難點與新考法07二次函數與線段'面積'角度問題（5大熱考題型）

題型一：拋物線與動直線交點問題

題型二：拋物線與動線段交點問題

題型三：二次函數與線段問題

題型四：二次函數與面積問題

題型五：二次函數與角度問題

,精淮握分

題型一：拋物線與動直線交點問題

：指?點?迷?津

將二次函數和一次函數表達式聯立，得到一元二次方程，根據一元二次方程根的判別式的值與0的大小關系來

i

判斷拋物線與直線的交點情況

按-4。》0抽物線與直線有兩個交點；

b2-4ac=0T位物線與直線有一個交點：

b2-4ac<0抽物線與直線沒有交點

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?河南開封?二模）已知二次函數y=/+儂+〃的圖象經過點A（LO）和。（5,8）,與x軸的另

一個交點為8,與，軸交于點C.

⑴求二次函數的表達式及頂點坐標;

（2）將二次函數＞=/+??+〃的圖象在點C,。之間的部分（包含點C,。）記為圖象G.已知直線/：

丁=丁》+6恒過點（2,3）,當直線/與圖象G有兩個公共點時，請直接寫出人的取值范圍；

⑶在第（2）題的條件下，匕取最大值時，將直線/向下平移，交拋物線于點PCq,%）和點。（犯，力），交線段

8c于點/（w，%），結合函數的圖象，求國+尤2+尤3的取值范圍.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?江蘇南京?三模）兩個函數交點的橫坐標可視為兩個函數聯立后方程的根，例如函數y=x+3的圖

像與函數丫二^1■的圖像交點的橫坐標可視為方程V+3x=l的根.

X

⑴函數丫=尤+6的圖像與函數y=’的圖像有兩個不同交點，求b取值范圍.

X

⑵已知二次函數丫=-丁+2%-1（優為常數）.

①設直線＞=-2x+l與拋物線＞=-工2+2mx-l有兩個不同交點，求加取值范圍.

②已知點A（-2,-1）、B（2-1）,若拋物線y=*+2如T與線段AB只有一個公共點，請直接寫出機的取值

范圍.

2.（2024?江蘇南通?一模）已知拋物線y=，九X?+2機x+〃（m,〃為常數，相>0）與x軸交于A,8兩點（點

A在點8的左側），與y軸交點C,頂點為。，AS=4.

（1）求3加+”的值；

（2妝口圖，連接交AC于點E,求證：BE=2DE；

⑶設M是x軸下方拋物線上的動點（不與C重合），過點M作〃N〃x軸，交直線AC于點N.由線段MN

長的不同取值，試探究符合條件的點"的個數.

3.（2024?江蘇無錫?一模）已知二次函數y=ax2+4x+c的圖象交x軸于A,5兩點，交y軸于點C.一次函

數y=x-3&的圖象經過點B,C.

⑴求二次函數的解析式；

（2）若二次函數y=^+4x+c的圖象與平行于x軸的直線/始終有兩個交點。，E（點。在點E的左側），P

為該拋物線上異于￡>,E的一點，點E,尸的橫坐標分別為機，“7+1.當加的值發生變化時，ZPDE的度

數是否也發生變化？若變化，請求出ZPDE度數的范圍；若不變，請說明理由；

⑶過點A的直線交直線BC于點連接AC,當直線AM與直線BC的夾角等于NACB的2倍時，求出點

M的坐標.

4.（2024,廣東廣州二模）已知二次函數、=元2-2皿+川_1的圖象為拋物線c,一次函數、=履+6左（左片0）

的圖象為直線/.

⑴求拋物線C的頂點坐標（用含根的式子表示）；

（2）若直線/與拋物線C有唯一交點，且該交點在x軸上，求々的值；

⑶當次=；時，直線/與x軸交于點4與y軸交于點3,過點8作垂直于y軸的直線與拋物線C有兩個交

點，其中在拋物線對稱軸左側的交點記為點P,當出為鈍角三角形時，求機的取值范圍.

