萬有引力與航天專題

（天體質量和密度的計算、變軌問題、雙星和多星問題、天體

的追及相遇問題、不同軌道上衛星各物理量的比較）

60分鐘

考點預策

考點序號考點考向題型分布

考點1萬有引力與航天專考向1:天體質量和密度的計算14單選+4多選

題（天體質量和密

考向2：不同高度重力加速度的計算

度的計算、變軌問

考向3：不同軌道上衛星各物理量的比較

題、雙星和多星問

考向4：變軌問題

題、天體的追及相

考向5：雙星和多星問題

遇問題、不同軌道

上衛星各物理量的考向6：衛星的追及相遇問題

比較）

考點突破

考點。1;萬有引力與航天專題（天體質量和密度的計算、變軌

問題、雙星和多星問題、天體的追及相遇問題、不同軌道上衛

星各物理量的比較）（14單選+4多選）

1.（2024?河南?模擬預測）如圖所示，/、B、C分別表示太陽、水星和地球，假設水星和地球在同一平面內

繞太陽做勻速圓周運動，水星公轉半徑為r,地球公轉半徑為R,此時與2C垂直.水星的公轉周期為工，

地球的公轉周期為4,太陽質量為M，引力常量為G,所有天體均可視為質點，不考慮其他天體的影響，

下列說法正確的是（

D

A.從地球上看，太陽和水星與眼睛連線所成角度的正弦值最大為￡

r

D

C.水星與地球公轉線速度之比為仝

r

D.太陽的質量可表示為〃=

GT；

【答案】B

【詳解】A.從地球上看，太陽和水星與眼睛連線所成角度的正弦值最大為5，故A錯誤;

B.由開普勒第三定律可知

r^_T^_

帚一斤

又知

4=1年

聯立解得

故B正確;

C.由

GMv2

——m=m——

rr

故C錯誤;

D.由

GM4萬2

——m=m——r

r2T；

可得

M=

GT；?

故D錯誤。

故選Bo

2.（2024?山西太原?三模）宇宙中行星A、B的半徑4=2與，各自相應衛星環繞行星做勻速圓周運動，衛

星軌道半徑與周期的關系如圖所示，若不考慮其它星體對A、B的影響及A、B之間的作用力，下列說法正

確的是（）

A.行星A、B的質量之比為1:4B.行星A、B的密度之比為1:2

C.行星A、B的第一宇宙速度之比為1:2D.行星A、B的同步衛星的向心加速度之比為1:8

【答案】C

【詳解】A.根據牛頓第二定律

GMm47r2

——--=m——r

r2T2

解得

則圖像的斜率為

7GM

k=——彳

4萬

又

3

kA±B=R^:R^:2=1:8

故行星A、B的質量之比為

MA:MB=kA:kB=1.-8

故A錯誤；

B.根據牛頓第二定律

GMm47之

解得

M上曾

G年

故行星的密度為

3

4萬2R

EFT西

3

由題意可知，衛星在兩顆行星表面做勻速圓周運動的周期（相等，故行星A的密度等于行星B的密度，故

B錯誤；

C.行星的第一宇宙速度等于衛星在行星表面做勻速圓周運動的線速度，則有

2nR

V'~

則行星A、B的第一宇宙速度之比為

-=4招=1：2

故C正確；

D.同步衛星的相關物理量未知，無法計算加速度比值，故D錯誤。

故選Co

3.（2024?北京海淀?模擬預測）如圖所示，。為地球赤道上的物體，6為沿地球表面附近做勻速圓周運動的

人造衛星，c為地球同步衛星。關于°、6、c做勻速圓周運動的說法中錯誤的是（）

A.a、b、。三物體，都僅由萬有引力提供向心力

B.周期關系為北=4＞看

c.線速度的大小關系為h＜匕＜為

D.向心加速度的大小關系為&

【答案】A

【詳解】A.從C圍繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，。為地球赤道上的物體，由萬有引力

垂直于地軸的分力提供向心力，故A錯誤，符合題意；

B.c為地球同步衛星，。為地球赤道上的物體，兩者的周期與地球自轉周期相等，根據開普勒第三定律有

Tc>Tb

故B正確，不符合題意;

C.c為地球同步衛星，根據

v=5a、c角速度相等，a的軌道半徑小一些，則有

%<匕

"c的軌道半徑大于6的軌道半徑，則C的線速度小于6的線速度，則有

匕＜匕

故C正確，不符合題意;

