專題三角形及全等三角形

一、單選題

（2024?陜西?中考真題）

1.如圖，在VABC中，N54C=90。，AD是3C邊上的高，E是。C的中點，連接AE,則

圖中的直角三角形有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

（2024?河北?中考真題）

2.觀察圖中尺規作圖的痕跡，可得線段3D一定是VABC的（）

C.中位線D.中線

（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）

3.將一個含30。角的三角尺和直尺如圖放置，若Nl=50。，則N2的度數是（）

C.50°D.60°

（2024?四川涼山?中考真題）

4.數學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：

在工件圓弧上任取兩點AB,連接AB,作AB的垂直平分線交A3于點。，交于點C,

測出45=40cm,CD=10cm,則圓形工件的半徑為（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

（2024?云南?中考真題）

5.已知AF是等腰VABC底邊BC上的高，若點尸到直線A3的距離為3,則點尸到直線AC

的距離為（）

37

A.—B.2C.3D.一

22

（2024?四川涼山?中考真題）

6.如圖，在RtAABC中，^ACB=90,OE垂直平分AB交于點O,若ACD的周長為

50cm,則AC+3C=（）

（2024?四川眉山?中考真題）

7.如圖，在VABC中，AB^AC=6,3C=4,分別以點A,點8為圓心，大于‘A3的長

2

為半徑作弧，兩弧交于點E,F,過點E,歹作直線交AC于點。，連接3。，則△3CD的

周長為（）

（2024?湖北?中考真題）

8.平面坐標系xOy中，點A的坐標為（-4,6）,將線段Q4繞點。順時針旋轉90。，則點A的

對應點4的坐標為（）

A.（4,6）B.（6,4）C.（T,-6）D.（-6,T）

（2024.北京?中考真題）

9.下面是“作一個角使其等于NAO*'的尺規作圖方法.

（1）如圖，以點。為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交08于點C,D；

（2）作射線0A,以點O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交O'A于點C；以點C'為圓心，CD

長為半徑畫弧，兩弧交于點。心

（3）過點小作射線05',則NA'OE=NAO3.

上述方法通過判定△CO'。'2△COD得到ZA<yB'=ZAOB,其中判定△CO'。'2△COD的

依據是（）

A.三邊分別相等的兩個三角形全等

B.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等

（2024.廣東廣州.中考真題）

10.下列圖案中，點。為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三

角形關于點。對稱的是（）

11.如圖，0c平分NAO3,點尸在0c上，PDVOB,PD=2,則點尸到0A的距離是（）

（2024?四川涼山?中考真題）

12.一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點E在A3的延長線上，當。尸，AZ?時，ZEDB

的度數為（）

A.10°B.15°C.30°D.45°

（2024.天津.中考真題）

13.如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,ZJB=40°,以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，交于

點E,交AC于點尸；再分別以點瓦廠為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧（所在圓

的半徑相等）在—3AC的內部相交于點P;畫射線AP,與3c相交于點。，則/ADC的大

小為（）

A.60°B.65C.70D.75

（2024?四川宜賓?中考真題）

14.如圖，在VABC中，AB=3y/2,AC=2,以為邊作RtZXBCD,BC=BD,點、D與點、

A在3C的兩側，貝。4D的最大值為（）

（2024?山東煙臺?中考真題）

15.某班開展“用直尺和圓規作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線OP

（2024?安徽?中考真題）

16.在凸五邊形ABCDE中，AB=AE,BC=DE,尸是CD的中點.下列條件中，不能推

出4戶與CD一定垂直的是（）

A.ZABC^ZAEDB./RAF=/FAF

C.NBCF=NEDFD.ZABD=ZAEC

（2024?浙江?中考真題）

17.如圖，正方形ABCD由四個全等的直角三角形（△48”48（?￡4。^^04〃）和中間一

個小正方形EFG/f組成，連接。E.若AE=4,8E=3,則止=（）

A.5B.2.76C.V17D.4

（2024.內蒙古赤峰.中考真題）

18.等腰三角形的兩邊長分別是方程VT0x+21=0的兩個根，則這個三角形的周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

二、填空題

（2024?四川成都?中考真題）

19.如圖，AABC^ACDE,若/￡）=35。，NACB=45。，則/DCE的度數為

（2024?甘肅臨夏?中考真題）

20.如圖，在VABC中，點A的坐標為（0,1）,點B的坐標為（4,1）,點C的坐標為（3,4）,點

。在第一象限（不與點C重合），且△ABD與VA3c全等，點。的坐標是.