題型二：拋物線與動線段交點問題

1.動線段在X軸上（點C在點D左側）

I

交點情況無交點有一個交點有兩個交點

圖示rXJ"

節C1)/A外\\BC”DTTVriv

滿足條件動線段CD在點A左側或點D（或點C）在AB之間點C在點A左側且點D在點B

在點B右側右側

2.動線段在直線上（點C在點D上方）

交點情況~無無交交點點有一個交點有有兩兩個個交交點點

【典例2】（2024?四川樂山?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數的點為"完

美點拋物線、=依2_2"+2a（a為常數且。＞0）與y軸交于點A.

⑴若。=1,求拋物線的頂點坐標；

（2）若線段（含端點）上的"完美點”個數大于3個且小于6個，求a的取值范圍；

⑶若拋物線與直線V=x交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區域（含邊界）內恰有4個"完美點”,

求。的取值范圍.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?云南文山?二模）已知拋物線y=ax2+2ax+c（a,c為常數，"0）經過點C（0,T）,頂點為D.

⑴當。=1時，求該拋物線的頂點坐標；

⑵將點產（0,3）向左平移4個單位得到點H,連接切，若拋物線與線段切恰有一個公共點，結合函數圖

象，求a的取值范圍.

2.（2024?云南昆明?三模）平面直角坐標系中，拋物線y=ad-3依+1與y軸交于點A.

⑴求點A的坐標及拋物線的對稱軸；

（2）已知點P（0,2）、Q（a+2,1）,若線段PQ與拋物線只有一個公共點，結合函數圖象，求。的取值范圍.

一,1

3.（2024?山東荷澤?一模）如圖，在平面直角坐標系尤Ox中，拋物線y=ar+Zu--（a<0）與y軸交于

a

點A,將點A向右平移2個單位長度，得到點8,點8在拋物線上.

⑴求點8的坐標（用含”的式子表示）.

（2）當8的縱坐標為3時，求。的值；

⑶已知點P［；,-訝），2（2,2）,若拋物線與線段PQ恰有一個公共點，請結合函數圖象求出。的取值范圍.

4.（2024?廣西南寧,模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=/+bx+c與直線A3相交于A,

8兩點，點A的坐標為（0,-1）,點B的坐標為（TT）.

⑴求該拋物線的函數解析式.

（2）P為直線A3下方拋物線上的任意一點，連接B4,PB,求面積的最大值.

⑶點C（T,m）在直線上,將線段AC沿著y軸向上或向下平移,點A和點C的對應點分別為點A和點C,

為使平移后的線段AC與拋物線只有一個公共點，設點A的縱坐標為，，求〃的取值范圍.

5.（2024?河北?模擬預測）如圖，拋物線L:>=*+2〃a-2祖+2,M為拋物線的頂點，點尸是直線乙：V=x-2

上一動點，且點P的橫坐標為m.

（1）求點A/的坐標（用含機的式子表示）；

⑵連接尸“，當線段尸河與拋物線L只有一個交點時，求他的取值范圍；

⑶將拋物線上橫、縱坐標互為相反數的點定義為這個拋物線上的"互反點”.若點P（私-1）.

①求拋物線上的解析式，并判斷拋物線上是否有"互反點"，若有，求出"互反點"的坐標.若沒有，請說明

理由；

②若點。（凡。）為x軸上的動點,過Q作直線），x軸,將拋物線L:y=x2+2mr-2/7/+2（x<?）的圖象記為“,

將嗎沿直線4翻折后的圖象記為嗎，當叱，嗎兩部分組成的圖象上恰有2個"互反點”時，直接寫出w的取

值范圍.

題型三：二次函數與線段問題

:藉i"*i區T承...........

第一步:設點坐標及坐標表示

i

第二步:表示線段長

;第三步:根據線段長度或者數量關系列方程求解

【中考母題學方法】

【典例3】（2024?甘肅臨夏?中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線》=-/+云+。與x軸交于A（T,0）,

3（3,0）兩點，與>軸交于點C,作直線BC.

⑴求拋物線的解析式.

（2）如圖1,點尸是線段2C上方的拋物線上一動點，過點尸作尸Q，BC,垂足為Q,請問線段尸。是否存在

最大值？若存在，請求出最大值及此時點P的坐標；若不存在請說明理由.

