2025年中考數學二輪復習專題二次函數與韋達定理練習

二次函數與韋達定理(一)

思考：1.已知一元二次方程欠2+6x+C=0(。W0)

(1)求根公式產______________________

(2)若方程有實根，則;若方程有兩個不相等的實根，則

(3)韋達定理：為+a=眉苞=

(4)求上-刃值(用含a、b>c的式子表示)

2.如果拋物線y=x2-4x+3與x軸交于A,B兩點,則AB的長為

【例1】已知二次函數-(2加-3)x+(陽2+1),其圖象與x軸有兩個不同

交盧

(1)求加的取值范圍；

(2)試說明拋物線與x軸的交點都在軸的負半軸上.

【變式訓練1】已知關于x的方程(2Z-3)x+廿+1=0有兩個不相等的實數

根X1,X2o

(1)試說明X[<0,9<0；

(2)若拋物線y=/—(24-3)x+42+1與x軸交于A、B兩點，點A、點B到原

點的距離分別為0A、0B,且0A+0B=20A?0B-3,求k的值

【變式訓練2】已知拋物線+機X-亙機2(m>0)與X軸交于Z、8兩點.

4

(1)求證：拋物線的對稱軸在y軸的左側；

(2)若」(點。是坐標原點)，求拋物線的解析式；

OB0A3

【例2】已矢口函數y=x2-mx+m-2.

(1)求證：無論能取什么值，它的圖象與x軸總有兩個交點；

(2)當機取何值時，這兩個交點間的距離最小？并求出最小距離.

【變式訓練3】如圖，拋物線>=-爐+2了+3與x軸相交于45兩點，與y軸交

于點C,頂點為。，拋物線的對稱軸。尸與8c相交于點E,與x軸相交于點

F.設過E的直線與拋物線相交于點M(xi,ji),N(X2,/),試判斷當|xi

-X2|的值最小時，直線"N與X軸的位置關系，并說明理由；

【變式訓練4】已知：函數-(3a+l)x+2a+l(a為常數).

(1)若該函數圖象與坐標軸只有兩個交點，求a的值；

(2)若該函數圖象是開口向上的拋物線，與x軸相交于點N(xi,0),8(x2,0)

兩點，與y軸相交于點C,且X2-XI=2.求拋物線的解析式；

【變式訓練5］若實數m、n滿足m+n=mn且〃W0時，就稱點P(m,則)為“完

n

美點”，直線/：>=-x+b的圖象經過“完美點”(-3,力，且直線/與二次

2

函數-6+廬+3左有交點C,D(C,。可以重合)，設C,。兩點的橫坐

標分別為XI,X2,求短+小的最大值.

【變式訓練6】我們不妨約定：若某函數圖象上至少存在不同的兩點關于原點對

稱，則把該函數稱之為“X函數”，其圖象上關于原點對稱的兩點叫做一對“X

點”.若關于x的'函數"^="2+28+3c(a,b,c是常數)同時滿足下列

兩個條件：@a+b+c=O,②(2c+Z)-a)(2c+b+3a)<0,求該函數”截

x軸得到的線段長度的取值范圍.

【變式訓練7】已知：拋物線"2+fcc+c(aWO)的圖象經過點(1,0),一條

直線y=ax+b,它們的系數之間滿足如下關系：a>b>c.

(1)求證：拋物線與直線一定有兩個不同的交點；

(2)設拋物線與直線的兩個交點為4B,過43分別作x軸的垂線，垂足

分別為出、51.令女工，試問：是否存在實數左，使線段幺山1的長為幺歷.如

a

果存在，求出左的值；如果不存在，請說明理由.

【例3］若關于尤的二次函數>=/+法+。(a>0,c>0,a,b,c是常數與x軸交于

兩個不同的點4占,0),3(%,0)(0<占<%),與y軸交于點P,其圖像頂點為點

點O為坐標原點.

(1)當士=c=2,a=g時，求％與6的值；

(2)已知a=2,b=-4,若為等邊三角形，求c的值。

(3)已知a=2,b=-4若4ABM為等腰直角三角形，求c的值

【變式訓練8】若拋物線與x軸的兩個交點及其頂點構成等邊三角形，則稱該拋

物線為“等邊拋物線”

(1)若對任意加，〃，點M(根，〃)和點N(-m+4,n)恒在“等邊拋物線”

Ci：y=ax2+bx1.,求拋物線Ci的解析式；

(2)若拋物線C2：y=ax2+bx+c為“等邊拋物線“，求〃-4ac的值；

二次函數與韋達定理(二)

【例1】已知拋物線y=x2-2mx+m2+2與直線y=-3x+l有兩個不同的交點A(xi,yD

和B(x2,y2).

