空間向量與立體幾何（知識點+題型）

知識點

知識點01：空間向量的有關概念

1、空間向量的有關概念

幾類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0

單位向量模為1的向量稱為單位向量

相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為-a

相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量

2、空間向量的表示

表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：

（1）幾何表示法：用有向線段48來表示，A叫向量的起點，8叫向量的終點；

（2）字母表示法：用a,。,：表示.向量口的起點是A，終點是B，則向量a也可以記作48,其模記為,或從用.

知識點02：空間向量的加法、減法運算

1、空間向量的位置：已知空間向量a,6,可以把它們平移到同一平面1內，以任意點。為起點，作向量。4=a，

OB=b

2、空間向量的加法運算（首尾相接首尾連）：作向量AC=b，則向量OC叫做向量。力的和.記作a+b,即

OC=AC=a+b

3、空間向量的減法運算（共起點，連終點，指向被減向量）：向量癡叫做a與萬差，記作a-b，即

BA=OA—OB—a—b

4、空間向量的加法運算律

（1）加法交換律：a+b=b+a

（2）加法結合律：a+b+c=a+（b+cj

知識點03：空間向量的數乘運算

1、定義：與平面向量一樣，實數4與空間向量a的乘積彳。仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算.

2、數乘向量彳。與向量a的關系

X的范圍Aa的方向助的模

2>0X。與向量）的方向相同

2=02a=0，其方向是任意的|Aa|=|A\\a\

2<0與向量￡的方向相反

知識點04：共線向量與共面向量

1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量

或平行向量，若a與》是共線向量，則記為a//。.

2、共線向量定理：對空間任意兩個向量a,b（6w0）,ab的充要條件是存在實數4,使a=46.

3、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量.

4、共面向量定理：如果兩個向量a,。不共線，那么向量p與向量共面的充要條件是存在唯一的有序實數對（x,y）,

使p=xa+

5、空間共面向量的表示

如圖空間一點尸位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對（x,y）,使AP=xAB+yAC.

或者等價于：對空間任意一點。，空間一點尸位于平面ABC內（P,A,B,C四點共面）的充要條件是存在有序實

數對（x，y）,^OP=OA+xAB+yAC,該式稱為空間平面ABC的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間

一點及兩個不共線向量唯一確定.

6、拓展

對于空間任意一點。，四點P,CAB共面（其中C,A3不共線）的充要條件是。尸=xOC+y04+zOB（其中

x+y+z=1）.

知識點05：空間兩個向量的夾角

1、定義：如圖已知兩個非零向量a/,在空間任取一點。，作OA=a，OB=b，則么NAO3叫做向量a,匕的夾

角，記<a/〉.(特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角)

?>J?”一?

0bBobB

11

2、范圍:<a,b>e[。,句.

jr

特別地，(1)如果<a,6>=],那么向量a,b互相垂直，記作

(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為"，故<a,6〉=0(或

<a,b〉=//6(a,b為非零向量).

3、拓展(異面直線所成角與向量夾角聯系與區別)

若兩個向量a,6所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為夕，

--JI

⑴向量夾角的范圍是0?a,b><^,異面直線的夾角0的范圍是0<夕<3，

71

(2)當兩向量的夾角為銳角時，e=<a,b>-,當兩向量的夾角為,時，兩異面直線垂直；當兩向量的夾角為鈍角時，

3=71—<a,b>.

知識點06：空間向量的數量積

1、定義：已知兩個非零向量a，b>則|a|g|cos<a,b〉叫做a,b的數量積，記作即

a-b=\a\\b\cos<a,b>.規定：零向量與任何向量的數量積都為0.

特別提醒：兩個空間向量的數量積是數量，而不是向量，它可以是正數、負數或零；

2、空間向量數量積的應用

⑴利用公式|a|=J荔可以解決空間中有關距離或長度的問題；

a.h

(2)利用公式cos<a/>=-----可以解決兩向量夾角，特別是兩異面直線夾角的問題；

\a\\b\

3、向量a的投影

①如圖(1),在空間，向量a向向量方投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面a內，進而

?b.

利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量C，c=|a|cos<a,b>—向量c稱為向量a在向量》上的投影

向量.類似地，可以將向量a向直線/投影(如圖(2)).