D.c為地球同步衛星，根據

a=co2ra,c角速度相等，a的軌道半徑小一些，則有

根據

「Mm

Or——二ma

r

則有

a=^-c的軌道半徑大于b的軌道半徑，則c的加速度小于b的加速度，則有

ab>ae>aa

故D正確，不符合題意。

故選Ao

4.（2024?山西?一模）2023年，神舟家族太空接力，"奮斗者”號極限深潛，真正實現了"可上九天攬月，可

下五洋捉鱉"！已知"奮斗者”號在馬里亞納海溝的坐底深度為d（10909m）,空間站離地面的高度為〃（400km）。

假設地球質量分布均勻，半徑為五,不考慮其自轉，且質量均勻分布的球殼對殼內物體的引力為零，則深度

為d處和高度為〃處的重力加速度之比為（）

(R~d)(R+h)2(R+d)(R-h?

A.B.

R3R'

22

R+dR—d

c.D.

R-hR+h

【答案】A

【詳解】設質量為叫的物體在馬里亞納海溝底處，有

「M'm、

G--------4-=m.g,

(R-d)211

又

M'_(R-d)3

M~R3

質量為嗎的物體在空間站上，有

cMm2

=加*2

(R+h)2

解得馬里亞納海溝底處和空間站所在軌道處的重力加速度之比為

gi_(R_d)(R+h)2

R3

g2

故選A。

5.（2024?安徽?模擬預測）2023年9月21日我國神舟十六號航天員在天宮空間站進行第四次“天宮課堂"授

課。若天宮空間站運行軌道視為圓軌道，天宮空間站距地面高度為地球半徑的左倍，繞地球飛行相對地心

轉過0角所用時間是引力常量為G。則地球的密度表達式為（）

A4〃（我+1）34（左+1）336“左+1）3/（后+1）3

A.-----；—D.------------C.--------D.--------

371Go24TTG產4TTG產4兀G4

【答案】B

【詳解】由題意可知天宮空間站運動的角速度為

設地球半徑為R,又r=（l+左）R,地球的質量

4,

M=-upR3

聯立解得地球的密度

3鏟（左+1）3

4兀G/

故選Bo

6.（2024?云南昆明?模擬預測）在太陽系之外，科學家發現了一顆最適宜人類居住的類地行星，繞恒星橙矮

星運行，命名為"開普勒438b"。其運行的周期為地球運行周期的p倍，軌道半徑為日地距離的q倍。假設

該行星繞星的運動與地球繞太陽的運動均可看做勻速圓周運動，則橙矮星與太陽的質量之比為（）

p2qq1//

A.-r-B.——C.-7-D.-z-

qPPq

【答案】B

【詳解】由

G八-Mm=m^4萬r2r

解得

“4萬2

M=——r

GT1T

則橙矮星與太陽的質量之比為

蛆=二受=4

M吟T：p-

故選Bo

7.（2024?陜西西安?模擬預測）行星沖日是指某一地外行星在繞太陽公轉過程中運行到與地球、太陽成一直

線的狀態，而地球恰好位于太陽和地外行星之間的一種天文現象。設地球繞太陽的公轉周期為7,地球環繞

太陽公轉的軌道半徑為大火星環繞太陽公轉的軌道半徑為々，萬有引力常量為G,下列說法正確的是（）

A.太陽的質量為整

GT1

3

B.火星繞太陽公轉的周期為（ZLJT

3

r&T

c.從火星與地球相距最遠到火星與地球相距最近的最短時間為一j~-

2-

3

r^T

D.從某次火星沖日到下一次火星沖日需要的時間為一W

（以一甲）

【答案】D

【詳解】A.設太陽的質量為地球的質量為優，根據萬有引力提供向心力有

「Mm4九2

G-^=myrri

解得

M=-----

GT2

故A錯誤;

B.設火星繞太陽公轉的周期為7,根據開普勒第三定律有

—=G

727，2

解得

3

T中

故B錯誤;

