2025年中考二輪專題復習-幾何壓軸題高效拆分將訓

專題一全等模型高效拆分的訓

特訓1旋轉全等（一）一線三等角模型

II模型解讀

I!典題訓練

1.如圖，AC=AB=BD,ZABD=9Q°,BC=6,則△BCD的面積為.

2.如圖，把兩個腰長相等的等腰三角形拼接在一起，腰AD=AR=AC,ND4c=90°,

作CELAR于E,連接DE.若CE=12,DE=DF,求AC的長.

特訓2旋轉全等（二）手拉手模型

I!模型解讀

條件：如圖，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE.

結論：AACD/AABE.

頂角相等且頂點重合的兩個等腰三角形一全等三角形.

II典題訓練

【熟悉模型】

如圖①，已知△ABC與ZXADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,^.ZBAC=ZDAE,

求證：BD=CE；

【運用模型】

如圖②，尸為等邊三角形ABC內一點，且9：P3：PC=3：4：5,求NAP3的度數.小

明在解決此問題時，根據前面的“手拉手模型”，以為邊構造等邊三角形5P這

樣就有兩個等邊三角形共頂點5然后連接CM,通過轉化的思想求出了NAPB的度數,

則ZAPB的度數為,；

【深化模型】

如圖③，在四邊形ABCD中，AD=4,CD=3,ZABC=ZACB=ZADC=45°,求3。

的長.

①②③

%%勿，特訓3旋轉全等（三）半角模型/"容勿/

II模型解讀

A

BDEC

等腰直角三角形中的“半角模型”（如圖）：

條件：在△ABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,ZDAE=45°.

方法：將△A3。繞點A逆時針旋轉90。，得到△ACR,連接EE

結論：4ADE2LAFE,DE2=BD2+CE2.

正方形中的“半角模型”（如圖）：

AD

口

GBEC

條件：在正方形ABCD中，ZEAF=45°.

方法：將△ADR繞點A順時針旋轉90。，得到△ABG.

結論：△AERmZ\AEG,EF=BE+DF,EF2=CE2+CF2,

剛平分NDRE,EA平分/BEF.

II典題訓練

如圖，在正方形ABCD中，E,歹分別是邊3C,CD上的點（不與端點重合），且NEAR=

45°.

（1）求證：EF=BE+DF；

（2）連接3D,分別交AE,AR于點“，N,試探究MN,DN之間的數量關系，并說

明理由.

BEC

奶辦特訓4中點模型（一）倍長中線（或作平行線）%加明，

I!模型解讀

1.如圖，AD是△ABC的中線，3E交AC于E,交AD于F且AC=3E求證：AE=FE.

2.如圖，在△ABC中，ZA=90°,。為3C的中點，DELDF,DE交AB于點E,DF

交AC于點R連接EE試猜想線段BE,CF,ER三者之間的數量關系，并證明你的

結論.

，勿勿勿特訓5中點模型（二）構造中位線,勿勿數/

II模型解讀

題眼：中線、中點

方法1:再構造另一個中點，變中線為中位線.

示例：如圖①，A。為△ABC的中線，延長至。，使得AD=AB,

連接CD,可證。4=^8,OA//CD.

方法2:構造雙中位線

示例：如圖②，在四邊形ABCD中，E,R分別是AD,的中點,

取對角線3。的中點連接ME,MF.

I!典題訓練

1.如圖，在正方形ABCD中，AB=2y[2,E,R分別是邊AB,3C的中點，連接EC,FD,

G,H分別是EC,RD的中點，連接GH,則GH的長度為

2.如圖，四邊形A3CD中，AB=CD,E,R分別是邊BC,AD的中點，延長R4,CD,

分別交ER的延長線于P,。.求證：/BPE=/Q.

，加購俄特訓6中點模型（三）平行線證中點/勿勿勿

II模型解讀

方法：作平行或作垂直，證中點.

在未知中點的問題中，不能采取倍長中線法，可作平行或垂直，通過三角形的

全等證中點.

