難點17幾何綜合模型（5大熱考模型）

題型一：兩圓一中垂構造等腰三角形模型

題型二：兩垂一圓構造直角三角形模型

題型三：胡不歸模型

題型四：阿氏圓模型

題型五：瓜豆原理模型

,精淮握分

題型一：兩圓一中垂構造等腰三角形模型

指I點I迷I津

分類討論：

，若AB=AC,則點C在以點A為圓心，線段AB的長為半徑的圓上；

;若BA=BC,則點C在以點B為圓心，線段AB的長為半徑的圓上；

:若CA=CB,則點C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡稱“兩圓一中垂”

:“兩圓一中垂”上的點能構成等腰三角形，但是要除去原有的點A,B,還要除去因共線無法構成三角形的點MN

I

以及線段AB中點E（共除去5個點）需要注意細節

【中考母題學方法】

【典例1-1】（2022?建湖縣一模）如圖，每個小方格的邊長為1,A,B兩點都在小方格的頂點上，點C也是

圖中小方格的頂點，并且AABC是等腰三角形，那么點C的個數為（）

A

A.1B.2C.3D.4

【典例1-2】(2020?武漢模擬)平面直角坐標系中，A(3,3)、8(0,5).若在坐標軸上取點C,使△ABC

為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是()

小V

A

?

A.3B.4C.5D.7

【典例1-3】(2022?開州區模擬)如圖，在等腰RtZXABC中，AB=BC,。是BC的中點，E為AC邊上任意一

點，連接。E,將線段DE繞點。逆時針旋轉90°得到線段。F,連接EF,交AB于點G.

(1)如圖1,若48=6,AE=H，求ED的長；

(2)如圖2,點G恰好是EF的中點，連接BF,求證：CD=42BF；

(3)如圖3,若AB=4'R,連接CF,當CF+Y1_BF取得最小值時.請直接寫出SMEF的值.

5

【中考模擬即學即練】

【變式1-1］如圖，在RtZkABC中,ZACB=90°,4B=2BC,在直線8c或AC上取一點P,使得△fWB為等

腰三角形，則符合條件的點P共有()

【變式1-2】已知直線)/=-遙x+3與坐標軸分別交于點A,B,點P在拋物線y=-(x-)2+4±,能

使aABP為等腰三角形的點P的個數有()

A.8個B.4個C.5個D.6個

【變式1-3］如圖，已知點A(1,2)是反比例函數y=K圖象上的一點，連接A。并延長交雙曲線的另一分

X

支于點B,點P是x軸上一動點；若△以8是等腰三角形，則點P的坐標是.

題型二：兩垂一圓構造直角三角形模型

指I點I迷I津

平面內有兩點A,B,再找一點C,使得ABC為直角三角形

「若NA=90°,則點C在過點A且垂直于AB的直線上（除點A外）;

若/B=90°,則點C在過點B且垂直于AB的直線上（除點B夕卜）；

若NC=90°,則點C在以AB為直徑的圓上（除點A,B外）.

以上簡稱“兩垂一圓”.

“兩垂一圓”上的點能構成直角三角形，但要除去A,B兩點.

【中考母題學方法】

【典例2-1】（2023?湖南懷化?中考真題）如圖，4B是C。的直徑，點尸是；。外一點，上4與。相切于點A,

點C為，。上的一點.連接尸C、AC.OC,S.PC=PA.

⑴求證：PC為的切線；

（2）延長尸C與4B的延長線交于點。，求證：PDOC=PAOD；

（3）若NC4B=30。，OD=8,求陰影部分的面積.

【典例2-2】（2023?福建泉州?二模）如圖，A8是半圓。的直徑，與半圓。相切于點。，連接AD

并延長，交的延長線于點C.

B

（1）求證：PB=PC；

（2）若。的半徑為5,AD=8,求取的長.

【中考模擬即學即練】

【變式2-1］在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-1,2）,點B的坐標為（2,6）,點C在坐標軸上，若

△ABC為直角三角形，則滿足條件的點C共有（）

A.2個B.4個C.6個D.8個

【變式2-2］（2022?浙江寧波?二模）如圖1,四邊形ABCD是，。的內接四邊形，其中=對角線

AC、血）相交于點E,在AC上取一點尸，使得=過點/作GaJ_AC交（。于點G、H.

⑴證明：AAEDsAADC；

（2）如圖2,若AE=1,且GH恰好經過圓心。，求BCCD的值；

（3）若AE=1,EF=2,設BE的長為x.

①如圖3,用含有x的代數式表示△3CD的周長；

②如圖4,2C恰好經過圓心。，求△3CD內切圓半徑與外接圓半徑的比值.

