熱點04幕指對函數(shù)

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

2024年對數(shù)函數(shù)的定義域

2022年塞函數(shù)的反函數(shù)對數(shù)型函數(shù)過定點

熱點題型解讀

題型5對數(shù)函數(shù)的定義域朝1幕函數(shù)的概念與圖象應(yīng)用

口6對數(shù)型函數(shù)的圖象過定點口指2數(shù)幕的

幕指對函數(shù)

題型7對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值壁3指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值

題型8反函數(shù)理4對數(shù)的運算性質(zhì)

題型1幕函數(shù)的概念與圖象應(yīng)用

-K

(1)對于賽函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即無=1,y=l,y=無所

分區(qū)域.根據(jù)a<0,0<a<l,a=l,a>l的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

(2)在比較賽值的大小時，必須結(jié)合賽值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較.

1.(2024?崇明區(qū)二模)已知幕函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過點(2,4),則/(3)=.

(9112〕

2.(2024?上海長寧?一模)已知ae卜1,--§,§,§,1,2,3卜函數(shù)y=/的大致圖像如圖所示，則。=

(X-1)3,0<X<2,

3.(2024?上海青浦?二模)對于函數(shù)y=/(x),其中/(%)=2，若關(guān)于1的方程/(%)=丘有

一,%22

、x

兩個不同的根，則實數(shù)%的取值范圍是.

題型2指數(shù)幕的運算

-玄1

i

(1)指數(shù)賽的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)幕統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)氟，以便利用法則計算，還應(yīng)注意：

i

①必須同底數(shù)森相乘，指數(shù)才能相加.

②運算的先后順序.

(2)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).

i

1.(2024?上海普陀?二模)若實數(shù)。，b滿足20,則2"++的最小值為.

2.(2024?上海閔行?三模)早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項，幾何中項以及調(diào)和中項，

畢達哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術(shù)中項，幾何中項的定義與今

天大致相同.若2"+2,=1，則(40+1)(取+1)的最小值為.

題型3指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值

00混|

I

(1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間

量.

(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題,要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，

要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

i

1.(2024?上海嘉定?一模)已知。為正數(shù)，則"。>3"是的().

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

2.(2024?上海閔行?一模)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+00)上是嚴格減函數(shù)的為()

,I1

x

A.卜=/B-C.y=2D.y=lg|x|

3.(2024?浦東新區(qū)校級四模)設(shè)/">0,n>0,若直線=2過曲線Ji(a>0,且aWl)

11

的定點，則一+一的最小值為.

mn

4.(2023?上海浦東新?二模)已知數(shù)列｛%｝是首項為9,公比為:的等比數(shù)列.

,11111-

(1)求—+―+—+—+—的值；

(2)設(shè)數(shù)列｛183g｝的前〃項和為S,,,求s“的最大值，并指出s“取最大值時〃的取值.

5.(2024?上海黃浦?二模)設(shè)aeR,函數(shù)/(尤)=￡±^.

2*-1

(1)求。的值，使得y=/(x)為奇函數(shù)；

(2)若/(2)=。，求滿足的實數(shù)x的取值范圍.

題型4對數(shù)的運算性質(zhì)

\0?

解決對數(shù)運算問題的常用方法

(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)賽的形式進行化簡.

(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并.

；(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用.

1.(2024?奉賢區(qū)三模)若lg2=a,lg^=b,則/g98=.(結(jié)果用a,6的代數(shù)式表示)

11

2.(2024?長寧區(qū)二模)若3。=2、=6,則一+-=

ab

ab

3.(2024?寶山區(qū)校級四模)已知正實數(shù)〃、b^Silogab+logba=1,a=b,則〃+。=.

4.(2024?浦東新區(qū)校級模擬)函數(shù)/(x)=log2(2x)?log8(8x)的最小值為.

5.(2024?上海嘉定?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=|log3x|,若a〈b,且/⑷=/。)，則0+26的取值范圍

是.

6.（2023?上海浦東新?二模）已知數(shù)列｛%｝是首項為9,公比為:的等比數(shù)列.