I!典題訓練

iSAABC中，AB=AC,點D在射線BA上，點E在AC的延長線上，且3D=CE.連接

DE,DE與3c邊所在的直線交于點E

⑴當點。在線段B4上時，如圖所示，求證：DF=EF；

⑵過點。作DHL3c交直線3C于點若BC=4,CF=1,求3H的長.

為％%,特訓7中點模型（四）斜邊中線/%%%，

I!模型解讀

條件：如圖，在RtAABC和RtAABD中，ZACB=ZADB=90°.

①

方法：如圖，取A3的中點。，連接。C,OD,得至UZODB=

ZOBD=^ZAOD,ZODA=ZOAD=^ZBOD,ZOCB=ZOBC=^ZAOC,

ZOAC=ZOCA=^ZBOC.

I!典題訓練

1.如圖，BN,C般分別是△ABC的兩條高，。是3C的中點，DE上MN于■點、E.

A

N

C

⑴求證：石是MN的中點;

⑵若3C=12,MN=8,則DE=

2.如圖，在四邊形A3CD中，ZBAD=ZBCD=90°,。為3。的中點，連接。4,AC.

若NADC=135。，求證：AC=^20A.

%勿勿/特訓8角平分線模型/?%0%

I!模型解讀

條件：0P平分NAOB.

方法一：（垂兩邊）如圖①，過點P分別作尸。，。4于。，

PE±OB于E-,

方法二：（垂中間）如圖②，過點P作。ELOP,交。4于。，0B于E;

方法三：（截等線段）如圖③，截取OD=OE（點。，E分別在。4,上），連接

PD,PE.

I!典題訓練

1.如圖，ZkABC的面積為10,尸為△A3C內一點，BP平分/ABC,APLBP,則4尸臺。

的面積為.

2.如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=120°,ZC=60°,3。平分NA3C.求證：AD=

CD.

3.如圖，在△ABC中，ZA=2ZB,CD平分NAC3交A3于點D求證：BC=AD+AC.

BC

/勿班勿/特訓9十字架模型/%外加

I!模型解讀

口立：

曰

圖示

BCBHCBHM

正方形ABC。中，若

EF=HK,則過點

正方形A3CD中，若將AM,BN如上圖所示E,K分別作

AM1BN,則進行平移，易得HKEN±CD于N,

結論

AADM^^BAN,=BN=AM=EF,KMLBC于M,易

.HK_

..AM—BN,即L??斯一L證

AENF^AKMH,

從而得到EF±HK.

I!典題訓練

(1)感知：如圖①，在正方形A3CD中，E,R分別是AB,3c上的點，連接DE,AF,若

BE=CF,求證：DE=AF.

(2)應用：在(1)的條件下，求證：AF±DE.

(3)探究：如圖②，在正方形A3CD中，E,R分別為邊AB,CD上的點(點E,R不與正

方形的頂點重合)，連接EF,作ER的垂線分別交邊AD,3C于點G,H,垂足為

若E為A3的中點，DF=1,AB=4,則GH的長為.

，勿防勿/特訓10對角互補模型/%加物，

II模型解讀

類型90。的對角互補模型60。、120。的對角互補模型

DFDDD

記七

圖示

BCBECBCBEC

ZABC=ZADC=90°,BD平分ZABC=12Q°,ZADC=6Q°,BD平

條件

ZABC.分/ABC.

過點D分別作DE,3c于點E,

作法

DFLBA交BA的延長線于點F.

l.AD=CD;l.AD=CD;

結論2.AB+BC=^2BD;2.AB-\-BC=BD;

3.S四邊形ABCDU^BD1.3.S四邊形ABC。=4BD^.

II典題訓練

1.如圖，正方形ABCD的對角線相交于點。，E為A3上一動點.連接0E,作。fUOE

交3c于點R已知A3=2,則四邊形E3R9的面積為

2.如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD+ZBCD=180°,平分NADC.若NAD3=60。,

求證：△ABC是等邊三角形.

勿勿勿〃特訓11設參導等角/%

I!方法技巧

含有等腰三角形的圖形中，要證明兩個角相等，可以考慮設a,P導角

證等角.