（2024.黑龍江牡丹江.中考真題）

21.如圖，VABC中，。是上一點，CF〃AB,1）、￡、/三點共線，請添加一個條件

使得A￡=CE.（只添一種情況即可）

22.如圖，VABC中，^BCD=30°,N4CB=80。，CD是邊A3上的高，AE是/C鉆的平

分線，則NAEB的度數是.

c

23.如圖，直線ab,直線/_La,Zl=120°,貝U/2=

（2024?黑龍江綏化?中考真題）

24.如圖，AB//CD,ZC=33°,OC=OE.則ZA=

（2024?黑龍江綏化?中考真題）

25.如圖，已知ZAO3=50。，點P為N493內部一點，點/為射線。4、點N為射線08上

的兩個動點，當.PMN的周長最小時，則NMPN=.

26.點F是正五邊形ABCDE邊OE的中點，連接Bb并延長與CD延長線交于點G,則23GC

的度數為.

A

（2024.湖南.中考真題）

27.如圖，在銳角三角形ABC中，AD是邊3c上的高，在54,BC上分別截取線段BE,BF,

使BE=BF；分別以點E,尸為圓心，大于!歷的長為半徑畫弧，在2BC內，兩弧交于

2

點、P,作射線3尸，交AD于點過點M作于點N.若MN=2,AD=4MD,

貝ljAM=.

28.如圖，在VABC中，延長AC至點。，使C￡>=C4,過點。作。電〃CB,S.DE=DC,

連接AE交BC于點尸.^ZCAB=ZCFA,CF=1,貝1」放=.

（2024?陜西?中考真題）

29.如圖，在VABC中，AB^AC,E是邊A3上一點，連接CE,在BC右側作3尸〃AC,

且=連接CF.若AC=13,BC=10,則四邊形￡?^。的面積為.

（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）

30.如圖，在平面直角坐標系中，以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，交無軸正半軸于點

交y軸正半軸于點M再分別以點M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第一

象限交于點從畫射線OH,若“（24-1,4+1）,貝匹=.

31.如圖，在VABC中，ZDCE=40°,AE=AC,BC=BD,則NACB的度數為

（2024?四川樂山?中考真題）

32.知：如圖，A3平分NGW,AC=AD.求證：ZC=Z￡>.

（2024.四川內江?中考真題）

33.如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，AD=BE,AC^DF,BC=EF

⑴求證：4ABC當ADEF；

⑵若ZA=55。，NE=45。,求//的度數.

（2024?江蘇鹽城?中考真題）

34.已知：如圖，點A、B、C、。在同一條直線上，AE//BF,AE=BF.

若,則AB=CD.

請從①CE〃。F；②CE=DF；③NE=N廠這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使

結論成立，并說明理由.

（2024?廣西?中考真題）

35.如圖，在VABC中，ZA=45°,AC>BC.

（1）尺規作圖：作線段的垂直平分線/,分別交A3,AC于點D,E：（要求：保留作圖痕

跡，不寫作法，標明字母）

（2）在（1）所作的圖中，連接3E,若AB=8,求8E的長.

（2024.四川南充?中考真題）

36.如圖，在VA3C中，點。為BC邊的中點，過點8作成〃AC交AD的延長線于點E.

⑴求證：BDE&CDA.

(2)若求證：BA=BE

(2024?云南?中考真題)

37.如圖，在VABC和△AED中，AB=AE,ZBAE=ZCAD,AC=AD.

求證：AABC^AAED.

D

B

E

（2024?江蘇蘇州?中考真題）

38.如圖，VABC中，AB=AC,分別以8,C為圓心，大于工8c長為半徑畫弧，兩弧交

2

于點。，連接CD,AD,AD與交于點E.

⑴求證：△ABD空△4（7/）；

⑵若BD=2,ZBDC=nO°,求BC的長.

（2024?黑龍江綏化?中考真題）

39.己知：VABC.