⑶如圖2,點M是直線BC上一動點，過點M作線段腦V〃OC（點N在直線3C下方），己知MN=2,若線

段MN與拋物線有交點，請直接寫出點M的橫坐標人的取值范圍.

【變式3-1](2024?安徽?模擬預測)如圖1,在平面直角坐標系中，二次函數y=Y+bx+c的圖象交x軸于

A(-l,0),8兩點，AB=4,C為拋物線頂點.

圖1圖2

⑴求b,c的值；

(2)點P為直線AC下方拋物線上一點,過點尸作PQx軸，垂足為點。，交AC于點M,是否存在QM=3PM?

若存在，求出此時P點坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,以8為圓心，2為半徑作圓，N為圓8上任一點，求CN+^AN的最小值.

【變式3-2］（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，拋物線y=/+6x+c與x軸交于點A（-l,0）和點8,與y軸交

于點C（0,-4）,其頂點為D

⑴求拋物線的表達式及頂點D的坐標；

⑵在y軸上是否存在一點使得ABNW的周長最小.若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由;

⑶若點E在以點P（3,0）為圓心，1為半徑的0P上，連接AE,以AE為邊在AE的下方作等邊三角形曲,

連接3F.求母■的取值范圍.

【變式3-3](2024?湖南?中考真題)已知二次函數y=-無2+c的圖像經過點A(-2,5),點P(/,yi),Q(x2,y2)

⑴求此二次函數的表達式；

(2)如圖1,此二次函數的圖像與x軸的正半軸交于點B,點尸在直線A3的上方，過點尸作尸CJ_x軸于點C,

交A8于點。，連接AC。。,尸。.若當3+3,求證拄絲的值為定值；

^/\ADC

(3)如圖2,點P在第二象限，馬=-2玉，若點M在直線PQ上，且橫坐標為玉-1,過點M作肱軸于點

N,求線段MN長度的最大值.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?山西太原?模擬預測）綜合與探究

3Q

如圖1,二次函數尸-/+尸+3的圖象與尤軸交于點42（點A在點8左側），與y軸交于點C.點尸

是y軸左側拋物線上的一個動點，設點P的橫坐標為m,過點P作x軸的平行線交y軸于點D,交拋物線于

另一點E.

備用圖

⑵如圖2,當點尸在第二象限時，連接BC,交直線PE于點尺當PF=￡F時，求機的值.

⑶當點P在第三象限時，以3。為邊作正方形D3MN,當點C在正方形的邊上時，直接寫出點。的

坐標.

2.（2024?廣東清遠?模擬預測）如圖，直線y=x-3與無軸、y軸分別交于點3,A,拋物線y=。（尤-2了+左

經過點A,B,其頂點為C.

（1）求拋物線的函數解析式;

（2）求VABC的面積；

⑶點P為直線上方拋物線上的任意一點，過點尸作尸。II＞軸交直線A3于點求線段尸。的最大值及

此時點P的坐標.

3.（2024?湖北?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=+bx+c與x軸交于A（l,0）和B（3,0）,

點D為線段3C上一點，過點。作，軸的平行線交拋物線于點E,連結8E.

⑴求拋物線的解析式；

⑵當VBDE為直角三角形時，求線段DE的長度；

⑶在拋物線上是否存在這樣的點尸，使得NACP=45。，若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

4.(2024?湖北?模擬預測)如圖，在平面直角坐標系中，直線、=履+4與x軸交于點A(T,0),與y軸交于

(1)求上的值及拋物線的解析式.

(2)如圖①，若點。為直線AC上方拋物線上一動點，當44co=2NB4c時，求D點的坐標；

⑶如圖②，若P是線段。4的上一個動點，過點尸作直線所垂直于x軸交直線AC和拋物線分別于點G、

E,連接CE.設點/的橫坐標為優.

①當加為何值時，線段EG有最大值，并寫出最大值為多少；

②是否存在以C,G,E為頂點的三角形與AAFG相似，若存在，直接寫出機的值；若不存在，請說明理

由.

5.（2024?山西?模擬預測）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=+c與x軸交于A,B兩點（點A在點8的右側），與＞軸

4

交于點C,連接AC.已知點3（—3,0）,C（0,3）.

