專題28解直角三角形（58題）一、單選題

（2024?吉林長春?中考真題）

1.2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成

功發射.當火箭上升到點A時，位于海平面R處的雷達測得點R到點A的距離為。千米，仰

角為6,則此時火箭距海平面的高度"為（）

1

皿：,必■;\

,<可與;\

1

P二ia二wNX

LR

A.asin。千米B.千米C.acos。千米D.當千米

sin。COS”

（2024?天津?中考真題）

2.、&os45。7的值等于（）

A.0B.1C.叵-1

D.V2-1

2

（2024?甘肅臨夏?中考真題）

4

3.如圖，在VA5C中，AB=AC=5,sinB=-f則5c的長是（）

A

△

A.3B.6C.8D.9

（2024?四川自貢?中考真題）

4.如圖，等邊VABC鋼架的立柱。。，48于點￡1,4B長12m.現將鋼架立柱縮短成DE,

ZBED=60°,則新鋼架減少用鋼（）

A.（24-12V3）mB.（24-8月）mC.（24-6^）mD.（24-44）m

（2024.四川德陽?中考真題）

5.某校學生開展綜合實踐活動，測量一建筑物cr）的高度，在建筑物旁邊有一高度為10米

的小樓房,小李同學在小樓房樓底B處測得C處的仰角為60。，在小樓房樓頂A處測得C

處的仰角為30。.（AB、CD在同一平面內，在同一水平面上），則建筑物CD的高為（）

米

A.20B.15C.12D.10+573

（2024?廣東深圳?中考真題）

6.如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高L8m的測量儀跖測得的仰角為45。，小軍在

小明的前面5m處用高1.5m的測量儀C￡?測得的仰角為53。，則電子廠A3的高度為（）（參

434

考數據：sin53°,cos53°,tan53°?—）

A

____r.M

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

（2024.內蒙古包頭.中考真題）

7.如圖，在矩形ABCD中，瓦廠是邊上兩點，S.BE=EF=FC,連接DE,AEDE與AF

相交于點G,連接BG.若AB=4,BC=6,則sin/GBF的值為（）

（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）

8.如圖，菱形ABCD中，點。是BD的中點，垂足為M,AM交BD于點N,OM=2,

BD=8,則MN的長為（）

A.y/5B.逑C.也D.至

555

（2024?四川樂山?中考真題）

9.如圖，在菱形ABCD中，NABC=60。，=1,點P是8C邊上一個動點，在BC延長

線上找一點。，使得點尸和點Q關于點C對稱，連接OP、A。交于點當點尸從8點運

動到C點時，點M的運動路徑長為（）

A.迫B.同C.且D.6

632

（2024.山東泰安?中考真題）

10.如圖，菱形ABCD中，ZB=60°,點E是AB邊上的點，AE=4,3E=8,點下是BC上

的一點，△△才是以點G為直角頂點，NEFG為30。角的直角三角形，連結AG.當點F在

直線8c上運動時，線段AG的最小值是（）

AD

A.2B.46-2C.2gD.4

（2024?四川瀘州?中考真題）

11.寬與長的比是避二1的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感.如圖，

2

把黃金矩形ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點？處，AB，交CD于點、E,貝UsinND鉆的

值為（）

（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）

12.如圖，在正方形ABC。中，點”在AD邊上（不與點A、。重合），NBHF=90。,HF交

正方形外角的平分線于點R連接AC交3〃于點M,連接BF交AC于點G,交CD于

點M連接3D.則下列結論：①NHBF=45。；②點G是BP的中點；③若點H是AD的中

⑤若AH=；HD,則％8即=日5—,其中正

點，貝!Jsin=④>BN=4IBM;

10

確的結論是（）

AHD

wA.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

二、填空題

（2024.黑龍江綏化.中考真題）

13.如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點A測得該樓頂部點C的仰角

為60。，測得底部點B的俯角為45。，點A與樓8C的水平距離AD=50m,則這棟樓的高度

為m（結果保留根號）.

