熱點03函數的概念與性質

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

2024年分段函數、函數的奇偶性

2023年函數的值域，函數奇偶性的判斷、函數與方函數的性質應用、函數與方程的應用

程的應用

2022年抽象函數的性質應用、函數的定義域及其求

法

熱點題型解讀

醒5函數奇偶性的性質與判斷題型1函數的定義域及其求法

題型6單調性與胡禺14^題致函數或

函數的概念與性質

型7抽象函數及其應用題型3函數單調性的性質與判斷

題型8函數恒成立問題題型4函數的最值及其幾何意義

題型1函數的定義域及其求法

求函數的定義域應關注三點

，①要明確使各函數表達式有意義的條件是什么，函數有意義的準則一般有：（i）分式的分母不為0;（ii）

偶次根式的被開方數非負；（iii）y=x°要求xWO.

:②不對解析式化簡變形，以免定義域變化.

；③當一個函數由兩個或兩個以上代數式的和、差、積、商的形式構成時，定義域是使得各式子都有意義的

公共部分的集合.

1.（2022?上海）下列函數定義域為R的是（）

￡

A.y=x^B.y=x~'C.y=x^D.y=戶

2.(2024?松江區校級模擬)若函數/。)=尤-",2，"+3(加?2)的定義域為/?,且/(x+l)=f(-x-l),則實數機

的值為—.

3.(2021?上海)已知函數/(x)=J|x+a|-a-x.

(1)若a=l,求函數的定義域；

(2)若4/0,若/■(◎)="有2個不同實數根，求。的取值范圍；

(3)是否存在實數*使得函數/(x)在定義域內具有單調性？若存在，求出。的取值范圍.

題型2函數的值域

\00@0

ii

求函數值域的方法

ii

(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到.

(2)配方法：此方法是求“二次函數類”值域的基本方法，即把函數通過配方轉化為能直接看出其值域的方

法.

ii

(3)圖象法：利用已知一次函數、二次函數或反比例函數的圖象寫出函數的值域.

ii

(4)分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域.

(5)換元法：對于一些無理函數(如y=ax±b±\[cx±d)f通過換元把它們轉化為有理函數，然后利用有理函數

求值域的方法，間接地求解原函數的值域.

ii

1.(2023?上海)已知函數=，則函數/(尤)的值域為_______.

[2,%>0

4元2

2.(2024?嘉定區校級模擬)已知函數/(x)=二J,則對任意實數x,函數/(%)的值域是()

2%+1

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

3.(2024?嘉定區二模)函數y=|x-l|+|x-4|的值域為.

4.(2024?松江區校級模擬)函數/■(尤)=|x-a|+cosx在[0,句上的值域為[-1,紅]，則的值為______.

2a

5.(2024?浦東新區校級模擬)設函數/(x)的定義域為。，若函數/(x)滿足條件：存在[a,b\^D,使了(無)

在卬切上的值域為于與，則稱〃x)為“倍縮函數”，若函數小)=*(2?)為“倍縮函數”，則，的

范圍為?

6.(2022?上海)設函數/(尤)滿足/(x)=/(一一)對任意xe[0,+00)都成立，其值域是A-已知對任何滿

1+X

足上述條件的/(幻都有{y|y=/(x),0效ka}=Af,則。的取值范圍為.

題型3函數單調性的性質與判斷

1.求函數的單調區間

ii

(1)求函數單調區間時，若所給函數是常見的一次函數、二次函數、反比例函數等，可根據其單調性寫出函

數的單調區間，若所給函數不是上述函數但函數圖象容易作出，可作出其圖象，根據圖象寫出其單調區間.

j(2)一個函數出現兩個或兩個以上的單調區間時，不能用“U”連接兩個單調區間，而要用“和”連接或用

“，”分開.

：2.由函數單調性求參數范圍的處理方法

，(1)由函數解析式求參數

若為二次函數——判斷開口方向與對稱軸——利用單調性確定參數滿足的條件.

若為一次函數——由一次項系數的正負決定單調性.

ii

若為分段函數——數形結合，每一段的函數的單調性均要考慮，并注意臨界值的大小.探求參數滿足的條

件.