②如圖(3),向量a向平面夕投影，就是分別由向量a的起點A和終點8作平面夕的垂線，垂足分別為A，B'，得

到49,向量4?稱為向量a在平面夕上的投影向量.這時，向量a，49的夾角就是向量a所在直線與平面夕

所成的角.

⑴

4、空間向量數量積的幾何意義：向量a，》的數量積等于a的長度|a|與》在a方向上的投影161cos<a,?！档某?/p>

積或等于b的長度|〃|與a在6方向上的投影|。|<?05<。,匕〉的乘積.

5、數量積的運算：

(1)(Aa)■b=A(a-b),AeR.

(2)ZB=?3(交換律).

(3)a-(6+c)=a-b+a-c(分配律).

知識點07：空間向量基本定理

1、空間向量基本定理

如果向量三個向量a,b,c,不共面，那么對空間任意向量p,存在有序實數組任,y,z｝,使得p=xa+乃+zc.

2、基底與基向量

如果向量三個向量成仇C,不共面，那么所有空間向量組成集合就是｛。|。=必+乃+2",%2?7?｝.這個集合可看

作是由向量a,。,c,生成的，我們把｛a,b,c｝叫做空間的一個基底a,0,c,都叫做基向量.

3、單位正交基底

如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1,那么這個基底叫做單位正交基底，常用｛，,/,左｝表

示.

4、正交分解

由空間向量基本定理可知，對空間任一向量：，均可以分解為三個向量刀，yi>zk使得。=x，+y/+zk.像這

樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.

知識點08：空間向量的正交分解及其坐標表示

1、空間直角坐標系

空間直角坐標系及相關概念

⑴空間直角坐標系:在空間選定一點。和一個單位正交基底｛，,//｝，以。為原點,分別以i,j,k的方向為正方向，

以它們的長為單位長度建立三條數軸：》軸、》軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐

標系Oxyz.

(2)相關概念：。叫做原點，i",左都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為。孫平面、

0yz平面、O玄平面，它們把空間分成八個部分.

2、空間向量的坐標表示

①空間一點的坐標：在空間直角坐標系。xyz中，左為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量。4,且

點A的位置由向量。4唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x,y,z),使。4=xi+y/+zh

在單位正交基底憶/，曷下與向量。4對應的有序實數組(％y,z)叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作

A(x,y,z),其中x叫做點A的橫坐標，》叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標.

②空間向量的坐標：在空間直角坐標系。孫z中，給定向量a，作。4=a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序

實數組(x,y,z),使。=xi+yj+zk.有序實數組(羽y,z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，上式可簡記作

a=(x,y,z).

知識點09：空間向量運算的坐標表示

1、設a=(%,a2,%)力=(伉，瓦,b3),空間向量的坐標運算法則如下表所示:

運算坐標表示

加法

〃+/?=(%+%a2~\~b2,a3~\~b3)

減法a-b-{ax-bpa2一b2,a3一b3)

數乘

2許Aa2,Aa3),2G7?

數量積a-b=a^-\-a2b2+a3b3

2、兩個向量的平行與垂直

。二(％,a2,&),b=(bpb2,b3)

=Xb{

平行(ab)ab(bw0)=a=勸=<a2=Ab2(2GR)

%=勸3

垂直(a_Lb)a_LZ?OQ?萬=。0%4+。2%+"3b3=°(均非零向量)

3、向量長度的坐標計算公式

2

右a=(&a2,a3),則|a|=a『==Qa；+a,+的?'即|a|=J+a；+

空間向量長度公式表示的是向量的長度，其形式與平面向量長度公式一致，它的幾何意義是表示長方體的體對角線

的長度

4、兩個向量夾角的坐標計算公式

0bl+ab+ab

設。二(%,a,%)力二(知b,b),貝！|cosva,B>=12233

223Ia||b|荷+芯+d業;+公

5、兩點間的距離公式

已知A,NJ,，%,）,則%=|AB\=J（々-/『+（1一方+億一方

6、中點坐標公式

設點P（x,y,z）為6（X1，%,Z1）,￡（%2，%，22）的中點，則＜y=M+%

知識點10:用向量表示點、直線、平面的位置

1、用向量表示點的位置：

在空間中,我們取一定點。作為基點，那么空間中任意一點尸就可以用向量OP表示.我們把向量OP稱為點P的位

置向量.如圖.