,11111-

（1）求—+―+—+—+—的值；

dy^^4^^5

（2）設(shè)數(shù)列｛183g｝的前〃項和為S,,,求s“的最大值，并指出s“取最大值時〃的取值.

題型5對數(shù)函數(shù)的定義域

1.（2024?上海）logzX的定義域.

2.（2024?金山區(qū)二模）函數(shù)y=/。①轡的定義域是.

X

3.（2024?上海虹口?一模）函數(shù)y=h）——的定義域是_____.

x-1

2+無

4.（2024?上海徐匯?二模）己知函數(shù)y=/（x）,其中/O）=log［R.

⑴求證：＞=/（尤）是奇函數(shù)；

⑵若關(guān)于X的方程f（x）=log,（尤+左）在區(qū)間［3,4］上有解，求實數(shù)k的取值范圍.

2

題型6對數(shù)型函數(shù)的圖象過定點

|

對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用方法

（1）在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點（與坐標軸的交點、最高點、最

低點等）排除不符合要求的選項.

（2）一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

工二7萬五工誨近仃二說設(shè)a>的菌藪，=3；花［葡囪曲直進芮兔商圣福無二二…

2.（2024?上海普陀?模擬預(yù)測）函數(shù)y=log"（x+2）-l（a>。，且。*1）的圖像恒過定點A,若點A在直線

?u+"y+2=0上，其中租>0,n>0,則工+工的最小值為.

mn

3.（2023?上海■模擬預(yù)測）已知（（x）=e*ln（l+x）.記8（已=時（方）,其中常數(shù)m，a>0.

⑴證明：對任意山，a>0,曲線y=g（x）過定點；

（2）證明：對任意s,/>0,/（5+r）>/（5）+/（r）；

⑶若對一切X21和一切使得g⑴=1的函數(shù)y=g（x）,yN/bc恒成立，求實數(shù)％的取值范圍.

題型7對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值

求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三個問題：一是定義域；二是底數(shù)與1

的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成.

1.（2024?寶山區(qū)二模）已知貝!!（）

A.〃2>廿B.2a<2b

11

C.a2Vb2D.logia>log^b

22

2.（2024?上海?三模）不等式lg（x+l）>l的解集為.

3.（2024?上海?模擬預(yù)測）設(shè)集合則AB=.

4.（2024?上海?模擬預(yù)測）函數(shù)〃x）=log2（2尤）Jog8（8x）的最小值為.

5.（2024?上海靜安?一模）已知1隊、1酩、坨0吆%、尼*5是從大到小連續(xù)的正整數(shù)，且（Igxj＜1環(huán)J昭，則毛的

最小值為.

6.（2024?上海青浦?二模）已知〃x）=lgx-l,g（x）=lgx—3,若|/（x）|+|g（x）|=|4x）+g（x）|,則滿足條

件的無的取值范圍是.

7.（2025?上海?模擬預(yù)測）已知函數(shù)＞=/（?的定義域是。.對于正。，定義集合5小）=｛尤.

（l）/（x）=log2x,求Sg

（2）對于集合A,若對任意xeA都有-xeA,則稱A是對稱集.若。是對稱集，證明："函數(shù)＞=/（%）是偶函

數(shù)”的充要條件是"對任意teD,S,“）是對稱集"；

⑶若xeR,r（x）=e＜-1,nx2.求優(yōu)的取值范圍，使得對于任意4＜弓e。，都有［⑹加）.

題型8反函數(shù)

1.（2022?上海）設(shè)函數(shù)/（x）=V的反函數(shù)為/T（x）,則/一（27）=.