；(2)當函數40的解析式未知時，欲求解不等式，可以依據函數單調性的定義和性質，將符號“尸去掉，列

出關于自變量的不等式(組)，然后求解，此時注意函數的定義域.

3.利用定義證明函數單調性的步驟

：(1)取值并規定大小：設尤1,X2是該區間內的任意兩個值，且無I<%2.

;(2)作差變形：作差共制)一/(&)(或/(X2)-/U1)),并通過因式分解、通分、配方、有理化等方法，轉化為易判

斷正負的關系式.

j(3)定號：確定/(X1)—/(無2)(或人X2)—Axi))的符號，當符號不確定時，進行分類討論.

ii

;(4)結論：根據定義確定單調性.

ii

1.(2024?浦東新區校級模擬)已知函數/(x)=山上，則/(/)+/(幻<0的解集是________________.

2-x

2.(2024?閔行區校級三模)設t>0,函數y=/(x)的定義域為R.若對滿足馬/的任意玉、%,均

有“與)-/a)>f*則稱函數y=/(X)具有“尸⑺性質

(1)在下述條件下，分別判斷函數y=/(x)是否具有尸(2)性質，并說明理由；

3

①/(彳)=5尤；

②/(x)=l°sin2i；

(2)已知%)=辦3,且函數y=/(x)具有尸(1)性質，求實數。的取值范圍;

(3)證明："函數y="尤)-x為增函數”是“對任意，>0,函數y=f(x)均具有尸⑺性質”的充要條件.

3.(2024?寶山區校級四模)已知A、3為實數集R的非空子集，若存在函數y=/(x)且滿足如下條件：①

y=/(x)定義域為A時，值域為3；②對任意占、X,eA,均有3二也口>0.則稱/(乃是集

玉一工2

合A到集合3的一個“完美對應”.

(1)用初等函數構造區間［0,1)到區間［0,+oo)的一個完美對應/(%)；

(2)求證：整數集Z到有理數集。之間不存在完美對應；

(3)若八》=/_爪2+1,kwR,且/(x)是某區間A到區間［-3,2］的一個完美對應，求上的取值范圍.

題型4函數的最值及其幾何意義

1.圖象法求函數最值的一般步驟

作出函數圖象|

i"

在圖象上找到最高點和最

低點的縱坐標___________

確定函數的最大(小)值1

2.利用單調性求最值的一般步驟

1①判斷函數的單調性.②利用單調性寫出最值

；(2)函數的最值與單調性的關系

①若函數在閉區間m，切上單調遞減，則八功在團，川上的最大值為次孫最小值為人

②若函數在閉區間m，切上單調遞增，則小)在他，句上的最大值為人匕)，最小值為人。).

③求最值時一定要注意所給區間的開閉，若是開區間，則不一定有最大(小)值.

1.(2024?靜安區二模)已知實數ae(0,6),記/(x)=?(x-a).若函數y=/(尤)在區間[0,2]上的最小值

為-2,則a的值為.

2.(2024?青浦區校級模擬)已知玉，尤2是實數，滿足d+8考-4占9=8，當|百|取得最大值時，

I玉+%21=?

3.(2024?松江區二模)已知函數/O)=|log2xl，若/(%)=/區)(%，貝九4玉+%2的最小值為.

4.(2024?松江區二模)已知0<a<2,函數y=4"：：)x+4a+l,則實數。的

-[2ax-\x>2-

取值范圍是?

5.(2024?金山區二模)已知函數y=/(x)與y=g(x)有相同的定義域。.若存在常數a(aeR),使得對于

任意的為6D,都存在%eD,滿足/(%,)+g(x2)=a,則稱函數y=g(x)是函數y=/(x)關于。的"S函數

(1)若/(x)=/nx,g(x)=e*,試判斷函數y=g(x)是否是y=/(x)關于0的"S函數”，并說明理由；

(2)若函數y=/(x)與y=g(x)均存在最大值與最小值，且函數y=g(x)是y=/(x)關于。的"S函數"，

y=/(x)又是y=g(無)關于。的"S函數"，證明："(切而,+兇⑴]y=a；

(3)已知/■(XHx-ll,g(x)=?,其定義域均為[0,1].給定正實數f,若存在唯一的a,使得y=g(x)

是y=/(尤)關于。的“S函數”，求f的所有可能值.

