...wd......wd...學習好幫手...wd...2017高考一輪復習 不等式和均值不等式一．選擇題〔共14小題〕1．〔2010?上海〕〔上海春卷16〕a1，a2∈〔0，1〕，記M=a1a2，N=a1+a2﹣1，則M與N的大小關系是〔〕A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不確定2．〔2016春?樂清市校級月考〕設a，b是實數，則“a＞b＞1〞是“〞的〔〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．〔2013?天津〕設a，b∈R，則“〔a﹣b〕a2＜0〞是“a＜b〞的〔〕A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．〔2012?湖南〕設a＞b＞1，C＜0，給出以下三個結論：①＞；②ac＜bc；③logb〔a﹣c〕＞loga〔b﹣c〕．其中所有的正確結論的序號〔〕A．① B．①② C．②③ D．①②③5．〔2014?山東〕實數x，y滿足ax＜ay〔0＜a＜1〕，則以下關系式恒成立的是〔〕A．x3＞y3 B．sinx＞sinyC．ln〔x2+1〕＞ln〔y2+1〕 D．＞6．〔2013?陜西〕設[x]表示不大于x的最大整數，則對任意實數x，y，有〔〕A．[﹣x]=﹣[x] B．[2x]=2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]7．〔2013秋?豐城市校級期末〕以下函數中最小值為4的是〔〕A．y=x+ B．y=C．y=ex+4e﹣x D．y=sinx+，〔0＜x＜π〕8．〔2013?山東〕設正實數x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，則當取得最小值時，x+2y﹣z的最大值為〔〕A．0 B． C．2 D．9．假設實數a，b滿足ab﹣4a﹣b+1=0〔a＞1〕，則〔a+1〕〔b+2〕的最小值為〔〕A．24 B．25 C．27 D．3010．〔2006秋?增城市期末〕0＜x＜1，則x〔3﹣3x〕取得最大值時時x的值為〔〕A． B． C． D．11．〔2014秋?周口期末〕設x，y∈R，a＞1，b＞1，假設ax=by=2.2a+b=8，則的最大值為〔〕A．2 B．3 C．4 D．log2312．〔2012?河南一模〕函數y=logax+1〔a＞0且a≠1〕的圖象恒過定點A，假設點A在直線+﹣4=0〔m＞0，n＞0〕上，則m+n的最小值為〔〕A．2+ B．2 C．1 D．413．〔2015?陜西〕設f〔x〕=lnx，0＜a＜b，假設p=f〔〕，q=f〔〕，r=〔f〔a〕+f〔b〕〕，則以下關系式中正確的選項是〔〕A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q14．〔2014?湖北校級模擬〕某制冷設備廠設計生產一種長方形薄板，如以以下列圖，長方形ABCD〔AB＞AD〕的周長為4米，沿AC折疊使B到B′位置，AB′交DC于P．研究發現當ADP的面積最大時最節能，則最節能時ADP的面積為〔〕A．2﹣2 B．3﹣2 C．2﹣ D．2二．填空題〔共5小題〕15．〔2013?安徽〕如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則以下命題正確的選項是〔寫出所有正確命題的編號〕．①當0＜CQ＜時，S為四邊形②當CQ=時，S為等腰梯形③當CQ=時，S與C1D1的交點R滿足C1R=④當＜CQ＜1時，S為六邊形⑤當CQ=1時，S的面積為．16．〔2015秋?中山市校級期中〕x＞3，則+x的最小值為．17．x＞1，則函數y=的最小值是．18．〔2014?荊州一模〕x＞0，y＞0，且x+2y=xy，則log4〔x+2y〕的最小值是．19．假設a，b，x，y∈R，且a2+b2=3，x2+y2=1，則ax+by的最大值為．