4.3探索三角形全等的條件

第4章

三角形第1課時學習目標1.掌握三角形全等的“SSS”條件，了解三角形的穩定性；（重點）2.在探索三角形全等條件的過程中，能有條理地思考并進行簡單的推理；（難點）3.在給出三邊的條件下，能夠利用尺規作出三角形.新課導入復習回顧1.能夠完全重合的兩個三角形叫做

.2.全等三角形的對應邊

,對應角

.

3.兩個三角形全等的一般記法:全等用符號“

”表示，讀作“全等于”.

△ABC和△DEF全等,記作

,其中要把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.

全等三角形相等相等≌△ABC≌△DEF新課導入情境引入

如圖所示，要畫一個三角形與△ABC全等，需要幾個與邊或角的大小有關的條件呢?一個條件?兩個條件?三個條件?……圖2圖1新課講授

探究一：三角形全等的條件：“邊邊邊”①只有一條邊相等,畫出的的三角形不一定全等(如圖1).②只有一個角相等,畫出的三角形不一定全等(如圖2).結論：有一個條件相等不能保證所畫出的三角形一定全等.（1）只給一個條件（一條邊或一個角）畫出的三角形一定全等嗎？操作·交流新課講授30o

3cm（2）給出兩個條件畫三角形時，有幾種可能的情況？每種情況下作出的三角形一定全等嗎？請你試一試，并與同伴進行交流.①已知一角一邊畫三角形.例如：三角形的一個內角為30°,一條邊為3cm；不一定全等.②已知兩角畫三角形.例如：三角形的兩個內角分別是30°和50°;50°50°30o不一定全等.新課講授6cm4cm結論：有兩個條件對應相等不能保證所畫出的三角形一定全等.③已知兩邊畫三角形.例如：三角形的兩條邊分別為4cm，6cm.4cm4cm不一定全等.新課講授有四種可能：三個角、三條邊、兩邊一角、兩角一邊.三個內角分別相等的兩個三角形不一定全等.60o30030060o給出三個條件畫三角形時，有哪幾種可能的情況？與同伴進行交流.思考·交流(1)已知一個三角形的三個內角分別為40°，60°和80°，你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫出的進行比較，它們一定全等嗎？嘗試·思考新課講授(2)已知一個三角形的三條邊分別為4cm,5cm和7cm,你能畫出這個三角形嗎?把你畫的三角形與同伴畫的進行比較,它們一定全等嗎?一定全等.7cm5cm4cm5cm7cm4cm新課講授

通過剛才的探究過程，我們可以總結出“已知三角形的三邊，用尺規作這個三角形”的方法和步驟.如圖,已知:線段a，b，c，用尺規作△ABC，使得AB=c，AC=b，BC=a．(3)小組合作,選擇三條線段作為三角形的三條邊,并用尺規作出這個三角形.把你作的三角形與同伴作的進行比較,它們一定全等嗎?一定全等.新課講授作法示范1.作一條線段BC=a.2.分別以點B，C為圓心，以c，b為半徑畫弧，兩弧交于點A.3.連接AB，AC.△ABC就是所要作的三角形.即確定了三角形的兩個頂點.即確定了三角形的第三個頂點.作法與示范：新課講授知識歸納三角形全等的條件:“邊邊邊”（SSS）幾何語言：在△ABC和△A'B'C'中，△ABC≌△A'B'C'∴ABCA'B'C'三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”.在列舉兩個三角形全等的條件時,一般是把同一個三角形的三個量放在等號的同一側.

已知三角形的三邊,用尺規作這個三角形是利用三角形全等的條件“邊邊邊”來作圖的.AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'.∵新課講授1.如圖，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？試說明理由.ABCD∴△ABC≌△DCB（SSS）.==解：全等，理由如下：在△ABC和△DCB中AB=CD,AC=BD,BC=CB∵準備幾根硬紙條.（1）取出三根硬紙條釘成一個三角形（如圖1），你能拉動其中兩邊，使這個三角形的形狀發生變化嗎？圖1操作·交流新課講授

探究二：三角形的穩定性（2）取出四根硬紙條釘成一個四邊形（如圖2），拉動其中兩邊，這個四邊形的形狀改變了嗎？圖2（3）上面的現象說明了什么？三角形具有穩定性；四邊具有不穩定性.不變.形狀改變了.新課講授知識歸納三角形的穩定性

由上面的結論可知，只要三角形三條邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小也就完全確定了，三角形的這個性質叫做“三角形的穩定性”.