（1）尺規作圖：畫出VA3C的重心G.（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）

⑵在（1）的條件下，連接AG,BG.已知ABG的面積等于5cm一則VABC的面積是

cm2.

（2024.福建?中考真題）

40.如圖，已知直線4〃4.

______________________________

（1）在k，k所在的平面內求作直線/,使得且/與“旬的距離恰好等于I與4間的距

離；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，若4與4間的距離為2,點A,3,c分別在/,/1,4上，且VABC為等腰直

角三角形，求VABC的面積.

參考答案:

1.c

【分析】本題主要考查直角三角形的概念.根據直角三角形的概念可以直接判斷.

【詳解】解：由圖得△ABD,NABC,AADC,VADE為直角三角形，

共有4個直角三角形.

故選：C.

2.B

【分析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據作圖痕跡可得AC,

從而可得答案.

【詳解】解：由作圖可得：BD1AC,

二線段8。一定是VABC的高線；

故選B

3.B

【分析】本題考查了對頂角的性質，三角形內角和定理.根據對頂角相等和三角形的內角和

定理，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

由題意得/3=21=50°,Z5=90°,12=24,

N2=N4=180°—90°—N3=90°—50°=40°,

故選：B.

4.C

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識.由垂徑定理，可得出8。的長；設圓心為。，

連接在Rt^OB0中，可用半徑03表示出0。的長，進而可根據勾股定理求出得出輪

子的半徑，即可得出輪子的直徑長.

【詳解】解：???CD是線段A3的垂直平分線，

直線C￡＞經過圓心，設圓心為。，連接02.

RtZkOB。中,BD=—AB=20cm,

2

根據勾股定理得:

OD2+BD2=OB2,即:

(OB-IO)2+202=OB2,

解得：08=25；

故輪子的半徑為25cm,

故選：C.

5.C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的性質定理，熟練掌握知識點是解題的關

鍵.

由等腰三角形“三線合一”得到AF平分/BAC,再角平分線的性質定理即可求解.

【詳解】解：如圖，

：AF是等腰VABC底邊上的高，

AF平分/BAC,

點E到直線AB,AC的距離相等,

:點F到直線AB的距離為3,

???點尸到直線AC的距離為3.

故選：C.

6.C

【分析】本題考查了線段垂直平分線的的性質，由線段垂直平分線的的性質可得人。=助，

進而可得.ACD的周長=AC+CD+AZ)=AC+CD+3D=AC+BC=50cm,即可求解，掌握

線段垂直平分線的的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：：DE垂直平分AB,

:.AD=BD,

：.ACD的周長=AC+CD+AD=AC+CD+8D=AC+8C=50cm,

故選：C.

7.C

【分析1本題考查了尺規作圖一作垂直平分線，根據垂直平分線的性質即可證明池=助,

根據△38的周長=BD+CD+3C=AD+CD+BC=AC+BC,即可求出答案.

【詳解】解：由作圖知，E尸垂直平分AB,

AD=BD,

.?.△5CD的周長=5￡>+CD+5C=AD+CD+5C=AC+5C,

AB=AC=69BC=4,

.?.△BCD的周長=6+4=10,

故選：C.

8.B

【分析】本題考查坐標系下的旋轉.過點A和點A分別作為軸的垂線，證明

AOB”.Q4'C（AAS）,得到AC=O8=4,OC=AB=6,據此求解即可.

【詳解】解：過點A和點A分別作x軸的垂線，垂足分別為BC,

:點A的坐標為(T,6),

，03=4,A3=6,

:將線段Q4繞點。順時針旋轉90。得到OA,

：.OA=OA,ZAOA'=90°,

：.ZAOB=90°-ZAOC=ZOAC,

：.,AO3絲LOA'C(AAS),

AC=OB=4,OC=AB=6,

.?.點A的坐標為（6,4）,

故選：B.

9.A

【分析】根據基本作圖中，判定三角形全等的依據是邊邊邊，解答即可.

本題考查了作一個角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據是解題的關鍵.

【詳解】解：根據上述基本作圖，可得OC=O'C',OD=OD',CD=C'D',

故可得判定三角形全等的依據是邊邊邊，

故選A.

