黑龍江哈爾濱市省實驗中學2025年高考數學試題考點梳理與題型解析注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中，點在邊上，平分，若，，，，則（）A． B． C． D．2．已知函數的圖象在點處的切線方程是，則（）A．2 B．3 C．-2 D．-33．已知為虛數單位，若復數滿足，則（）A． B． C． D．4．給出個數，，，，，，其規律是：第個數是，第個數比第個數大，第個數比第個數大，第個數比第個數大，以此類推，要計算這個數的和．現已給出了該問題算法的程序框圖如圖，請在圖中判斷框中的①處和執行框中的②處填上合適的語句，使之能完成該題算法功能()A．； B．；C．； D．；5．已知是等差數列的前項和，若，，則（）A．5 B．10 C．15 D．206．已知函數，則在上不單調的一個充分不必要條件可以是（）A． B． C．或 D．7．已知點，若點在曲線上運動，則面積的最小值為（）A．6 B．3 C． D．8．根據如圖所示的程序框圖，當輸入的值為3時，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．9．若復數滿足（是虛數單位），則（）A． B． C． D．10．設是定義域為的偶函數，且在單調遞增，，則（）A． B．C． D．11．2019年10月1日上午，慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵儀式在天安門廣場隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我國的科技軍事力量，更是讓世界感受到了中國的日新月異.今年的閱兵方陣有一個很搶眼，他們就是院?？蒲蟹疥?他們是由軍事科學院、國防大學、國防科技大學聯合組建．若已知甲、乙、丙三人來自上述三所學校，學歷分別有學士、碩士、博士學位.現知道：①甲不是軍事科學院的；②來自軍事科學院的不是博士；③乙不是軍事科學院的；④乙不是博士學位；⑤國防科技大學的是研究生．則丙是來自哪個院校的，學位是什么()A．國防大學，研究生 B．國防大學，博士C．軍事科學院，學士 D．國防科技大學，研究生12．設為虛數單位，則復數在復平面內對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則的最小值為.14．在各項均為正數的等比數列中，，且，成等差數列，則___________.15．若復數z滿足，其中i是虛數單位，則z的模是______.16．某市公租房源位于、、三個小區，每位申請人只能申請其中一個小區的房子，申請其中任意一個小區的房子是等可能的，則該市的任意位申請人中，恰好有人申請小區房源的概率是______.（用數字作答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行一次安全意識測試，根據測試成績評定“合格”、“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記分，“不合格”記分.現隨機抽取部分學生的成績，統計結果及對應的頻率分布直方圖如下所示：等級不合格合格得分頻數624（Ⅰ）若測試的同學中，分數段內女生的人數分別為，完成列聯表，并判斷：是否有以上的把握認為性別與安全意識有關？是否合格性別不合格合格總計男生女生總計（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中，共選取人進行座談，現再從這人中任選人，記所選人的量化總分為，求的分布列及數學期望；（Ⅲ）某評估機構以指標（，其中表示的方差）來評估該校安全教育活動的成效，若，則認定教育活動是有效的；否則認定教育活動無效，應調整安全教育方案.在（Ⅱ）的條件下，判斷該校是否應調整安全教育方案？附表及公式：，其中.18．（12分）如圖，已知橢圓C:x24+y2=1，F為其右焦點，直線l:y=kx+m(km<0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明：原點O到直線l的距離為定值.19．（12分）已知橢圓，點，點滿足（其中為坐標原點），點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的右焦點為，若不經過點的直線與橢圓交于兩點.且與圓相切.的周長是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由.20．（12分）已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=2,動點C的軌跡為曲線G.（1）求曲線G的方程;（2）設直線l與曲線G交于M,N兩點,點D在曲線G上,是坐標原點,判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.21．（12分）已知，.（1）解不等式；（2）若方程有三個解，求實數的取值范圍.22．（10分）在中，角所對的邊分別為，若，，，且.（1）求角的值；（2）求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

由平分，根據三角形內角平分線定理可得，再根據平面向量的加減法運算即得答案.【詳解】平分，根據三角形內角平分線定理可得，又，，，，..故選：.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算，屬于基礎題.2．B【解析】

根據求出再根據也在直線上，求出b的值，即得解.【詳解】因為，所以所以，又也在直線上，所以，解得所以.故選：B【點睛】本題主要考查導數的幾何意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3．A【解析】分析：題設中復數滿足的等式可以化為，利用復數的四則運算可以求出.詳解：由題設有，故，故選A.點睛：本題考查復數的四則運算和復數概念中的共軛復數，屬于基礎題.4．A【解析】

要計算這個數的和，這就需要循環50次，這樣可以確定判斷語句①，根據累加最的變化規律可以確定語句②.【詳解】因為計算這個數的和，循環變量的初值為1，所以步長應該為1，故判斷語句①應為，第個數是，第個數比第個數大，第個數比第個數大，第個數比第個數大，這樣可以確定語句②為，故本題選A.【點睛】本題考查了補充循環結構，正確讀懂題意是解本題的關鍵.5．C【解析】

利用等差通項，設出和，然后，直接求解即可【詳解】令，則，，∴，，∴.【點睛】本題考查等差數列的求和問題，屬于基礎題6．D【解析】

先求函數在上不單調的充要條件，即在上有解，即可得出結論.【詳解】，若在上不單調，令，則函數對稱軸方程為在區間上有零點（可以用二分法求得）.當時，顯然不成立；當時，只需或，解得或.故選:D.【點睛】本題考查含參數的函數的單調性及充分不必要條件，要注意二次函數零點的求法，屬于中檔題.7．B【解析】