這就是說，三角形的穩定性不是“拉得動、拉不動”的問題，其實質應是“三角形邊長確定，其形狀和大小就確定了”.新課講授在生活中，我們經常會看到應用三角形穩定性的例子，如下圖.你還能舉出一些其他例子嗎？新課講授2.如圖所示,人字梯中間一般會設計一個“拉桿”,這樣做的道理是(

)A.兩點之間,線段最短B.垂線段最短C.三角形具有穩定性D.兩直線平行,內錯角相等C典例分析例1:如圖,有一個三角形鋼架,AB=AC,AD是連接點A與BC中點D

的支架．試證明：△ABD

≌△ACD

．CBDA解題思路：最后找隱含條件公共邊AD先找現有條件AB=AC再找準備條件BD=CDD是BC的中點典例分析證明：∵

D

是BC中點，

∴BD=CD．在△ABD

與△ACD

中，∴△ABD≌△ACD

（SSS）．準備條件指明范圍擺齊根據寫出結論CBDAAB=AC(已知）BD=CD

（已證）AD=AD

（公共邊）∵

典例分析例2：如圖所示，已知點A,D,B,F在同一條直線上，AC=FE，BC=DE，AD=FB.試說明△ABC≌△FDE.解:∵AD=FB,∴AD+DB=FB+DB,即AB=FD.在△ABC和△FDE中,∴△ABC≌△FDE(SSS).AC=FE,AB=FD,BC=DE,∵

例3：如圖所示,已知線段a,b,求作:△ABC,使BC=a,AC=AB=b.解:作法:如圖,(1)作射線BE;(2)在射線BE上截取BC=a;(3)分別以點B,C為圓心,b為半徑畫弧,兩弧在射線BE的同側交于點A.(4)連接AB,AC.則△ABC就是所求作的三角形.典例分析學以致用2.如圖所示,在△ABC中,D為邊BC上一點,點E在AD上，AB=AC,EB=EC,則運用“SSS”可以直接判定 (

)A.△ABD≌△ACE B.△ABE≌△ACEC.△BDE≌△ACD D.以上選項均不對B1.下圖的三角形中，與左圖中△ABC全等的是(

)C學以致用4.如圖所示,點B,F,C,D在同一直線上，AB=EF，AC=ED,BF=CD,∠A=95°,∠B=25°,則∠D的度數為(

)A.60° B.25° C.70° D.95°A3.如圖所示，

已知在△ABC中,AB=AC,D為BC上一點，BD=CD,則下列結論錯誤的是(

)A.∠BAC=∠B B.∠BAD=∠CADC.AD⊥BC D.∠B=∠CA學以致用5.如圖所示，一扇窗戶打開后,用窗鉤AB可以將其固定,這里所運用的幾何原理是

.

6.如圖所示，點D,E分別在AB,AC上，AB=AC，BE=CD，要依據“SSS”判定△ABE≌△ACD，還需補充的條件是

.(填一個即可)

三角形具有穩定性AE=AD7.已知線段a,b,c,求作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,下列作法的合理順序為

(填序號).

①分別以點B,C為圓心,c,b為半徑在BC的同側作弧,兩弧交于點A;②作射線BM,在BM上截取BC=a;③連接AB,AC,則△ABC就是所求作的三角形.②①③學以致用8.如圖所示，已知點A,E,D在同一直線上,AB=AC,BE=CE,BD=CD.(1)圖中有幾對全等三角形?請分別寫出來;(2)請選擇一對全等三角形說明其全等的理由.解:(1)有3對全等三角形,分別是△ABE≌△ACE,△ABD≌△ACD,△BED≌△CED.(2)在△ABE和△ACE中，AB=AC,BE=CE,AE=AE,∴△ABE≌△ACE(SSS).(答案不唯一)∵

學以致用9.如圖所示，點A,D,C,F在同一條直線上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.(1)試說明:△ABC≌△DEF;(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度數.解:(1)∵AD=CF,∴AD+DC=CF+DC,即AC=DF.在△ABC和△DEF中,∵AB=DE,BC=EF,AC=DF,∴△ABC≌△DEF(SSS).(2)∵△ABC≌△DEF,∴∠F=∠ACB.∵∠A=55°,∠B=88°,∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-(55°+88°)=37°,∴∠F=∠ACB=37°.學以致用10.如圖所示,AD=BC,AC=BD,AC與BD交于點O.試說明:∠DAO=∠CBO.解:如圖,連接CD.在△ACD和△BDC中,∵AD=BC,AC=BD,CD=DC,∴△ACD≌△BDC(SSS),∴∠DAO=∠CBO.學以致用11.已知：如圖

，AC=FE，AD=FB,BC=DE.試說明：(1)△ABC≌△FDE;(2)∠C=∠E.ACEDBF解：(1)∵AD=FB，∴AB=FD（等式的性質）.（2）∵△ABC≌△FDE（已證）.∴∠C=∠E（全等三角形的對應角相等）