題型5函數奇偶性的性質與判斷

1.判斷函數奇偶性的方法

(1)定義法：

(2)圖象法:

AX關于原點對稱)~「/U)為奇函數)

的

圖

象-(關于y軸對稱)——?(八x)為偶函數)

2.巧用奇、偶函數的圖象求解問題

(1)依據：奇函數=圖象關于原點對稱，偶函數=圖象關于y軸對稱.

(2)求解：根據奇、偶函數圖象的對稱性可以解決諸如求值、比較大小及解不等式問題.

3.利用奇偶性求值的常見類型

(1)求參數值：若解析式含參數，則根據八一%)=-/(功或五-x)=/(x)列式，比較系數利用待定系數法求解;

若定義域含參數，則根據定義域關于原點對稱，利用區間的端點和為0求參數.

(2)求函數值：利用y(—X)=—大彳)或負-x)=/(x)求解，有時需要構造奇函數或偶函數以便于求值.

4.用奇偶性求解析式的步驟：

如果已知函數的奇偶性和一個區間團，燈上的解析式，求關于原點的對稱區間［—6,—a］上的解析式，其

解決思路為

(1)“求誰設誰”，即在哪個區間上求解析式，x就應在哪個區間上設.

(2)利用已知區間的解析式進行代入.

(3)利用"r)的奇偶性寫出一/(—x)或八一x),從而解出兀r).

1.(2023?上海)下列函數是偶函數的是()

A.y=sinxB._y=cosxC.y-x3D.y=2X

2.(2024?浦東新區三模)已知8。)=卜3+2'-1，”"°為偶函數，若，⑷=口，貝伯=

V?,x<0

3.(2024?閔行區校級二模)已知函數〃x)=a2+與是定義域為R的偶函數.

(1)求實數。的值;

+1

（2）若對任意xcH,都有成立，求實數左的取值范圍.

k

函數/（尤）=*+（"+l）x+c

4.（2023?上海）已知a,CGR,

x+a

（1）若4=0,求函數的定義域，并判斷是否存在C使得了（X）是奇函數，說明理由;

（2）若函數過點（1,3）,且函數/（無）與x軸負半軸有兩個不同交點，求此時c的值和。的取值范圍.

題型6單調性與奇偶性綜合

■-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I00?百

ii

1.比較大小的求解策略

ii

（1）若自變量在同一個單調區間上，直接利用函數的單調性比較大小；

：（2）若自變量不在同一個單調區間上，需利用函數的奇偶性把自變量轉化到同一個單調區間上，然后利用單

調性比較大小.

2.利用函數奇偶性與單調性解不等式，一般有兩類

ii

（1）利用圖象解不等式.

ii

i（2）轉化為簡單不等式求解.

[①利用已知條件，結合函數的奇偶性，把已知不等式轉化為八XI）勺（X2）或八XI）次尤2）的形式.

:②根據奇函數在對稱區間上的單調性一致，偶函數在對稱區間上的單調性相反，去掉不等式中的“尸轉

化為簡單不等式（組）求解.

特別提醒：列不等式（組）時不要忘掉函數的定義域.

II

T;々祇?工藩3,百策誦藪耳5芮適父諼%至父藁答帝17nz,:嚏€百最）;『（短五:37:塞

使得1]的所有/（x）中，下列成立的是（）

A.存在了（乃是偶函數

B.存在/(x)在x=2處取最大值

C.存在了(元)為嚴格增函數

D.存在了(X)在x=-l處取到極小值

2.(2024?黃浦區校級模擬)已知了(%)是定義在尺上的偶函數，若\/占、x2e[0,+oo)且占wx2時，

"立)一〃尤2)>2(占+無2)恒成立,且/(2)=8,則滿足/(療+加),,2(加+加)2的實數機的取值范圍為(

玉—x2

)

A.[-2,1]B.[0,1]C.[0,2]D.[-2,2]

3.(2024?長寧區二模)已知函數y=/(x)是定義域為R的奇函數，當x>0時，/(x)=log2x,若/(a)>1,

則實數，的取值范圍為.