（2024?內蒙古赤峰?中考真題）

14.綜合實踐課上，航模小組用無人機測量古樹力B的高度.如圖，點C處與古樹底部A處

在同一水平面上，且AC=10米，無人機從C處豎直上升到達。處，測得古樹頂部2的俯角

為45。，古樹底部A的俯角為65。，則古樹A8的高度約為米（結果精確到0.1米；參

考數據：sin65°80.906,cos65°~0.423,tan65°?2.145）.

缽一

I\\

!\\

1\、、

：''、'15

I\

「\

C'----------

（2024?湖北武漢?中考真題）

15.黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽.在一次綜合實踐活動

中，某數學小組用無人機測量黃鶴樓的高度，具體過程如下：如圖，將無人機垂直上升

至距水平地面102m的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為45。，底端2的俯角為63。，則測

得黃鶴樓的高度是m.（參考數據：tan63。g2）

（2024?四川內江?中考真題）

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,4）=5,點E在。C上，將矩形A8CD沿AE折疊,

點。恰好落在5c邊上的點F處，那么tan/EPC=

（2024?江蘇鹽城?中考真題）

17.如圖，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升距地面30m的點尸處，測

得教學樓底端點A的俯角為37。，再將無人機沿教學樓方向水平飛行26.6m至點。處，測得

教學樓頂端點B的俯角為45。，則教學樓的高度約為m.（精確到1m,參考數據：

sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75)

PQ

飛5。

、X

sX

'、'、'、、B

、'、」Z

（2024.北京?中考真題）

18.如圖，在正方形A5CD中，點E在上，AF1QE于點/，CGLDE于點、G.若AD=5,

CG=4,則尸的面積為

（2024?甘肅臨夏?中考真題）

19.如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABC。，為折痕，以點。為圓心，為半徑作

弧，分別交AD,BC于E,F兩點，則砂的長度為（結果保留兀）.

AED

（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）

20.如圖，數學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發現了如“花朵”形的美麗圖案，他

們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標系中，點O的坐標為（。，0），點B的坐標為（1,0），點

C在第一象限，NO3c=120。.將△O3C沿尤軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與尤

軸重合，第一次滾動后，點。的對應點為O',點C的對應點為C',OC與O'C的交點為A，

稱點A為第一個“花朵”的花心，點為為第二個“花朵”的花心；……；按此規律，△O3C滾

動2024次后停止滾動，則最后一個“花朵”的花心的坐標為

（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）

21.矩形ABCD中，AB=3,BC=4,將AB沿過點A的一條直線折疊，折痕交直線8C于點

P（點尸不與點2重合），點2的對稱點落在矩形對角線所在的直線上，則尸C長為.

（2024?山東泰安?中考真題）

22.在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學數學知識測量大汶河某河段的寬度，他們在河岸

一側的瞭望臺上放飛一只無人機，如圖，無人機在河上方距水面高60米的點尸處測得瞭望

臺正對岸A處的俯角為50。，測得瞭望臺頂端C處的俯角為63.6。，已知瞭望臺高12米

（圖中點A,B,C,P在同一平面內），那么大汶河此河段的寬A3為米.（參考

306

數據：sin40°?-,sin63.6°々而，tan50°a：w，tan63.6°~2）

（2024.四川達州?中考真題）

23.如圖，在RtZXABC中，NC=90。.點O在線段BC上，N54Z）=45°.若AC=4,CD=1,

（2024.貴州?中考真題）

4

24.如圖，在菱形ABC。中，點E,尸分別是BC,CO的中點，連接AE,AF.若sinNE4尸=,

AE=5,則AB的長為.

5BD8

25.如圖，在VABC中，AB=BC,tanZB=—,。為BC上一點，且滿足而=不，過。

CE

作DE1AD交AC延長線于點E,則方=.

AC

26.在矩形A3CD中，AB=4cm,3c=8cm,點E在直線力。上，且DE=2cm,則點E到

矩形對角線所在直線的距離是cm

三、解答題

（2024?內蒙古通遼?中考真題）

27.計算：|G-2|+2sin6CT—（F）°.

（2024?四川甘孜?中考真題）

28.如圖，一艘海輪位于燈塔尸的北偏東37。方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方

向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45。方向上的8處.這時，8處距離A處有多

遠？（參考數據：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）

（2024.北京?中考真題）

29.計算：（九一5）+^8—2sin300+1—

（2024?湖南長沙?中考真題）

30.計算：（―）1+1——2cos30°——6.8）.