/、0/

2、直線的方向向量

如圖①,a是直線I的方向向量,在直線/上取AB=a,設P是直線/上的任意一點，則點P在直線I上的充要條件是存

在實數J使得AP=ta,即4P=/AB

3、空間直線的向量表示式

如圖②，取定空間中的任意一點。，可以得到點P在直線/上的充要條件是存在實數t，使OP=04+必①

或OP=OA+/713②

①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知，空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.

圖②

4、用向量表示空間平面的位置

根據平面向量基本定理，存在唯一實數對（羽丁），使得AP=xa+yb,如圖；取定空間任意一點。，空間一點尸位

于平面ABC內的充要條件是存在實數X,y,使0P=Q4+xAB+yAC.

知識點11：平面的法向量及其應用

1、平面法向量的概念

如圖，若直線，取直線I的方向向量a,我們稱a為平面a的法向量；過點A且以a為法向量的平面完

全確定，可以表示為集合{P|a-AP=O}.

/

2、平面的法向量的求法

求一個平面的法向量時，通常采用待定系數法，其一般步驟如下:

設向量：設平面a的法向量為”=（x,y,z）

選向量：選取兩不共線向量A3,AC

Yi'AB=0

列方程組：由列出方程組

n-AC=O

n-AB=0

解方程組：解方程組

ri'AC=0

賦非零值：取其中一個為非零值（常取±1）

得結論：得到平面的一個法向量.

知識點12：空間中直線、平面的平行

設直線心4的方向向量分別為a，b，平面a，夕的法向量分別為“，加，則

線線平行1140ab=〃=Ab(2￡R)

線面平行a0a_Ln0a?〃=0

面面平行aPonm=Am

知識點13：空間中直線、平面的垂直

設直線4的方向向量為。=（4也,01）,直線，2的方向向量為》=（。232，。2），平面a的法向量〃=（%,必*1）,平面

夕的法向量為機=（%2，%，22），則

線線垂直J-l2=a-b=0o%%+b1b?+qc2=0

%=Xx{

線面垂直乙J_a0an=a=X”='偽=H

q=2zj

面面垂直a'〃_L相=7z?m=0=西々+yxy2+=0一

知識點14：點到線面距離

1、點到直線的距離

已知直線/的單位方向向量為“，A是直線/上的定點，P是直線/外一點.設=則向量4P在直線/上的投

影向量，在R/AAPQ中，由勾股定理得：AP|2-|AQ|2=y|a-(a-u)2

AQ=(GM)MPQ=

2、點到平面的距離

如圖，已知平面a的法向量為〃，A是平面a內的定點，P是平面a外一點.過點P作平面戊的垂線/,交平面a

于點。，則”是直線/的方向向量，且點P到平面a的距離就是4戶在直線/上的投影向量。P的長度.

PQ=|AP.—1=||=|AP'；Z|

\n\\n\\n\

知識點15：用向量法求空間角

1、用向量運算求兩條直線所成角

已知。，6為兩異面直線，A,C與B,。分別是a,6上的任意兩點，a,6所成的角為，，則

ACBD

①cos<AC,BD>=

\AC\\BD\

\ACBD\

②cos0=|cos<AC,BD>|=7-------

AC\-\BD\

2、用向量運算求直線與平面所成角

設直線/的方向向量為a，平面a的法向量為“，直線與平面所成的角為8,a與〃的角為。，則有

①COS（P=-----

■IIm

②sin8=|cosd='&.（注意止匕公式中最后的形式是：sin。）

\a\-\u\

u

A4。

g-------/

3、用向量運算求平面與平面的夾角

如圖，若24_L。于A,于2,平面242交/于E,則NAEB為二面角。一/一分的平面角，NAE2+NAP2=180。.