題型7抽象函數及其應用

石法T：蒲策薪反費反稹擬)、巨如函數定義域為,二宜7々*(丫)-7(y)gW=7(x-y),

gWg(y)-/W/(y)=g(x-y),g(o)/。，則下列結論正確的是()

①若/(1)+g(1)=1,貝iJf(2024)-g(2024)=l；

②若/⑴~g(1)=1，則〃2024)+g(2024)=L

A.②B.①C.①②D.都不正確

2.(2024?寶山區校級四模)已知函數y=/(無)具有以下的性質：對于任意實數。和6,都有

f(a+b)+f(a-b)=2f(a)-f(b),則以下選項中，不可能是/(1)值的是()

A.-2B.-1C.0D.1

3.(2024?黃浦區校級模擬)已知函數/(X)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則下列說法正確的

有.

①"0)=0：

②/(1)=0；

③/(x)是偶函數；

④尤=0為了⑺的極小值點

4.(2020?上海)已知非空集合函數y=/(x)的定義域為D,若對任意/eA且xeO,不等式

/'(x),J(x+f)恒成立，則稱函數/(%)具有A性質.

(1)當4={-1},判斷〃x)=-x、g(x)=2x是否具有A性質；

(2)當A=(0,l),/(x)=x+—,xe[t?,+co),若/(x)具有A性質，求a的取值范圍；

(3)當4={-2,機),meZ,若。為整數集且具有A性質的函數均為常值函數，求所有符合條件的m的

值.

題型8函數恒成立問題

1.分離參數法解決恒(能)成立問題的策略

⑴分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.

(2)a2"x)恒成立2?r)max;

a恒成立W?￥)min；

a能成立=4，/a)min；

a勺⑴能成立04Wy(X)max.

2.根據不等式恒成立構造函數轉化成求函數的最值問題，一般需討論參數范圍，借助函數單調性求解.

3.“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質，深刻挖掘內含條件，進行等價變換，常見的等價

變換有

對于某一區間/

(1)VX1,尬金/,Xxi)>g(X2)?/(X)min>^(X)max.

(2)VX1^Z1,y(Xl)>g(X2)^/(X)min>g(X)min.

3X2^/2,(

(3)V%2e/2,?Xl)>g(X2)仔/a)max>g(%)max.

1.(2024?黃浦區二模)設函數/(x)=[一5+“*+2°，-4'尤,0,若/(無)>()恒成立，則實數。的取值范圍是(

[ax-2x4-3,0<x<4.

)

A.(1,+?)B.(0i)C.信,1)D.4,1)

3163

2>21>

2.(2024?閔行區二模)對于任意的％、X2GR,且尤。，不等式|e*-玉|+|江々-尤。恒成立，則實數

a的取值范圍為.

3.(2024?楊浦區校級三模)設teR,若在區間(1,2)上，關于x的不等式2*>―匚有意義且能恒成立，則f

x+t

的取值范圍為.

4.(2024?浦東新區校級模擬)若存在實數r對任意的xe[0,s],不等式(2彳-左一)(1_—頊,0恒成立.則

正數s的取值范圍是.

5.(2024?浦東新區校級模擬)已知函數/(x)=<%''若對+00),/(X),,|%|恒成立，

—f+2%—.0?

則實數a的取值范圍為.

6.(2024?虹口區模擬)若不等式(依-4)(尤2一切..0對任意的*e(0,a)恒成立，貝+揚的最小值

為.

7.(2024?寶山區三模)如果y=/(x)(x￡[0,1])同時滿足以下三個條件：

◎⑴=1;

②對任意xRO,1],f(x)20成立；

③當尤120,尤2>0,無1+X1W1時，總有了(尤1)4/(x2)勺(尤1+尤2)成立，貝！I稱y=f(x)為"理想函數".