(1)求m的取值范圍；(2)試說明.VO,x2<0；(3)若AB=VI^,求m的值.

【例2】如圖，直線y=[x+1與y軸交于點Z,與雙曲線■在第一象限交于

B、C兩點，B、C兩點的橫坐標分別為xi,X2,則xi+%2的值是.

【變式訓練1】如圖，直線y=[x+1與y軸交于點4與雙曲線■在第一象

限交于B、C兩點，B、C兩點的縱坐標分別為yi,y2,則yi+戶的值是.

【例3】如圖，直線y=[x+b與了軸交于點Z,與x軸交于點。，與雙曲線y上

在第一象限交于8、C兩點，且4B?AD=4,貝1]左=.

【變式訓練2】如圖，直線＞=一返x+b與了軸交于點4與雙曲線＞=上在第一

3x

象限交于8、C兩點，且48?ZC=12,則左值為.

【例4】如圖，拋物線y=x?+2x-3與x軸的交點為Z(-3,0)、8(1,0),與

j軸的交點為C,直線/：y=kx+2與拋物線交于M、N兩點.連接OM、ON,

若/MON=90°,求左的值.

\C\c

y=--x

【變式訓練3】如圖，已知拋物線C：2與直線，：>=依-2左-4交于p、Q

兩點，在拋物線C上存在一個定點。，使NPDQ=90°,

求點。的坐標.為

【變式訓練4】已知拋物線y=工（x-1）2,過點（3,1）,。為拋物線的頂點.直

線/：>=丘+4-左經過定點4如圖，直線/與拋物線交于P,0兩點.

①求證：ZPDQ=90°；

②求△尸。。面積的最小值.）'八

［例5］如圖，在平面直角坐標系xOv中，一次函數j=-且x+型的圖象與x

■.1212

軸交于N（-1,0）,與了軸交于點C以直線x=2為對稱軸的拋物線Ci：>=

-工x2+x+9經過2、C兩點，并與x軸正半軸交于點瓦設點。（0,空），若尸

4412

是拋物線Ci：y="2+bx+c（aW0）對稱軸上使得尸的周長取得最小值的點，

過尸任意作一條與了軸不平行的直線交拋物線C1于Ml（XI,yi）,Ml（X2,J2）

兩點，試探究，■+，是否為定值？請說明理由.

M?F

【變式訓練5】直線y=kx+3交拋物線y=/于E、F兩點，問在y軸的負半軸

上是否存在一點P,使4PEF的內心在y軸上？若存在，求出點P的坐標；若不

存在，說明理由。

【拓展提升】如圖，在平面直角坐標系xOv中，以直線x=|■對稱軸的拋物線:

j=x2-5x+5＞與直線/：y=kx+m(左＞0)交于Z(1,1),8兩點，與y軸交于

。(0,5),直線/與y軸交于點D若在x軸上有且僅有一點P,使N4P5=90°,

求上的值.

二次函數與韋達定理(一)

【例1】解：(1)?.,二次函數y=%2-(2m-3)x+(m2+l其圖象與x軸有兩

個不同交點，

-(2zn-3)]2-4XlX(m2+l),得機<卡；

(2)設拋物線與x軸的交點坐標為;(xi,0),(電0),

222+>

,.)=0時，x-(2m-3)x+(m+l)=0,*,?X1x2=ml>0

.'.xi,X2同號，又,；XI+X2=27〃-3,m<—,.*.xi+x2<0,X2都為負數，

12

故拋物線與x軸的交點都在x軸的負半軸上.

【變式訓練1】解:

(1)?方程有兩個不相等的實數根

：.b2-4ac=-12左+5>0,

12

,

(2)由f-(2左-3)%+產+1=0可知XI+%2=2左-3,Ax1*AxrQ.=Xkx+X1

;K.x=k2+1>0,??.xi和X2同號，'：k<-^,：.2k-3<-M,

X1x2K1126

.,.x\+x2=2k-3<0,/.xi<0,X2<0；

(3)設Z(xi,0),B(X2,0),

.,.OA+OB=-xi+(-X2)=-(xi+%2)=3-2k,OA,OB=-xi,(-X2)=

X?xc=k2+l，，3-2左=2(廬+1)-3,解得左=1或左=-2,又,：k<工,

X1x2K1]2

:?k=~2.

