特訓(xùn)10立體幾何中的截面問題(七大題型)

方法歸納

用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個(gè)幾何體的截面.此平面與幾何體表面的交集

(交線)叫做截線.

1.作截線與截點(diǎn)的主要根據(jù)：

(1)確定平面的條件.

(2)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過此點(diǎn)的一條直線.

(3)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).

(4)線面平行的性質(zhì)定理。

(5)如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行.

2.立體幾何圖形中有關(guān)截面的做法：

①若已知兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點(diǎn)，就可以得到截面與多面體的一個(gè)面的截線。

②若面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二個(gè)確定的點(diǎn)；

③若兩個(gè)已知點(diǎn)分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個(gè)相鄰平面的交線與截面的交點(diǎn)。

④面面平行的性質(zhì)定理。

⑤若有一點(diǎn)在面上而不在棱上，則可通過作輔助平而找出棱上的交點(diǎn)；

若已知點(diǎn)在體內(nèi)，則可通過輔助平面找出面上的交點(diǎn)，再找出棱上的交點(diǎn).

正方體的基本斜截面:

銳危三角形等腰三角形

(1)(2)

題型歸納

目錄:

?題型01：三棱柱

?題型02：四棱錐

?題型03：棱臺

?題型04：側(cè)棱垂直于底面

?題型05：正方體、長方體

?題型06：其他多面體

?題型07：三棱錐

?題型08:折疊問題

?題型01：棱柱（含正方體）

1.（2023?遼寧撫順?模擬預(yù)測）在直四棱柱/BCD-431GA中，底面/BCD為平行四邊形，AB=2亞,

BC=544=4,cosZABC=~-過點(diǎn)B作平面截四棱柱所得截面為正方形，該平面交棱。。于點(diǎn)

10

,MD

跖則9r（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】先結(jié)合截面為正方形，借助中位線轉(zhuǎn)化得到尸4M20c的關(guān)系，再利用余弦定理分別求解底

面對角線NC,2D,然后由垂直關(guān)系及截面正方形，借助長度相等，利用勾股定理建立尸40c的方程組，求

解轉(zhuǎn)化即得所求比值.

如圖，設(shè)截面分別交44-C。于點(diǎn)p,Q,

連接P。，BM,設(shè)交點(diǎn)。'，連接ZC,M）,設(shè)交點(diǎn)。,

由已知截面為正方形，則O'是氏W,尸。的中點(diǎn)，

底面48CD為平行四邊形，則。是BO,/C的中點(diǎn),

又PAHBB、,BBJ/CQ,則尸///C。，

則OO'是ABDM的中位線，也是四邊形PNC。的中位線.

設(shè)尸4=x,CQ=y,

^MD=2OO'=PA+CQ=x+y,

^PB2=BQ2,得犬+8=/+5,

化簡得尤?+3=必(*),且x<y,

由直四棱柱48co-451GA知，4/_L平面48cD,

又/Cu平面N8C7),則Z/_L/C

則四邊形PACQ為直角梯形.

由得cosN3CD=回，

1010

在△BCD中，由余弦定理得助2=5+8-2x石x20x巫=9,

10

解得8。=3,同理可得/C=JT7,

如圖，在直角梯形尸NCQ中，在C0上取點(diǎn)S,使CS=/P=x,

則QS=y-x.

由8M2=尸02,^MD-+BD-^PS1+QS2^AC1+QS-,

即(x+?+9=(了-才+17,化簡得孫=2,

與（*）聯(lián)立，解得x=l,>=2,

所以"0=3,貝!=

驗(yàn)證知，此時(shí)四邊形為為正方形，滿足題意.

DM?

fflil------=3

JD、M

故選：B.