2.（2023?浦東新區(qū)校級一模）設(shè)函數(shù)y=/（x）=2'+c的圖象經(jīng)過點（2,5）,則y=/（x）的反函數(shù)「1（x）

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、單選題

1.（2024?上海寶山?一模）下列函數(shù)中，在區(qū)間（。,+8）上是嚴格增函數(shù)且存在零點的是（）

A.y=exB.y=yfx+2

2

C.y=TogJD.y=（X-2）

2.（2024?上海徐匯?二模）在下列函數(shù)中，值域為R的偶函數(shù)是（）

xx3

A.y-x3B.y=lg|x|C.y=e+e^D.y=xcosx

3.（2025?上海?模擬預(yù)測）幕函數(shù)y=x"在（0,+s）上是嚴格減函數(shù)，且經(jīng)過貝I。的值可能是（）.

D.3

4.（2024?上海閔行?二模）已知y=〃x）,尤eR為奇函數(shù)，當x>0時，/（x）=log2%-1,則集合

｛x|/（-x）-/（x）<0｝可表示為（）

A.（2,+co）B.（f,-2）

C.（—oo,—2）（2,+oo）D.（-2,0）J（2,+oo）

5.（2024?上海靜安,一模）污水處理廠通過清除污水中的污染物獲得清潔用水并生產(chǎn)肥料.該廠的污水處理裝

置每小時從處理池清除掉12%的污染殘留物.要使處理池中的污染物水平降到最初的10%,大約需要的時間

為（）（參考數(shù)據(jù)：1g0.88。-0.0555）

A.14小時B.18小時C.20小時D.24小時

6.（2024?上海青浦?一模）對于數(shù)列｛%｝,設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為加給出下列兩個命題:①存在函數(shù)

y=F（x）,使得sn=f（an）:②存在函數(shù)y=g（x）,使得n=g（a?）.則①是②的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題

7.（2024?上海?模擬預(yù)測）函數(shù)>=182彳的定義域為.

8.（2024?上海嘉定,一模）函數(shù)>=log2（x2-l）的定義域為.

9.（2024?上海?模擬預(yù)測）若集合A=｛y|y=log2x｝,8==>,則AB=.

10.（2024?上海?三模）已知log23=a,2"=5,則bgz45=（用。、匕表示）

11.（2024?上海?三模）關(guān)于尤的不等式的解集為.

X

/、fInx+1,x>0,/、

12.（2024?上海奉賢?一模）設(shè)/（尤）=若/伍）=1,則尤。=_____.

I乙十1,X—；U.

（2X—Ix>l

13.（2024?上海崇明?一模）已知〃無）=°,關(guān)于尤的方程/（x）=2的解x=_________.

[X-1,X<1!

logx%>0

｛x<0為奇函數(shù)，貝0f（_8）=.

15.（2024上海長寧二模）已知函數(shù)產(chǎn)〃%）是定義域為口的奇函數(shù)，當》>0時，〃力=1082%，若/（a）>1,

則實數(shù)。的取值范圍為.

16.（2024?上海松江?二模）已知0<a<2,函數(shù)>=八"一lx：‘''若該函數(shù)存在最小值，則實

數(shù)。的取值范圍是.

17.（2024?上海?三模）已知集合A=｛尤|y=E斤｝,3=｛尤|丫=炮（2-尤）｝則AB=.

18.（2024?上海寶山，一*模）若9"=4"=根，且—H—=2,則加=_______.

ab

"\_

19.（2024?上海楊浦?一模）已知〃x）=與，0<x<a,；其中實數(shù)八。.若函數(shù)y=〃x）—2有且僅有2

log3x,x>a

個零點，則。的取值范圍為.

20.（2024?上海青浦?一模）若函數(shù)y=bg//-"+15）在區(qū)間（1,2）上嚴格遞增，則實數(shù)。取值范圍是_

2

三、解答題

21.（2023?上海浦東新?二模）己知數(shù)列｛““｝是首項為9,公比為:的等比數(shù)列.

11111_

（1）求—+―+—+—+—的值；

%%〃3〃4a5

⑵設(shè)數(shù)列｛log34｝的前〃項和為S〃，求s〃的最大值，并指出s〃取最大值時〃的取值.

22.（2023?上海虹口?三模）若數(shù)列｛4｝滿足。3-%=p"為正整數(shù)，0為常數(shù)），則稱數(shù)列｛4｝為等方差

數(shù)列，p為公方差.