【變式2-3］（2021?浙江杭州?一模）如圖，點E是正方形ABC。邊BC上一點（點E不與8、C重合），連接

BE

AE交對角線3。于點死她。尸的外接圓。交邊CQ于點G,連接GA、GE,設==a.

CE

（1）求回E4G的度數.

（2）當a=^■時，求tanIMEG.

（3）用a的代數式表示絲，并說明理由.

D

【變式2-4］（2023?黑龍江哈爾濱?二模）如圖LVABC內接于。中，A3為直徑，點。在弧BC上，連接

AD,CD.

cCC

D

圖1圖2圖3

⑴求證：ZC4B+ZD=90°；

⑵如圖2,連接OC交AD于點尸，若/ZMS+2NC4D=90。，求證：AC=CD；

⑶在（2）的條件下，如圖3,點E在線段CP上，連接AE,BE交AD于點H,若ZEHA=2NEAH,AE=6,

OF=也,求線段BE的長.

題型三：胡不歸模型

指I點I迷I津

一動點尸在直線"N外的運動速度為%,在直線"N上運動的速度為“，且匕＜4,4、B為定點,

點C在直線上，確定點C的位置使生+生的值最小.（注意與阿氏圓模型的區分）。

2）構造射線AD使得sin/ZMN=Z,—=k,C"=fc4C,將問題轉化為求BC+CH最小值.

AC

3）過3點作交MN于點C,交AD于H點,此時8C+CW取到最小值，即BC+fc4c最小.

【解題關鍵】在求形如“如+紅吩'的式子的最值問題中，關鍵是構造與小2相等的線段，將“RL+d中型問題

轉化為“以+PC理.（若Q1,則提取系數，轉化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】垂線段最短。

【中考母題學方法】

【典例3-1】（2022?內蒙古鄂爾多斯?中考真題）如圖，在EL48c中，AB=AC=4,13cA2=30。，ADISBC,垂

足為D,P為線段上的一動點，連接P&PC.則B4+2P8的最小值為.

,一一4

【典例3-2】（2022?廣西梧州■中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線＞分別與x,y軸交于

點A,B,拋物線y=+fcv+c恰好經過這兩點.

⑴求此拋物線的解析式；

（2）若點C的坐標是（0,6）,將△ACO繞著點C逆時針旋轉90。得到4ECF，點A的對應點是點E.

①寫出點E的坐標，并判斷點E是否在此拋物線上；

②若點尸是y軸上的任一點，求mBP+E尸取最小值時，點P的坐標.

【典例3-3】（2024?四川成都?模擬預測）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探

究.

【嘗試初探】

(1)如圖①，在四邊形ABCD中，若NABC=NADC=90。，AB=AD=5,ZS4D=120°,求AC的長;

【深入探究】

（2）如圖②，在四邊形ABCD中，若NABC=NADC=90。，ZBCD=45°,AC=8近,求8。的長;

【拓展延伸】

(3)如圖③，在四邊形ABCD中，若N4BC+/4DC=180。，ZADC=60°,AD=AB=273,延長八4。2相

交于點E,DELCE,P是線段AC上一動點，連接尸求2DP+CP的最小值.

圖①圖②

【中考模擬即學即練】

【變式3-1］（22-23九年級上?山東濟寧?期末）如圖，VABC中，AB=AC=15,tanA=2,BE，AC于點E,

。是線段班上的一個動點，則CD+正8。的最小值是（）

【變式3-2］（2023?安徽黃山?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數>-#x-道的圖象

與尤軸交于點A,C兩點，與y軸交于點3,對稱軸與無軸交于點。，若尸為y軸上的一個動點，連接PD,

人,浮B-TJ6D.產

【變式3-3］（23-24九年級下?江蘇南通?階段練習）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=依?一2融-3。與x

軸交于A,5兩點，若AB=〃z,函數y=o%2-2ox-3a的最小值為“，5.m+n=0.

⑴求該拋物線的解析式;

（2）如果將該拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，得到的圖象與剩余的圖象組成新圖形G.當函數

%=日-1+2左的圖象與圖形6的公共點的個數大于2時，求上的取值范圍;

⑶在（2）的條件下，當上取最大值時，函數％=履-1+2左的圖象與圖形G的對稱軸交于點尸，若過尸作平

行于x軸的直線交圖形G于點。，過點。作>軸的平行線交函數%=履+1-2%的圖象于點尺，。為線段RQ

上的一點，動點C從點R出發，沿RDfOP運動到點尸停止，已知點C在位）上運動的速度為?單位長度

每秒，在DP上運動的速度為1單位長度每秒.求當點C運動的時間最短時，對應的點。的坐標.

【變式3-4］（24-25九年級上?海南三亞?期末）如圖1,已知拋物線與x軸交于A（-1,0）,3（3,0）兩點，與y軸

交于點C（0,3）.