2.（2023?江西贛州?模擬預(yù)測）在直四棱柱池CD-4片GA中，底面/BCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱

?4=3,E是3C的中點(diǎn)，尸是棱CG上的點(diǎn)，且CF=；CG，過4作平面￡，使得平面a〃平面/￡凡則

平面C截直四棱柱/BCD-4月G。，所得截面圖形的面積為（）

A.-B.—C.3D.M

22

【答案】A

【分析】根據(jù)四棱柱的幾何性質(zhì)以及面面平行的判定定理求解.

如圖，取綜￡的中點(diǎn)在3月上取一點(diǎn)X,使得=月，連接如上圖,

則A.MHAE,HMHEF,AXMCW=M,AE[\EF=E,AXM,HMu平面AXHM,

4E1,E/u平面/EF,.,.平面4￡尸//平面4HM；

即過4點(diǎn)平行于平面/斯的平面截四棱柱48co-44GA的圖形是三角形4HM,

其中=口耳=1,4H=V5,AtM=&,MH=血,

3

cosNM4H=4"+/#-HM=士1sinNMV/=\s,M?=^A.MA.HsinZMA.H=-,

11

2?A\M?A\H552ii'2

故選：A.

3.（2024?安徽安慶?三模）在正方體/3CD-44GA中，點(diǎn)瓦尸分別為棱/民/。的中點(diǎn)，過點(diǎn)瓦尸，。三

點(diǎn)作該正方體的截面，則（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱8巴的交點(diǎn)是棱8月的一個(gè)三等分點(diǎn)

c.4C,平面GE尸

D.平面48Q]//平面GE尸

【答案】B

【分析】將線段E尸向兩邊延長，分別與棱C8的延長線，棱的延長線交于G,”,連GG,。〃分別與棱

BPBG1

網(wǎng),交于尸,。，可判斷A；利用相似比可得右=亍=”可判斷B；證明4CL平面BCQ即可判斷

CCjCrCJ

C；通過證明4C,平面/耳。，可判斷D.

【解析】對于A,將線段E尸向兩邊延長，分別與棱C8的延長線，棱。的延長線交于G,4,

連GG,。”分別與棱8片,交于尸,0,得到截面多邊形GPEFQ是五邊形，A錯(cuò)誤；

對于B,易知△/跖和ABEG全等且都是等腰直角三角形，所以68=/尸=！5。，

2

BPBG\BP1

所以方T="=即■"=￡，點(diǎn)尸是棱8及的一個(gè)三等分點(diǎn)，B正確；

CCjCrC3￡)￡)1J

對于c,因?yàn)?月，平面8CG4，8Gu平面8CC4,所以44,gq,

又BCJBC,44nge=耳，44,gCU平面4耳。，所以平面4&C，

因?yàn)?CU平面44C,所以4CL8C],同理可證4CL8。，

因?yàn)?。門8。]=8,8。,8。1<=平面8。]。，所以4CL平面BCQ，

因?yàn)槠矫媾c平面。刀尸相交，所以4c與平面GEF不垂直，C錯(cuò)誤；

對于D,易知BCJIAD\,BD/IBQ1,所以&C，，4"，

又ADXcBR=，,AD1,BRuABR,所以4C，平面ABXD},

結(jié)合C結(jié)論，所以平面CHF與平面N42不平行，D錯(cuò)誤.

故選：B.

?題型02：棱錐

4.（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測）在三棱錐尸-NBC中，AC=BC=PC=2,S.AC1BC,PC±ABC,過

點(diǎn)尸作截面分別交/C,BC于點(diǎn)瓦尸，且二面角P-跖-C的平面角為60。，則所得截面的面積最小值

為（）

【答案】B

【分析】由二面角的定義可得尸GC=60。，從而尸G=&8,CG=38,設(shè)CE=a,CF=b,由三角形的面積

33

Q

相等和基本不等式得到成再由三角形的面積公式即可求解.