若々力2分別為面尸的法向量

①cos<n.,n^>=—!~=—

一1411%I

②cose根據圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；

若二面角為銳二面角（取正），貝底05。=|85<4,“2〉1；

若二面角為頓二面角（取負），貝底05，=一|（：05<4，〃2>1；

題型

畬題型一：空間向量線性運算................................................................11

畬題型二：向量共面與四點共面..............................................................14

畬題型三：用基底表示向量..................................................................17

畬題型四：空間向量基本定理求數量積、模長、夾角..........................................20

畬題型五：空間直角坐標系...................................................................25

畬題型六：空間向量的平行、垂直運算.......................................................27

畬題型七：空間向量的數量積、模長、夾角運算..............................................29

畬題型八：空間向量的投影向量..............................................................34

畬題型九：異面直線所成角..................................................................36

多題型十：線面角...........................................................................41

多題型H^一：二面角、平面與平面所成角.....................................................48

畬題型十二：點到線的距離...................................................................57

畬題型十三：點到面的距離...................................................................61

畬題型十四：折疊問題.......................................................................66

畬題型十五：探索性問題.....................................................................77

【題型一：空間向量線性運算】

一、單選題

1.（23-24高二下?甘肅?期中）在空間四邊形ABCQ中，E,尸分別為BC,CQ的中點，則+AC）=（）

A.—EFB.BDC.EFD.-BD

【答案】C

【分析】根據給定條件，利用空間向量運算計算即得.

【詳解】在空間四邊形43C。中，E為5c的中點，則A2+AC=2AE,

所以4尸一（（/18+4（7）==

故選：C

2.（24-25高二上?廣東茂名?期中）在平行六面體ABCD-AMGA中，.="，AD=b,/見=右，。是8,與百。

的交點，以他14｝為空間的一個基底，則直線。4的一個方向向量為（）

A.——Z?+cjB.](a+6+e)C.—ct+b+cD.—a—b~\~c

2

【答案】A

【分析】由向量的線性運算即可得到答案.

【詳解】o\=|cA=1(CB+CD+CC1)=1(-a-Z?+c)

故選：A.

3.(24-25高二上?四川成者B?階段練習)如圖，在平行六面體A5cZ)-AgCD中，AB—AD+=()

;2_________G

AB

UUU

A.AC]B.*C.DB,D.DyB

【答案】c

【分析】根據空間向量線性運算法則計算可得.

【詳解】AB-AD+AAl=AB+AAl-AD=ABl-AD=DBl.

故選：C.

4.（24-25高二上?福建福州?階段練習）如圖，空間四邊形OABC中，OA=a,03=b,OC=c,且OM=2MA,BN=NC,

則MN=（）

C

;

A

211111

A.——a+—b7+—cB.—a+—b7——c

322222

22112.1

C.——a+—7b+—cD.—a——b+—c

332232

【答案】A

【分析】根據題意，得到ON=；（O3+OC）,再由ON=2M4,可得0M=|

OA,結合MN=ON-OM,即可求解.

【詳解】因為BN=NC,可得ON=；（OB+OC）,

2

又因為OM=2M4,可得。"=一。4,

3

]2211

所以MN=ON-OM=-（0B+0C^--0A=-^a+-b+-c.

故選：A.

5.(23-24高二上?山東青島?期末)已知四面體Q4BC中，04=a,O5=A,OC=c,OM=4MA(X>0),N為5c中點,

^MN=--a+-b+-c,貝！M=()

422

A.3B.2C.—D.—

23

【答案】D

211

【分析】根據空間向量的運算法則，化簡得到MN=-丁，a+：6+：c,結合題意，列出方程，即可求解.

1+/L22

11211

【詳解】根據題意，利用空間向量的運算法則，可得：MN=ON-OM=-（OB+OC）---OA=----a+-b+-c

21+21+222f

因為腦v=—］，所以7^7=；，解得力=；.

44_LI/L*J

故選：D.

【題型二：向量共面與四點共面】

一、單選題

1.（24-25高三上?上海?開學考試）關于空間向量，以下說法錯誤的是（）

A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面

B.若a-b>0,則a與b的夾角是銳角

C.已知向量°、b、c是不共面的向量，則2。、b、c-a也是不共面的向量

112

D.若對空間中任意一點0,^OP=-OA+-OB+-OC,則P,A,B,C四點共面

【答案】B

【分析】A由空間向量的概念及性質判斷；B注意同向共線的情況；C由向量共面定理判斷；D根據空間向量共面

的推論判斷.