（1）己知數(shù)列｛七｝,｛%｝的通項公式分別為尤“=而1,%=3?判斷上述兩個數(shù)列是否為等方差數(shù)列，并說明

理由；

[2,n=1

⑵若數(shù)列｛。,｝是首項為1,公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列帆｝滿足a=口。/”>）,且4也也?粼=8,

lu

&a2一乙

求正整數(shù)m的值；

⑶在（1）、（2）的條件下，若在先與之間依次插入數(shù)列｛片｝中的上項構(gòu)成新數(shù)列｛%｝：%,

a^,y2,al，al，y3,al，a；,al，y4,……，求數(shù)列匕｝中前50項的和.

23.（2023?上海楊浦?一模）設(shè)函數(shù)/（x）=e',xeR.

⑴求方程（/（切2=/（力+2的實數(shù)解;

（2）若不等式x+6V/（x）對于一切xeR都成立，求實數(shù)b的取值范圍.

24.（2024?上海奉賢?一模）已知函數(shù)y=/（＞）,其中/（力="（常數(shù)a＞0且awl）.

⑴若函數(shù)y=/。）的圖象過點（2,9）,求關(guān)于無的不等式川2x-l|）＞3的解集；

⑵若存在xw（O,l],使得數(shù)列"1）、〃㈤、/（Y+2）是等比數(shù)列，求實數(shù)f的取值范圍.

25.（2024?上海靜安?一模）如果函數(shù)y=/（x）滿足以下兩個條件，我們就稱函數(shù)y=/（x）為U型函數(shù).

①對任意的xe[o,l],有〃x）Zl,"l）=3；

②對于任意的x,ye[0,1],若x+yVl,則

求證：

⑴y=3"是。型函數(shù)；

⑵U型函數(shù)y=〃尤）在[0,1]上為增函數(shù)；

⑶對于U型函數(shù)y=〃x）,有（《卜尹15為正整數(shù)）.

熱點04幕指對函數(shù)

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

2024年對數(shù)函數(shù)的定義域

2022年塞函數(shù)的反函數(shù)對數(shù)型函數(shù)過定點

熱點題型解讀

題型5對數(shù)函數(shù)的定義域朝1幕函數(shù)的概念與圖象應(yīng)用

口6對數(shù)型函數(shù)的圖象過定點口指2數(shù)幕的

幕指對函數(shù)

題型7對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值壁3指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值

題型8反函數(shù)理4對數(shù)的運算性質(zhì)

題型1幕函數(shù)的概念與圖象應(yīng)用

-K

(1)對于賽函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即無=1,y=l,y=無所

分區(qū)域.根據(jù)a<0,0<a<l,a=l,a>l的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

(2)在比較賽值的大小時，必須結(jié)合賽值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較.

1.(2024?崇明區(qū)二模)已知幕函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過點(2,4),則/(3)=.

【分析】設(shè)出募函數(shù)y=/(尤)的解析式，根據(jù)其圖象經(jīng)過點(2,4),求函數(shù)的解析式，再計算/(3)

的值.

【解答】解：設(shè)幕函數(shù)y=/(x)=產(chǎn)(a€R),

其圖象經(jīng)過點(2,4),

；.2a=4,

解得a=2,

'.f(x)=/；

：.f(3)=32=9.

故答案為：9.

【點評】本題考查了求累函數(shù)的解析式以及利用函數(shù)的解析式求函數(shù)值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

2.(2024?上海長寧?一模)已知”卜卜函數(shù)y=的大致圖像如圖所示，則。=

【知識點】哥函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用

【分析】根據(jù)圖像的對稱性，可得到函數(shù)的奇偶性；再由圖像與坐標軸的關(guān)系，即可判斷。的取值.

【詳解】因為圖像關(guān)于＞軸對稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)；

2

又因為圖像與坐標軸無交點，所以指數(shù)。為負數(shù).綜上所述，a=-1.

