熱點題型?解答題攻略

專題01新高考情景下的創新定義問題

*>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01集合中的新定義.........................................................................1

題型02平面解析幾何中距離的新定義...........................................................10

題型03函數中的新定義........................................................................17

題型04立體幾何中的新定義....................................................................23

題型05概率與統計中的新定義..................................................................33

題型06導數中的新定義........................................................................42

題型07圓錐曲線中的新定義....................................................................52

題型08數列中的新定義........................................................................63

?>-----------題型探析?明規律------------<>

題型01集合中的新定義

【解題規律?提分快招】

集香薪電叉而葡的方法布麗

(1)可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；

(2)可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；

(3)發現新信息與所學知識的聯系，并從描述中體會信息的本質特征與規律；

(4)如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用

書上的概念.

2、解決以集合為背景的新定義問題的關鍵點

(1)準確轉化：解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質含義，緊扣題目所給定義，結合題目的要求

進行恰當轉化，切忌同已有概念或定義相混淆.

(2)方法選?。簩τ谛露x問題，可恰當選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結合集合的相關

性質求解.

*麗訶綜i

一、解答題

1.(2024?北京西城?三模)記集合夫==12…㈤(〃>2).對任意

。)e。,￡=僅也,…也)e。，記"(a,〃)=(MW|,|々D，對于非空集合“U。，

定義集合D(A)={d(a,夕)|ae4夕e/}.

(1)當〃=2時，寫出集合Q；對于/={(0,0),(0,1),(1,0)},寫出。(⑷；

⑵當〃=3時，如果。(4)=0,求card(4)的最小值；

(3)求證:card(O(4))Ncard(/).

(注：本題中，cardQ)表示有限集合/中的元素的個數.)

【答案】⑴。={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)};D(A)={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}

(2)5

(3)證明見解析

【分析】(1)根據定義直接寫出集合。，再根據。(⑷的定義寫出〃(/)；

(2)設card(4)=w,貝！Jcard(Q)=8,則由題意可得Cj》7,從而可求得結果；

(3)設N中的所有元素為4,%，?..,%,其中〃7=card(4),記％'=d(a”aj(i=\,2,...,m),先利用

反證法證明這些&互不相等，再根據定義證明即可.

【詳解】⑴Q={(O,O),(O,l),(l,O),(l,l)};

若/={(0,0),(0,1),(1,0)},則D(A)={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.

(2)card(4)的最小值為5.

證明如下：

設cardQ)=m.

因為card(0)=23=8,除(。，。⑼一⑦⑺外，其它7個元素需由兩個不同的a,4計算得到，

所以C：27,解得〃725.

當4={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}時，有。(4)=0,符合題意.

(3)證明：設A中的所有元素為名,a2，…，％,，其中〃7=card(/).

記a：=dQ,aJ(7=1,2,...,%),則這些a；互不相等.

證明如下:如果存在1(%,%)="(%,%),

則d(a,,aj,4(%,%)的每一位都相等，

所以修,巴的每一位都相等，

從而a,=%,與集合A中元素的互異性矛盾.

定義集合。'⑷=解名,…，或},則car義//(/))=m=car”集.

又〃(，)”(4),

所以card(jD(Z))Ncard(Z)'(4))=card(N).

【點睛】關鍵點點睛：此題考查集合的新定義，考查集合間的關系，解題的關鍵是對集合新定義的正確理

解，考查理解能力，屬于難題.

2.（2024?全國?模擬預測）2知集合/={。1嗎，…，叫（0?%<生<…<%，〃22）,若對任意的，,

jeN（l<z<j<?）,有6+a”N或%-qe/,則稱集合A為完美集合.

⑴分別判斷集合8={024,6}與C={1,2,3,4}是否為完美集合;

⑵當〃=3時，若生=2,求完美集合A；

2024

⑶右集合八二,卜出尸：^^^/僅“^^^電：…^^^^^^為元美集合,記S2024=4'求證:

z=l1

$2024=1012(a］。］?+ai013)-

【答案】（1）集合3={024,6}為完美集合，C={123,4}不是完美集合;

⑵/={0,2,4}；

（3）證明見解析.