⑴求該拋物線的表達式及直線AC的表達式.

⑵D是直線AC上方拋物線上的一動點，過點。作DP_LAC于點尸，求尸口的最大值.

⑶在（2）的條件下，將該拋物線向左平移5個單位長度，”為點。的對應點，平移后的拋物線與y軸交

于點N,。為平移后拋物線的對稱軸上的任意一點.直接寫出所有使得以QN為腰的AQWN是等腰三角形

的點。的坐標.

6.（2024?安徽合肥?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線丫=質與拋物線、=以2+。交于4（8,6）,B

兩點，點8的橫坐標為-2.

⑴求直線AB和拋物線的解析式；

（2）點尸是直線A8下方的拋物線上一動點（不與點A、3重合），過點尸作x軸的平行線，與直線A3交于點C,

連接P。，設點尸的橫坐標為機；

①若點P在x軸上方，當機為何值時，△POC是等腰三角形；

②若點尸在x軸下方，設△尸OC的周長為P,求P關于加的函數關系式，當機為何值時，△POC的周長

最大，最大值是多少？

7.(2023?青海西寧?中考真題)如圖,在平面直角坐標系中，直線/與x軸交于點4(6,0),與y軸交于點3(0,-6),

拋物線經過點A,B,且對稱軸是直線x=l.

⑴求直線/的解析式；

⑵求拋物線的解析式；

⑶點P是直線/下方拋物線上的一動點，過點尸作PC_Lx軸,垂足為C,交直線/于點，過點尸作尸M，/,

垂足為V.求尸M的最大值及此時P點的坐標.

題型四：二次函數與面積問題

I指I點I迷I津

一、面積問題的解題步驟

;第一步：根據二次函數的表達式求出拋物線上特殊點的坐標，如與坐標軸的交點坐標，頂點坐標等

;第二步：根據點坐標表示出線段長

i

;第三步：根據線段長求出圖形的面積，常涉及邊與坐標軸不平行的三角形和不規則四邊形(可分割成三角形

與特殊四邊形)，利用“水平寬X鉛垂高”和補全圖形法求解。

二、平面直角坐標系中面積數量關系的轉化方法：

1.兩三角形同底:可構造平行線進行面積轉化，如圖①,作直線I//AB交拋物線于點P,則SAPAB

2.兩三角形同高:可將面積比轉化為線段比，如圖②,直線!與拋物線交于點P,與AB交于點Q,則SAPA*O逗A=Q點!

S"BQBQ

3.圖形面積平分:若圖形為三角形，構造三角形任意一條中線，該中線平分這個三角形的面積如圖③，直線!經=

過點A和BC的中點P,則,

3AAe尸一

【中考母題學方法】

【典例4】（2024?福建?中考真題）如圖，已知二次函數y=Y+法+。的圖象與x軸交于兩點，與>軸交

于點C,其中A（-2,0）,C（0,-2）.

⑴求二次函數的表達式；

（2）若尸是二次函數圖象上的一點，且點P在第二象限，線段尸C交x軸于點的面積是△COB的面

積的2倍，求點尸的坐標.

【變式4-1](2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)如圖，拋物線y=-/+6x+c與x軸交于A、B兩點，與y

軸交于點C其中5(1,0),C(0,3).

⑴求拋物線的解析式.

(2)在第二象限的拋物線上是否存在一點P,使得△好(7的面積最大.若存在，請直接寫出點尸坐標和△APC

的面積最大值；若不存在，請說明理由.

【變式4-2](2024?四川遂寧,中考真題)二次函數，=加+及+。("0)的圖象與x軸分別交于點

⑴求二次函數的表達式；

(2)當RC兩點關于拋物線對稱軸對稱，△。尸Q是以點P為直角頂點的直角三角形時，求點。的坐標；

⑶設尸的橫坐標為垃，。的橫坐標為加+1,試探究：△OPQ的面積S是否存在最小值，若存在，請求出最

小值，若不存在，請說明理由.