有下列兩個命題：

命題a：若y=/(x)為"理想函數"，則存在xi,彳2日0,1]且xi<x2,使/(xi)>f(%2)成立；

命題仇若y=/(x)為“理想函數”，則對任意尤曰0,1],都有了(無)W2x成立.

則下列說法正確的是()

A.命題a為假命題，命題0為真命題

B.命題a為真命題，命題0為假命題

C.命題a、命題P都是真命題

D.命題a、命題0都是假命題

8.(2024?浦東新區校級模擬)已知函數y=/(x),xeO,如果存在常數M,對任意滿足再<當<<加<當

的實數w，x2,,x『i,xn,其中玉，x2,,尤"T,x,cD,都有不等式￡"(七)-/(41)],M恒成

z=2

立，則稱函數y=〃x),xeO是“絕對差有界函數”

(1)函數/(*)=媽,X.2是“絕對差有界函數”，求常數M的取值范圍；

xe

(2)對于函數y=/*(%),xe[a,b],存在常數左，對任意的玉，x2e[a,切，有|/(%)一/(%2)1，，左I玉一工21

恒成立，求證：函數y=/(x),xe[tz,切為“絕對差有界函數”；

(3)判斷函數/(x)=」c°s“，°〈為，1是不是“絕對差有界函數”？說明理由.

0,x=0

9.(2021?上海)已知玉，x?eR,若對任意的9-尤1eS,/(%)-/(玉)eS,則有定義：/(元)是在S關聯

的.

(1)判斷和證明/'(x)=2x-l是否在[0,+8)關聯？是否有[0,1]關聯？

(2)若/(幻是在⑶關聯的，/(x)在xe[0,3)時，f(x)=x2-2x,求解不等式：2期(幻3.

(3)證明：/(元)是｛1｝關聯的，且是在[0,+oo)關聯的，當且僅當“/(x)在口，2]是關聯的”.

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（建議用時：60分鐘）

一、填空題

Ilux尤〉0

1.（2024?上海徐匯?一模）已知函數>=，（無），其中〃無）=_；尤<0，則〃D=-

2.（2024?上海楊浦?一模）己知函數y=f+“x+l是偶函數，則實數。的值為.

3.（25-26高三上,上海?單元測試）已知函數y=/（x）,其中f（x）=x（x+］（x+2碩x—3左）,且八0）=6,

貝U后二.

4.（2024?上海徐匯?一模）設。力?11,/（%）=三+35加+6.若函數'=，（%）是定義在［-4,24-1］上的奇函數,

則a+b=.

5.（2024?上海寶山?一模）已知。/為實數，且函數y=%2+〃％+1,%￡［44］是偶函數，則。-/?=.

2x,x>0,

6.（2024?上海?三模）若機eR,〃彳）=1，則滿足〃■（m+3）的機的最大值為____.

—,x<0

12“

7.（2024,上海?三模）設fwR,若在區間（1,2）上，關于x的不等式2工>占有意義且能恒成立，貝卜的取值

范圍為.

a?3”一x+JC—1x>0

271'八為奇函數，則〃+b+c=____.

（x+Z7x+c-l,x<0

9.（2024?上海靜安?一模）記〃同=尤2+（/+62-1卜+/+2"一吐若函數3/=/（￡）是偶函數，則該函數圖

象與y軸交點的縱坐標的最大值為.

10.（2024?上海青浦,一模）已知函數y=〃x）的定義域為{-2,-1,1,2},值域為{-2,2},則滿足條件的函數

y=F（x）最多有個.

11.（2024?上海嘉定?一模）已知〃x）=ln（x+l）,g（x）=x<0，貝Ug（x）>x+2-e的解集為.

12.（2024?上海?模擬預測）若存在實數f,對任意的xe［0,s］,不等式（2x-尤?恒成立.則正數

s的取值范圍是.