【詳解】A：若三個空間向量有兩個向量共線，而空間中任意兩個向量是共面的，故共線的兩個向量必與第三個向

量共面，對；

B：對于兩個同向共線的非零向量也有但它們的夾角為0度，不是銳角，錯；

C：若2a、b、c-a是共面的向量，貝!I存在c-a=+且

顯然無解，所以2“、b、c-a是不共面的向量，對；

112112

D：由五+^+]=1，5.OP=—OA+—OB+—OC,根據空間向量共面的推論知P,A,B,C四點共面，對.

故選：B

2.(24-25高二上?重慶?期中)在空間中，若向量〃2),&=(1,2,3),C=(1,3,M)共面，則加二()

4511

A.—B.—C.—D.6

322

【答案】c

【分析】根據向量共面則存在唯一的尢〃使得c=4a+〃b,列出等式計算可得結果.

【詳解】若向量。=。,0,-2),b=(1,2,3),c=(L3,m)共面，則

c=/la+?=4(1,0,-2)+2,3)=(4+〃,2〃,一24+3〃)=(1,3,m),

2=--

4+4=12

3

即2〃=3,解得：<〃二一

2

-22+3/z=m

11

m=一

2

故選：C

3.(24-25高二上?江蘇無錫?期中)設｛。也。｝為空間的一個基底，OA=2a+3b+5cOB=a+2b-2c，OC=ka+b+3c，

若OA，OB，0c共面，貝壯=()

A.-B,-C.-

423

【答案】D

【分析】根據向量共面定理列方程，解方程組即可.

【詳解】由已知OA,OB，0C共面，

貝!J可設0C=MM+y08,

即如+6+3C=x^2a+3b+5c)+y(a+26-2c),

1

x=—

2x+y=k2

1

即3x+2y=1,解得o=一"

5x-2y=3

k=>

4

故選：D.

4.(24-25高二上?山東?期中)若｛a,Ac｝構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是()

A.b+c,b,b—cB.a+b,a,a—b

C.a+b,a—2b,cD.a+b,a+b+c,c

【答案】c

【分析】根據共面向量定理判斷.

【詳解】A選項，6=+共面；

22

Ba+b=2a—（d—b）,；

C選項，若存在羽ywR,使得＜?=雙0+萬）+?。?-2萬）=（%+y）〃+（x-2y防，貝!|〃/,c共面，與已知矛盾，所以假設

錯，不共面.

D選項，a+b+c=(a+b)+c,共面.

故選：C.

121

5.（24-25高二上?湖北?期中）如圖，在正四棱臺A3CO-ABC2中，AB=2^^￡=-AB,DF=-DA,A1G=-AA.

AM

直線AG與平面E/G父于點M,則K=（）

A.—B.—C.—D.—

23161917

【答案】A

【分析】設AM=XAG，通過",G,瓦產四點共面，即可求解.

13

【詳解】依題意，AF=-AD,AG=-AA.,在四棱臺中，

1143

ACl=AAl+AlCl=AAi+AiBi+AiDi=AAl+-AB+-AD=-AG+AE+-AF9

43

設411=九4￡,貝！++M,G,2方四點共面，

/.-2+2+-2=1,.\2=—.

3223

故選：A

6.（24-25高二上?河南周口?階段練習）在正三棱錐P-ABC中，B4=AB=3,點M滿足

PM=xPA+yPB+（2-x-y）PC,則AM的最小值為（）

A.偵B.76C.蛔D.2任

55

【答案】B

【分析】根據題意，延長尸AP5PC至點。使得PD=2PA,PE=2PB*PF=2PC,得到

PM=，D+￥pE+（J-y）PF,結合空間向量的共面定理，得到M,AE,尸四點共面，把A到平面。跖的距離

222

轉化為點尸到平面。跖的距離的一半，結合正四棱錐的性質，即可求解.