【變式4-3](2024?內蒙古包頭?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=-2/+云+c與x軸相交

(2)如圖1,若C是，軸正半軸上一點，連接AC,CM.當點C的坐標為(0,；1時，求證：ZACM^ZBAM；

(3)如圖2,連接BM,將AABM沿x軸折疊，折疊后點M落在第四象限的點AT處，過點5的直線與線段W

相交于點D,與＞軸負半軸相交于點E.當時，3sMB。與2s△“她是否相等？請說明理由.

DE7

【中考模擬即學即練】

1.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，二次函數y=無+。的圖象與無軸交于A、B兩點，與y軸交

于點C,點A的坐標為（-1,0）,點C的坐標為（0,-3）,連接8C.

⑴求該二次函數的解析式；

（2）點P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點，當ABCP的面積最大時，BC邊上的高PN的值為

2.（2024?甘肅?模擬預測）如圖，拋物線>=加+云+。（。彳0）的圖象經過4（1,0）,5（3,0）,。（4,6）三點.

⑴求拋物線的解析式和頂點M的坐標；

⑵在直線下方的拋物線上是否存在一點E,使△AED的面積最大，若存在，求出點E的坐標和△AED的

最大面積；

（3）尸為拋物線上的一動點，。為對稱軸上的動點，拋物線上是否存在一點尸，使A、。、P、。為頂點的四邊

形為平行四邊形？若存在，直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

3.(2024?四川樂山?模擬預測)已知二次函數丁=-*+以+2〃(a>0)與x軸交于A、8兩點，與，軸交

于C,頂點為￡).

圖①圖②

⑴如圖①，若VABC為直角三角形，求。的值；

(2)如圖②，設力D與BC交于M,在。的變化過程中，VABC與不重合部分的面積比券”的值是否

為定值，若是，求出這個定值，若不是，說明理由；

⑶如圖③，若a=2,作。4的中點N,過點N在第二象限內作x軸的垂線段EN=9,以N4、WE為鄰邊作

矩形4VEF,記矩形4VE/與AACD重疊部分的面積為S,矩形4VEF以每秒1個單位長度的速度向右運動，

當AF經過。點時，停止運動.設運動時間為f,求S與f的函數關系式，并寫出相應的自變量取值范圍.在

運動過程中，S是否存在最大值，若存在，直接寫出這個最大值.

4.（2024?山東淄博?模擬預測）如圖，已知二次函數、=/+法+。經過A,8兩點，3CJ_x軸于點C,且點

A（-l,0）,C（4,0）,AC=BC.

備用圖

⑴求拋物線的解析式；

（2）點E是線段A3上一動點（不與A,3重合），過點E作x軸的垂線，交拋物線于點尸，當線段所的長度

最大時，求點E的坐標及S—B-；

⑶點尸是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在這樣的P點，使AABP成為直角三角形？若存在，求出所有

點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

5.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線L：y=/-2依-3as>0）與x軸

O是拋物線第四象限上一點.

⑴求線段A3的長;

（2）當。=1時，若AACD的面積與的面積相等，求tan/ABO的值；

⑶延長CD交x軸于點E,當AD=D￡時，將AADB沿DE方向平移得到將拋物線Z平移得到拋物

線〃，使得點A’,?都落在拋物線〃上.試判斷拋物線〃與L是否交于某個定點.若是，求出該定點坐標；

若不是，請說明理由.

6.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，拋物線y=-f+bx+c與直線y=x+2相交于4（-2,0）,川3,m）兩點,

與x軸相交于另一點C.

⑴求拋物線的解析式;

（2）點P是直線A3上方拋物線上的一個動點（不與重合），過點尸作直線軸于點。，交直線A8于

點、E,當PE=2ED時，求P點坐標;

⑶拋物線上是否存在點M使AABM的面積等于VA3C面積的一半？若存在，請直接寫出點M的坐標；若

不存在，請說明理由.

7.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，拋物線>=-/+法+,與工軸交于點4（-3,0）和點5,與>軸交于點

C（0,3）,點D在拋物線上.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當點。在第二象限內，且AACD的面積為3時，求點。的坐標；

⑶在直線8C上是否存在點尸，使△OPD是以尸。為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點尸的坐

標；若不存在，請說明理由.