【分析】（1）根據完美集的定義直接判斷即可;

（2）根據完美集的定義及%=2依次確定%,處,即可得答案;

（3）根據完美集定義先確定q=0,結合.（；12…,2023）得到

.2024—02023=02，°2024—02022=.3，..,"2024-02="2023，又°2024—02024=，“2024~ai=02024，把各項累加即可證結

論.

【詳解】⑴集合8={024,6},當，=/時,a/a：=GwB,

X2-0=2e5,4-2=2eS,6-4=2e5,4-0=4e8,6-2=4eB,6-4=2e8,

所以集合B={0,2,4,6}為完美集合.

集合C={1,2,3,4},因為4-4=0eC,4+4=80C,

所以C={1,2,3,4}不是完美集合.

(2)因為。3+。3=2%>e/，所以%-。3=。€/,所以4=0,/={0,2,%},

因為2+%>%優/，所以。3一2?/,故/-2=2,即%=4,

所以4={0,2,4}.

(3)因為的024+“2024=2a2024>。2024，故°2024+°2024任0，

所以。2024—02024=°e。，則為=°.

因為q<q+i(，=l,2,…,2023),

所以“2024+〃2023〉。2024+。2022〉,''〉出024+〉”2024，

所以。2024+%￡。。=2,3,…，2023),

所以為024-qeO(i=2,3,…,2023).

因為0<〃2024—“2023<〃2024—02022<','<。2024一。2V。2024，

所以。2024—“2023=。2，“2024—。2022二。3，..,，〃2024-“2=。2023，

又因為出024—a2024=%，“2024~a\=°2024，

全部相加得2024。2024—(%+。2"I。2024)=+。2。2024>即2s2024=2O24a2o24,

所以$2024=1012。2024，又。2024=。1012+4013，所以‘2024=10□(。]。匕+。⑼？)?

【點睛】關鍵點點睛：第三問，根據完美集定義確定q=0,并得到

.2024—02023=02，“2024—02022=。3，…°2024~出=02023，°2024—02024=%，.2024-=。2024為關鍵?

3.(2024?浙江?二模)已知集合E={X],X2，X3，...,X“},記2E={S|S[E},X\Y^{x\xeX,x^Y},N是自

然數集

?稱函數/!：2E-?N,若對于任意SUE,〃(S)eN；

?稱函數〃：2E-?N是單調的，若對于任意XqYuE,/z(x)w〃(y)；

?稱函數力:22-N是次模的，若對于任意X、Y^E,h(XuY)+h(X^Y)<h(X)+h(Y)

已知函數/：2E-?N是次模的.

(1)判斷了是否一定是單調的，并說明理由；

(2)證明：對于任意XuYqE,eeE\Y,f(Xu{e})-f(X)>f(Yu{e})-f(<Y);

(3)若/是單調的，上是正整數，k<n,記尸={5|5恰含有左個元素,S=E},已知集合S*e廠滿足

/■(5*)?/(5),\/5€尸.初始集合"=0,然后小明重復后次如下操作：在集合中選取使得了(Mu{e})

最小的元素e加入集合“，最終得到集合證明：/(河*)〈磯5*)

【答案】(1)/不一定是單調的，理由見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)根據題意依據次模函數定義舉一反例即可.

(2)對任意=eeE\Y={e|ee￡,eey},可得出X[Xu{e}￡Yu{e}=￡,X<^Yo[e}^E

且(X3e})cy=Xcy=X,(Xu{e})uy={e*y=y3e},從而根據函數y：2EfN是次模的結合次模

函數定義條件即可得證.

(3)分“*=5*和刊**5*兩種情況分析，M*=S*時，顯然/'(AT)V^(S*)成立；

若取x*eS*M\根據題意得小明的每次操作均滿足

/(Mu{e})-/(M)</(Mu{x*})-/(M)</({x*})-/(0)，進而左右兩邊累加即可得到/(M*)V秋夕),

從而得證.

【詳解】⑴構造次模函數廣/(0)=3,/({玉})=2,/(d})=4,/({%,％})=1,

則0=再},/(0)>/({』}).

因此,不一定是單調的.

(2)證明：對任意X=y=因為eeE\y={eeE,eey},

所以X但Xu{e}=Yu{e}=￡,X^Y<j[e\^E

且(x3e})cy=xcy=x,(xu{e})uy={e}uy=y3e}，

又因為函數/：2上一N是次模的，所以/(丫3叫+/(丫)4/(^3引+/?),

所以/(X3e})-〃X)"(Y3e})-/(y).