【變式訓練2】(1)證明：?.?機>0,

...x=-A=-螞<0,??.拋物線的對稱軸在y軸的左側;

2a2

(2)解：設拋物線與x軸交點為/(xi,0),B(X2,0),

則%1+x2=-加VO,XleX2=--m2<0,「.Xl與X2異號，

4

又.?表/謁2：.OA>OB,

由(1)知：拋物線的對稱軸在y軸的左側，

/.Xi<0,X2>0,/.CM=|xi|=-xi,OB=xi,

代入專工用得：工，勺+'2=2,從而謂.

0A3x-x?xXj3Xx3

221'2"7m

解得機=2,經檢驗機=2是原方程的根，

，拋物線的解析式為>=爐+2%-3；

【例2】解：(1)令y=0,得：x2-mx+m-2=0,

則△=*-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4,:(m-2)2^0,

...(?-2)2+4>0,無論也取什么值，它的圖象與x軸總有兩個交點;

(2)設二次函數圖象與X軸交點的橫坐標為XI,X2；

根據(1)可知，xi+x2=m>xiX2=m-2,

X1-2=2J

I刈(x1+x2)-4x1x2V(m-2)+4

要使拋物線的圖象與x軸的兩個交點的距離最小，即|當機=2時,|xi-刈最小,

此時最小值為2.

【變式訓練3】設直線"N的解析式為(1,2),：.2=k+b,

：.k=2-b,I.直線跖V的解析式y=(2-3)x+b,

:點M、N的坐標是P'2：)x+b的解，整理得：'2_為+33=0,

y=-x+2x+3

，Xl+X2=ZbX\X2—b-3；

=22

"1-X2尸d（X「X2）2d（X[+X2）2-4X[X2=7b-4（b-3）=V（b-2）+8）

.?.當b=2時，|xi-X2|最小值=2&,,"=2時,y=（2-ZJ）x+b=2,

直線〃N〃x軸.

【變式訓練4】（1）函數歹="2-（3a+l）x+2a+l（4為常數），

若。=0,則y=-x+l,與坐標軸有兩個交點（0,1）,（1,0）；

若aWO且圖象過原點時，2a+l=0,a=-1,有兩個交點（0,0）,（1,0）；

2

若aWO且圖象與x軸只有一個交點時，令y=0有：

△=（3a+l）2-4a（2a+l）=0,解得a=-1,有兩個交點（0,-1）,（1,

0）.

綜上得：。=0或-工或-1時，函數圖象與坐標軸有兩個交點.

2

（2）①?.?函數與x軸相交于點/（xi,0）,B（%2,0）兩點，

/.Xi,\2為62-（3a+l）x+2a+l=0的兩個根，

?I一3a+l一2軟+1

.>X1+X2—>X1X2—>

aa

?X2~XI=2,

.*.4=（X2-xi）2=（xi+x2）2-4x1X2=（d）2-4?2a+l,

aa

解得a=-工（函數開口向上，a>0,舍去），或。=1,

3

**._y=x2-4x+3.

【變式訓練5】?.?點（-旦，/）是“完美點”，.?.由⑵知/=-g-1=-5,

222

則此“完美點”坐標為（-且，-臣），根據題意，將（-3,-$）代入＞=

2222

-x+b,得：—+&=--,解得6=-4,-'-y=_x_4,

22

y二—x一4

由《知一+（1-左）％+於+3左+4=0,

y=x-kx+k+3k

則x\+x2=k-1,XIX2=F+3%+4,

且4=（1-左）2-4（F+3左+4）20,

「?-33-14k—1520,即3F+14左+15W0,

解得：-3W左W--,

3

VXI2+%22—（XI+%2）2-2xiX2=（左-1）2-2（F+3左+4）=-A2-8左-7

=-（左+4）2+%

?,.當左＞-4時，X12+X22的值隨k的增大而減小，：-3W左W-反,

3

：.k=-3時，K2+及2取得最大值，最大值為8.

