由線段關(guān)系產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題

1.如圖1拋物線.y=ax?+bx(a<0)經(jīng)過點(diǎn)E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),

點(diǎn)C、D在拋物線上.設(shè)A(t,0),當(dāng)t=2時(shí),AD=4.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？

(3)保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G、H,且直線

GH平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離.

2.如圖1,拋物線.y=ax2+bx-3經(jīng)過A(l,0)、B(-3,0)兩點(diǎn)，直線AD交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-2,

點(diǎn)P(m,n)是線段AD上的動(dòng)點(diǎn).

⑴求直線AD及拋物線的解析式；

(2)過點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q,求線段PQ的長度1與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最

長？

⑶在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)(橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù))R,使得以P、Q、D、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若

存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3如圖在梯形ABCD中,AD〃BC,AB=CD,AD=5,BC=15,cos/ABC=*E為射線CD上任意一點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)C

不重合)，過點(diǎn)A作AF//BE，與射線CD相較于點(diǎn)F.聯(lián)結(jié)BF，與直線AD相較于點(diǎn)G(點(diǎn)G與點(diǎn)A、D都不重合).

設(shè)CE=x,^=y.

⑴求AB的長；

(2)當(dāng)點(diǎn)G在線段AD上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

S

⑶如果產(chǎn)吧號(hào)，求線段CE的長.

四邊形ABCD

4如圖，在四邊形ABCD中，已知AB=2,CD=3,P是對(duì)角線BD上的一個(gè)點(diǎn)，PE\\AB^AD于E,PF||CD交

BC于F.設(shè)PE=x,PF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

5如圖在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4)點(diǎn)B是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)AB平分/OAC,且AABC=90°.

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

6.如圖，在矩形ABCD中，AB=9,BC=15將點(diǎn)B翻折到AD邊上的點(diǎn)M處，折痕與AB相交于點(diǎn)E,與

BC相交于點(diǎn)F.如果.AM==y,,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.

AM

FC

7如圖,在梯形ABCD中,.AD\\BC,Z.B=90。,2D=4,AB=6,BC=10點(diǎn)E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF//BC

交DC于F.以EF為斜邊在EF的下方作等腰直角三角形EFG,射線EG、FG分別與邊BC交于點(diǎn)M、N.如果EF=x,

MN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

BNC

8.如圖，在邊長為5的菱形ABCD中，cos4=點(diǎn)P為邊AB上一點(diǎn)，以A為圓心、AP為半徑的。A與邊

AD交于點(diǎn)E.設(shè)AP=x,CE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域.

9如圖，在AABC中,AB=AC=6,BC=4,OB與邊AB相交于點(diǎn)D,與邊BC相交于點(diǎn)E,設(shè)。B的半徑為x.

⑴當(dāng)。B與直線AC相切時(shí)，求x的值；

⑵設(shè)DC的長為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域.

10在RSABC中./ACB=90。,BC=30,AB=50點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn).直線PE_LAB與邊AC或BC相交于

E.點(diǎn)M在線段AP上，點(diǎn)N在線段BP上,EM=EN,sinZEMP=

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí).求CM的長；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合，設(shè)AP=x,BN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的

定義域；

(3)若△AMEs^ENBQAME的頂點(diǎn)A、M、E分別與AENB的頂點(diǎn)E、N、B對(duì)應(yīng))，求AP的長.

11如圖1,在RSABC中,/ACB=90。泮徑為1的圓A與邊AB相交于點(diǎn)D,與邊AC相交于點(diǎn)E,連結(jié)DE并

延長，與線段BC的延長線交于點(diǎn)P.

⑴當(dāng)/B=30。時(shí)，連結(jié)AP,若AAEP與ABDP相似，求CE的長；

⑵若CE=2,BD=BC,求/BPD的正切值;

⑶若tanzBPD=［，設(shè)CE=x,AABC的周長為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

圖2(備用)圖3(備用)

1.滿分解答

⑴因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、E(10,0)兩點(diǎn)，設(shè)y=ax(x-10).