2

故答案為：

(X-1)3,0＜X＜2,

3.(2024?上海青浦?二模)對于函數(shù)y=/(x),其中〃x)=2，若關(guān)于x的方程/(?=麻有

一,x22

兩個不同的根，則實數(shù)上的取值范圍是.

【答案】

【知識點】幕函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍

【分析】將方程有兩個不同的根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有兩個不同的交點，觀察圖象可得答案.

3

【詳解】將函數(shù)y=三向右平移1個單位得到y(tǒng)=(x-l),

作出函數(shù)＞=/(尤)的圖象如下：

要關(guān)于x的方程/。)=近有兩個不同的根，

則函數(shù)y=/(x)和函數(shù)、=履有兩個不同的交點，

當＞=履過點(2,1)時，k=三,

所以當函數(shù)y=/(x)和函數(shù)y=履有兩個不同的交點時，o<k<g.

故答案為：

題型2指數(shù)幕的運算

(1)指數(shù)幕的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)森統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)霹，以便利用法則計算，還應(yīng)注意：

①必須同底數(shù)森相乘，指數(shù)才能相加.

②運算的先后順序.

⑵運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).

1.(2024?上海普陀?二模)若實數(shù)。，6滿足則2"+。的最小值為.

【答案】2

【知識點】基本不等式求和的最小值、比較指數(shù)累的大小、指數(shù)暴的運算

【分析】由已知2">0,±>0,a-2b>0,然后利用基本不等式求解即可.

【詳解】因為2">0,^->0,a-2b>Q,

所以2"+'=2'+-2212'-±=2y/^22亞=2,

當且僅當2。=白，即。=8=0時等號成立，

所以2。+塔的最小值為2.

故答案為：2.

2.(2024?上海閔行?三模)早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項，幾何中項以及調(diào)和中項，

畢達哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術(shù)中項，幾何中項的定義與今

天大致相同.若2"+2"=1，貝U(4"+1)(4"+1)的最小值為.

【答案】H25

【知識點】指數(shù)暴的運算、基本不等式求積的最大值

【分析】令w=2。，〃=2J結(jié)合基本不等式可得（4"+1）（?+1）可化為（加〃_1）2+1,求二次函

數(shù)在區(qū)間上的最小值即可.

【詳解】不妨設(shè)m=2",n=2b則機>0,〃>0,

所以l=m+,當且僅當m=〃=：時取等號，

11

BP0<mn<—,當且僅當加=〃=—時取等號，

42

所以（4"+1）（4"+1）=（川+1）（〃2+1）=（祖"）2+療+〃2+]=（帆〃）2+（小+>）2-2..+]

=（mn）2—2mn+2={mn—l）2+1,（0<mn--）

所以當m=〃=；時，（4"+*4〃+l）取得最小值

25

故答案為：—

16

題型3指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值

皿

（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間

ii

量.

（2）求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，

要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

ii

1.（2024.石潘嘉定.一植5巨而。屈藪,而"a>3"是"優(yōu)嘀（）.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】A

【知識點】判斷命題的充分不必要條件、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

【分析】根據(jù)給定條件，當。>3時，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，當/時，分類討論，最后利用

充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【詳解】當。>3時，所以y=優(yōu)為增函數(shù)，所以廠>〃，

當時，當。>1時，貝！|。>3,當0<a<l.時，貝!Ja<3,此時0<a<1；

所以"a>3"是”>產(chǎn)的充分非必要條件

故選：A.

2.（2024?上海閔行?一模）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+勾上是嚴格減函數(shù)的為（）

11

A._2B.y=-5——C.y=2xD.y=lg|x|

》-"r+1"

【答案】B

【知識點】判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、判斷一般暴函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)解析式直接

判斷函數(shù)的單調(diào)性

【分析】利用解析式直接判斷各選項中函數(shù)在（0,+℃）上的單調(diào)性即可.