(3)①若M*=S*,/(M*)W^(S*)成立，得證.

②若M*wS*,取x*eS*M*,

則小明的每次操作均滿足了(M3e})-〃Mw/(M3x*})-〃M)W/({x*})-〃0),

左右兩邊累加得/(")-/(0/左{/(卜*})-/(0)卜八/(5*)-/(0),

即/(M)翻?/(￡),故得證.

【點睛】方法點睛：解答新定義類題型的基本思路是：

(1)正確理解新定義；

(2)面對全新定義的規則要結合所學的知識、經驗將問題轉化成熟悉的問題或情境；

(3)在新的規則運算過程中，可結合數學中原有的運算和運算規則進行計算或邏輯推理，從而達到解答的

目的.

4.(2024?福建泉州?二模)進位制是人們為了計數和運算方便而約定的記數系統，如果約定滿二進一，就是

二進制：滿十進一，就是十進制：滿十六進一，就是十六進制.先進制的基數就是上我們日常生活中最熟

悉、最常用的就是十進制.例如，數3721也可以表示為：3721=3x103+7x1()2+2x101+1x10°一般地，如

果人是大于1的整數，那么以后為基數的左進制數可以表示為。#‘+%一產+???+*+?=1>#.其中

7=0

0<%<尼%此一2,…，生，旬w{0，l，2,…/T}.為了簡便，也會把它寫成一串數字連寫在一起的形式:

…⑷,如果不加下標就默認是十進制.

⑴令集合/={0,123,4},2=4+學+3+鬟”4=1，2,3,41,將8中的元素按從大到小的順序排列，則

第100個數為多少？

______________________63

⑵若〃=a“a,i…％劭⑵，記？(〃)為整數"的二進制表達式中。的個數，如T⑵=1,7⑶=0,求￡?(")的

n=\

值.(用數字作答)

(3)十進制中的數999在其他進制中是否也可以表示成一個各位數字之和為27的三位數？如果能，請求出所

有的先進制數；如果不能，請說明理由.

【答案】⑴、21

(2)129

(3)能，5(11)(11)(13),2(14)(11)(19),1(7)(19)(28).

【分析】(1)將集合B中的元素都乘以53得集合中的最大數，可得從大到小的順序排列的第100個數,

再除以5,即可.

(2)從〃=1到〃=63中，對應的二進制數從12)到111111⑵中，最多六位數.最高位只能是1,結合數位討

63

論？(〃)的值和個數，可求27(")的值.

n=\

(3)999=xyz(k)=xk~+yk+z+y+z=21,得972=(左一l)[x(后+l)+y],又972=2x2x3x3x3x3x3,

符合條件的4-1有12,18,27三個值可取，計算出對應的x,%z即可.

【詳解】(1)將集合B中的元素都乘以53

a2l

={i^+?25+a3S+aAS°la,,w=1,2,3,4},則夕中的最大數為在祠5)=624(io).

在10進制中，從624起從大到小排列的第100個數是624-99=525,這就是B'中的元素按從大到小順序

排列的第100個數，

所以B中的元素按從大到小的順序排列，第100個數為5蒙25=泉21.

54321

(2)?1-63=1x2+1x2+1x2+1x2+1x2+1x2°111111(2),，T(63)=0.

.??從〃=1至"=63中，對應的二進制數從取到汨而二中，最多六位數.最高位只能是1,

二0的個數只能是1個，2個，3個，4個，5個，

7⑺=0或「⑺=1或T(")=2或7(")=3或7(”)=4或7(〃)=5,

7⑺=o有工2),行⑵,rn(2),rrn(2),EU,rrrrri⑵共6個；

7(”)=1有C；+C；+C；+C；+C；=晨=15個；

7(〃)=2有C；+C；+C；+C；=C：=20個；

7(〃)=3有C；+C；+C；=C：=15個；

7(〃)=4有C：+C；=C*6個；

7(〃)=5有《=1個.