【詳解】如圖所示，延長PA,PB,PC至點D,E,F,使得PD=2PA,PE=2PB,PF=2PC,

所以PM=xPA+yPB+（2-無一yjPCn^PD+IPE+^I^P/，

又由二+上+生。）=1,所以及廣四點共面，

222

所以40的最小值，即為點A到平面。屏的距離，

因為點A是PO的中點，則點A到平面DEF的距離是點P到平面DEF的距離的一半，

又因為PD=PE=PF=DE=DF=EF=6,所以三棱錐P-DEF為正三棱錐，

取等邊處尸的中心為。，連接。。尸。，可得尸0_L平面DEb，

所以P。即為點P到平面DEF的距離,

在等邊..DEF,因為DE=DF=EF=6,可得。。=2若，

在直角P8中，可得尸0=<PD。-DO2=擊2-（2月了=2底，

即點P到平面。斯的距離為2n，所以AM的最小值為布.

【題型三：用基底表示向量】

一、單選題

1.（24-25高二上?重慶?階段練習）下列可使短，b,e構成空間的一個基底的條件是（）

A.a=mb+ncB.a,b,c兩兩垂直

C.I41=1Z?1=1c|=1D.a+b+c=0

【答案】B

【分析】判斷三個向量是否共面即可得.

【詳解】選項AD中，三個向量a,b,c一定共面，選項C中，a,6,c可能共面，只有選項B中，a,b,c一定不共面,

故選:B.

2.（23-24高二下?甘肅臨夏?期末）如圖，在平行六面體ABCD-AB'C力中，點E,尸分別為A3,的中點，則斯=

22

C.--AB+-AA+-AD

222

D.-AB+-AA'+-AD

222

【答案】A

【分析】利用空間向量的線性運算即可得到結果.

【詳解】在平行六面體A8CD-ABC力中，點E,F分別為AB,加'的中點,

111——

貝!］族=母+人方=——AB+AD+DF=——AB+AD+-AA.

222

故答案為：A.

2

3.（24-25高二上?安徽黃山?期中）如圖，在三棱錐O—ABC中，。4=/。6="0。=°,瓦）=35。,石是線段40的

中點，貝IJOE=（）

11,1

A.-a+-b+—cB.-a+—b+-c

236623

111

C.—a+—b7+—cD.44+坊

362263

【答案】D

【分析】連接0。，利用向量的線性運算可求得結果.

【詳解】連接0D,因為E是線段AD的中點，所以OE=^OA+^OD,

22212

因為3￡>=；8C,所以OD=OB+BD=OB+gBC=OB+g（OC—OB）=gOB+gOC,

所以OE=lOA+LoD」OA+Ulo2+2oc］」OA+LoB+』OC=La+4+』c.

2222（33）263263

故選：D.

4.（24-25高二上?山東棗莊?期中）若｛"；詞是空間的一個基底，且｛q+e；,e；+e”q+引不能構成空間的一個基

底，貝此=（）

A.-1B.1C.0D.-2

【答案】A

【分析】分析可知存在x,ywR,使得6+色=［6+92）+乂，+63）,結合空間向量基本運算求解.

【詳解】因為卜,e；,e?｝是空間的一個基底，可知61+6*2+63,q+色均不為零向量，

若不能構成空間的一個基底，則存在蒼ywR,使得6+/=無k;+e；）+y（e；+e3）,

x=1

可得,x+y=O,解得/=_1.

y=t

故選：A.

5.（24-25高二上?湖北?期中）在空間直角坐標系中，0為坐標原點，若0408,OC是空間不共面的三個向量，則可

以與向量。4+02和向量OA-O8構成空間一個基底的向量是（）

A.OAB.OBC.0CD.BA

【答案】C

［分析］利用共面向量的基本定理可判斷出OA^OA+OB>OA_Q5共面，OB、OA+OB>OA-OB共面，BA、OA+OB^

Q4-O8共面，然后利用反證法與共面向量的基本定理可證得OC、OA+OB>OA-OB不共面，即可得出結論.

［詳解］因為0A=；（0A+08）+g（0A-08）,=+,

故。A、OA+OB-04-08共面，OB、OA+OB>OA-08共面，故AB錯誤；

因為A2=O2-OA=-（OA-O2）,即鉆、OA+OB>OA-O8共面，故D錯誤；

假設0C、OA+OB>OA-OB共面，貝!］存在實數優、n,使得0c=〃2（04+06）+“（04—02）,

所以，OC=（m+n）OA+（m-n）OB,則Q4、OB、0C共面，與題設條件矛盾，

故假設不成立，即OC、OA+OB>OA-O8可構成空間向量的一組基底，故C正確.