圖1圖2

⑴求該拋物線所對應的函數關系式；

⑵已知點M是拋物線的頂點，點E是線段8C上的一個動點（與點8、C不重合），過點E作即軸于

點。，交拋物線于點歹.

①求四邊形ABMC的面積；

②求一CEF的邊CE上的高的最大值；

③如圖2,在②的條件下，在x軸上是否存在點G,使得EG+^AG的值最小？若存在，請求出這個最小值;

若不存在，請說明理由.

【變式3-5］（2023?福建泉州?模擬預測）如圖，已知拋物線y=無+2）（尤-4）（%為常數，且左＞0）與x軸

從左至右依次交于A,3兩點，與y軸交于點。，經過點5的直線＞且I+人與拋物線的另一交點為o.

3

⑴若點。的橫坐標為-5,求拋物線的函數表達式；

（2）在（1）條件下，設廠為線段8。上一點（不含端點），連接AF,一動點〃從點A出發，沿線段AF以每

秒1個單位的速度運動到尸，再沿線段ED以每秒2個單位的速度運動到。后停止.當點E的坐標是多少

時，點”在整個運動過程中用時最少？

【變式3-6］（2023?廣西柳州?二模）已知拋物線、="2+版+。（。*0）過點4（1，0）,3（3,0）兩點，與V軸交

于點C,OC=3,

⑴求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

⑵點尸為拋物線上位于直線3c下方的一動點，當aPBC面積最大時，求點尸的坐標；

⑶若點。為線段OC上的一動點，問：AQ+#C。是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在,

請說明理由.

【變式3-7］（2022?四川成都?模擬預測）拋物線丫=辦2+法+若分別交x軸于點A（l,0）,B（-3,0）,交y軸

于點C,拋物線的對稱軸與x軸相交于點。，點M為線段OC上的動點，點N為線段AC上的動點，且MN,AC.

V.

圖1

⑴求拋物線的表達式;

(2)線段MN,NC在數量上有何關系，請寫出你的理由;

⑶在N移動的過程中，是否有最小值，如果有，請寫出理由.

題型四：阿氏圓模型

指I點I迷I津

動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B,動點尸滿足PA/PB=k（左為常數，且原1））,

那么動點的軌跡就是圓，因這個結論最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯

圓，簡稱為阿氏圓。

如圖1所示，。。的半徑為廣，點A、8都在。O夕卜，P為。。上一動點，已知F上08（即竺=左），連

0B

接尸A、PB,貝I］當“PA+kPB”的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？

OPOBOB0P

PC

ZP0C=ZB0P,：.4P0Cs4B0P,:.?=k，即k-PB=PCo

PB

故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉化為“P4+PC'的最小值。

其中與A與C為定點，尸為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC，值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質就是通過構造母子相似，化去比例系數，轉化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在

于如何構造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內取點（系數小于1）；點在圓內：向外取點（系數大于1）；一內

一外：提系數；隱圓型阿氏圓等。

注意區分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“HR4+PB”最值問題，其中尸點

軌跡是直線，而當P點軌跡變為圓時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

【中考母題學方法】

【典例4-1】（2020?廣西,中考真題）如圖，在RtVABC中，AB=AC=4,點E,尸分別是AB,AC的中點，

點尸是扇形AEF的爐上任意一點，連接BP,CP,則TBP+CP的最小值是.

【典例4-2】（2023,浙江衢州模擬預測）如圖所示，在平面直角坐標系中，A（16,0）,B（0,12）,點C是第一

象限的動點且OC=6,線段OC繞點。在第一象限轉動；

（1）在轉動過程中，求點C到A3的最近距離=

（2）試求的最小值=.

【典例4-3】（2023?重慶萬州?模擬預測）如圖，在等腰直角三角形ABC中，NC=90。，過點C作C驍〃AB交

過點8的直線于點。，ZABD=30°,直線3D交AC于".

D

⑴如圖1,若鈕=2,求的長;

（2汝口圖2,過點A作AGL8Z）交3。于點G,交BC的延長線于E,取線段A3的中點F，連接GF,求證:

GF+^3GH=BH.

⑶在（2）的條件下，過點。作。PJ_鉆交A3于點P,若點M是線段GF上任一點，連接BM,將33GM

沿折疊，折疊后的三角形記為s3G當且AG'+OG'取得最小時，直接寫出tan/PDG的值.

2

【中考模擬即學即練】

【變式4-1］（22-23九年級下?江蘇徐州?階段練習）在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,以點C為

2

圓心,2為半徑作圓C,分別交AC,BC于。、E兩點，點尸是圓C上一個動點，則PA+-PB的最小值是

【變式4-2］（2023?江蘇宿遷?三模）如圖，在平面直角坐標系中，A（2,0）、5（0,2）,C（5,2）、。（4,4）,點

尸在第一象限，且/APB=135。，則衣尸O+4PC的最小值為.