（2024.廣東深圳.中考真題）

31.計算：—2.cos45°+（萬一3.14）°+卜一0|+1（）.

（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）

32.先化簡，再求值：療-一一「，其中機=cos60。.

（2024?吉林?中考真題）

33.圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.某直升飛機于空中A處探測到吉塔，此時飛

行高度AB=873m,如圖②，從直升飛機上看塔尖C的俯角NE4c=37。，看塔底。的俯角

ZEAD=45。，求吉塔的高度CO（結果精確到0.1m）.（參考數據：sin37。=0.60,cos37。=0.80,

tan37°=0.75)

EA

DB

圖①圖②

（2024?青海?中考真題）

34.計算：炳-tan45。+萬。十四.

（2024.內蒙古呼倫貝爾.中考真題）

35.計算：一［一；）+tan60°+2—2.（兀一2024）。.

（2024?內蒙古呼倫貝爾.中考真題）

36.綜合實踐活動中，數學興趣小組利用無人機測量大樓的高度.如圖，無人機在離地面

40米的。處，測得操控者A的俯角為30。，測得樓3C樓頂C處的俯角為45。，又經過人工

測量得到操控者A和大樓之間的水平距離是80米，則樓BC的高度是多少米？（點

AB,C,。都在同一平面內，參考數據：石~1.7）

D

—3oo；c^5°-"

二5

（2024?內蒙古通遼?中考真題）

37.在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度.如圖，從C點測得楊樹底端

2點的仰角是30。，2C長6米，在距離C點4米處的。點測得楊樹頂端A點的仰角為45。，

求楊樹A3的高度（精確到0.1米，AB,BC,C。在同一平面內，點C,。在同一水平線上.參

考數據：6^1.73）.

A

A

（2024.湖南?中考真題）

38.某數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動.

活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積

測量工具皮尺、測角儀、計算器等

某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形至CD,其示意圖

如下：

模型抽象

__________n，七一

活動GEFH

過程

①在水池外取一點E,使得點C,B,E在同一條直線上；

②過點E作GHJLCE,并沿方向前進到點八用皮尺測得跖的長

測繪過程

為4米；

與數據信

③在點尸處用測角儀測得/CFG=60.3。，NBFG=45。,NAFG=21.8。；

息

④用計算器計算得：sin60.3°~0.87,cos60.3°?0.50,

tan60.3°?1.75.sin21.8°?0.37,cos21.8°?0.93,tan21.8°?0.40.

請根據表格中提供的信息，解決下列問題（結果保留整數）：

（1）求線段CE和8C的長度：

（2）求底座的底面ABCD的面積.

（2024.貴州.中考真題）

39.綜合與實踐:小星學習解直角三角形知識后,結合光的折射規律進行了如下綜合性學習.

【實驗操作】

第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部8處，

入射光線與水槽內壁AC的夾角為—A;

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點E處時，停止注水.（直線MV'為法線，AO為

入射光線，0。為折射光線.）

【測量數據】

如圖，點A,B,C,D,E,F,0,N,N'在同一平面內，測得AC=20cm,NA=45。，折

射角/DON=32。.

【問題解決】

根據以上實驗操作和測量的數據，解答下列問題：

⑴求的長；

⑵求8,。之間的距離（結果精確到0.1cm）.

（參考數據：sin32°?0.52,cos32°?0.84,tan32°?0.62）

（2024.河南?中考真題）

40.如圖1,塑像A3在底座8C上，點。是人眼所在的位置.當點8高于人的水平視線。E

時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大.數學家研究發現：當

經過A,8兩點的圓與水平視線DE相切時（如圖2）,在切點尸處感覺看到的塑像最大，此

時NAP3為最大視角.

（1）請僅就圖2的情形證明ZAPB>ZADB.

（2）經測量，最大視角NAP3為30。，在點尸處看塑像頂部點A的仰角/4PE為60。，點P到

塑像的水平距離P”為6m.求塑像AB的高（結果精確到01m.參考數據：6土1.73）.