二、單選題

13.(2024?上海崇明?一模)下列函數中，在其定義域上既是奇函數又是嚴格增函數的是()

A.y=%3B.y=exC.y=lgxD.y=sinx

_v-2y-jYI2(")4<無<0

2cIei=，若/(X)>。恒成立，則實數。的取值范

{ax2-2x+3,0<x<4

圍是()

15.(2024?上海?模擬預測)定義集合加川京不一出武-雙陶/尤人"與)｝,在使得的所有

f(x)中，下列成立的是()

A.存在/(無)是偶函數

B.存在/'(x)在尤=2處取最大值

C.存在/(x)嚴格增

D.存在/(x)在x=-l處取到極小值

16.(2024?上海青浦?一模)已知函數y=/(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0時，

/(x)=(x-l)(x-3)+0.01,則關于函數y=〃x)在R上的零點的說法正確的是().

A.有4個零點，其中只有一個零點在區間(-3,-1)上

B.有4個零點，其中兩個零點在區間(-3,-1)上，另外兩個零點在區間(1,3)上

C.有5個零點，兩個正零點中一個在區間(0,1)上，一個在區間(3,+8)上

D.有5個零點，都不在(0,1)上

三、解答題

17.(2024?上海黃浦?二模)設aeR,函數/(x)=￡i3.

2X-1

(1)求。的值，使得y=/(x)為奇函數；

(2)若/(2)=。，求滿足的實數x的取值范圍.

18.(2024?上海寶山?二模)函數y=g(x)的表達式為g(x)=sin(0X)(0>O).

(1)若。=1,直線/與曲線y=g(x)相切于點(。1),求直線/的方程；

(2)函數y=g(x)的最小正周期是2兀，令h(x)=x-g(x)-]nx,將函數y=/?(%)的零點由小到大依次記為

xt,x2,-,xn,(n>l,neN),證明：數列｛sin/｝是嚴格減數列；

⑶己知定義在R上的奇函數y=〃x)滿足〃x+2a)=-/(x)(a>0),對任意花［0,2旬,當x/a時,都有

/■(■^〈/■⑷且7⑷曰百己/⑴=/⑴+4%),6(X)=〃力+8，+；］.當0=萬時，是否存在國,當eR，

使得尸(%)=G(%)+4成立？若存在，求出符合題意的士,超;若不存在，請說明理由.

19.(2024?上海?三模)設f>0,函數>=/(尤)的定義域為R.若對滿足三-%>>的任意再、x2,均有

f(x2)-f(X1)>t,則稱函數y=/(元)具有"P⑺性質

⑴在下述條件下，分別判斷函數y=/(x)是否具有尸(2)性質，并說明理由；

3

①/(x)=］X；②/(x)=10sin2x；

(2)已知/(x)=or3,且函數y=/(x)具有尸(1)性質，求實數。的取值范圍；

⑶證明："函數>=fix)-無為增函數"是"對任意t>0,函數y=/(%)均具有尸⑺性質”的充要條件.

20.(202牛上海?模擬預測)設定義域為R的函數y=/(%)在R上可導，導函數為丫=/0).若區間/及實數f

滿足："%+/"人/'(尤)對任意xe/成立，則稱函數y=/(乃為/上的"M(。函數".

(1)判斷y=Y+3尤是否為(0,+8)上的/⑴函數，說明理由；

TT

(2)若實數f滿足：y=s加為0,-上的/⑴函數，求t的取值范圍；

⑶己知函數y=/(x)存在最大值.對于：P：對任意xeRJ'(x)WO與/(力20恒成立，Q：對任意正整數

5y=/(x)都是R上的M(〃)函數，問：P是否為。的充分條件？P是否為。的必要條件？證明你的結論.

21.(2024?上海靜安?一模)如果函數y=〃x)滿足以下兩個條件，我們就稱函數y=〃x)為U型函數.

①對任意的xe[0,l],有〃X)2L〃1)=3；

②對于任意的羽ye[0,1],若x+yVl,貝l]/'(x+y)\y(x)+/(y)-L

求證：

(l)y=3*是。型函數；

(2)。型函數y=〃x)在[0,1]上為增函數；

⑶對于U型函數y"(x),有1(〃為正整數).