63

，￡?(〃)=6x0+15x1+20x2+15x3+6x4+1x5=129.

n=l

(3)假設存在這樣的k進制數定㈤，

則999fz(/x^+.+Zn972=xF+球77=("1)[9+1)+川，

[x+y+z=27

,/972=2x2x3x3x3x3x3,

①要想使x+y+z=27且左wlO,.?.x,y,z中必有大于9的數，貝！|左211；

②,/972=xk2+yk-x-y,左2V972,.,.左V31,

綜上，114左431,.1lOW左一1430,

所以，

k-\左+l)+ykXyz

①1281135ii11

/p>

③2736281719

綜上可知，滿足題意的k進制數有3個，分別為：5(11)(11)(13),2(14)(11)(19),1(7)(19)(28),

【點睛】方法點睛：

在實際解決“新定義”問題時，關鍵是正確提取新定義中的新概念、新公式、新性質、新模式等信息，確定

新定義的名稱或符號、概念、法則等，并進行信息再加工，尋求相近知識點，明確它們的共同點和不同點,

探求解決方法，在此基礎上進行知識轉換，有效輸出，合理歸納，結合相關的數學技巧與方法來分析與解

決！

5.(2024?浙江杭州?一模)已知正項有窮數列/：%，電，…，”N(N23),=jxlx=^-,l<i<j<,記T

的元素個數為尸(T).

⑴若數歹!U：1,2416,求集合T,并寫出P(T)的值；

⑵若A是遞增數列或遞減數列，求證："尸(？)=N-1”的充要條件是“A為等比數列”；

⑶若N=2〃+l,數列A由2,4,8,…,2",4"這"+1個數組成，且這"+1個數在數列A中每個至少出現一次，求

尸(？)的取值個數.

【答案】⑴、={2,4,8,16},尸(7)=4；

(2)證明見解析

(3)2?

【分析】(1)利用集合T的定義直接求解即可；

(2)分充分性和必要性兩個方面分別證明，利用題中給出的集合T的定義分析即可；

(3)通過分析可知尸4〃-1,且尸(7)22〃,設數列4:2圖,…,2"工2",2力2"…,以

此時7=<1,22,…,2"，2”,…,22"T,g,(j,,P(T)=4n-l,然后對數列4分別

作變換進行分析求解，即可得到答案.

【詳解】(1)因為％=1,4=2,%=4,&=16,

故”=2e=4,幺=16,幺=2,幺=8,幺=4,

axaxqa2a2a3

所以7={2,4,8,16},尸(7)=4；

(2)充分性：若A是等比數列，設公比為4.

不妨考慮數列A是遞增數列，所以，>1.

則當/>7?時，二=不".

ai

所以人…,廣],故尸(T)=N-1,得正

必要性：若P(7)=N-1.

因為A是遞增數列，所以—…若，

所以血,血,…，他eT且互不相等，又尸(T)=N-1,

%ax%

所以r=也，幺,…,包4，

[qa}a}J

又泡〈幺<&出，

a2a2a2a2a]

所以區,幺,…,如，他，氏e7,且互不相等.

a2a2a2a2%

所以&,=幺，幺=幺，、aN=aN_}

9aa

a2%%%，i\'

所以:=:=???=子，

4%々N-l

所以A為等比數列；

若A為單調遞減數列，同理可證.

(3)因為數列A由2,4,8,…,2",4"這〃+1個數組成，任意兩個不同的數作商(可相等)，

比值只可能為1,2,2\…,2"，2",……共2"+2"1=4〃-1個不同的值；

又因為2,4,8,…,2",4"這〃+1個數在數列A中共出現N=2〃+1次，所以數列A中存在q=3/),所以1e7.

綜上，尸(7)441,且尸(7)22〃.

設數列4:2,2二..,2",2",22",2"...,2

此時7=<1,22,…,2"，2",…,22"T,g,(￡|,…,,P(T)=4n-l.

現對數列4分別作如下變換：

把前面的2"移動到2?”和后面的2"之間,得到數列：2,22,...,21,2巴2",2"-.,2

此時7=1,2,22,…,2"工2角,…，22"T,ggj,…尸(7)=4〃-2.

再把前面的2"-'移動到2'-1和2"之間，得到數列：2,2?,2"-2,2/2",2",2"，2"一，…,2

此時7=<1,2,22,...,21,2-2,...,22"，；,[￡|,...,(￡|>,尸(T)=4"3.