（2024.天津.中考真題）

41.綜合與實踐活動中，要用測角儀測量天津海河上一座橋的橋塔A3的高度（如圖①）.某

學習小組設計了一個方案：如圖②，點C,2E依次在同一條水平直線上，

DE=36m,EC±AB,垂足為C.在。處測得橋塔頂部B的仰角（NCDB）為45。，測得橋

塔底部A的俯角（NCZM）為6。，又在E處測得橋塔頂部B的仰角（NCEB）為31。.

⑴求線段C。的長（結果取整數）；

（2）求橋塔A3的高度（結果取整數）.參考數據：tan31°?0.6,tan6°?0.1.

（2024.四川樂山，中考真題）

42.我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩秋千有關

的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：

平地秋千未起，踏板一尺離地.

送行二步與人齊，五尺人高曾記.

仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.

良工高士素好奇，算出索長有幾？

詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它

往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺.（假設

秋千的繩索拉的很直）

(1)如圖1,請你根據詞意計算秋千繩索。4的長度；

(2)如圖2,將秋千從與豎直方向夾角為a的位置OA釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾

角為P的地方04〃，兩次位置的高度差PQ=h.根據上述條件能否求出秋千繩索OA的長度？

如果能，請用含a、￡和耳的式子表示；如果不能，請說明理由.

(2024?山東?中考真題)

43.【實踐課題】測量湖邊觀測點A和湖心島上鳥類棲息點尸之間的距離

【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具

【實踐活動】某班甲小組根據湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點8.測量A,8兩點間的

距離以及和NP8A,測量三次取平均值，得到數據：AB=60米，ZB4B=79°,

ZPBA=64°.畫出示意圖，如圖

P

圖1

【問題解決】(1)計算A,P兩點間的距離.

(參考數據：sin64°?0.90,sin79°?0.98,cos79°?0.19,sin37°~0.60,tan37°?0.75)

【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：

如圖2,選擇合適的點O,E,F,使得A,D,E在同一條直線上，且=

ZDEF^ZDAP,當P,D,P在同一條直線上時，只需測量所即可.

圖2

（2）乙小組的方案用到了.（填寫正確答案的序號）

①解直角三角形②三角形全等

【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據現場地形狀況選擇可實施

的方案.

（2024?北京?中考真題）

44.如圖，在四邊形ABCD中，E是A3的中點，DB,CE交于點F,DF=FB,AF//DC.

⑴求證：四邊形AWCD為平行四邊形；

⑵若NEFB=90°,tanNFEB=3,EF=1,求3C的長.

45.乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內，共九級，為碎框架式結構，造型獨特

別致，遠可眺太子山露骨風月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹.某校數學興

趣小組在學習了“解直角三角形”之后，開展了測量乾元塔高度A3的實踐活動.A為乾元塔

的頂端，AB±BC,點C,。在點B的正東方向，在C點用高度為1.6米的測角儀（即CE=1.6

米）測得A點仰角為37。，向西平移14.5米至點。，測得A點仰角為45。，請根據測量數據，

求乾元塔的高度ABA結果保留整數,參考數據：sin37°工0.60,cos370工0.80,tan37°。0.75）

A

37°

BDC

圖1圖2

（2024?安徽?中考真題）

46.科技社團選擇學校游泳池進行一次光的折射實驗，如圖，光線自點B處發出，經水面點

E折射到池底點A處.已知3E與水平線的夾角tz=36.9。，點B到水面的距離BC=1.20m,

點A處水深為1.20m,到池壁的水平距離AD=2.50m,點8C,。在同一條豎直線上，所

有點都在同一豎直平面內.記入射角為夕，折射角為7,求理2的值（精確到0」，參考數

sin/

據：sin36.9°?0.60,cos36.9°~0.80,tan36.9"0.75）.

池底

（2024?浙江?中考真題）

47.如圖，在VA3C中，ADJ.BC,AE是BC邊上的中線，AB=10,AD=6,tanZACB=1.

A

⑴求BC的長；

⑵求sin/DAE的值.