三．解答題〔共7小題〕20．〔2009?廣州一模〕如圖，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A、B的任意一點，A1A=AB=2．〔1〕求證：BC⊥平面A1AC；〔2〕求三棱錐A1﹣ABC的體積的最大值．21．設a＞0，b＞0，且a≠b，試比照aabb與abba的大小．22．設f〔x〕是不含常數項的二次函數，且1≤f〔﹣1〕≤2.2≤f〔1〕≤4求f〔2〕的取值范圍．23．α，β滿足，試求α+3β的取值范圍．24．〔2013秋?商丘期中〕〔1〕a，b，c為任意實數，求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；〔2〕設a，b，c均為正數，且a+b+c=1，求證：ab+bc+ca≤．25．〔2015?丹東二模〕a，b為正實數，〔1〕假設a+b=2，求的最小值；〔2〕求證：a2b2+a2+b2≥ab〔a+b+1〕．26．〔2016春?和平區期末〕x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：〔1〕xy的最小值；〔2〕x+y的最小值．2017高考一輪復習 不等式和均值不等式參考答案與試題解析一．選擇題〔共14小題〕1．〔2010?上海〕〔上海春卷16〕a1，a2∈〔0，1〕，記M=a1a2，N=a1+a2﹣1，則M與N的大小關系是〔〕A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不確定【分析】根據題意，利用作差法進展求解．【解答】解：由M﹣N=a1a2﹣a1﹣a2+1=〔a1﹣1〕〔a2﹣1〕＞0，故M＞N，應選B．【點評】此題考察大小的比照，利用作差法進展求解，是一道根基題．2．〔2016春?樂清市校級月考〕設a，b是實數，則“a＞b＞1〞是“〞的〔〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【分析】畫出f〔x〕=x+圖象，根據函數的單調性，結合充分那樣條件的定義可判斷．【解答】解：∵f〔a〕=a+，f〔b〕=b+，f〔x〕=x+圖象如以以以下列圖．∴根據函數的單調性可判斷：假設“a＞b＞1〞則“〞成立，反之假設“〞則“a＞b＞1〞不一定成立．根據充分必要條件的定義可判斷：“a＞b＞1〞是“〞的充分不必要條件，應選：A【點評】此題考察了對鉤函數的單調性，必要充分條件的定義可判斷，屬于中檔題．3．〔2013?天津〕設a，b∈R，則“〔a﹣b〕a2＜0〞是“a＜b〞的〔〕A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】通過舉反例可得“a＜b〞不能推出“〔a﹣b〕a2＜0〞，由“〔a﹣b〕a2＜0〞能推出“a＜b〞，從而得出結論．【解答】解：由“a＜b〞如果a=0，則〔a﹣b〕a2=0，不能推出“〔a﹣b〕a2＜0〞，故必要性不成立．由“〔a﹣b〕a2＜02〞可得a2＞0，所以a＜b，故充分性成立．綜上可得“〔a﹣b〕a2＜0〞是a＜b的充分也不必要條件，應選A．【點評】此題主要考察充分條件、必要條件、充要條件的定義，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于根基題．4．〔2012?湖南〕設a＞b＞1，C＜0，給出以下三個結論：①＞；②ac＜bc；③logb〔a﹣c〕＞loga〔b﹣c〕．其中所有的正確結論的序號〔〕A．① B．①② C．②③ D．①②③【分析】利用作差比照法可判定①的真假，利用冪函數y=xc的性質可判定②的真假，利用對數函數的性質可知③的真假．【解答】解：①﹣=，∵a＞b＞1，c＜0∴﹣=＞0，故＞正確；②考察冪函數y=xc，∵c＜0∴y=xc在〔0，+∞〕上是減函數，而a＞b＞0，則ac＜bc正確；③當a＞b＞1時，有logb〔a﹣c〕＞logb〔b﹣c〕＞loga〔b﹣c〕；正確．