代入點(diǎn)D(2,4)狷4=-16a.

解得a=一"所以y=一:久(X-10)=-#+1%.

444Z

(2)由OE=10,OA=BE=t,得AB=10-2t.

當(dāng)x=t時(shí)，AD=--t2+-t.

42

所以矩形ABCD的周長=2(-lt2+ft+10-2t)=-it2+t+20.

\42/2

當(dāng)t=l時(shí)，矩形ABCD的周長取得最大值，最大值為當(dāng)(如圖2所示).

(3)已知A(2,0),B(8,0),C(8,4),D(2,4),所以矩形的對(duì)稱中心為Q(5,2).

先說理：平分矩形ABCD的直線，一定經(jīng)過矩形ABCD的對(duì)稱中心Q(5,2).

再分類討論：

①如圖3,如果經(jīng)過點(diǎn)Q的直線與DC相交于點(diǎn)G,那么點(diǎn)H一定在AB上.

所以GH是由DO向右平移得到的.

線段DO的中點(diǎn)是P(l,2).由P(l,2)到Q(5,2),向右平移了4個(gè)單位.

所以拋物線向右平移了4個(gè)單位.

②經(jīng)過點(diǎn)Q的直線如果與AD相交于點(diǎn)G,那么點(diǎn)H一定在BC上.而事實(shí)上，此時(shí)拋物線與矩形的邊的另

一個(gè)交點(diǎn)在DC上(如圖4所示).

③如圖5，經(jīng)過點(diǎn)Q的直線如果與BC相交于點(diǎn)G,那么點(diǎn)H一定在AD上.而事實(shí)上，此時(shí)拋物線與矩形的

邊的另一個(gè)交點(diǎn)在AB上(如圖5所示).

考點(diǎn)伸展

在本題情景下，當(dāng)t為何值時(shí)，AODE是直角三角形?

只存在乙ODE=90。的情況,此時(shí)DA2=0A-AE.

2

解方程-10)]=t(10一t),整理，得t2-lot+16=0.

解得t=2,或t=8(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊，不符合題意，舍去)

2.滿分解答

(1)因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(l,0)、B(-3,0)兩點(diǎn)，所以y=a(x-l)(x+3).

對(duì)照y=ax2+bx-3,根據(jù)常數(shù)項(xiàng)相等，得-3a=-3.所以a=l.

所以拋物線的解析式為.y=(x-1)0+3)=必+2x-3.

當(dāng)x=-2時(shí)y=(x-l)(x+3)=-3.所以D(-2,-3).

由A(l,0)、D(-2,-3b得直線AD的解析式為y=x-1.

2

(2)由P(m,m-l)xQ(m,m2+2m-3)得I=PQ=(m—1)—(m+2m—3).

整理，得I=PQ=—m2—m+2.

當(dāng)TH=-取寸，1取得最大值，最大值I=一M-7n+2=一：+"2=(

這是一個(gè)典型結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，PQ最大.

(3)符合條件的點(diǎn)R有6個(gè)(-2,-5),(-2,-2),(-2,-4),(0,-3),(2,-1).

考點(diǎn)伸展

第⑶題可以這樣思考：PQ是豎直的，點(diǎn)D(-2,-3)是整點(diǎn)，因此當(dāng)PQ為整數(shù)時(shí)，點(diǎn)D上下平移得到的點(diǎn)R就

是整點(diǎn).

由⑵知，PQ的最大值為；,所以PQ的正整數(shù)值為2或1.

先討論P(yáng)Q=I=-m2—m+2=2此時(shí)m=-l,或m=0.,

①如圖2,當(dāng)P(-l,-2)、Q(-l,-4)、D(-2,-3)時(shí),PQ=2,D、P兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離都是1.

將點(diǎn)D(-2,-3)向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)心(-2,-1);將點(diǎn)口(-2,-3)向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)口2(-2,-5)將點(diǎn)Q(-l,

-4)先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)R3(0,-3).