（2024?甘肅.中考真題）

48.習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現碳達峰、2060年前實現碳中

和.甘肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速.某學習小組成員查閱資料得知，在風力發電

機組中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設計參數.于是小組成員開展了“測

量風電塔筒高度”的實踐活動.如圖，已知一風電塔筒垂直于地面，測角儀CD,E尸在

A/f兩側，CD=EF=1.6m,點C與點E相距182m（點C,H,E在同一條直線上），在。

處測得簡尖頂點A的仰角為45。，在尸處測得筒尖頂點A的仰角為53。.求風電塔筒A”的

434

高度.（參考數據：sin53°,cos53°,tan53°.）

553

（2024?河北?中考真題）

49.中國的探月工程激發了同學們對太空的興趣.某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點尸恰

好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離5。=4m,仰角為a；淇淇向前走了3m后到

達點。，透過點P恰好看到月亮，仰角為夕，如圖是示意圖.已知，淇淇的眼睛與水平地面

BQ的距離AB=CD=1.6m,點P到8。的距離PQ=2.6m,AC的延長線交PQ于點E.（注：

圖中所有點均在同一平面）

（1）求￡的大小及tanor的值；

⑵求CP的長及sinZAPC的值.

（2024?四川廣元?中考真題）

50.計算：（2024-兀）°

（2024?四川廣元?中考真題）

51.小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質發生折射時，入射角1的正弦值與折射角

sincc

。的正弦值的比值叫做介質的“絕對折射率”，簡稱“折射率”.它表示光在介質中傳播

sinp

時，介質對光作用的一種特征.

圖②

折射角為￡，且cosa=立，"30。,求該介質

（1）若光從真空射入某介質，入射角為a,

4

的折射率;

（2）現有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質，如圖①所示，點A,B,C,。分別是長方

體棱的中點，若光線經真空從矩形對角線交點。處射入，其折射光線恰好從點C

處射出.如圖②，已知*=60。，CD=10cm,求截面ABCD的面積.

（2024.內蒙古包頭.中考真題）

52.如圖，學校數學興趣小組開展“實地測量教學樓的高度”的實踐活動.教學樓周圍是

開闊平整的地面，可供使用的測量工具有皮尺、測角儀（皮尺的功能是直接測量任意可到達

的兩點間的距離；測角儀的功能是測量角的大?。?

（1）請你設計測量教學樓AB的高度的方案，方案包括畫出測量平面圖，把應測數據標記在所

畫的圖形上（測出的距離用等表示，測出的角用名分等表示），并對設計進行說明；

（2）根據你測量的數據，計算教學樓的高度（用字母表示）.

（2024?甘肅?中考真題）

53.馬家窯文化以發達的彩陶著稱于世，其陶質堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共用，彩繪

線條流暢細致，圖案繁緡多變，形成了絢麗典雅的藝術風格，創造了一大批令人驚嘆的彩陶

藝術精品，體現了古代勞動人民的智慧.如圖1的彩陶紋樣呈現的是三等分圓周，古人用等

邊三角形三點定位的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通.如

圖2,已知。。和圓上一點作法如下：

①以點M為圓心，。河長為半徑，作弧交。。于A,8兩點;

②延長MO交。。于點C；

即點A,B,C將。。的圓周三等分.

彩陶紋樣三點定位法三等分圓周

圖1圖2

（1）請你依據以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規在圖2中將0。的圓周三等分（保留作圖痕

跡，不寫作法）；

（2）根據（1）畫出的圖形，連接A3,AC,BC,若。。的半徑為2cm,則VABC的周長為

（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）

54.如圖，某數學活動小組用高度為1.5米的測角儀8C,對垂直于地面C。的建筑物AD的

高度進行測量，3。，。。于點心在B處測得A的仰角—ABE35。，然后將測角儀向建筑

物方向水平移動6米至尸G處，尸6,8于點3,測得A的仰角NAFE=58。，所的延長線

交AD于點E,求建筑物的高度（結果保留小數點后一位）.（參考數據：

sin58°?0.85,cos58°?0.53,tan58°b1.60）

（2024.廣東?中考真題）

55.中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作出了巨大貢獻.為滿足新能源汽

車的充電需求，某小區增設了充電站，如圖是矩形尸QMN充電站的平面示意圖，矩形ABC。

是其中一個停車位.經測量，ZABQ=60°,AB=5Am,CE=\.6m,GHLCD,GH是另

一個車位的寬，所有車位的長寬相同，按圖示并列劃定.