【詳解】對于A,函數(shù)y=/在（°，+8）上是嚴格增函數(shù)，A不是；

對于B,函數(shù)>=一、

在（0,+8）上是嚴格減函數(shù)，B是;

+1

對于C,函數(shù)y=2*在（0,+8）上是嚴格增函數(shù)，C不是；

對于D,當x>0時，y=lg|x|=lgx在（0,+co）上是嚴格增函數(shù)，D不是.

故選：B.

3.（2024?浦東新區(qū)校級四模）設(shè)機>0,n>0,若直線I：m%+=2過曲線>=?<1+1（。>0,且aWl）

11

的定點，則一+一的最小值為

mn

【分析】根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進行求解即可.

【解答】解：因為曲線y=c-i+l過定點（1,2）,

所以m+n—2,即一--=l(m>0,n>0),

,1111m+n1nm1inm1

=-(1+1+—十姬>-x(2+2—-—)=-x(2+2)=2,

則藐+蔡=r+0.丁2m2、7mn72v7

nm

當且僅當一=一，即m=n=l時取“=

mn

11

所以一+一的最小值為2.

mn

故答案為：2.

【點評】本題考查了指數(shù)的運算性質(zhì)和基本不等式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

4.（2023?上海浦東新?二模）已知數(shù)列｛4｝是首項為9,公比為:的等比數(shù)歹！J.

111114

（1）求一+—+—+—+—的值；

dyd>2（^3^^4^^5

（2）設(shè)數(shù)歹的前〃項和為S,,,求S“的最大值，并指出S“取最大值時〃的取值.

【答案】⑴12?1

⑵當〃=2或3時，S“取得最大值3

【知識點】求等比數(shù)列前n項和、等比數(shù)列通項公式的基本量計算、求等差數(shù)列前n項和的最值、對數(shù)的

運算性質(zhì)的應(yīng)用

【分析】(1)求出等比數(shù)列的通項公式，由等比數(shù)列的前〃項和求解即可；

(2)記d=log34,由(1)知么=3-〃，由等差數(shù)列的前"項和求出S“，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.

11,

【詳解】(1)由題。,,=9?尸=3""，則丁=3"-3,

a

3n

—+LLj+3%1+3+3*.

axa2a3a4a59

(2)記4=log3a“，由(1)知超=3-〃，

gr-rur.2+(3—〃)512

所以S“=--------n=-n--n,

s”=-|(?-1)2+^，

ZZZzo

當〃=2或3時，S”取得最大值3.

5.(2024?上海黃浦?二模)設(shè)aeR,函數(shù)/。)=二二.

2，-1

⑴求。的值，使得y=/(x)為奇函數(shù)；

(2)若7(2)=。，求滿足的實數(shù)X的取值范圍.

【答案】(1)4=1

(2)(0,2)

【知識點】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)

【分析】(1)由奇函數(shù)的性質(zhì)可得/(-1)=-/(1),代入解方程即可得出答案；

(2)由"2)=。，可得。=2,則二三＞2,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得出答案.

21-1

【詳解】(1)由/(久)為奇函數(shù)，可知/(T)T(D,

即—(1+2a)=—(2+d),解得a=1,

2X+12~%+11+Y

當a=1時，/(x)=，,/(-助=2=-=-f(x)對一切非零實數(shù)x恒成立,

故。=1時，y=/(x)為奇函數(shù).

(2)由/(2)=a,可得4晝+4L=。，解得。=2,

2A+22*_4

所以/(x)>ao——->2o----<001<2*<4

2l-l2V-1

解得：0<x<2,所以滿足/(x)>。的實數(shù)x的取值范圍是(0,2).

題型4對數(shù)的運算性質(zhì)

解決對數(shù)運算問題的常用方法

（1）將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)森的形式進行化簡.

（2）將同底對數(shù)的和、差、倍合并.

（3）利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用.

""i"

1.（2024?奉賢區(qū)三模）若lg2=a,lg3=b,貝!Ug98=.（結(jié)果用〃，b的代數(shù)式表示）

【分析】由已知結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.

【解答】解：若lg2=a,lg^=b,

則lg7=-b,

則/g98=/g2+2/g7=a-2b.

故答案為：a-2b.