②如圖3,當(dāng)P(0,-l)sQ(0,-3)、D(-2,-3)時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(-2,-1),(-2,-5)或(2,-1).

再討論P(yáng)Q=I=-m2-m+2=1,此時(shí)m的值不是整數(shù).

如圖4,因?yàn)辄c(diǎn)P不是整點(diǎn)，所以經(jīng)過平移得到的點(diǎn)R3也不是整點(diǎn).

將點(diǎn)D(-2,-3)向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)R42-2);將點(diǎn)D(-2,-3)向下平移1個(gè)單位得到點(diǎn)R2(-2>-4).

綜上所述，符合條件的點(diǎn)R有6個(gè)：((—2，—1),(-2，—5),(—2，-2),(—2，-4),(0,—3),(2，-1).

3滿分解答

⑴如圖2,作AM±BC于M,作DN_LBC于N,那么MN=AD=5,BM=CN=5在RtAABM中，cos^ABC=—=

卷,BM=5,所以AB=13.

(2)第一步，如圖3,由熊=%得祟=y+1.所以DG=含=言

DuUuVTIy-r1

第二步，如圖3,由AF〃BE彳導(dǎo)/AFD=/BEC.

由AD〃:BC,彳導(dǎo)/ADF=NC.

所以△AFDs/XBEC.所以端=黎=卷=：.所以FD=^EC=|x.

第三步，由GD〃BC得2=*所以工=本.整理，得y=?

FCBC-x+1315

3

定義域是。<%<B的幾何意義就是點(diǎn)E與點(diǎn)K重合.

(3)等腰梯形ABCD的高AM=12,等腰梯形ABCD的面積=120.

s

如果?￡￡￡=$那么梯形ABEF的面積=80.

四邊形ABCD

由笨=(券)2=(I)'=訶設(shè)SABFD=m,SABEC=9m.

①如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F下方時(shí)，S梯形ABEF=S梯形ABCD-SABEC+SABFD.

所以80=120-9m+m.解得m=5.此時(shí)SABEC=9m=45.

作EH±BC于H.

由SBEC=\BC-EH=|X15EH=45彳導(dǎo)EH=6.

此時(shí)由coszC=工得sinzC———三所以EC=—x6=—.

13EC13122

②如圖5,當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F上方時(shí)，S梯形ABEF=SBELSBFD-S梯形AB。。-

所以80=9m-m-120.解得m=25.此時(shí)SABEC=9m=225.

所以SBEC=|X15EH=225,得EH=30.

此時(shí)由.〃=翳==得四=工"3。=)

4.滿分解答

由PE||B4得.=竟由PF||DC得?途.

兩式相加，得卷+稱+1,即升?=1.于是得到y(tǒng)=-|%+3.

tj/iL/Csz

5滿分解答

求點(diǎn)B的坐標(biāo)有兩種方法.如圖1,可以證明B是CD的中點(diǎn).如圖2，可以證明KAOB=AAFB,ABCE^ABCF,

因此OB=FB=EB,從而得至!JB是OE的中點(diǎn).

求y與x的關(guān)系式，可以證明△AOB-ABOD,,也可以證明△AOB-△BEC.

SA114日12

227:16

6滿分解答

如圖1,在Rt△中,AM=x,EM=EB=y,AE=9-y.

22

由勾股定理得y=x+(9-y)2.整理，得y=白/+2,

x的取值范圍是3<x<9.

loZ

如圖2,x=9.如圖3,x=3.

圖2圖3

7滿分解答

⑴如圖1,作DHLBC,垂足為H.

在RtADCH中,DH=6,CH=10-4=6,所以NC=45。.

如圖2,延長FD、FG分別與直線AB交于點(diǎn)P、Q,那么AFPQ是等腰直角三角形.

所以EF=EP=EQ=x.

圖1圖2圖3

等腰直角三角形PBC的直角邊BP=BC=10.