10.C

【分析】本題考查了圖形關于某點對稱，掌握中心對稱圖形的性質是解題關鍵.根據對應點

連線是否過點。判斷即可.

【詳解】解：由圖形可知，陰影部分的兩個三角形關于點。對稱的是C,

故選：C.

11.C

【分析】本題考查了角平分線的性質定理.過點P作于點E,根據角平分線的性質

可得PE=PD,即可求解.

【詳解】解：過點P作于點E,

平分/AO3,PDLOB,PE±OA,

：.PE=PD=2,

故選：C.

12.B

【分析】本題考查平行線的性質，三角形的外角的性質，掌握平行線的性質，是解題的關鍵.證

明/4￡0=/"汨=30。，再利用=進行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：NED尸=30。，ZABC=45°,

,/DF//AB,

：.ZAED=ZFDE=30°,

，NEDB=ZABC-ZAED=45°—30°=15°；

故選B.

13.B

【分析】本題主要考查基本作圖，直角三角形兩銳角互余以及三角形外角的性質，由直角三

角形兩銳角互余可求出N&4C=50。，由作圖得NB4D=25。，由三角形的外角的性質可得

ZADC=65。，故可得答案

【詳解】解：；NC=900,ZB=40°,

ZBAC=90°-ZB=90°-40°=50°,

由作圖知，AP平分

/.ZBAD=-ABAC=1x50°=25°,

22

又ZADC=ZB+ABAD,

：.ZADC=40°+25°=65°,

故選：B

14.D

【分析】如圖，把VA3C繞2順時針旋轉90。得到求解AH=[AB。+BH2=6，結

合45VZW+AH,（AH,。三點共線時取等號），從而可得答案.

【詳解】解：如圖，把VABC繞2順時針旋轉90。得到△H5D,

AH=y/AB2+BH2=6，

VAD<DH+AH,（A",￡>三點共線時取等號），

；.4。的最大值為6+2=8,

故選D

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，旋轉的性質，三角形的三邊關系，二次根式的乘法

運算，做出合適的輔助線是解本題的關鍵.

15.D

【分析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，

中垂線的性質和判定，根據作圖痕跡，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：第一個圖為尺規作角平分線的方法，0P為/AQ5的平分線；

第二個圖，由作圖可知：OC=OD,OA=OB,

：.AC=BD,

ZAOD=ZBOC,

：.,

???ZOAD=ZOBC,

VAC=BD,ZBPD=ZAPCf

BPD^APC,

:.AP=BP,

OA=OB,OP=OP,

：.△AOPmABOP,

???ZAOP=ZBOP,

???。尸為-495的平分線；

第三個圖，由作圖可知NACP=NAO3,OC=CP,

：.CP//BO,ZCOP=ZCPO,

：.?CPO?BOP

：./COP=/BOP,

???OP為/495的平分線；

第四個圖，由作圖可知：OP.LCD,OC=OD,

???OP為的平分線；

故選D.

16.D

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形“三線合一”性質的應用，熟練掌

握全等三角形的判定的方法是解題的關鍵.

利用全等三角形的判定及性質對各選項進行判定，結合根據等腰三角形“三線合一”的性質即

可證得結論.

【詳解】解：A、連接AC、AD,

VZABC=ZAED,AB=AE,BC=DE,

：.；ACBMADE（SAS）,

：.AC=AD

又：點尸為CD的中點

：.AF±CD,故不符合題意；

B、連接成、EF,

VAB=AE,ZBAF=ZEAF,AF=AF,

：..ABF^AEF(SAS),

:.BF=EF,ZAFB=ZAFE

又：點尸為CD的中點，

：.CF=DF,

,?BC=DE,

.CBF^DEF(SSS),

/.NCFB=ZDFE,

：.NCFB+ZAFB=Z.DFE+ZAFE=90°,

：.AFA.CD,故不符合題意；

C、連接BEEF,

:點尸為CD的中點，

：.CF=DF,

:ZBCF=Z.EDF,BC=DE,

：.CBF—DEF(SAS),

：.BF=EF,NCFB=ZDFE,

VAB=AE,AF=AF,

.ABF^AEF(SSS),

ZAFB=ZAFE,

：.NCFB+ZAFB=Z.DFE+ZAFE=90°,

：.AFLCD,故不符合題意；

D、ZABD=ZAEC,無法得出題干結論，符合題意；

故選：D.