【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

11

2.（2024?長寧區(qū)二模）若3。=20=6,則一+-=

ab

【分析】由已知結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化公式及對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.

【解答】解:若3。=2"=6,則。=log36,Z?=log26,

11

—+-=log63+log62=log66=1.

ab

故答案為：1.

【點評】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化及對數(shù)的換底公式及運算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

ab

3.（2024?寶山區(qū)校級四模）已知正實數(shù)〃、b^^logab+logba=a=b,貝1J〃+/?=.

【分析】由已知結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可得mb的關(guān)系，然后結(jié)合指數(shù)塞的運算性質(zhì)即可求解.

、q1

【解答】解：因為正實數(shù)。、b滿足1。%》+logi）a=v=log4+八，

LOD

乙9a

1

解得，log仍=2或logab=2，

所以/?=/或a=b2,

ab

當人=〃2時，a=b=a2a2,

所以2〃2=〃，gpa=b=-r,a+b=-r,

當〃=廿時，aa=bb=b2b2,即Z?=a=a+b=

則a+b=|.

3

故答案為：

4

【點評】本題主要考查了指數(shù)及對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2024?浦東新區(qū)校級模擬)函數(shù)/(%)=log2(2x)-log8(8x)的最小值為

【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，換元后再由二次函數(shù)求最值.

【解答】解：函數(shù)的定義域為(0,+8),

1

f(x)=log2(2x)*log8(8x)=(l+logzx)(1+,092%)

14

2

-+-

33

令/=log2x,則zeR,

14

2

-+-t+

原函數(shù)化為g(/)33

141

則當t=-2時，gG)有最小值為§x4+-x(—2)+1=

故答案為：-

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)，訓(xùn)練了利用換元法及二次函數(shù)求最值，是基礎(chǔ)題.

5.(2024?上海嘉定?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(引=|蜒3犯若a〈b,且/⑷=〃6),則a+2方的取值范圍

是.

【答案】(3,+8)

【知識點】對數(shù)的運算、對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值

【分析】畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合可得ab=l,故。+26=。+：,然后利用對勾

函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案.

【詳解】/(力=|1〃。的圖象如下;

因為0<a<6且/(。)=/(6),所以|log3a|=|log3b|且

2

所以一Iog3〃=log3b，所以〃6=1,故Q+2Z?=Q+—,

a

22

由對勾函數(shù)y=x+—在(0,1)上單調(diào)遞減，所以a+2b=a+—>1+2=3,

xa

所以〃+2辦的取值范圍是(3,+8).

故答案為：(3,+“)

6.(2023?上海浦東新?二模)已知數(shù)列｛七｝是首項為9,公比為;的等比數(shù)歹!J.

11111

(1)求一+—+—+—+—的值；

a

qa2a3/s

⑵設(shè)數(shù)歹U{log3%}的前〃項和為求S,的最大值，并指出S,取最大值時〃的取值.

【答案】⑴12*1

(2)當月=2或3時，S”取得最大值3

【知識點】求等比數(shù)列前n項和、等比數(shù)列通項公式的基本量計算、求等差數(shù)列前n項和的最值、對數(shù)的

運算性質(zhì)的應(yīng)用

【分析】(1)求出等比數(shù)列的通項公式，由等比數(shù)列的前〃項和求解即可；

(2)記d=log34,由(1)知由等差數(shù)列的前〃項和求出S.，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】⑴由題。,,=9《尸=33-”，貝憶=3",

LLLL工3-"+1+3+33

%%a3〃4a59

(2)記2=log34，由(1)知勿=3-〃，

r*rl\lc2+(3—〃)512

所以S“=-一=

S”=-|(?-|)2+等，

ZZZZo

當〃=2或3時，S“取得最大值3.

題型5對數(shù)函數(shù)的定義域

1.(2024?上海)log2%的定義域.

【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)真數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：logzX的定義域為(0,+oo).

故答案為：(0,+oo).

【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2024?金山區(qū)二模)函數(shù)y=/。出若的定義域是.