PDGN

根據以上信息回答下列問題：（結果精確到0.1m,參考數據有。1.73）

（1）求P。的長；

⑵該充電站有20個停車位，求PN的長.

（2024?廣東廣州?中考真題）

56.2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）成功著陸

在月球背面.某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置,在一次試驗中，如圖，

該模擬裝置在緩速下降階段從A點垂直下降到8點，再垂直下降到著陸點C,從B點測得地

面。點的俯角為36.87。，AD=17米，班＞=10米.

⑴求的長；

⑵若模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到B點，求模擬裝置從A點下降到3點的時

間.（參考數據：sin36.87。a0.60,cos36.87°?0.80,tan36.87°-0.75）

（2024?青海?中考真題）

57.如圖，某種攝像頭識別到最遠點A的俯角a是17。，識別到最近點8的俯角夕是45。，

該攝像頭安裝在距地面5m的點C處，求最遠點與最近點之間的距離（結果取整數，參

考數據：sin17°?0.29,cos17°?0.96,tan17°。0.31）.

58.問題提出

(1)如圖1,在VABC中，AB=15,ZC=30°,作VABC的外接圓。O.則ACB的長為

；(結果保留兀)

問題解決

(2)如圖2所示，道路A5的一側是濕地.某生態研究所在濕地上建有觀測點，E,C,

線段AD,AC和BC為觀測步道，其中點A和點8為觀測步道出入口，已知點E在AC上，

且AE=EC,DAB=60°,ZABC=120°,AB=1200m,AD=BC=900m,現要在濕地

上修建一個新觀測點P，使NDPC=60。.再在線段A8上選一個新的步道出入口點R并修

通三條新步道尸產，PD,PC,使新步道尸尸經過觀測點E,并將五邊形至CPD的面積平分.

請問：是否存在滿足要求的點尸和點F?若存在，求此時尸尸的長；若不存在，請說明理由.(點

A,B,C,P,。在同一平面內，道路A3與觀測步道的寬、觀測點及出入口的大小均忽略

不計，結果保留根號)

參考答案:

1.A

【分析】本題考查解直角三角形，熟記銳角三角函數的定義是解題關鍵，根據銳角的正弦函

數的定義即可求解

ATAT

【詳解】解：由題意得：sine=F=——

ARa

AL=asin，千米

故選：A

2.A

【分析】本題考查特殊角的三角函數值，熟記特殊的三角函數值是解題的關鍵；根據

cos450=正代入即可求解.

2

【詳解】V2cos450-l=^x—-1=0,

2

故選：A.

3.B

【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質，勾股定理.正確作出輔助線是解題關

鍵.過點A作ADI3c于點D由等腰三角形三線合一的性質得出題＞=CD=；2c.根據

sinB=4f=7＞可求出AD=4,最后根據勾股定理可求出9=3,即得出3c=2瓦＞=6.

AB5

【詳解】解：如圖，過點A作陋于點D

???BD=CD=-BC.

2

在RtAAB。中，sinB=4^=-,

AB5

44

...AD=-AB=-x5=4,

55

BD=7AB2-AD2=752-42=3>

BC=2BD=6.

故選B.

4.D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，解直角三角形的應用.利用三角函數的定義分別求

得DE=26,BE==AE,CD=6#）,利用新鋼架減少用鋼

^AC+BC+CD-AE-BE-DE,代入數據計算即可求解.

【詳解】解：：等邊VABC,CD_LAB于點。，4B長12m,

AD=BD=—AB=6m,

2

?/NBED=60。,

tan60。=些=6

DE

DE=2g,

BE=dDE?+BD2=46=AE，

ZC5D=60°,

/.CD=BD-tanZCBD=?BD=6石m,BC=AC=AB=12m,

新鋼架減少用鋼=4。+小^+8-4￡-3￡-?！?/p>

=24+6舁8舁2相=（24-46）1!1,

故選：D.