應選D．【點評】此題主要考察了不等式比照大小，以及冪函數與對數函數的性質，屬于根基題．5．〔2014?山東〕實數x，y滿足ax＜ay〔0＜a＜1〕，則以下關系式恒成立的是〔〕A．x3＞y3 B．sinx＞sinyC．ln〔x2+1〕＞ln〔y2+1〕 D．＞【分析】此題主要考察不等式的大小比照，利用函數的單調性的性質是解決此題的關鍵．【解答】解：∵實數x，y滿足ax＜ay〔0＜a＜1〕，∴x＞y，A．當x＞y時，x3＞y3，恒成立，B．當x=π，y=時，滿足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．假設ln〔x2+1〕＞ln〔y2+1〕，則等價為x2＞y2成立，當x=1，y=﹣1時，滿足x＞y，但x2＞y2不成立．D．假設＞，則等價為x2+1＜y2+1，即x2＜y2，當x=1，y=﹣1時，滿足x＞y，但x2＜y2不成立．應選：A．【點評】此題主要考察函數值的大小比照，利用不等式的性質以及函數的單調性是解決此題的關鍵．6．〔2013?陜西〕設[x]表示不大于x的最大整數，則對任意實數x，y，有〔〕A．[﹣x]=﹣[x] B．[2x]=2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]【分析】此題考察的是取整函數問題．在解答時要先充分理解[x]的含義，從而可知針對于選項注意對新函數的加以分析即可，注意反例的應用．【解答】解：對A，設x=﹣1.8，則[﹣x]=1，﹣[x]=2，所以A選項為假．對B，設x=﹣1.4，[2x]=[﹣2.8]=﹣3，2[x]=﹣4，所以B選項為假．對C，設x=y=1.8，對A，[x+y]=[3.6]=3，[x]+[y]=2，所以C選項為假．故D選項為真．應選D．【點評】此題考察了取整函數的性質，是一道競賽的題目，難度不大．7．〔2013秋?豐城市校級期末〕以下函數中最小值為4的是〔〕A．y=x+ B．y=C．y=ex+4e﹣x D．y=sinx+，〔0＜x＜π〕【分析】A．當x＜0時，利用根本不等式的性質，y=﹣≤﹣4，可知無最小值；B．變形為，利用根本不等式的性質可知：最小值大于4；C．利用根本不等式的性質即可判斷出滿足條件；D．利用根本不等式的性質可知：最小值大于4．【解答】解：A．當x＜0時，=﹣4，當且僅當x=﹣2時取等號．因此此時A無最小值；B.==4，當且僅當x2+2=1時取等號，但是此時x的值不存在，故不能取等號，即y＞4，因此B的最小值不是4；C.=4，當且僅當，解得ex=2，即x=ln4時取等號，即y的最小值為4，因此C滿足條件；D．當0＜x＜π時，sinx＞0，∴=4，當且僅當，即sinx=2時取等號，但是sinx不可能取等號，故y＞4，因此不滿足條件．綜上可知：只有C滿足條件．應選C．【點評】熟練掌握根本不等式的性質是解題的關鍵，特別注意“=〞是否取到．8．〔2013?山東〕設正實數x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，則當取得最小值時，x+2y﹣z的最大值為〔〕A．0 B． C．2 D．【分析】將z=x2﹣3xy+4y2代入，利用根本不等式化簡即可求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z為正實數，∴=+﹣3≥2﹣3=1〔當且僅當x=2y時取“=〞〕，即x=2y〔y＞0〕，∴x+2y﹣z=2y+2y﹣〔x2﹣3xy+4y2〕=4y﹣2y2=﹣2〔y﹣1〕2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值為2．應選：C．【點評】此題考察根本不等式，將z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值時x=2y是關鍵，考察配方法求最值，屬于中檔題．9．