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式，求出解集即可.

【解答】解：y=log2^,

2+%

則——>0,解得

1-x

故函數(shù)y的定義域為(-2,1).

故答案為：(-2,1).

【點評】本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時應(yīng)求出使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，是基礎(chǔ)題

目.

X

3.(2024?上海虹口?一模)函數(shù)y=ln——的定義域是_____.

X~1

【答案】(3,。)口(1,口)

【知識點】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域

【分析】由對數(shù)函數(shù)的定義可得上7>0,解不等式即可得出答案.

x-i

【詳解】函數(shù)y=In二L的定義域是1r>0,

x-1X-1

所以尤解得：X>1或x<0.

所以函數(shù)的定義域為：(—,0)"1,y).

故答案為：(YO,0)D(l,+OO).

2+x

4.(2024?上海徐匯?二模)已知函數(shù)y=/(x),其中/(x)=log工口.

⑴求證：y=〃x)是奇函數(shù)；

⑵若關(guān)于X的方程f(尤)=1OS1(尤+左)在區(qū)間［3,4］上有解，求實數(shù)k的取值范圍.

2

【答案】⑴證明見解析

⑵［T2］

【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍

【分析】(1)結(jié)合奇偶性的定義以及對數(shù)函數(shù)運算法則即可得證；

(2)分離參數(shù)，將原問題等價轉(zhuǎn)換為左=*-尤+1在［3,4］上有解，由此轉(zhuǎn)換為求函數(shù)值域問題.

2+x

【詳解】(I)函數(shù)，=1嗎三的定義域為D=(y,—2)u(2,y),

1

在。中任取一個實數(shù)X,者B有—xe。，^5.f(-x)=log,^4：=log,^|=logtf=-f(x).

2-x-2］%+22J

2+九

因此，yTogj；下是奇函數(shù).

(2)，(尤)=1。8工(無+外等價于*+上=二即左=9-芯=--》+1在［3,4］上有解.

2x-2x—2x—2

記g(x)=---X+1,因為g(x)在［3,4］上為嚴格減函數(shù)，

x—2

所以,g(尤)max=g(3)=2,g(X)血。=g(4)=-l,

故g(x)的值域為［-L2］,因此,實數(shù)%的取值范圍為［T2］.

題型6對數(shù)型函數(shù)的圖象過定點

對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用方法

(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最

低點等)排除不符合要求的選項.

(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

工「石石4?上海虹仃?二箍T薪“＞0且awl,則函數(shù)＞=2+1遍漏的窗禳宿?前一酉的j芳

【答案】(L2)

【知識點】對數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題

【分析】令x=l,求得＞=2恒成立，進而得到函數(shù)恒過定點，得到答案.

【詳解】令x=l,可得＞=2+108〃1=2恒成立，

所以函數(shù)＞=2+log/的圖象恒過定點(1,2).

故答案為：(1,2).

2.(2024?上海普陀?模擬預(yù)測)函數(shù)y=log.(x+2)-l(a＞。，且a*1)的圖像恒過定點A,若點A在直線

nvc+ny+2=0其中機＞0,n＞0,則上+工的最小值為.

mn

【答案】2

【知識點】對數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題、基本不等式"1"的妙用求最值

【分析】先由題意結(jié)合logj=。求出點A,進而由點A在直線上得加+〃=2,再結(jié)合基本不等式常數(shù)"1"的

妙用即可求解.

【詳解】因為log〃=。，所以函數(shù)y=log”(x+2)-1(。＞0且awl)的圖象恒過定點(TT),

即4(-1,-1),

又點A在直線M+“y+2=0上，故〃z+〃=2,

「八八11161、1fnm\1(^[nm^\、

又機所以—F—=——F—\(m+ri)=—\2d---1—＞—2+2./—x—=2,

mn2ymn)2(mn)21Vmn

ijm

當且僅當二=竺即機=〃=1時等號成立，

mn

所以工+工的最小值為2.

mn

故答案為：2.

3.(2023?上海?模擬預(yù)測)已知〃x)=