5.B

【分析】本題考查的是解直角三角形的實際應用，如圖，過A作AELCD于E,則四邊形

CEr-

A3DE為矩形，設CE=x,而/C4E=30。，可得AE=---------=岳=3。，CD=x+10,

tan30°

結合tan60。=胡廣國=君,再解方程即可.

【詳解】解：如圖，過A作AEJ.CD于E,

依題意，ABLBD,CDLBD

四邊形ABDE為矩形，

AAB=DE=10,AE=BD,

c

設CE=x,而NC4E=30。,

CE

AE==A/3X=BD,

tan30°

???CD=x+10,

CD%+10FT

tan60=-----=—7=—=<3,

BD瓜

解得：x=5,

經檢驗x=5是原方程的解，且符合題意;

CD=x+10=15(m),

故選B

6.A

【分析】本題考查了與仰角有關的解直角三角形的應用，矩形的判定與性質，先證明四邊形

EFDG、EFBM、CD8N是矩形，再設GA/=mi,表示EM=(x+5)m,然后在

Rt^AEM,tanZAEM=——，以及RLACN,tan=，運用線段和差關系，即

EMCN

4

MN=AN-AM=-x-(x+5)=0.3,再求出尤=15.9m,即可作答.

【詳解】解：如圖：延長0c交于一點G,

ZMEF=Z.EFB=Z.CDF=90°

四邊形EEDG是矩形

NMEF=Z.EFB=NB=90°

...四邊形跖B似是矩形

同理得四邊形CDBN是矩形

依題意，^EF=MB=1.8m,CD=1.5m,ZAEM=45°,ZACN=53°

?，.CG=(1.8-1.5)m=0.3m,FD-EG=5m

???CG=MN=03m

???設GM=xm,則四=(九+5)111

在Rt^AEM,tanZAEM=—,

EM

JEMxl=AM

即AM=(x+5)m

AN

在RSACN,tanZACN=——,

CN

4

CNtan53°=—x=AN

3

4

即AN=—xm

4

：.MN=AN-AM=-x-(x+5)=0.3

x=15.9m

.??AM=15.9+5=20.9(m)

??.AB=AM^EF=AM+MB=2Q.9^-1.8=22.7(m)

故選：A

7.A

【分析】本題考查矩形的性質，相似三角形的判定和性質，求角的正弦值:過點G作G“，3C,

FF1

證明△AGOs^/GE,得到下二大=；,再證明分別求出"Gm的長,

AGAD3

進而求出9的長，勾股定理求出BG的長，再利用正弦的定義，求解即可.

【詳解】解：?..矩形ABC。，BE=EF=FC,AB=4,BC=6,

：.AD=BC=6,AD//BC,BE=EF=FC=2,

：.AAGDS^FGE,BF=4,

.FGEF_1

**AG-AD-3?

.FG1

**AF-4

過點G作GHL5C,則：GH//AB,

.FHGHFG

**BF-AB-AF-4?

AFH=-BF=1,GH=-AB=1,

44

???BH=BF—FH=3,

2

,,BG=A/12+3=\/w，

710

sinZGBF=—=

BG710To-

故選A.

8.C

【分析】本題主要考查了解三角形，菱形的性質、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.

先由菱形性質可得對角線AC與5D交于點0,由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得

OA=OC=OM=2,進而由菱形對角線求出邊長，由sinNMAC=sinNO8C=@解三角形

5

即可求出MC=ACsinZMAC=生5,MN=BMtanZOBC=—.

55

【詳解】解：連接AC,如圖,

:菱形ABC。中，AC與3。互相垂直平分,

又：點。是8D的中點,

；.A、。、C三點在同一直線上,

：.OA=OC,

?：OM=2,AMIBC,

OA=OC=OM=2,

■;BD=8,

：.OB=OD=-BD=4,

2

_____________OC21

BC=y/OB2+OC2=V42+22=275，tanZOBC=—=-=-,

Un4Z

ZACM+ZMAC=90°,ZACM+Z.OBC=90°,

JZMAC=ZOBC

：.sinZMAC=sinZOBC=—=~^==—,

BC265

4J5

MC=ACsinZMAC=,

5

/.BM=BC-MC=245--=—,

55

，MN=BMtanZOBC=^x-=垣，

525

故選：C.