假設實數a，b滿足ab﹣4a﹣b+1=0〔a＞1〕，則〔a+1〕〔b+2〕的最小值為〔〕A．24 B．25 C．27 D．30【分析】先根據ab﹣4a﹣b+1=0求得a和b的關系式，進而代入到〔a+1〕〔b+2〕利用均值不等式求得答案．【解答】解：∵ab﹣4a﹣b+1═0∴b==4+，∴〔a+1〕〔b+2〕=6a++6=6a++9=6〔a﹣1〕++15≥27〔當且僅當a﹣1=即a=2時等號成立〕，即〔a+1〕〔b+2〕的最小值為27．應選：C．【點評】此題主要考察了根本不等式在最值問題中的應用．解題的關鍵是配出均值不等式的形式．10．〔2006秋?增城市期末〕0＜x＜1，則x〔3﹣3x〕取得最大值時時x的值為〔〕A． B． C． D．【分析】法一：設y=x〔3﹣3x〕=﹣3，利用二次函數的性質可求函數的最大值法二：由0＜x＜1可得1﹣x＞0，從而利用根本不等式可求x〔3﹣3x〕=3x〔1﹣x〕的最大值及取得最大值的x【解答】解：法一：設y=x〔3﹣3x〕則y=﹣3〔x2﹣x〕=﹣3∵0＜x＜1當x=時，函數取得最大值應選C法二：∵0＜x＜1∴1﹣x＞0∵x〔3﹣3x〕=3x〔1﹣x〕當且僅當x=1﹣x即x=時取得最大值應選C【點評】此題主要考察了二次函數在閉區間上的最值的求解，一般的處理方法是對二次函數進展配方，結合函數在區間上的單調性判斷取得最值的條件．11．〔2014秋?周口期末〕設x，y∈R，a＞1，b＞1，假設ax=by=2.2a+b=8，則的最大值為〔〕A．2 B．3 C．4 D．log23【分析】由ax=by=2，求出x，y，進而可表示，再利用根本不等式，即可求的最大值．【解答】解：∵ax=by=2，∴x=loga2，y=logb2∴，∴=log2a+log2b=log2ab，∵2a+b=8≥，∴ab≤8〔當且僅當2a=b時，取等號〕，∴≤log28=3，即的最大值為3．應選B．【點評】此題考察根本不等式的運用，考察對數運算，考察學生分析轉化問題的能力，正確表示是關鍵．12．〔2012?河南一模〕函數y=logax+1〔a＞0且a≠1〕的圖象恒過定點A，假設點A在直線+﹣4=0〔m＞0，n＞0〕上，則m+n的最小值為〔〕A．2+ B．2 C．1 D．4【分析】利用對數的性質可得：函數y=logax+1〔a＞0且a≠1〕的圖象恒過定點A〔1，1〕，代入直線+﹣4=0〔m＞0，n＞0〕上，可得．再利用“乘1法〞和根本不等式的性質即可得出．【解答】解：當x=1時，y=loga1+1=1，∴函數y=logax+1〔a＞0且a≠1〕的圖象恒過定點A〔1，1〕，∵點A在直線+﹣4=0〔m＞0，n＞0〕上，∴．∴m+n===1，當且僅當m=n=時取等號．應選：C．【點評】此題考察了對數的運算性質、“乘1法〞和根本不等式的性質，屬于根基題．13．〔2015?陜西〕設f〔x〕=lnx，0＜a＜b，假設p=f〔〕，q=f〔〕，r=〔f〔a〕+f〔b〕〕，則以下關系式中正確的選項是〔〕A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q【分析】由題意可得p=〔lna+lnb〕，q=ln〔〕≥ln〔〕=p，r=〔lna+lnb〕，可得大小關系．【解答】解：由題意可得假設p=f〔〕=ln〔〕=lnab=〔lna+lnb〕，q=f〔〕=ln〔〕≥ln〔〕=p，r=〔f〔a〕+f〔b〕〕=〔lna+lnb〕，∴p=r＜q，應選：B【點評】此題考察不等式與不等關系，涉及根本不等式和對數的運算，屬根基題．14．〔2014?湖北校級模擬〕某制冷設備廠設計生產一種長方形薄板，如以以下列圖，長方形ABCD〔AB＞AD〕的周長為4米，沿AC折疊使B到B′位置，AB′交DC于P．研究發現當ADP的面積最大時最節能，則最節能時ADP的面積為〔〕A．2﹣2 B．3﹣2 C．2﹣ D．2【分析】利用PA2=AD2+DP2，構建函數，可得y=2〔1﹣〕，1＜x＜2，表示出△ADP的面積，利用根本不等式，可求最值．【解答】解：設AB=x，DP=y，BC=2﹣x，PC=x﹣y．∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2，∵△ADP≌△CB′P，∴PA=PC=x﹣y．由PA2=AD2+DP2，得〔x﹣y〕2=〔2﹣x〕2+y2?y=2〔1﹣〕，1＜x＜2，記△ADP的面積為S，則S=〔1﹣〕〔2﹣x〕=3﹣〔x+〕≤3﹣2，當且僅當x=∈〔1，2〕時，S取得最大值．應選：B．【點評】此題主要考察應用所學數學知識分析問題與解決問題的能力．試題以常見的圖形為載體，再現對根本不等式、導數等的考察．二．填空題〔共5小題〕15．〔2013?安徽〕如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則以下命題正確的選項是①②③⑤〔寫出所有正確命題的編號〕．①當0＜CQ＜時，S為四邊形②當CQ=時，S為等腰梯形③當CQ=時，S與C1D1的交點R滿足C1R=④當＜CQ＜1時，S為六邊形⑤當CQ=1時，S的面積為．【分析】由題意作出滿足條件的圖形，由線面位置關系找出截面可判斷選項的正誤．【解答】解：如圖當CQ=時，即Q為CC1中點，此時可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1為等腰梯形，故②正確；由上圖當點Q向C移動時，滿足0＜CQ＜，只需在DD1上取點M滿足AM∥PQ，即可得截面為四邊形APQM，故①正確；③當CQ=時，如圖，延長DD1至N，使D1N=，連接AN交A1D1于S，連接NQ交C1D1于R，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正確；④由③可知當＜CQ＜1時，只需點Q上移即可，此時的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，顯然為五邊形，故錯誤；⑤當CQ=1時，Q與C1重合，取A1D1的中點F，連接AF，可證PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面為APC1F為菱形，故其面積為AC1?PF==，故正確．故答案為：①②③⑤．【點評】此題考察命題真假的判斷與應用，涉及正方體的截面問題，屬中檔題．16．〔2015秋?中山市校級期中〕x＞3，則+x的最小值為7．【分析】此題可以通過配湊法將原式化成積為定值的形式，再用根本不等式求出原式的最小值，即此題答案．【解答】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0．∴+x=≥．當且僅當x=5時取最值．故答案為：7．【點評】此題考察了根本不等式，注意不等式使用的條件．此題難度適中，屬于中檔題．17．x＞1，則函數y=的最小值是8．【分析】利用換元法化簡函數，根據根本不等式求出函數y=的最小值．【解答】解：∵x＞1，∴t=x﹣1＞0，∴y===t++2≥2+2=8，當且僅當t=，即t=3，x=4時，取等號，∴函數y=的最小值是8．故答案為：8．【點評】此題考察求函數y=的最小值，考察根本不等式的運用，正確變形是關鍵．18．〔2014?荊州一模〕x＞0，y＞0，且x+2y=xy，則log4〔x+2y〕的最小值是．【分析】根據根本不等式求出xy≥8，然后利用對數的根本運算和對數的換底公式進展計算即可．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+2y=xy，∴x+2y=xy，平方得〔xy〕2≥8xy，解得xy≥8，∴log4〔x+2y〕=log4〔xy〕，故答案為：【點評】此題主要考察根本不等式的應用以及對數的根本計算，考察學生的計算能力．19．假設a，b，x，y∈R，且a2+b2=3，x2+y2=1，則ax+by的最大值為．【分析】根據柯西不等式〔x1x2+y1y2〕2≤〔x12+y12〕〔x22+y22〕，得到〔ax+by〕2≤〔a2+b2〕〔x2+y2〕，進而求得ax+by的最大值．