依次類推，把前面的22移動到22和23之間，得到數列：2,22”,2',2",2"、2"、…2,22,2,

2n-l

I,P(T)=3〃；

再構造2?,22",2",2",2"T,2"T，…23星,22,2,2,

此時T=T,2,22,…,27,2筋-2,；,(；

P(T)=3"-1；

此時T=<l,2,2:、2"3,22"-3,；,1g

尸(T)=3〃-2；

依次類推,構造數列：2”,22\2\2"\2”]..,22,22,2,2,

此時7=卜彳，尸⑺=2〃+1,

最后構造數列：2,籃,2",列T,”.de2,2,

此時出，…用，…㈢卜5）=2"；

綜上，尸（？）可以取到從2〃到4〃-1的所有2〃個整數值，所以尸（？）的取值個數為2〃.

【點睛】方法點睛：對于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和計算特性，抽象特性是將集合可

近似的當作數列或者函數分析.計算特性，將復雜的關系通過找規律即可利用已學相關知識求解.

題型02平面解析幾何中距離的新定義

【解題規律?提分快招】

1、設P(匹,％),°(乙①)為平面上兩點，則定義上-西|+1%-%|為“折線距離”“直角距離”或“曼哈頓距

離”,記作"(尸,0)=,2-西|+

結論1：設點尸(％,為)為直線/:/x+3y+C=0外一定點，。為直線/上的動點，貝I

+By0+

"(RQ)mm

max{|/|,|3|}

結論2：設點P為直線Nx+為+G=0上的動點，點0為直線4x+8y+G=0上的動點，則

|G-G|

d(P，Q)min=

max{⑷，⑷}

【典例訓練】

一、解答題

1.(24-25高三上?四川?期中)定義：如果在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點48的坐標分別為

(國,%,(乙，%)，那么稱"(4臺)=|/-乂21+1%-%|為/,8兩點間的曼哈頓距離；

22

D(A,B)=y/(xI-x2)+(y1-y2)為/,3兩點間的歐幾里得距離.

⑴已知或O,P)=1,求。(。,尸)的最小值；

⑵已知M(3,2),D(O,N)=2,求d(M,N)的最大值；

(3)已知。>0,點N(X[，M)在函數〃(x)=-L(x<0)圖象上，點8(%2，%)在函數g(x)=alnx-x圖象上，且

X

%*%，點48有"(4B)的最小值為%求實數。的取值.

【答案】⑴*；

⑵5+2行；

⑶4=2.

【分析】(1)令尸(X/),則分。，尸)=|x|+|y|=l,討論坐標符號研究尸軌跡，數形結合求。(。1)的最小值;

(2)令或監￡)=|》-3|+|了-2]=90,問題化為直線工+了+/5=0與圓/+「=4相切時參數》的范圍，

即可得最大值；

(3)令/(%-'),8口/),則"(48)=|》-刈+|〉+工|="24,同(1)(2)分析過程,求平行于％-了-■7?=0

加加m

且與力(X)相切于點A直線，得至！|切線為x-y+2=0,進而保證x-y-L-加-4=0恰好與g(x)相切，求a

m

即可.