C.地球繞太陽運轉角速度為

2%

——

T

火星繞太陽運轉角速度為

,2%

CD=——

V

從火星與地球相距最遠到火星與地球第一次相距最近的時間為才,則

cot-3t=71

解得

t=WT

22

2（r/-r?）

故C錯誤；

D.設從某次火星沖日到下一次火星沖日，即從火星與地球相距最近到火星與地球第一次相距最近的時間為

f,則有

a>t-cdt=2幾

解得

3

t=玲丁

21

（刀一42）

故D正確。

故選Do

8.（2024?山東煙臺?三模）北京時間2024年1月5日19時20分，我國在酒泉衛星發射中心用快舟一號甲

運載火箭，成功將天目一號氣象星座15-18星（以下簡稱天目星）發射升空，天目星順利進入預定軌道，至

此天目一號氣象星座階段組網完畢。天目星的發射變軌過程可簡化為如圖所示，先將天目星發射到距地面

高度為0的圓形軌道I上，在天目星經過N點時點火實施變軌進入橢圓軌道II,最后在橢圓軌道的遠地點8

點再次點火將天目星送入距地面高度為岳的圓形軌道川上，設地球半徑為R,地球表面重力加速度為g,

則天目星沿橢圓軌道從/點運動到8點的時間為（）

【答案】B

【詳解】根據萬有引力與重力的關系

?Mm

G~^r=ms

在圓形軌道i上，根據萬有引力提供向心力

Mm

(J----------------7尺+外

(火+砧2

橢圓軌道II的半長軸為

2R+

a=-------------

2

根據開普勒第三定律

(7?+/?,)3a3

解得天目星沿橢圓軌道||的周期為

T=￡回+%+2行

22g

天目星沿橢圓軌道從/點運動到B點的時間為

1T_"1(丸+為+2娛

~2l米,2g

故選Bo

9.（2024?湖北?模擬預測）2024年4月25日，神舟十八號載人飛船進入比空間站低的預定軌道，歷經6.5

小時調整姿態后成功與空間站對接，神舟十八號的變軌過程簡化為如圖所示，圓軌道I、III分別為預定軌

道和空間站軌道，橢圓軌道H分別與軌道I、III相切于尸、。兩點，軌道III離地面高度約為400km,地球未

畫出，貝（I（）

A.神舟十八號在軌道I上運行時的向心加速度大于其在地面上靜止時的向心加速度

B.神舟十八號在軌道n上經過尸點時的向心加速度小于經過。點時的向心加速度

C.神舟十八號在軌道II上經過尸點時的速度小于在軌道I上經過尸點時的速度

D.神舟十八號在軌道H上的機械能大于在軌道III上的機械能

【答案】A

【詳解】A.根據

可知神舟十八號在軌道I上運行時的向心加速度大于同步衛星的向心加速度；而根據

a=arr

可知，同步衛星的向心加速度大于地面上的物體的向心加速度，可知神舟十八號在軌道I上運行時的向心

加速度大于其在地面上靜止時的向心加速度，選項A正確；

B.根據

可知，神舟十八號在軌道n上經過尸點時的向心加速度大于經過o點時的向心加速度，選項B錯誤；

c.神舟十八號從軌道I進入軌道n要在P點加速，可知在軌道II上經過尸點時的速度大于在軌道I上經過

尸點時的速度，選項c錯誤；

D.神舟十八號從軌道II進入軌道III要在。點加速，機械能增加，則在軌道H上的機械能小于在軌道III上的

機械能，選項D錯誤。

故選Ao

10.（2024?北京海淀?二模）地球同步衛星的發射過程可以簡化如下：衛星先在近地圓形軌道I上運動，在點

N時點火變軌進入橢圓軌道II,到達軌道的遠地點8時，再次點火進入同步軌道III繞地球做勻速圓周運動。

已知地球半徑為R,同步衛星軌道半徑為八設衛星質量保持不變，下列說法中不正確的是（）

A.衛星在軌道I上和軌道卬上的運動周期之比為彳

B.衛星在軌道I上和軌道n上的運動周期之比為

c.衛星在軌道I上和軌道皿上運動的動能之比￡

R

D.衛星在軌道II上運動經過/點和2點的速度之比為￡

R

【答案】A

【詳解】AB.由開普勒第三定律工=左可得，衛星在軌道I上和軌道III上的運動周期之比為

二=叵

7mV3

衛星在軌道I上和軌道n上的運動周期之比為

A錯誤，符合題意，B正確，不符合題意；

C.由萬有引力提供向心力，衛星在軌道I上可得

G

在軌道III上可得

則有衛星在軌道I上和軌道in上運動的動能之比為

Ekl_r

EkmR

c正確，不符合題意；

D.設衛星在軌道H上運動經過/點的速度為口，在2點的速度為%,由開普勒第二定律可得

1?1

—RVA=—rvR

2J28

解得經過/點和B點的速度之比為

力R

D正確，不符合題意。

故選Ao

11.（2024?河北?三模）有兩顆人造地球衛星A和B的軌道在同一平面內，A、B同向轉動，軌道半徑分別為

r和4廠，每隔時間f會發生一次"相沖"現象，即地球、衛星A和B三者位于同一條直線上，且A、B位于地

球的同側，已知萬有引力常量為G,則到球質量可表示為（）

A”廣，?小亭D.