熱點03函數的概念與性質

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

2024年分段函數、函數的奇偶性

2023年函數的值域，函數奇偶性的判斷、函數與方函數的性質應用、函數與方程的應用

程的應用

2022年抽象函數的性質應用、函數的定義域及其求

法

熱點題型解讀

醒5函數奇偶性的性質與判斷題型1函數的定義域及其求法

題型6單調性與胡禺14^題致函數或

函數的概念與性質

型7抽象函數及其應用題型3函數單調性的性質與判斷

題型8函數恒成立問題題型4函數的最值及其幾何意義

題型1函數的定義域及其求法

求函數的定義域應關注三點

，①要明確使各函數表達式有意義的條件是什么，函數有意義的準則一般有：（i）分式的分母不為0;（ii）

偶次根式的被開方數非負；（iii）y=x°要求xWO.

:②不對解析式化簡變形，以免定義域變化.

；③當一個函數由兩個或兩個以上代數式的和、差、積、商的形式構成時，定義域是使得各式子都有意義的

公共部分的集合.

1.（2022?上海）下列函數定義域為R的是（）

￡

A.y=x^B.y=x~'C.y=x^D.y=戶

【分析】化分數指數累為根式，分別求出四個選項中函數的定義域得答案.

1

【解答】解:y=x5，定義域為{%|%>0},

>=無一=工，定義域為{x|xwO},

X

y=X3=l!x,定義域為H,

y=x?=6,定義域為{x|x..O}.

1

.?.定義域為R的是y=/.

故選：C.

【點評】本題考查函數的定義域及其求法，是基礎題.

2.（2024?松江區校級模擬）若函數/（刈=/扇+2m+3（/?JeZ）的定義域為R,且/（*+1）=〃_尤一1）,則實數機

的值為—.

【分析】由已知可得關于機的不等式，求解加的范圍，結合函數為偶函數求解機值.

【解答】解：函數/。）=f'"小川（mwZ）的定義域為R,

-m2+2m+3>0,解得一1<〃工<3,

又Z?J=O,1,2,

ffi]/（x+1）=/（-%-1）,可知/（x）為偶函數，

則m=1.

，實數機的值為1.

故答案為：1.

【點評】本題考查函數的定義域及其求法，考查化歸與轉化思想，是基礎題.

3.（2021?上海）已知函數/（無）=J|x+a|-a-尤.

（1）若“=1,求函數的定義域；

（2）若。/0,若/■（辦）=。有2個不同實數根，求。的取值范圍；

（3）是否存在實數a,使得函數/（功在定義域內具有單調性？若存在，求出。的取值范圍.

【分析】（1）把a=l代入函數解析式，由根式內部的代數式大于等于。求解絕對值的不等式得答案；

（2）/（at）=a<a>y]\ax+a\-a=ax+a,設方+a=t..O,得。=￡-『，t..O,求得等式右邊關于f的函數的

值域可得。的取值范圍；

（3）分x…-a與彳<-。兩類變形，結合復合函數的單調性可得使得函數/（尤）在定義域內具有單調性的。的

范圍.

【解答】解：（1）當。=1時，f（x）=y/\x+l\-l-x,

由|%+1|-1..0,得|兄+1|..1,解得工，一2或x..O.

.,.函數的定義域為(-8,-2]^|[0,+oo)；

(2)f(ax)=y]\ax+a\-a-ax,

于(ax)=〃oAJIax+a\-a=ax+a,

設依+a=Z;.0,「.1t-a=1有兩個不同實數根,整理得〃力.0,

「.〃=_Q_；)2+；,r..O,當且僅當時，方程有2個不同實數根，

又awO,的取值范圍是(0,；)；

(3)當工…—Q時，/(x)=J\x+a\-a-x=4x-x=-(y[x-—)2+—,在[L+8)上單調遞減，

244

此時需要滿足-a…—，即④—，函數/(%)在[-a,+8)上遞減；

44

當時，/(%)=y/\x+a\-a-x=y/-x-2a-x,在(一oo,-2Q]上遞減，

a,,--<0,:.-2a>-a>0,即當④一工時，函數/(尤)在(-oo,-a)上遞減.