【解答】解：根據柯西不等式〔x1x2+y1y2〕2≤〔x12+y12〕〔x22+y22〕，?〔ax+by〕2≤〔a2+b2〕〔x2+y2〕=3×1=3，當且僅當ay=bx時取等號，所以，ax+by∈[﹣，]，因此，ax+by的最大值為，故填：．【點評】此題主要考察了柯西不等式在最值問題中的應用，解題的關鍵是利用了柯西不等式，屬于根基題．三．解答題〔共7小題〕20．〔2009?廣州一模〕如圖，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A、B的任意一點，A1A=AB=2．〔1〕求證：BC⊥平面A1AC；〔2〕求三棱錐A1﹣ABC的體積的最大值．【分析】〔1〕欲證BC⊥平面AA1C，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面AA1C內兩相交直線垂直，而BC⊥AC，AA1⊥BC，AA1∩AC=A滿足定理條件；〔2〕設AC=x，在Rt△ABC中，求出BC，根據體積公式VA1﹣ABC=S△ABC?AA1表示成關于x的函數，根據二次函數求出其最大值．【解答】解：〔1〕證明：∵C是底面圓周上異于A、B的任意一點，且AB是圓柱底面圓的直徑，∴BC⊥AC．∵AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴AA1⊥BC．∵AA1∩AC=A，AA1?平面AA1C，AC?平面AA1C，∴BC⊥平面AA1C．〔2〕設AC=x，在Rt△ABC中，BC==〔0＜x＜2〕，故VA1﹣ABC=S△ABC?AA1=??AC?BC?AA1=x〔0＜x＜2〕，即VA1﹣ABC=x==．∵0＜x＜2，0＜x2＜4，∴當x2=2，即x=時，三棱錐A1﹣ABC的體積最大，其最大值為【點評】本小題主要考察直線與平面垂直，以及棱柱、棱錐、棱臺的體積等根基知識，考察空間想象能力，運算能力和推理論證能力．21．設a＞0，b＞0，且a≠b，試比照aabb與abba的大小．【分析】由題意可得=aa﹣b?bb﹣a=，當a＞b＞0時，可得aabb＞abba．當b＞a＞0時，同理可得aabb＞abba．綜上可得aabb與abba的大小關系．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a≠b，而且=aa﹣b?bb﹣a=，當a＞b＞0時，由＞1，a﹣b＞0，可得＞1，∴aabb＞abba．當b＞a＞0時，由0＜＜1，a﹣b＜0，可得＞1，∴aabb＞abba．綜上可得，aabb＞abba．【點評】此題主要考察用作商比照法比照兩個正實數的大小關系，不等式性質的應用，屬于根基題．22．設f〔x〕是不含常數項的二次函數，且1≤f〔﹣1〕≤2.2≤f〔1〕≤4求f〔2〕的取值范圍．【分析】設f〔x〕=ax2﹣bx，由題意推出，確定目標函數f〔2〕=4a﹣2b經過可行域的特殊點，然后求出f〔2〕的范圍即可．【解答】解：設f〔x〕=ax2﹣bx，由題意可知，目標函數f〔2〕=4a﹣2b作出可行域如圖，所以經過M〔3，﹣1〕，N〔，〕分別為目標函數f〔2〕=4a﹣2b的取值范圍，f〔2〕∈[7，14]．【點評】此題主要考察了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，注意特殊點的選擇，屬于根基題．23．α，β滿足，試求α+3β的取值范圍．【分析】該問題是不等關系求范圍的問題，可以用待定系數法來解決．【解答】解設α+3β=λ〔α+β〕+v〔α+2β〕=〔λ+v〕α+〔λ+2v〕β．比照α、β的系數，得，從而解出λ=﹣1，v=2．分別由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，兩式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β