【變式4-3］（2020?江蘇南京?二模）如圖，在0ABe中，0ACB=9O°,BC=12,AC=9,以點C為圓心，6為半

徑的圓上有一個動點。連接A。、BD、CD,則245+38。的最小值是.

【變式4-4］（2022?廣東廣州?一模）已知，是回。的直徑，AB=4貶,AC=BC.

⑴求弦的長；

（2）若點。是下方回。上的動點（不與點A,8重合），以C。為邊，作正方形CDE尸，如圖1所示，若M

是。尸的中點，N是BC的中點，求證：線段MV的長為定值；

（3）如圖2,點尸是動點，且AP=2,連接CP,PB,一動點。從點C出發，以每秒2個單位的速度沿線段

CP勻速運動到點尸，再以每秒1個單位的速度沿線段尸8勻速運動到點8,到達點B后停止運動，求點。

的運動時間f的最小值.

【變式4-5】(2022?廣東惠州?一模)如圖1,拋物線丁=以2+區-4與x軸交于A、8兩點，與，軸交于點C,

其中點A的坐標為(-1,0)，拋物線的對稱軸是直線尤=].

圖1圖2

⑴求拋物線的解析式;

（2）若點尸是直線3c下方的拋物線上一個動點，是否存在點P使四邊形ABPC的面積為16,若存在，求出點

P的坐標若不存在，請說明理由;

⑶如圖2,過點3作板，3c交拋物線的對稱軸于點/，以點C為圓心，2為半徑作（C,點。為C上的

一個動點，求乎加+W的最小值.

【變式4-6］（2021?重慶九龍坡?二模）在VABC中，NC4B=90。，AC=AB.若點。為AC上一點，連接8。,

將繞點5順時針旋轉90。得到BE,連接CE,交AB于點

⑴如圖1,若ZABE=75。,BD=4,求AC的長;

(2)如圖2,點G為3c的中點，連接尸G交8。于點H.若=30。，猜想線段0c與線段龐的數量關系，

并寫出證明過程；

(3)如圖3,若AB=4,。為AC的中點，將繞點5旋轉得A'BD,連接AC,AD,當A0+變AC

2

最小時，求小A，5c.

題型五：瓜豆原理模型

指I點I迷I津

瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。

主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線一上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。

條件：1）如圖，尸是直線上一動點，連接AP,取AP中點。，當點P在上運動時，。點軌跡是?

結論：當尸點軌跡是直線時，。點軌跡也是一條直線.

證明：分別過A、。向作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，

因為AP=2AQ,所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線.

條件：2）如圖，在AAP。中AP=AQ,為定值，當點尸在直線上運動時，求。點軌跡？

結論：當AP與夾角固定且為定值的話，P、。軌跡是同一種圖形。

證明：當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的。點的位置，連線即可，

比如。點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段。

解題策略：1）當動點軌跡確定時可直接運用垂線段最短求最值；

2）當動點軌跡不易確定是直線時，可通過以下四種方法進行確定：

①觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等位置時是否存在動點與定直線的端點連接后的角度不變，

若存在該動點的軌跡為直線；②當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；③當一個點的

坐標以某個字母的代數式表示時，若可化為一次函數，則點的軌跡為直線；④若動點軌跡用上述方法都不

;合適，則可以將所求線段轉化為其他已知軌跡的線段求值。

【中考母題學方法】

【典例5-1】（2021?山東泰安?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5,BC=56，點P在線段BC上運

動（含夙C兩點），連接竹，以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉60。到AQ,連接OQ,則線段。。的

最小值為（）

4D

ra

BPC

A.-B.5A/2C.D.3

23

【典例5-2】（2020?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線y=-gx+2上的一個動點，

將Q繞點P（L0）順時針旋轉90。，得到點Q',連接。。'，則。。'的最小值為（）

丁

Q,

A.逑B.75C.逑D.逑

535

【典例5-3】（2023?北京海淀?三模）在平面直角坐標系xQy中，給定圖形W和點P,若圖形W上存在兩個點

M,N滿足PM=6/W且NMPN=90。，則稱點尸是圖形W的關聯點.已知點4-2后0）,5（0,2）.

⑴在點山-"T，鳥卜6,3）,9-26-2）中，是線段A3的關聯點；

（2）eT是以點T&0）為圓心，r為半徑的圓.

①當年0時，若線段A3上任一點均為Q的關聯點，求r的取值范圍；

②記線段A3與線段AO組成折線G,若存在/24,使折線G的關聯點都是eT的關聯點，直接寫出廠的最

小值.

【中考模擬即學即練】

【變式5-1］（2024?安徽六安?三模）如圖，在等邊V43C中，以