9.B

【分析】該題主要考查了菱形的性質，垂直平分線的性質和判定，全等三角形的性質和判定

等知識點，解題的關鍵是掌握以上點M的運動路徑.

過點C作C〃J_AD交AD于點”，根據NABC=60。，四邊形ABC。是菱形，AB=1,算出

DH=1,得出=C”垂直平分AD,再證明VPCM也VQCM,得出尸"="。，

證明CM垂直平分PQ,點M在C”上運動，根據解直角三角形CM'=BCtan30°=—.即

3

可求解.

【詳解】解：過點C作CHLAD交AD于點

VZABC=60°,四邊形ABCD是菱形，AB=1,

：.ZADC=60°,CD=BC=AB=1,

：.ZDCH=30°,

：.DH=-CD=1,

2

：.AH=AD-DH=1,

，AH=DH,

*e?CH垂直平分AD,

:點尸和點Q關于點C對稱，

/.PC=QC,

?：ZPCM=ZQCM=90°,CM=CM,

：.^PCM^QCM(SAS),

PM=MQ,

...CM垂直平分PQ,

...點M在C”上運動，

當點尸與點B重合時，點M位于點AT,

此時，：//鉆。=60。，四邊形ABCD是菱形，AB=1,

/.ZMBC=-ZABC=30°,BC=1

2

CM'=BC-tan30°=—.

3

故點M的運動路徑長為CM'=是.

3

故選：B.

10.C

【分析】如圖：過石作9,8(7于點作于點H,作于點/,則點￡、

M、F、G四點共圓，從而得到4=因為AG之GF,所以求出的值即可解答.

【詳解】解：如圖，過￡作9，%于點M,作于點H,作A/LGAf于點/,

?；ZEMF+ZEGF=180°,

:.點、E、M、F、G四點共圓,

NEMG=NEFG=30°,

-3=60。，

，NBEM=30。=NEMG,

：.MG//AB,

，ZHMF=ZMHA=90°,

ZHAF=ZAFM=90°

，四邊形Affi”是矩形，

/.MH=AI,

?/BE=8,

，EM=BEcos300=4y/3,

：.MH=-EM=2A/3=A/,

2

AGNAI=26,

AG最小值是2TL

故選：C.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質、解直角三角形、垂線段最短、圓內接四邊形對角互補

等知識點，熟練掌握相關知識點和添加合適的輔助線是解題關鍵.

11.A

【分析】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，三角

函數等知識點，利用黃金比例表示各線段的長是解題的關鍵.

設寬，根據比例表示長，證明△ADE/4CBE,在RIAADE中，利用勾股定理即可求得結

果.

【詳解】解：設寬為x,

:寬與長的比是吏二*,

2

x_A/5+1

，長為：V5-12'，

2

f

由折疊的性質可知，AD=BC=BC=xf

在VADE1和中,

ZAED=ZAEB'

<ND=AB'

AD=B'C

/.^ADE^CB'E(AAS),

：.AE=CE,

/.AE+DE=DC=^^x,

2

設￡>E=y,

在Rt~4DE中,

變形得：2=：，

x2

AD=2y,AE=M+(2yf=后,

：.sinZDAE=—=~^=—,

AE亞y5

故選A.

12.A

【分析】連接。G,可得竺=0,AC垂直平分3。，先證明點2、H、D、下四點共圓，

AB

即可判斷①；根據AC垂直平分8。，結合互余可證明DG=EG,即有DG=FG=3G,則

可判斷②正確；證明AABMSADBN,即有里=些=夜，可判斷④；根據相似有

BMAB

黑陋=1絲］=1,根據可得3Af/=AD,再證明△AHMSACBM,可得

S.DBNVBD)22

S^AHM=HM

即可判斷⑤；根據點”是AD的中點，設AD=2,即求出

SAABMBM

________22

BH=4AH。+AB?=布,同理可證明△A/ZMSACBM，可得=即可得

BN=?BM=W?,進而可判斷③.

【詳解】連接DG,如圖,

AHD

F

B---