17.C

【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質，全等三角形的信紙，求得HE的長度，利用

勾股定理即可解答，利用全等三角形的性質得到印?=1是解題的關鍵.

【詳解】解：「△ABE,ABCFACDG,ADAN是四個全等的直角三角形，AE=4,BE=3

:.AH=EB,DH=AE=4,

:.HE=AE-AH=\,

四邊形EFGH為正方形，

:.NDHE=9。。,

DE=\lDH2+HE2=歷>

故選：C.

18.C

【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系及周長，由方

程可得再=3,%=7,根據三角形的三邊關系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進

而即可求出三角形的周長，掌握等腰三角形的定義及三角形的三邊關系是解題的關鍵.

【詳解】解：由方程V-10X+21=0得，%=3,x2=7,

：3+3<7,

.?.等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

這個三角形的周長為3+7+7=17,

故選：C.

19.100°##100度

【分析】本題考查了三角形的內角和定理和全等三角形的性質，先利用全等三角形的性質，

求出/CED=NACB=45。，再利用三角形內角和求出—DCE的度數即可.

【詳解】解：由△ABC之△CDE,ZD=35°,

NCED=ZACB=45。,

?/4)=35。，

,ZDCE=180°-ZD-ZCED=180。-35。-45。=100°,

故答案為：100°

20.(1,4)

【分析】本題考查坐標與圖形，三角形全等的性質.利用數形結合的思想是解題的關鍵.根

據點。在第一象限(不與點C重合)，且與VA3C全等，畫出圖形，結合圖形的對稱

性可直接得出D(l,4).

【詳解】解：：點。在第一象限(不與點C重合)，且△ABD與VA3c全等，

AAD=BC,AC=BD,

...可畫圖形如下,

D

由圖可知點C、。關于線段4B的垂直平分線x=2對稱，則。(1,4).

故答案為：(1,4).

21.DE=EF或AD=CF(答案不唯一)

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形

的判定解答.根據題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案

不唯一.

【詳解】解：

/.ZA=ZECF,ZADE=ZCFE,

...添加條件DE=EF,可以使得「ADE=bE(AAS),

添加條件AD=C/，也可以使得「ADE式,CEE(ASA),

AE=CE；

故答案為：DE=EF或AD=CF(答案不唯一).

22.100°##100度

【分析】本題考查了三角形內角和以及外角性質、角平分線的定義.先求出NACD=50。，

結合高的定義，得NZMC=40。，因為角平分線的定義得N6E=20。，運用三角形的外角性

質，即可作答.

【詳解】解：*/NBCD=30°,ZACB=80°,

ZACD=50°,

：CO是邊AB上的高，

ZADC=90°,

ZDAC^40°,

：AE■是/C鉆的平分線，

ZCAE^-ZDAC=20°,

2

ZAEB=Z.CAE+ZACB=200+80°=100°.

故答案為：100°.

23.30

【分析】本題考查平行線的性質，三角形的外角性質，根據兩直線平行，同位角相等，求出

N3的度數，根據三角形的外角的性質，得至IJN3=9O°+N2,即可求出N2的度數.

【詳解】解：b,

：.Z3=Z1=12O°,

ILa,

：.Z3=Z2+90°,

Z2=30°；

故答案為：30.

24.66

【分析】本題考查了平行線的性質，等邊對等角，三角形外角的性質，根據等邊對等角可得

NE=NC=33。,根據三角形的外角的性質可得，DOE=66。，根據平行線的性質，即可求

解.

【詳解】解：；OC=OE,ZC=33°,

ZE=ZC=33°,

4DOE=NE+NC=66°,

?/AB//CD,

：.ZA=NDOE=66°,

故答案為：66.

25.80°##80度

【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，等腰三角形的性質，三角形內角和定理的應用；

作點尸關于。4,的對稱點與P2.連接。片，OP2.則當N是々鳥與Q4,QB的交

點時，的周長最短，根據對稱的性質結合等腰三角形的性質即可求解.

