匹.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，矩形的判定與性質，勾股定理，二次函數的最值,

全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是靈活運用這些性質.

17.(1)見解析

(2)當AC=BC時，四邊形AEC尸為矩形，理由見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的性質與判定、矩形的判定，熟練掌握平行四邊形的性質與

判定，矩形的判定是解題的關鍵.

(1)利用平行四邊形的判定即可得證；

(2)補充條件為AC=BC,結合點E為AB的中點，利用三線合一性質可得CE1AB,由

(1)得四邊形AEW為平行四邊形，利用矩形的判定即可得證.

【詳解】(1)證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AB=CD,AB//CD.

■.E,尸分別是AB和CD的中點，

11

AE=-AB,CF=-CD,

22

：.AE=CF,

又：AE〃Cr,

.,?四邊形AECP為平行四邊形.

(2)解：當AC=3C時，四邊形AEC尸為矩形，理由如下：

如圖，

-.AC=BC點E為AB的中點,

:.CE±AB,

:.ZAEC^90°,

由(1)得，四邊形MC尸為平行四邊形,

，四邊形AEW為矩形.

18.(1)見解析

⑵15

【分析】本題考查了平行四邊形的性質；

(1)根據平行四邊形的對角線互相平分可直接得出結論；

(2)根據平行四邊形的性質求出。4+03=gAC+g8。=9,然后即可計算NA0B的周長.

【詳解】(1)證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，

AOA^OC,OB=OD；

(2)由題意得AC+3D=18,

由(1)知ft4=0C,OB=OD,

：.OA+OB=-AC+-BD=-(AC+BD}=-x18=9,

222、72

...VA03的周長為：OA+OB+AB=9+6=15.

19.(1)見解析

(2)475

【分析】(1)根據題意得到KN〃的W,BK//MN,AB=EB,推出四邊形平行四

邊形，根據全等三角形的性質得到KB=MB,根據菱形的判定定理得到結論；

(2)過點于X,根據矩形的性質得到/四=鉆=8,根據菱形的性質得到

BK=BM=10,根據勾股定理得BH=《BK-HK。=6到，求得碗=10-6=4,根據勾股定理

得到MK=y)HK2+HM2=7§2+42即可求解.

【詳解】(1)證明：兩個全等的矩形A3C。和矩形BEFG交叉重疊,重疊部分為四邊形BMNK,

:.KN〃BM,BK//MN,AB=EB,ZABC=ZGBE=ZA=90°,

：.四邊形及3K平行四邊形，

EB=AB,^EBM=ZABK=90°-ZKBM,ZE=ZA=90°,

/.△ABK%ERM(ASA),

KB=MB,

.?.四邊形的K是菱形；

(2)解:過點K作姐，3c于H,

G

Ay\y^D

B\H/MC

E

則NBZ/K=NABC=NA=90。，

，四邊形是矩形，

HK=AB=8,

:四邊形及3K為菱形，

BK=BM=10,

在Rt^BHK中，BH=4BK2-HK2=V102-82=6

府