【詳解】(1)令尸(x,I,則或解尸)=|x|+|川=1,故尸軌跡如下,

當xNO,”。時，軌跡為x+y-l=o,

當x<0,y>0時，軌跡為了->+1=0,

當xV0,”0時，軌跡為x+y+l=0,

當x>0,〉<0時，軌跡為x-y+l=0,

所以尸軌跡的圖形如下，頂點在坐標軸上且邊長為近的正方形，

(2)令N(xj),則以。川)=&2+/=2,即/+，=4,

所以N在以原點為圓心，半徑為2的圓上，而M(3,2),

令d(MN)=|xT3|+|y-2|=fN0,同(1)分析N軌跡如下，

當xW3心2時，軌跡為x+>-5T=0,

當x<3/>2時，軌跡為x-j+f-l=O,

當X43/42時，軌跡為x+>+/-5=0,

當x>3,y<2時，軌跡為x-y-1-1=0,

對于M點的曼哈頓距離，N的軌跡為正方形，

所以，只需研究N在上述兩種情況下，軌跡交點到M的曼哈頓距離范圍，

如下圖示，M位于圓/+/=4的右上方，則只需確定直線x+y+-5=0與該圓相切時參數t的范圍,

|f-5|

若一+「=4與尤+了+-5=0相切時，有々4=2,可得”5±2忘，滿足題設，

所以N)e[5-2也,5+2收],即最大值為5+2亞；

(3)由題意，令再=加<0,則4(加,--)，若8(%,歹)，貝!j1(4,5)=|%—力|+|—|,

m加

Z7—Y

對于g(x)=alnx-x,定義域為(0,+8),且g'(x)=----,a>0,

X

當xe(0,a)時,g'(x)>0,g(x)遞增,當xe(a,+co)時，g'(x)<0,g(x)遞減，

綜上，/x)與g(x)的大致圖象如下圖示，/x)在g(x)的左上方位置，

^■\x-m\+\y+—\=n>4,討論N軌跡如下,

m

>m,y>--1時,軌跡為x+y+，

當X—m—n=0,

mm

<m,y>一-L時，軌跡為工一歹一工

當X-m+n=0,

mm

^x<m,y<一-L時，軌跡為x+y+，

-m+n=0,

mm

>m,y<--^時,

當X軌跡為-m-n=0,

mm

問題化為人(X)上僅有一點A,g(x)上僅有一點8,使“4臺)="=4,

首先，求平行于加-"=0且與〃(x)相切于點A直線，

m

由〃(X)=4,貝!I/(加)=]=1,可得加=7(正值舍)，故工(一1,1),

xm

所以，所求切線為x-y+2=0,

其次，保證x-y-L-加一4=0,即x-y-2=0恰好與g(x)相切，求。，

m

此時，若切點8(6,aln6-6),貝!J/⑹=胃=1,即/,=：,故

b2222

綜上，a-a]n—=a-a（\n。-In2）=2,

最后，令。（a）="Q（ln"ln2）且〃>0,

貝！|（p\d）=1-（In（7-In2）-tzx—=In2-In,

a

0＜a＜2時”（。）＞0,9（。）在（0,2）上遞增，

。＞2時0'（。）＜0,。（。）在（2,+8）上遞減,

所以夕（〃）最大值。（2）=2,故a=2,

綜上，a=2時滿足題設要求.

【點睛】關鍵點點睛：第三問，分類討論并結合函數圖象及相關點的曼哈頓距離所得軌跡，將問題化為研

究工一了一工-加一〃=0的平行線與〃（x）、g（x）的關系，并結合函數上的48兩點曼哈頓距離最小值求參數

m

值.

2.（2024?山東?模擬預測）設點集=｛（%，&，%，…,,從集合中任取兩個

不同的點,（%,電，%，…,%），8（配優也，…也），定義/，8兩點間的距離d（43）=ZI%-可.

Z=1

⑴求中1（45）=2的點對的個數；

⑵從集合加；中任取兩個不同的點/,B,用隨機變量X表示他們之間的距離d（4B）,

①求X的分布列與期望；

②證明：當"足夠大時，4D（X）＜〃2.（注：當〃足夠大時，2~"?0）

【答案]⑴12對

⑵①分布列見解析，￡（*）=2胃277P②證明見解析

【分析】（1）根據題意分析可知：A,3有兩個位置的坐標不相等，另一個相等，進而可得結果；

（2）①分析可知X=A;的隨機變量，在坐標（q,%，%，……，見）與倒也，卻……也）中有左個坐標值不同，即

…,剩下力-左個坐標值滿足為=6,,進而可求分布列，結合組合數性質可求期望；②根據方差公式

O（X）=C%[X「E（X）『整理可得。（X）＜K9C+C+…+C）,結合組合數性質分析證明.

k=\2-14_

【詳解】（1）當〃=3時，若d（A,B）=2,可知A,3有兩個位置的坐標不相等，另一個位置的坐標相等，

所以共有C；A；A；=12對.

（2）①由題意可知，加；中元素的個數為2"個，

對于X=A;的隨機變量，在坐標（q,%,%，馮）與仇也也,也）中有左個坐標值不同，

即a,R。，剩下"-左個坐標值滿足a,=bit

此時所對應情況數為C；—2""=C〉2"一種.