【詳解】解：作P關于。4,的對稱點片，P2.連接。片，OP2.則當〃，N是PR與0A,

03的交點時，一PMN的周長最短，連接［尸、P2P,

P、［關于04對稱，

NROP=2ZM0P,0Px=OP,PtM=PM,NORM=AOPM,

同理，ZR.OP=2ZNOP,OP=OP,,ZOP2N=ZOPN,

Appp2=AP.OP+組OP=2(NM0P+NN0P)=2ZA0B=100°,OPt=OP2=OP,

鳥是等腰三角形.

NO?N=NORM=40。，

NMPN=NMPO+ZNPO=ZOP.N+ZOPtM=80°

故答案為：80°.

26.18°##18度

【分析】連接3。，8E,根據正多邊形的性質可證.ABE均CBD(SAS),得至=

進而得到3G是DE的垂直平分線，即/DFG=90。，根據多邊形的內角和公式可求出每個內

角的度數，進而得到/EDG=72。，再根據三角形的內角和定理即可解答.

【詳解】解：連接BD,BE,

A

*/五邊形ABCDE是正五邊形，

：.AB=BC=CD=AE,ZA=ZC

??.ABE空CBD（SAS）,

，BE=BD,

丁點尸是的中點，

3G是OE的垂直平分線，

：.ZDFG=90°f

?丁丁、上r?（5-2）x180°

?在正五邊形ABCD石中，/CDE=\——」-------=108°,

5

ZFDG=180°-ZCDE=72°,

???NG=180。—NDPG—NFDG=180。—90。—72。=18。.

故答案為：18。

【點睛】本題考查正多邊形的性質，內角，全等三角形的判定及性質，垂直平分線的判定,

三角形的內角和定理，正確作出輔助線，綜合運用相關知識是解題的關鍵.

27.6

【分析】本題考查了尺規作圖，角平分線的性質等知識，根據作圖可知取平分-ABC,根

據角平分線的性質可知。M=MV=2,結合=求出AD,AM.

【詳解】解：作圖可知的平分/ABC,

TA。是邊5C上的高，MN1AB,MN=2,

：.MD=MN=2,

AD=4MD,

：.AD=8,

：.AM=AD-MD=69

故答案為：6.

28.3

【分析】先根據平行線分線段成比例證AF=EF,進而得DE=CD=AC=2CF=2,AD=4,

再證明一C4BZ一DEA,得BC=AD=4,從而即可得解.

【詳解】解：VCD=CA,過點D作DE〃CB,CD=CA,DE=DC,

J7ACA

???一=——=1,CD=CA=DE,

FECD

???AF=EF,

：.DE=CD=AC=2CF=2,

：.A￡)=AC+CD=4,

???DE//CB,

：.ZCFA=ZE,NACB=ND,

丁ZCAB=ZCFA,

：.ZCAB=ZE,

'：CD=CA,DE=CD,

:.CA=DE,

A_CAB^DEA,

：.BC=AD=4,

：.BF=BC-CF=3,

故答案為：3,

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全

等三角形的判定及性質，熟練掌握三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角

形的判定及性質是解題的關鍵.

29.60

【分析】本題考查等邊對等角，平行線的性質，角平分線的性質，勾股定理：過點C作

CMYAB,CN1BF,根據等邊對等角結合平行線的性質，推出=進而得

到CM=QV,得到SC*=SACE，進而得到四邊形石母C的面積等于SABC，設=勾

股定理求出CM的長，再利用面積公式求出VABC的面積即可.

【詳解】解：???45=AC,

：.ZABC=ZACBf

■:BF//AC,

：.ZACB=/CBF,

：.ZABC=ZCBF,

3C平分/AB尸，

過點C作。CN±BF,

AC￡=^AE-CM,SCBF=^BFCN,S.BF=AE,

?v=q

??u,CBF一°ACE，

四邊形EBFC的面積=SCBE=SCBA

CBF+sCBE=SACE+s

???AC=13,

???AB=13,

設=貝！J：BM=13-xf

由勾股定理，得：CM2=AC2-AM2=BC2-BM2,

132-X2=102-(13-X)2,

：.SCRA=-AB-CM=60,

.??四邊形￡BPC的面積為60.

故答案為：60.