II典題訓練

1.如圖，在△ABC中,A3=AC,點。在3c的延長線上，NAD3=45。，過點C作CELA3

于點E,延長EC,交AD的延長線于點R求證：AC=FC.

A

2.如圖，在5c中，D,E分別在A—5c邊上，連接A￡,CO相交于點R若NA產。

=2ZABC,AE=ACf求證：CD=AC.

B

EC

專題~全等模超高效拆分將訓答案

1%%%，特訓1旋轉全等（一）一線三等角模型/勿勿勿

1.9

2.解：如圖，過。作于H.

ZDAC=90°,

/.ZDAH+ZCAE=9Q°.

'：CELAF于E,

：.ZACE+ZCAE=9Q°,

：.ZDAH=ZACE.

"：ZAHD=ZAEC=9Q°,AD=AC,

：.AADH/ACAE,：.AH=CE=12.

設AC=x,則AP=AD=x,AFH=AF-AH=x-12.

,:DE=DF,DH±FE,：.EH=FH=x-12,

.".AE=AH-EH=12一(x—12)=24一x.

"：AC2=AE2+CE2,x2=(24—+122,

，x=15.AC的長為15.

特訓2旋轉全等(二)手拉手模型

【熟悉模型】證明：VZBAC=ZDAE,：.ZBAD=ZCAE.

在△A3。和△ACE中，

'：AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

：.AABD^AACE,：.BD=CE.

【運用模型】150。

【深化模型】解：?.?NAC3=NA3C=45。，

E

，

zZ/aI

//;

/:\

CB

AZBAC=90°,_aAC=AB.

將△AD3繞點A順時針旋轉90。，得至UZkAEC,連接DE,如圖.

：.AD=AE,ZDAE=90°,BD=CE.

：.ZEDA=45°,DE=\[2AD=4y[2.

,：ZADC=45°,NEDC=45°+45°=90°.

在RtADCE中，CE=ya)2+DE2=y9+32=西,

：.BD=CE=yj4i.

特訓3旋轉全等(三)半角模型

(1)證明：如圖，將△ADR繞點A旋轉至的位置，

：.BG=DF,AG=AF,ZGAB=ZFAD,

：.ZGAF=ZBAD=9Q°,

：.ZEAG=ZGAF-Z￡4F=90o-45o=45°=ZEAF.

又"：AE=AE,：.AEAG^AEAF,

：.GE=EF.

又GE=BE+BG=BE+DF,

：.EF=BE+DF.

(2)解：MN2=BM2+DN2.

理由：如圖，將△ABM繞點A旋轉至△ADH的位置，連接HN,

：.AH=AM,DH=BM,/ADH=/ABM,ZHAD=ZMAB,

：.ZHAM=NBA。=90°,

，ZHAN=ZHAM-NE4P=90°—45°=45°=ZMAN.

又,：AN=AN,

:.AHANmAMAN,:.HN=MN.

'：四邊形ABCD是正方形，...ZABM=ZADN=45°,

：.ZADH=ZABM=45°,

：.ZHDN=ZADH+ZADN=90°,

:.HN2=DH2+DN2,:.MN2=BM2+DN2.

特訓4中點模型（一）倍長中線（或作平行線）

1.證明：延長AD到使連接如圖.

,.?AD是△ABC的中線，：.CD=BD,

在△ADC和中，

DC=DB,

ZADC=ZMDB,

DA=DM,

：.AADC^AMDB,:.BM=AC,ZCAD=ZM.

'：AC=BF,：.BM=BF,：.ZM=ZBFM.

'：ZAFE=ZBFM,：.ZCAD=ZAFE,

：.AE=FE.

2.解：猜想：B^+CF2=EF2.

證明：延長ED到點G,使DG=ED,連接GRGC,如圖.

■:EDIDF,DG=ED,：.EF=GF.

?。是3c的中點，：.BD=CD.

在和△CDG中，

ED=GD,

ZBDE=ZCDG,

BD=CD,

：.4BDE沿叢CDG,：.BE=CG,ZB=ZGCD.

VZA=9Q°,：.ZB+ZACB=9Q°,

：.ZGCD+ZACB=9Q°,即NGCT=90。，

在RtACFG中，GC1+CF2=GF2,

:.BE1+CF2=EF2.