44

綜上，當ae(-8,-；]時，函數/(x)在定義域R上連續，且單調遞減.

【點評】本題考查函數定義域的求法，考查函數零點與方程根的關系，考查函數單調性的判定及其應用，

考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬難題.

題型2函數的值域

I00與式

ii

求函數值域的方法

ii

;(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到.

：(2)配方法：此方法是求“二次函數類”值域的基本方法，即把函數通過配方轉化為能直接看出其值域的方

法.

：(3)圖象法：利用已知一次函數、二次函數或反比例函數的圖象寫出函數的值域.

；(4)分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域.

(5)換元法：對于一些無理函數(如y=ax±b±\jcx±d),通過換元把它們轉化為有理函數，然后利用有理函數

!求值域的方法，間接地求解原函數的值域.

ii

1.(2023?上海)已知函數/'axF'：'。'，則函數了(無)的值域為________.

2%,x>0

【分析】分段求出了(尤)的值域，再取并集即可.

【解答】解：當用,0時，八元)=1，

當x>0時，/(X)=2%>1,

所以函數/(尤)的值域為口，+00).

故答案為：[1,+8).

【點評】本題主要考查了求函數的值域，屬于基礎題.

2.(2024?嘉定區校級模擬)已知函數則對任意實數x,函數/(》)的值域是()

2尤~+1

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

【分析】分x=0和xwO兩種情況討論，可得/(x)的值域.

【解答】解：當x=0時，/(0)=0,

411

當x片0時，f(x)=...-，因為3>0,所以2H■—->2，

9X"X

所以0<」r<L

2+g

所以/(x)e(0,2),

綜上所述：F(x)的值域為[0,2).

故選：C.

【點評】本題考查函數的值域的求法及分類討論的思想，屬于基礎題.

3.(2024?嘉定區二模)函數y=|x-l|+|x-4|的值域為.

【分析】先對已知函數進行化簡，作出函數圖象

2x-5,x>4

【角軍答】角和y=|x—l|+|x—4|={3,l<x<4,

-lx+5,x<1

其大致圖象如圖所示，結合函數圖象可知，函數有最小值3,沒有最大值.

故答案為：[3，+oo).

X

【點評】本題主要考查了函數值域的求解，體現了數形結合思想的應用，屬于基礎題.

377h

4.(2024?松江區校級模擬)函數/(%)=|x-a|+cosx在[0,切上的值域為[-1,3],則士的值為______.

2a

【分析】先由絕對值、余弦函數的有界性以及/(0)求出〃，分類討論求出即可求解.

【解答】解：因為cosx...-L

所以當且僅當I%—a|=0且cosx=—1時/(%)=-1,

所以1=%=萬+2k?i，keN,

又/(0)=|a|+le[-l,《-],所以。="，

所以/(x)=|x-萬|+cosx,易知/(無)在(0,下)上單調遞減，在(匹+oo)單調遞增，

所以當萬時，f(X)?f(0)=7T+l,不滿足題意；

QTT37T

當6＞萬時，因為/⑺…所以f(b)=b-7r-^-cosZ?=—,

注意至Uy(?)=與，且/(x)在(巴-)單調遞增，

所以6=包，

2

所以？=*.

a2

故答案為：—.

2

【點評】本題主要考查了三角函數的圖象和性質，屬于中檔題.

5.(2024?浦東新區校級模擬)設函數/(%)的定義域為O,若函數/(%)滿足條件：存在[〃，bkD,使/(%)

在卬口上的值域為g,與，則稱〃X)為“倍縮函數”，若函數〃x)=bgC+,)為“倍縮函數”，則，的

范圍為.

【分析】由題意得，函數是增函數，構造出方程組，利用方程組的解都大于0,求出f的取值范圍.

【解答】解:.函數/(無)=1蜂(2'+。為“倍縮函數”，

且滿足存在[a,b]^D,使/(x)在團，切上的值域是