30.2

【分析】此題主要考查了角平分線的尺規作圖和性質，坐標與圖形的性質，根據作圖方法可

得點X在第一象限的角平分線上，根據角平分線的性質和第一象限內點的坐標符號可得答

案.

【詳解】解：根據作圖方法可得點》在第一象限角平分線上；點》橫縱坐標相等且為正數；

...2a—l=a+l,

解得：。=2,

故答案為：2.

31.1000##100S

【分析】本題考查三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，角的和差.

根據三角形的內角和可得/CDE+NCED=140。，根據AE=AC,3c=8。得到

ZACE=ZAEC,NBCD=NBDC,從而NACE+/BCD=140。，根據角的和差有

ZACB=ZACE+ZBCD-ZCDE,即可解答.

【詳解】解：???/?(?￡=40。，

Z.CDE+Z.CED=180°-NDCE=140°,

VAE^AC,BC=BD,

：.ZACE=ZAEC,NBCD=/BDC,

：.ZACE+Z.BCD=ZCDE+ZCED=140°

/.ZACB=ZACE+NBCE=ZACE+/BCD-ZCDE=140°-40°=100°.

故答案為：100°

32.見解析

【分析】利用SAS證明AC4B名AEAB,即可證明NC=/D.

【詳解】解：平分NCW,

:./CAB=/DAB,

在AG4B和SR中，

AC=AD

<ZCAB=ZDAB,

AB=AB

.-.AG4B^AZMB(SAS),

:.ZC=ZD.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，熟練掌握SAS、AAS、ASA、SSS等全

等三角形的判定方法是解題的關鍵.

33.(1)見解析

(2)80°

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練地掌握全等三角形的判定和性質是

解決本題的關鍵.

(1)先證明=再結合已知條件可得結論；

(2)證明NA=NFDE=55。，再結合三角形的內角和定理可得結論.

【詳解】(1)證明：：AD=BE

：.AD+DB=BE+DB,AB=DE

VAC=DF,BC=EF

：..ABC^DEF(SSS)

(2)AABC^ADEF,ZA=55°,

：.ZA=ZFDE=55°,

'：NE=45。,

N尸=180-ZFDE—NE=80°

34.①或③(答案不唯一)，證明見解析

【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質，①根據平行線的性質得出

NA=ZFBD,ZD=ZECA,再由全等三角形的判定和性質得出AC=3D,結合圖形即可證明；

②得不出相應的結論；③根據全等三角形的判定得出一AEC均質D(SAS),結合圖形即可證

明；熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵.

【詳解】解：選擇①CE〃刀尸；

VAE//BF,CE//DF,

：.ZA=AFBD,ND=ZECA,

?/AE=BF,

:._AECyBFD(AAS),

AC^BD,

：.AC-BC=BD-BC,即AB=8；

選擇②CE=D尸；

無法證明AAECgABFD,

無法得出AB=CD；

選擇③N￡=NF；

?/AE//BF,

/.ZA=NFBD,

VAE=BF,ZE=NF,

：.AEC^BFD(ASA),

AC^BD,

：.AC-BC=BD-BC,即AB=C￡＞；

故答案為：①或③（答案不唯一）

35.（1）見詳解

⑵4后

【分析】（1）分別以42為圓心，大于‘A3為半徑畫弧，分別交A3,AC于點。，E,

作直線DE,則直線/即為所求.

（2）連接8E,由線段垂直平分線的性質可得出=由等邊對等角可得出

ZEBA=ZA=45°,由三角形內角和得出N3E4=90。，貝U得出ABE為等腰直角三角形，再

根據正弦的定義即可求出BE的長.

【詳解】（1）解：如下直線/即為所求.

,/為線段AB的垂直平分線,

***BE=AE,

：.ZEBA=ZA=45°f

?ZBEA=90°,

.A5E為等腰直角三角形,

BE=AB--=8x—=4A/2

22

【點睛】本題主要考查了作線段的垂線平分線，線段的垂線平分線的性質，等腰三角形的性

質，三角形內角和定理以及正弦的定義.掌握線段的垂直平分線的性質是解題的關鍵.

36.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，中垂線的判定和性質：

(1)由中點，得到班＞=CD,由得至==即可得證；

(2)由全等三角形的性質，得到=進而推出8。垂直平分AE,即可得證.

【詳解】(1)證明