8.（2024?山東濟寧,中考真題）已知二次函數一加+bx+c的圖像經過（0,-3）,（-6,c）兩點，其中a,b,c

為常數，且必＞0.

⑴求a,c的值;

（2）若該二次函數的最小值是Y,且它的圖像與無軸交于點42（點A在點B的左側），與y軸交于點C.

①求該二次函數的解析式，并直接寫出點A,8的坐標；

②如圖，在y軸左側該二次函數的圖像上有一動點尸，過點尸作x軸的垂線，垂足為與直線AC交于點

E,連接尸C,CB,BE.是否存在點P,使於空=楙？若存在，求此時點P的橫坐標；若不存在，請說明

'△CBE"

理由.

9.（2024?山東東營?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=d+6x+c與x軸交于4-1,0）,

8（2,0）兩點，與y軸交于點C,點。是拋物線上的一個動點.

⑴求拋物線的表達式；

⑵當點。在直線BC下方的拋物線上時，過點。作y軸的平行線交于點E,設點。的橫坐標為f,DE的

長為/,請寫出/關于t的函數表達式，并寫出自變量f的取值范圍；

⑶連接A￡）,交BC于點尸，求:的最大值.

題型五：二次函數與角度問題

|￥iiiai?￥.................................

1.角度的頂點位置及其一條夾邊位置已確定，且角度為特殊角（30°、45。、60°、90°）

；第一步：將已知角放在直角三角形中或者構造含特殊角的直角三角形

:第二步：利用銳角三角函數將角度問題轉化成線段比例問題

i

:第三步：結合銳角三角函數值列方程求解

2.角度的頂點位置不確定，對邊位置及長度已確定，且角度為特殊角（30。45。60。90。）需通過定弦定角構造輔助

；圓，輔助圓與拋物線的交點即為所求點.

【中考母題學方法】

【典例5】（2024?湖北?中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線>=-尤2+法+3與苫軸交于點4（-1,0）和點8,

與>軸交于點C.

（2）如圖，M是第一象限拋物線上的點，ZMAB=ZACO,求點M的橫坐標；

⑶將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為LL與y軸交于點N.設L的頂點橫坐標為“，NC的

長為d.

①求d關于“的函數解析式；

②L與x軸圍成的區域記為U,U與AABC內部重合的區域（不合邊寫）記為W.當［隨〃的增大而增大,

且W內恰好有兩個橫、縱坐標均為整數的點時，直接寫出”的取值范圍.

【變式5-1］（2024?江蘇連云港?中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線y=依?+法-］（人b為

常數，a>0）.

⑴若拋物線與x軸交于4-1,0）、8（4,0）兩點，求拋物線對應的函數表達式；

⑵如圖，當b=1時，過點C（T。）、D（l,a+2應）分別作，軸的平行線，交拋物線于點M、N,連接MN、MD.求

證：MD平分/CMN；

⑶當。=1,。4-2時，過直線y=x-l（lWxW3）上一點G作y軸的平行線，交拋物線于點//.若GH的最大

值為4,求b的值.

【變式5-2](202牛海南?中考真題)如圖1,拋物線產-/+法+4經過點4(—4,0)、3(1,0),交了軸于點。(0,4),

點尸是拋物線上一動點.

(2)當點P的坐標為(-2,6)時，求四邊形AOCP的面積；

⑶當NPBA=45。時，求點尸的坐標；

(4)過點A、0、C的圓交拋物線于點E、F,如圖2.連接AE、AF.EF,判斷△?!￡/的形狀，并說明理由.

【變式5-3](2024?廣東深圳?模擬預測)如圖，拋物線與x軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,

OB=OC=3,OA=1,頂點為。

(2)P為直線2C上方拋物線上一點，求△PBC面積最大值及P點坐標;

⑶P為第四象限拋物線上一點，且tan/APC=：,求出點P的坐標;

【變式5-4］（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，拋物線％=G?+fox+c與尤軸交于A,5兩點，與>軸交于