【變式訓練6】'：y=ax2+2bx+3c函數”，

f2

??.設H(p,q)和(-p,-夕)，代入得到aP+2bp+3c=q,

ap2-2bp+3c=-q

解得印2+3C=0,2bp=q,?.?p2〉o,.?.〃，0異號，:.acVO,Va+b+c=O,

/.Z?=-a-c,?「(2c+b-a)(2C+Z?+3Q)<0,

/.C2c-a-c-a)(2c-Q-c+3a)<0,(。-2。)(C+2Q)<0,

2

：.c2<4a2,???J<4,???-2V￡V2,

2A

設f=￡,貝！J-2V，V0,

a

設函數與X軸交于（XI,0）,（X2,0）,

/.xi,l2是方程af+26x+3c=0的兩根,

2<t<0,

/.2<|xi-X2\<2^[7.

【變式訓練7】解：⑴根據題意得：a+b+c=O

ax+b=aj^+bx+c*.*tz>Z)>ca+b>0,a>0,cVO,?x2+(Z>-a)x+c-b=0,

ax^+(6-6z)x-a-b-b=0,

Qb-a)2-4。(-a-1b)=(a+b)?+4a(a+b)>0,

???拋物線與直線一定有兩個不同的交點；

(2)不存在設點4,5的橫坐標分別為xi,X2,ax2+(b-a)x+c-b=0,

.?.xi+x2=.a一°,\l?X2=f

aa

22

根據題意得：=|xi-X2|=J(x-x)=J(x+x)-4X.X2

乙V1MXit

J盧zL「_4(c-b)=4加

a

2A

???（￡）一些=32，???--4左-32=0,???左=8或左=-4,???〃>（）,c<0：.k=-4,

aa

,當左=-4時，￡=-4得到C=-4a,又a+6+c=0,即a+6-4a=0所以6=3a

a

a>0,.,.b>a,a>b>c,；"=-4不符題意舍去，

..?不存在符合題意的左值.

【例3】略

【變式訓練8】解：（1）由題意得，點8和點N關于對稱軸對稱，

對稱軸x=m-m+4=2,又,；x=-也=2,.”=-4a,

22a

.,.y=ax2-Aax,

①當a>0時，頂點坐標為（2,-2爪），__

代入》="2-4辦，得：-2正=4a-8a,解得：a=1.,：.丫=立~好-2、足；

22

②當。<0時，頂點坐標為（2,273）,__

代入y=-4"，得：2M=4a-8a,解得：a=-零，."._y=-^-x2+2y[3x；

綜上，>=運爐-2、j&或y=-退x?+2日x；

22

（2）設等邊拋物線與x軸的兩個交點分別為Z（xi,0）,B（X2,0）,

y=ax2+bx+c=0,.，.x=b±\/b-4ac,

22

：.AB=\xi-X2|=|Z^Vpzlac~b-Vb2-4ac2Vb-4ac?_iVb-4ac

2；I--―H|—

2

又?.?拋物線的頂點坐標為（-上，4ac-b）,

2a4a

|4ac-b)?

=V3,,：b2-4ac^0,.?油2一4=返,...b2-4ac=i2；

jjb2-4ac?2412

二次函數與韋達定理（二）

【例11略

【例2】解：..,直線y=1x+l與了軸交于點4與雙曲線了=.有交點,

「?把^=區代入直線y=—^-x+1得，—=-^x+L即x2-2x+2左=0,

**.XI+X2=2.故答案為：2.

【變式訓練1】解：??、*，???％=必將X=K代入y=1x+l,

Xyy2

得2y2-2y+k=0.\yi+y2=--=-1，故答案為1.

9a2

【例3】g.

5

【變式訓練2】解：設直線了=一堂x+b與x軸交于點。，作軸于E,CF

_Ly軸于足,.）=一坐■x+6,

??.當y=0時，x=43b,即點。的坐標為（J為，0）,

當x=0時，y=b,即幺點坐標為（0,b）,：.OA=b,OD=43b-

：在Rt^ZOQ中，tanNADO=&_=士=昱,：.ZADO=30°.

ODV3b3

?.?直線y=一返x+b與雙曲線y=區在第一象限交于點5、C兩點,

3x

-^L±x+b=—,整理得，-1/+加：-左=0,

V^-=cos30°=迎，：.AB='^-EB,同理可得：AC=^-FC,

AB233

：.AB*AC=（3匹EB）（,正于。=1E5*FC=AXA/3^=12,

3333

解得：k=3g.