【答案】D

【詳解】每隔時間f會發生一次"相沖"現象，得

(%-穌"=2"

根據萬有引力提供向心力

聯立解得地球質量為

故選D。

12.若地球半徑為幾把地球看作質量分布均勻的球體。"蛟龍號"下潛深度為力"天宮一號”軌道距離地面

高度為人"蛟龍"號所在處與"天宮一號”所在處的加速度大小之比為(質量分布均勻的球殼對內部物體的萬

有引力為零)()

R^d_伊一.,(RV)(R+獷(R-d)(R+h)

R+hB.g)2C.pD.充

【答案】c

【詳解】設地球的密度為外則在地球表面，物體受到的重力和地球的萬有引力大小相等，有

g=F

由于地球的質量為

4,

M=p-n^

3

所以重力加速度的表達式可寫成

質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，故在深度為d的地球內部，受到地球的萬有引力即為半徑等

于(R—d)的球體在其表面產生的萬有引力，故"蛟龍號"的重力加速度

所以有

g'_R-d

g-R

根據萬有引力提供向心力有

Mm

G西7="”

"天宮一號”所在處的重力加速度為

GM

所以

a一片g'_（R-d）（R+hf

S（R+y~a~便

故選C。

13.（2024?安徽?一模）如圖所示，有兩顆衛星繞某星球做橢圓軌道運動，兩顆衛星的近地點均與星球表面

很近（可視為相切），衛星1和衛星2的軌道遠地點到星球表面的最近距離分別為曲h2,衛星1和衛星2

的環繞周期之比為鼠忽略星球自轉的影響，已知引力常量為G,星球表面的重力加速度為g,。則星球的平

C3A

341-廬

_____\/

B.

2〃G12戶—4

(2\

3gc1-F

_____I/

D.

/1

4TTG4戶一九

【答案】A

【詳解】衛星一、衛星二軌道的半長軸分別為

2R+42氏+4

%—

22

由開普勒第三定律得

=k

整理得

2

R=%-戶〃2

C2、

2人3—1

7

星球表面的重力加速度為g,根據萬有引力提供重力得

G-^=mSc

星球質量的表達式為

M=^-pR3

聯立得

c2\

3&i

3g,1)

P=

4iGR72A

2nGh^k3—\

7

故選A。

14.（2024?山東日照?二模）2021年11月，中科院國家天文臺發布了目前世界上最大時域多星光譜星表，為

科學家研究宇宙中的多星系統提供了關鍵數據支持。科學家觀測到有三顆星A、B、C保持相對靜止，相互

之間的距離均為/,且一起繞著某點做周期為7的勻速圓周運動。已知皿A=M，加B=^C=（G+1）加，不計

其它星體對它們的影響。關于這個三星系統，下列說法正確的是（）

A.三顆星A、B、C的半徑之比為1:1:1

B.三顆星A、B、C的線速度大小之比為亞：1：1

C.若距離/均不變，A、B、C的質量均變為原來的2倍，則周期變為了

D.若A、B、C的質量不變，距離均變為2/,則周期變為后

【答案】B

【詳解】A.由于三顆星保持相對靜止，一起繞著某點做圓周運動，三星角速度與周期相等，根據對稱性,

B、C軌道半徑相等，作出三星運動軌跡，如圖所示

?

對A星體有

(V3+l)m2

cos3d=mo2&

2G/2

對B、C星體，兩星體各自所受引力的合力大小相等,令為F,根據余弦定理有

2(省+1)機22(V3+1)2m2)而JA/~~3+)m2

---------cos120

對B、C星體，兩星體各自做圓周運動，B、C軌道半徑相等，令為RB=仆,=4,則有

F=(+1)加①2/?o

解得

冬=&

凡

可知，三顆星A、B、C的半徑大小之比為力：1：1，故A錯誤；

B.根據線速度與角速度的關系有

v=a)R

三顆星A、B、C的角速度相等，線速度之比等于半徑之比，結合上述可知,三顆星A、B、C的線速度大小

之比為收：1:1，故B正確；

C.距離/均不變，對A星體有

(V3+lp4"

2G—cos3(J—m丁？&

若A、B、C的質量均變為原來的2倍，根據對稱性可知，三星圓周運動的圓心不變，即軌道半徑不變，則

有

4x(G+l)加242

G—――一cos30=R

21l2rp2A

解得

T后

T'=F

即若距離/均不變，A、B、C的質量均變為原來的2倍，則周期變為正7,故C錯誤；

2

D.若A、B、C的質量不變，距離均變為2/,根據對稱性可知，三星圓周運動的圓心不變，即軌道半徑均變

為先前的2倍，則對A星有

（百+1）/

2G^--------<—cos30°=m—.