2

「kryn-\「k

所以尸（萬二人六號召二三二，

故X的分布列為:

X12n

C：c2C：

pn

T-\2n-\2n-l

c1C?C"c】c?c〃

數學期望￡（X）=lx+2x———d---FHX———=lx———+2x———+————+0，

2"—12"-l2〃一12〃-12M-12〃一1

n\n\

當24左4”時,則應：+（"左+2）C：：fk+2=kx/-+(n-k+2}x________________

k\(n-k)\l7(H-^+2)!(^-2)!

n\n\n\

+

（左一1）!（〃一人）?。ā耙簧?1）!（左一2）!（〃一左+1）!（左一1）!

n-nl

=〃C『

（"-左+1）!（左一1）!

且c；+o=〃=〃C="C，

則E（X）=O+〃xC：+(〃-1)x---+--Fix———,

2"—1'/2〃一12〃一1

兩式相力口得2E(X)=&(C；+C：+C"…+C；；)=產，

2—1Z—1

所以典用=刀二巧；

②當"足夠大時，￡（刀八j

由方差定義。（x）=￡%[x「￡（x）了

因為左＜〃，貝！1（〃一左一（"一斤）?〃=月（左一"）W0,當且僅當左=0或后=〃時，等號成立,

則。（》）＜“*+C+???+&）1n2n2

2W-144

所以4D（X）＜"2.

【點睛】關鍵點點睛：（2）①利用倒序相加法結合比：+（〃-左+2）C丁+2=〃c：T分析求解；②根據方差公

式結合（〃-左）2-（〃-左＞〃40分析證明.

3.（24-25高三上?廣東惠州?階段練習）人臉識別技術在各行各業的應用改變著人類的生活，所謂人臉識別，

就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份，在人臉識

別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用測量距離的方式有3種.設/（占,必），5（x2,y2）,

則歐幾里得距離0（4,8）=-X?J+（%-％y;曼哈頓距離1（45）=歸-x?|+|必-切；余弦距離

e（48）=l-cos（4B）,其中cos（4,2）=cos（。為坐標原點）.

⑴若點M（3/），N（1,3）,求之間的歐幾里得距離D（M,N）,曼哈頓距離d（M,N）和余弦距離e（M,N）；

⑵若點/（3,1）,d（M,N）=2,求e（MN）的最大值；

⑶已知點曲線/:y=x2-6x+8,問曲線/上是否存在點N使得后。（M,N）,若存在，

求e（M,N）的值，若不存在，請說明理由.

2

【答案】⑴"跖N）=2&；d（MN）=4；e（M,N）=-

（3）存在；答案見解析

【分析】（1）由各距離定義代入坐標求解可得；

（2）結合等式分段討論去絕對值作出圖形，結合圖形分析e（M,N）,當＜而，而＞最大時取到最大值，進

而求相應余弦距離可得；

（3）由定義代入坐標化簡不等式后。（”,N）得歸-3|=僅-1|,轉化為直線與拋物線交點求解，

再結合定義求相應余弦距離可得.

【詳解】（1）已知河（3,1）,N（l,3）,則由題意可得歐幾里得距離為D（M,N）=J（3-1）'+（1-3）2=2血；

曼哈頓距離為J（M^）=|3-1|+|1-3|=4.

因為而；=（3,1）,麗=（1,3）,

OM-ON3+3

所以cos(Af,N)=cosOAf,ON=

OM||O2V|VioxVio5

32

則余弦距離為e（峪N）=l-cos（M,N）=l-

⑵設N(x,y),由題意得：d(MN)=|3-x|+2=2,即,_3|+卜_1|=2,

x+y-4x>3,y>1

x—y—2x>3,y<1

由卜_3|+?-1|=，

—x+y+2x<3,^>1

-X-y+4x<3,歹<1

作出|x-3|+|y-l|=2表示的圖形，為如圖所示的正方形/BCD,

其中/(3,-l),2(5,l),C(3,3),D(l,l),

即點N在正方形ABCD的邊上運動，加=(3,1),ON=(x,y)，

?M>B

結合圖形，由e(43)=l-cos(4B)可知,

當cos(M,N)=cos加，而取到最小值時，〈麗，聲〉最大，相應的e(Af,N)有最大值.

因此，點N有如下兩種可能：

①點N為點A時，函=(3,-1),

②點N在線段C。上運動時，此時礪與反=(2,2)方向相同，

取礪=(1,1),則cos"N)=cosOM^ON=4=—.