如圖3.等腰直角三角形BEM的直角邊BE=BM=10-x.

如圖4,等腰直角三角形BNQ的直角邊BQ=BN=2x-10.

①如圖3,當(dāng)G在BC上方時(shí)，由BE=BM=BN+MN得10-x=2x-10+y.整理得y=20-3x.

②如圖5,當(dāng)G在BC的下方時(shí)，由BE=BM=BN-MN得10-x=2x-10-y.整理得y=3x-20.

③如圖6,當(dāng)G落在BC上時(shí),可以由EF=2BE得x=2(10-2x).此時(shí)x=y.

【解法二】如圖7,作GQLBC于Q,GQ交EF于P.作FHLBC于H.

在等腰直角三角形FCH中,FH=CH=BC-EF=10-x.

在等腰直角三角形GMN中，GQ=3MN=].

在等腰直角三角形GEF中，GP=|FF=jx.

①如圖7,當(dāng)G在BC上方時(shí)，由GP+GQ=FH得jx+jy=10-久.整理，得y=20-3x,(4W久＜y).

②如圖8,當(dāng)G在BC的下方時(shí)，由GP-GQ=FH狷|x-|y=10-x.整理，得y=3久-20,償<久<1°)

\l<?Z!\

百c

BNQ

8滿分解答

如圖1,過點(diǎn)C作AD的垂線,垂足為H.

在RtACDH中，CD=5,coszCDW=|,所以DH=3,CH=4.

在RtACEH中,EH=ED+DH=5-x+3=8-x,CH=4,由勾股定理得(CE2=EH2+CH2=(8-%)2+42=%2-16%+

所以y=CE='x?-16x+80.定義域是0<x<5.

也可以這樣構(gòu)造直角三角形：

如圖2,過點(diǎn)E作x軸的垂線交CD的延長線于G,交AB于N.

在RtADEG中，DE=5-x,cosz.EDG=|,所以DG=3-|x,￡G=4-1x.

在RtAECG中，CG=CD+DG^8一^居由CE2=EG2+CG?彳導(dǎo)

22

CE=(4一+(8—=%2-16x+80,于是y=CE=Vx-16x+80.

<PR'PB

圖1圖2

9滿分解答

(1)如圖1,作AQLBC于Q.作BHLAC于H,那么。B與AC相切于點(diǎn)H.

在RtAACQ中,AC=6,CQ=2,所以AQ=4V2,sinzC=乎.

在RtABCH中，BH=BC-sinzC=4x券=竽所以%=竽如圖2).

(2)如圖3,作DMJ_BC于M.

在RtABDM中,BD=x，所以DM=BD-sinzB=^x,BM=1x.

在RtADCM中，CN=4-J久，由勾股定理，得DC2=DM2+CM2.

所以DC2=(早％)+(4—(久)=%2—|x+16.

所以y—DC-Jx2-|x+16=3、9x2—24%+144定義域是0<x<4.

第⑵題也可以這樣構(gòu)造輔助線：如圖4,作CKXAB于K.

在RtABCK中,BC=4,所以BK=$CK=竽.

_22

在Rt△DCK中，=CK?+/)蜉=(竽)=%2-|x+16

10.滿分解答

(1)在RtAABC中,BC=30,AB=50,所以.AC=40,sinA4=-,tanzX=

54

在RtAACP中，CP=AC-sin44=40X|=24.

在RtACMP中，因?yàn)閟inzCMP=需=所以CM="。尸二||x24=26.

(2)在RtAAEP中，EP=AP?tanZ-A=1%?

在RtAEMP中，因?yàn)閟inzEMP=翳=養(yǎng)所以tanMMP=篇=昔.

13313

因止匕MP=VEP=2X%=Q,EM=2P=—X-X=-X

12416

已知EM=EN,PE_LAB,所以MP=NP=—X.

于是yBN=AB-AP-NP=50-x-^-x50-^x.

定義域?yàn)?<x<32.

__5_13

⑶①如圖1,當(dāng)E