（2/）2T；

解得

《=2后

即若A、B、C的質量不變，距離均變為2/,則周期變為2亞T，故D錯誤。

故選Bo

15.（2023?福建龍巖?模擬預測）如圖所示，神舟十五號飛船A、空間站B分別沿逆時針方向繞地球的中心O

做勻速圓周運動，周期分別為7/、乃。在某時刻飛船和空間站相距最近，空間站B離地面高度約為400km。

下列說法正確的是（）

A.飛船A和空間站B下一次相距最近需經過時間二T

B.飛船A要與空間站B對接，可以向其運動相反方向噴氣

C.飛船A與空間站B對接后的周期大于地球同步衛星的周期

2

D.飛船A與空間站B繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑之比為["]

【答案】AB

【詳解】A.設飛船A和空間站B下一次相距最近需經過時間為t,則有

解得

耳2

XT

故A正確;

B.飛船A要與空間站B對接，需點火加速，可以向其運動相反方向噴，故B正確;

C.空間站B離地面高度約為400km,根據開普勒第三定律可知飛船A與空間站B對接后的周期小于地球同

步衛星的周期，故C錯誤;

D.根據開普勒第三定律有

T；2T-

解得

T-

飛船A與空間站B繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑之比為（黃尸,故D錯誤；

故選ABo

16.（2024?湖南衡陽?模擬預測）宇宙中有一孤立星系，中心天體周圍有三顆行星，如圖所示。中心天體質

量遠大于行星質量，不考慮行星之間的萬有引力，三顆行星的運動軌道中，有兩個為圓軌道，半徑分別為不

弓，一個為橢圓軌道，半長軸為在加時間內，行星n、行星Ui與中心天體連線掃過的面積分別為

星、邑。行星I的速率為W，行星II在3點的速率為,行星H在E點的速率為丫2￡，行星III的速率為丫3,

下列說法正確的是（）

A.Sf

B.行星II與行星III的運行周期相等

C.行星II與行星III在尸點時的加速度大小不相等

D.v2E<v3<vl<v2B

【答案】BD

【詳解】AB.根據開普勒第三定律可知，對于行星n、行星iii分別有

由于。=%，所以4=心，即行星n和行星ni的周期相等，假設加為一個周期，則它們與中心天體的連線掃

過的面積分別為橢圓的面積和圓的面積，根據幾何關系可知，橢圓的面積小于圓的面積，故B正確，A錯誤;

c.行星II與行星ni在尸點時距離中心天體的距離相等，根據牛頓第二定律有

即二者的加速度大小相等，故C錯誤;

D.根據萬有引力提供向心力可得

因此有

當行星從1變軌到n時，運行半徑增大，需要在8點加速，因此有

匕<V2B

行星在軌道II上從3點到￡點，與中心天體的距離增大了，動能轉化為重力勢能，因此有

V2B>V2E

行星在E點的速度均，小于行星在E點能夠繞中心天體做勻速圓周運動所需的速度喔，由于七>彳，根據萬

有引力定律可得

"2E<匕<匕<V2B

故D正確。

故選BDo

17.（2024?重慶?模擬預測）如題圖所示，P、Q恒星構成的雙星系統，一顆質量為加，另一顆質量為2加，兩

星均視為質點且距離保持不變，均繞它們連線上的。點做勻速圓周運動。軌道平面上的觀測點廠相對于O

點靜止，連續兩次出現P、Q與。、產共線的時間間隔為九僅考慮雙星間的萬有引力，引力常量為G。則

()

p

A.恒星Q的質量為2冽

TT

B.恒星P圓周運動的角速度為工

t

C.任意時間內兩星與。點的連線掃過的面積相等

4Ga產1

D.恒星P、Q之間的距離為（絲L）3

71

【答案】ABD

【詳解】AB.設恒星P、Q的質量分別為叫、加2,做圓周運動的軌跡半徑分別為弓、4,且兩恒星之間的

距離為根據題圖可知4＞々，而根據題意可得

T