點C,OC^OA,AB=4,對稱軸為直線/a=-1,將拋物線％繞點。旋轉180。后得到新拋物線為，拋物

線上與丁軸交于點。，頂點為E，對稱軸為直線

⑴分別求拋物線》和內的表達式；

⑵如圖1,點尸的坐標為（-6,0）,動點M在直線乙上，過點M作時V〃x軸與直線4交于點N,連接引以，

DN.求9+MN+DN的最小值；

⑶如圖2,點//的坐標為（0,-2）,動點尸在拋物線上上，試探究是否存在點尸，使NPEH=2ZDHE?若存

在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?湖北武漢?模擬預測）如圖，已知拋物線-2ax+c與x軸交于點A,2（點A在點2的左邊）,

與y軸負半軸交于點C,且OC=3,直線y=x+b經過8,C兩點.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖1,點。在拋物線上，滿足/。出=45。+/日笫，求點。的坐標；

（3）如圖2,設拋物線的頂點為T,直線>=區-左-3與拋物線交于點E,尸（點E在點尸左側），G為EF的中

點，求；二二的值.

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2.（2024?重慶渝北?模擬預測）如圖，直線>=一/彳+3與x,y軸分別交于點A,B,拋物線y=+公+。

經過A,B兩點,與無軸的另外一個交點為C,點尸是直線A3上方拋物線上的一動點，過點P作y軸的平

行線交直線A3于點D.

⑴求拋物線的表達式；

3

⑵求PO+gBD的最大值及此時點P的坐標；

⑶在點P運動過程中，連接PC,當PC的中點恰好落在y軸上時，連接AP,在拋物線y=--x2+bx+c1.

是否存在點。，使得=如果存在，請寫出所有符合條件的點。的坐標；如果不存在，請說明

理由.

3.（2024?安徽合肥?模擬預測）已知拋物線丁=62+次+°（。彳0）,函數值y和自變量x的部分對應取值如下

表所示，在山，"，p這三個實數中，有兩個是正數，且沒有負數:

X-3-2-101

y4mn4P

⑴求拋物線的表達式；

⑵該拋物線與x軸交于A,8兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C,。為拋物線上一點.

①若點。在第二象限，過點。作x軸的垂線，垂足為E,設DE交AC于點足當/加+OE取得最大值時,

求點D的坐標；

②是否存在點。，使得/D45=/OCB?若存在，請求出點。的坐標，若不存在，請說明理由.

4.（2024?內蒙古呼倫貝爾?模擬預測）如圖，已知拋物線y=-6與x軸交于A、8兩點，與y軸交于

點C,并且經過尸（-1，〃），2（5-〃）兩點.

⑴求拋物線的解析式；

DF

⑵點。為直線AC下方拋物線上的一動點，直線8。交線段AC于點E,請求出大的最大值;

⑶探究：在拋物線上是否存在點M,使得ZMAB=2/OCB?若存在，求出點"的坐標；若不存在，說明理

由.

5.(2024?湖南,模擬預測)定義：若拋物線G沿x軸向右平移機個單位長度得到拋物線G，那么我們稱拋物

線G是G的"友好拋物線"，垃稱為"友好值".如圖，拋物線&:丫=°5+2)2-6與五軸交于4(-8,0),3兩點,

拋物線G是G的“友好拋物線"，"友好值”為2,拋物線G與x軸交于4,與兩點，與y軸交于點C,作直線BQ

點M是拋物線G上一動點.

(1)拋物線C2的表達式為；

(2)若點M在第四象限，過點M作M2，無軸于點。，交gC于點P,當尸。=29時，求的長;

⑶是否存在點使得/MC瓦=15°?若存在，請求出點”的坐標；若不存在，請說明理由.

6.（2024?江蘇蘇州?一模）如圖1,在平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線y=d+bx+c與軸交于點

%。）、B兩點,與y軸交于點c（吟,連接。c.

⑴求拋物線的解析式；

（2）點。為拋物線上的一點（不與點A重合），當△QBC的面積等于VABC面積的2倍時，求此時點。的坐

標；

（3）如圖2,點尸在x軸下方的拋物線上，點。為拋物線的頂點.過點。作。軸于點E,連接3D,AD交

PB于點、F,連接呼，ZEFB=2ZFBD,探究拋物線上是否存在點M,使NMBC+NCBO+4出B=180。，

若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

7.(2024?