［例4］過點M作MHLx軸交x軸于點H,過點N作HK±x軸交x軸于點K,

A\0\

VZMON=90°,AZMOA+ZNOB=180°-/MON=90°,而NCWB+N

NOB=9Q°,ZMOA=ZONB,

設：點〃、N的坐標分別為（xi,yi）、（X2、J2）,

-Xiyrr

tanZMOA=-----=tanZONB=—=9~,即：yiy2=-x\xi,

將二次函數表達式與直線表達式聯立并整理得:

x2+(2-左)x-5=0,貝！JX1+%2=左-2,X1X2=-5,

ZMOA=ZONB,/.tanZMCU=^^-=tanZ(9A?=-^-,BP：yiy2=-xixi,

了1x2

而yi=fen+2,yi=kx2~^~2,

即：（Axi+2）（AX2+2）=5,

化簡得：3廬+4k+1=0,解得：左=-1或-」，

3

【變式訓練3】如圖2,過。作￡尸〃x軸，作PELEF于E,。尸，EF于

F,

設。(a,b),P(xi,yi),Q(%2,/),

"y=kx-2k-4

聯立］i2，得f+2日-4左-8=0

y="2X

??xi+x2=-2k,x\xi=-4k-8,

由△尸E'Qs△。尸。得，署

DE*DF=PE?QF,/.(。-xi)(%2一a)=(6-ji)(6一/),

121_2

b=yi

2尹2

(%2-a)=(—2-^2)(—2-X2)

(a-xi)xaxa

212222

(a-xi)(X2-a)=—(a+xi)(a+x2)(xi-a)(X2-a),

4

-4=(a+xi)(a+x2),.*.xiX2+a(xi+%2)+a2=-4,

-4k-8+a(-2k)+a2=-4a2-4-2ak-4左=0,

(a+2)(a-2)-2k(a+2)=0,?.味為任意實數,

。+2=0,??。=-2,??/?=-2,

D(-2,-2).

【變式訓練4】解：（1）如圖1,

過點P作PELx軸于E,過。作QF±x軸于F,

設點尸（XI,Jl）,Q（X2,J2）,:.E（XI,0）,F（X2,0）,

,：D(1,0),：.DE=1-xi,DF=X2-1,

聯立直線和拋物線解析式得，，

y=kx+4-k

2

Ax-(4左+2)x+4k-15=0,，XI+X2=4k+2,XLX2=4左-15,

:?DE?DF=(1-Xl)(X2-1)=-X1X2+(X1+X2)-1

=-(4k-15)+(4k+2)-1=16,

Vyi=A(XI-1)2,yi=—(X2-1)2,

44

/.PE*QF=y\y2=(xi-1)2e—(X2-1)2——[(xi-1)2(X2-1)2]

4416

22

=A[(xi-1)(X2-1)]=A[X1X2-(xi+%2)+1]=A[4^-15-(4左+2)

161616

+l]2=_l_x162=16,

16

：.DE'DF=PE*QF,上邁迪，,:/PED=/DF。,

PEDF

:.XPEDS/\DFQ,:.NDPE=/QDF,VZPDE+ZDPE=90°,

AZPDE+ZQDF=90°,AZPDQ=90°；

(2)如圖2,連接4D,

由(1)知，拋物線解析式為y(x-1)2,

,4

：.D(1,0),

由(1)知，A(1,4),

...4D〃y軸，40=4,

設點尸(xi,yi),Q(X2,J2),

由(2)知，XI+X2=4左+2,xiX2=4左-15

：.S^PDQ=^AD<X2-X^=2(%2-xi)=24(x2-xi)2=2j(x[+x2)2-4x1X2

=2V(4k+2)2-4(4k-15)=2V16k2+64=8Vk2+4'

二?當左=0時，S^PDQg/js=8X2=16.

【例5】要使△川0尸的周長取得最小，只需AF+DF最小

連接BD交,x=2于點F,因為點B與點A關于x=2對稱，

根據軸對稱性質以及兩點之間線段最短，可知此時AF+DF最小.

令天=-工：2+%+$中的》=0,則％=-1或5;?5（5,0）

44

,:D（0,空）.?.直線8。解析式為y=-巨x+空,

12.1212

：.F（2,1）.令過尸（2,-|）的直線解析式為y=fcc+bi,

4

則$=2左+歷，.?.歷=$-2k則直線MxMi的解析式為丁=丘+$-2k.

444