特訓5中點模型（二）構造中位線

1.1

2.證明：連接AC,取AC的中點M,連接ME,MR,則ME,MR分別為△ABC和△ACD

的中位線，

：.ME=^AB,MF=^CD,ME//AB,MF//CD.

,:AB=CD,：.ME=MF,：.ZMEF=ZMFE.

,JME//AB,MF//CD,

：.ZBPE=ZMEF,ZQ=ZMFE,

：.ZBPE=ZQ.

特訓6中點模型(三)平行線證中點

(1)證明：如圖①，過點。作DG〃AC,交3C于點G.

A

：.ZDGB=ZACB.

'：AB=AC,：.ZB=ZACB,

：.ZDGB=ZB,：.BD=GD.

'：BD=CE,：.GD=CE.

,JDG//AC,

：.ZGDF=ZCEF,ZDGF=ZECF,

：.ADGF注AECF,：.DF=EF.

(2)解：當點。在線段B4上時，過點E作交3C的延長線于。，如圖②所示,

'：AB=AC,：.ZB=ZACB=ZOCE.

又：ZDHB=ZEOC=9Q°,

BD=CE,：.ADHB空4EOC,

：.BH=CO,

：.HO=HC+CO=HC+HB=BC=4.

"：ZDHF=ZEOF=90°,ZDFH=ZEFO,

由(1)得DE=EE

:.ADHF沿叢EOF,：.HF=0F=^H0=2.

VCF=1,：.BH=CO=OF-CF=2-1=1；

當點。在冊的延長線上時，過點E作E。，3c交3c的延長線于點。，如圖③,

同理可證咨△EOC,4DHF沿AEOF,

：.BH=OC,HF=OF.

：.H0=HC+C0=HC+HB=BC=4,：.HF=0F=^H0=2.

'：CF=1,：.BH=CO=OF+CF=2+\=3.

綜上所述，的長為1或3.

特訓7中點模型(四)斜邊中線

L(1)證明：如圖，連接DM,DN.

,：BN,CM分別是△ABC的兩條高,

，ZBMC=ZCNB=90°.

?.?。是3c的中點，

：.DM=^BC,DN=^BC.

：.DM=DN.

■:DELMN,，E是MN的中點.

⑵2小

2.證明：連接。C,如圖.VZBAD=ZBCD=90°,。為3。的中點,

AZABC+ZADC=1SO°,OA=^BD=OB,OC=^BD=OB,

：.OA=OC.

VZADC=135°,：.ZABC=45°.

"：OB=OC,：.ZOBC=ZOCB,

：.ZC0D=2ZCB0,同理可得NA。。=2NA30.

，ZAOC=ZAOD+ZCOD=2ZABO+2ZCBO=2(ZABO+ZCBO)=2ZABC=

90°,

.??△AOC為等腰直角三角形，

：.AC=y[0^+0Ci=^20A.

特訓8角平分線模型

1.5

2.證明：如圖，過點。分別作DELBC于E,DFLBA,交54的延長線于點R

HEc

：點。在NA3C的平分線上，

：.DE=DF.

VZBAD=120°,ZDAF=60°,

/.ZDAF=ZC.

?：DELBC,DF±AF,

：.ZF=ZDEC=9Q°,

：.AADF^△CDE,：.AD=CD.

3.證明：在3c邊上截取EC=AC,連接DE,則BC=BE+EC.

'：CD是NAC3的平分線，ZDCE=ZDCA.

(EC=AC,

在△CDE和△OM中，｛ZDCE=ZDCA,

[CD=CD,

：.ACDE^ACDA,：.ZCED=ZA,ED=AD.

'：ZCED=ZB+ZBDE,ZA=2ZB,

：.ZB=ZBDE,：.BE=ED,：.BE=AD,

：.BE+EC=AD+AC,即BC=AD+AC.

特訓9十字架模型

⑴證明：?.?四邊形A3CD是正方形，

：.AD=AB=BC,ZDAB=ZB=90°.

'：BE=CF,：.AE=BF,

：.ADAE