求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結合圖象可得位于，結合點到直線的距離公式和兩點的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個端點)，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關系知在時，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積最值，解題關鍵是掌握直線與圓的位置關系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數形結合思想易得．8．C【解析】

根據程序圖，當x<0時結束對x的計算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時x>0繼續運行，x=1-2=-1<0，程序運行結束，得，故選C．【點睛】本題考查程序框圖，是基礎題．9．B【解析】

利用復數乘法運算化簡，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查復數的乘法運算，考查復數模的計算，屬于基礎題.10．C【解析】

根據偶函數的性質，比較即可.【詳解】解：顯然，所以是定義域為的偶函數，且在單調遞增，所以故選：C【點睛】本題考查對數的運算及偶函數的性質，是基礎題.11．C【解析】

根據①③可判斷丙的院校；由②和⑤可判斷丙的學位.【詳解】由題意①甲不是軍事科學院的，③乙不是軍事科學院的；則丙來自軍事科學院；由②來自軍事科學院的不是博士，則丙不是博士；由⑤國防科技大學的是研究生，可知丙不是研究生，故丙為學士.綜上可知，丙來自軍事科學院，學位是學士.故選：C.【點睛】本題考查了合情推理的簡單應用，由條件的相互牽制判斷符合要求的情況，屬于基礎題.12．A【解析】

利用復數的除法運算化簡，求得對應的坐標，由此判斷對應點所在象限.【詳解】，對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：A.【點睛】本小題主要考查復數除法運算，考查復數對應點所在象限，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．.【解析】.14．【解析】

利用等差中項的性質和等比數列通項公式得到關于的方程,解方程求出代入等比數列通項公式即可.【詳解】因為，成等差數列，所以，由等比數列通項公式得，，所以，解得或，因為，所以，所以等比數列的通項公式為.故答案為：【點睛】本題考查等差中項的性質和等比數列通項公式；考查運算求解能力和知識綜合運用能力；熟練掌握等差中項和等比數列通項公式是求解本題的關鍵；屬于中檔題.15．【解析】

先求得復數，再由復數模的計算公式即得.【詳解】，，則.故答案為：【點睛】本題考查復數的四則運算和求復數的模，是基礎題.16．【解析】

基本事件總數，恰好有2人申請小區房源包含的基本事件個數，由此能求出該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區房源的概率．【詳解】解：某市公租房源位于、、三個小區，每位申請人只能申請其中一個小區的房子，申請其中任意一個小區的房子是等可能的，該市的任意5位申請人中，基本事件總數，該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區房源包含的基本事件個數：，該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區房源的概率是．故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）不需要調整安全教育方案.【解析】

（I）根據題目所給數據填寫好列聯表，計算出的值，由此判斷出在犯錯誤概率不超過的前提下，不能認為性別與安全測試是否合格有關.（II）利用超幾何分布的計算公式，計算出的分布列并求得數學期望.（III）由（II）中數據，計算出，進而求得的值，從而得出該校的安全教育活動是有效的，不需要調整安全教育方案.【詳解】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，得分在的頻率為，故抽取的學生答卷總數為，.性別與合格情況的列聯表為：是否合格性別不合格合格小計男生女生小計即在犯錯誤概率不超過的前提下，不能認為性別與安全測試是否合格有關.（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人數比例為，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值為,.的分布列為：20151050所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知：.故我們認為該校的安全教育活動是有效的，不需要調整安全教育方案.【點睛】本小題主要考查列聯表獨立性檢驗，考查超幾何分布的分布列、數學期望和方差的計算，所以中檔題.18．(I)|FP|=2-32x【解析】

(I)直接利用兩點間距離公式化簡得到答案.(II)設Ax3,y3，Bx4【詳解】(I)橢圓C:x24|FP|=x(II)設Ax3,y3，B4k2+1x2OA=OB，故y3PA=PF，故1+k由已知得：x3<x故1+k即1+k2?故原點O到直線l的距離為d=m【點睛】本題考查了橢圓內的線段長度，定值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19．（1）（2）是，【解析】

（1）設,根據條件可求出的坐標，再利用在橢圓上，代入橢圓方程求出即可;（2）設運用勾股定理和點滿足橢圓方程，求出，,再利用焦半徑公式表示出,進而求出周長為定值．【詳解】(1)設,因為,即則,即,因為均在上,代入得,解得,所以橢圓的方程為;(2)由(1)得,作出示意圖,設切點為,則,同理即,所以,又,則的周長,所以周長為定值.【點睛】標準方程的求解,橢圓中的定值問題,考查焦半徑公式的運用,考查邏輯推理能力和運算求解能力,難度較難.20．（1）.（2）四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【解析】

（1）根據三角形內切圓的性質證得，由此判斷出點的軌跡為橢圓，并由此求得曲線的方程.（2）將直線的斜率分成不存在或存在兩種情況，求出平行四邊形的面積，兩種情況下四邊形的面積都為，由此證得四邊形的面積為定值.【詳解】（1）因為圓E為△ABC的內切圓,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|所以點C的軌跡為以點A和點B為焦點的橢圓（點不在軸上）,所以c,a=2,b,所以曲線G的方程為,（2）因為，故四邊形為平行四邊形.當直線l的斜率不存在時，則四邊形為為菱形，故直線MN的方程為x=﹣1或x=1,此時可求得四邊形OMDN的面積為.當直線l的斜率存在時,設直線l方程是y=kx+m,代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|點O到直線MN的距離d,由,得xD,yD，∵點D在曲線C上,所以將D點坐標代入橢圓方程得1+2k2=2m2,由題意四邊形OMDN為