故選：C

【題型四：空間向量基本定理求數量積、模長、夾角】

一、單選題

1.（24-25高二上?廣東東莞?階段練習）在棱長為1的正方體ABCD-ABIGR中，點M為棱CG上任意一點，則

AMBC=（）

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】A

【分析】基底法結合數量積的運算律和正方體的性質即可求解.

【詳解】如圖，在正方體ABC。-A冉GR中，M為棱CG上任意一點，

JMCM-CCiAV0W4W1,

所以AM.BC=（AC+CM〉8C=（AB+AO+/LAA）AO=A。2=|何=1.

故選：A.

2.（24-25高二上?貴州六盤水?期中）在空間四邊形Q4BC中，OA=a，OB=b，OC=c，且⑷W=2MC,BN=2NO,

則MN=()

112122

A.——a+—bz+—cB.——a+—Zb——c

333333

212112

C.——a+—b7——cD.——a+—7b——c

333333

【答案】D

【分析】以OA=a，OB=b，OC=c為基底，根據空間向量的加減運算，表示出府，即得答案.

【詳解】由題意知在空間四邊形。4BC中，OA=a'OB=b，OC=c，且AM=2MC,BN=INO，

21

貝!jMN=MA+AO+ON=-§AC-Q4+§O5

=--(OC-OA\-OA+-OB=--OA+-OB--OC

3、73333

1172

=——a+—b——c,

333

故選：D

3.(23-24高一下?吉林延邊?階段練習)平行六面體ABC。-A與G2中

AB=AD=l,AAi=2,ZBAD=^,ZBAA,=ZDAA]=|,IJllJ=()

A.76B.6C.y/2D.V2+1

【答案】A

【分析】先表達出加LYB+AD+",兩邊平方后，利用空間向量數量積運算法則得到明2=6,從而求出模

長.

【詳解】由題意得

,,-2/\2-2-2.2

故BQ=^-AB+AD+AA]j=AB+AD+9-2AB-AD-2.AB-A^+^AD-AA1

7171

=1+1+4—0—2x1x2cos—F2x1x2cos—=6,

33

故畋卜面.

故選：A

TT

4.（24-25高二上?江蘇南通?階段練習）在棱長均為1的三棱柱ABC-4B|G中，ZA.AB=Z^AC=-,則異面直線A片

與BG所成角的余弦值為（）

A.逅B.且C.逅D.也

6633

【答案】A

【分析】先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底

表示，最后利用夾角公式求異面直線A片與BG所成角的余弦值即可.

【詳解】如圖，設胡=右，AB=a,AC=b，棱長均為1

111

貝J]a?b=_b'c=_fa?c=一,

22f2

AB{—a-\-c9BCX-BC+BBX=b—a+c,

二.AB{-BCX=(a+c)?(Z?-a+c)

=a'b-az+a-c+b-c—a-c+c2

=a'b—a2+b-c-\-c2

=--1+^+1=1,

22

|ABX|=+cl=Jl+1+1=y/39

|BCt|=?b-a+c￥=Vl+1+1-1-1+1=&,

4Vg1：.

/.cos<ABBC

X1IAB,I-IBC,IV2x^/36

.,?異面直線A與與BG所成角的余弦值為四.

6

故選：A.

5.（24-25高二上?山東煙臺?期中）在平行六面體ABC。-AB'C'D'中，底面ABC。是正方形，NA'AB=NA'AD=60。,

AB=2,4T=4,M是棱的中點，AC與平面AMD交于點H,則線段A月的長度為（）

A.@B.迪C.72D.還

232

【答案】A

【分析】根據向量的線性運算，結合模長公式可得IHC1=2后，利用共面定理，即可求解2=9得解.

4

【詳解】在平行六面體ABCD-AB'C'D中，取=AD=b，AAl=c,

AB=2,AA'=4,ZA,AB=ZA'AD=60°,

IfUA'C=A'A+AB+BC=-AA'+AB+AD=a+b-c