V10xV25

因為當>：,e(M,N)=l-cos(M,N),

所以e(M,N)的最大值為

(3)設N(x,j),貝！Jd(MN)=|x-3|+|yT|；

D[M,N)="3『+(y_l)2;

22

d(M,N)>42D(M,N),|x_3|+_i|>V2^(x-3)+(y-l).

.-.(|X-3|+|>>-1|)2>2^(X-3)2+(>>-1)2^

.-.(|x-3|-|y-l|)2<0,■■.|^-3|=|y-l|,

y=x—2或歹=—x+4.

聯立

y=-x+4(x=lx=4

聯立解得2或

y=x2-6x+S[7=3y=0

.?.乂（1,3）川2（2,0）,刀3（4,0）川4（5,3）,由M（3,l）,

則cos西西=3,cos西誠=Y—=

5-V10x210

12_3V109A/85

cosOM,ONcosOM,ON,=~r=—―

3VWx4-10J10xJ3485

所以相應余弦距離為

e（MNj=|,e（M,Nj=e（MN3）=l-嚕,e（M,Nj=l-餐?

綜上，曲線7上存在點壽。,3）血（2,0）,華（4,0）血（5,3）,使得同（M,N）,

相應余弦距離e（M,N）的值分別為21_士叵,1_巫,1_巫.

5101085

【點睛】關鍵點睛：解決此題的關鍵是應用定義坐標代入求值化簡，如第（3）問中利用定義得到不等式

22

|x-3|+|y-1|>72^-3）+（7-1）,再平方化簡轉化為V=x-2或y=-x+4,從而將問題轉化為直線與拋

物線的交點問題.

題型03函數中的新定義

【解題規律?提分快招】

函藪薪定義間施二益頻薪薪]而章考虐函藪的桂廟丁行括薊11廠哥德桂廠宿城等丁亙存在如欣西麥靈「

會和導函數，數列等知識進行結合，很好的考慮了知識遷移，綜合運用能力，對于此類問題，一定要解讀

出題干中的信息，正確理解問題的本質，轉化為熟悉的問題來進行解決。

彳麗加綠i

一、解答題

1.（24-25高三上?河北滄州?期中）己知。為坐標原點，對于函數/3=公尿+儀：0除，稱向量弧:=（4,b）

為函數〃x）的相伴特征向量，同時稱函數〃x）為向量兩的相伴函數.

⑴記向量而=（3閩的相伴函數為“X）,若當/（x）=3且xe（一$m時，求x的值；

⑵設g（x）=6cos[x+g]+cos但-x]（xeR）,試求函數g（x）的相伴特征向量0祝，并求出與而同向的

單位向量;

⑶已知場=(o,l)為函數為(X)的相伴特征向量，若在ZUBC中，N8=2,cosC=q：J,若點G為該△/BC

的外心，求元.萬+百?直的最大值.

【答案】⑴]

6

(2)^7=一；W

\227

⑶14

【分析】(1)由相伴函數的定義結合輔助角公式得函數/(X)的表達式，進一步解三角函數方程即可；

(2)利用兩角和差的余弦公式展開合并以及單位向量的定義即可依次得解；

(3)由題意依次得C=2，△/BC外接圓的半徑尺=2,再結合向量的數量積運算即可得解.

【詳解】(1)根據題意知，向量ON=(3,J3)的相伴函數為〃x)=3sin.r+V3cosx=2v3sin(x+一：

6

當/(x)=2百sin(x+力=3時，sin[x+胃=,

\兀兀)>兀|兀兀),[兀兀L,.7T

又XW-￡，￡，則x+^e-才3，所以x+"=w，故x=7

\33J6\b2J636

(2)因為g(x)=V3cos+y+cos=V3^cosxcosy-sinxsin^A71..71

+cosxcos—+sinxsin—,

)66

整理得到g(x)=-sinX+百cosx,故函數g(x)的相伴特征向量的=(-1,@,

則與加一卜1,6恫向的單位向量為?場—(1，拘-]2':]

(3)由題意得，6(x)=cosx,

在△48C中，AB=2,cosC=//(—)=cos—=>因此C=$,

6626

4R

設△43C外接圓半徑為五,根據正弦定理，——=2R=4,故尺=2,

sinC

所以引=可=國=2,

^A^+^CB=GC(GB-GA)+(GA-GCy(GB-GC)

=GCGB