【解析】過戶作尸GLEF,垂足為G,連接CG,則由三垂線定理可得斯，CG,

/尸GC即為二面角尸-EF-C的平面角，

APGC=60°,PC=2,所以PG=*,CG=1,

33

設(shè)CE=a,CF=b,則EF=^a2+b2，

在三角形CE尸中，ab=—sja2+b2,

3

又正八國,所以ab士空向=4叵,

33

所以必2],〃=6=蛀時(shí)等號成立，

33

所以三角形尸跖的面積為Lx述義”7^二仍

233

Q

故截面PEF面積的最小值為］.

故選：B.

5.(2024?廣西?模擬預(yù)測)在三棱錐k-N8C中，3%,平面E4C,VA=\,AB=AC=也,ZVAC=~,

點(diǎn)尸為棱上一點(diǎn)，過點(diǎn)廠作三棱錐憶-N3C的截面，使截面平行于直線KB和/C,當(dāng)該截面面積取得

最大值時(shí)，CF=()

AMV17新V13

A.-----DR.-----U.---JnJ.-----

3423

【答案】C

【分析】通過作平行線作出題中的截面，并結(jié)合線面平行以及線面垂直說明其為矩形，利用三角形相似表

示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定截面面積取得最大值時(shí)參數(shù)的值，解直

角三角形即可求得答案.

【解析】根據(jù)題意，在平面E4c內(nèi)，過點(diǎn)尸作斯〃/C,交PC于點(diǎn)E；

在平面EBC內(nèi)，過點(diǎn)￡作EQ〃⑵，交3C于點(diǎn)。；

在平面以3內(nèi)，過點(diǎn)下作E0〃出，交4B于點(diǎn)、D,連接。。，如圖所示，

因?yàn)樗笴,則△心設(shè)其相似比為左，即一=—=—=k,

則EF=Ck;

歷

又因?yàn)橐?1,AC=y/2,cosZVAC=—,

2

由余弦定理得，rC=jl+2-2xlx逝x^=l,則%C2+%42=/C2,

即FC_LE4.

又平面以C,VC,以u平面以C,所以BKLFC,BVLVA.

又AB=也,則3%=1,BC=①.

因?yàn)椤?〃出，則△4TO-4NE8,則一=—=—,

AVABVB

AFVA-VF,,b,、，F(xiàn)DAF,,口一八，，

因?yàn)?------=\-k,所以==\-k,BPnFD—1—k,

VAVAVBVA

同理可得。E=1-左，即。￡=ED,

因?yàn)镕D//VB,則￡0〃即，

故四邊形EFD0為平行四邊形；而E0u平面EFOQ,E8a平面瓦哨。,

故阿〃平面￡陽。，同理/C//平面￡尸。0,

即四邊形EED0為截面圖形；

又平面"C,防u平面E4C,則

又FD〃VB,所以尸D_LEF.

故平行四邊形跖。。為矩形，貝！IS矩形.=次尸。=岳?（1-左）=-血［心力+與，

1W1

所以當(dāng)A=5時(shí)，S矩物的2有最大值?，貝1」叩=左"=5，

在RtACiy中，CF=y/cV2+VF2=./1+^=—.

V42

故選：C.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先作平行線作出題中的截面，再證明四邊形瓦也＞0為符合題意的截面圖形，結(jié)合線面

平行以及線面垂直說明四邊形￡陽。為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達(dá)式,

利用二次函數(shù)求出最值得解.

6.（2023?陜西西安?模擬預(yù)測）在三棱錐尸-/3C中，側(cè)面為C是等邊三角形，底面N8C是等腰直角三角

形，AB1BC,/C=PB=10,點(diǎn)“，N,E分別是棱E4,PC,的中點(diǎn)，過M,N,E三點(diǎn)的平面a截

三棱錐P-N8C所得截面為。，給出下列結(jié)論：

①截面。的形狀為正方形；

②截面。的面積等于生但；

2

③異面直線R4與BC所成角的余弦值為農(nóng)；

4

④三棱錐尸-/BC外接球的表面積等于彳°兀.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①④B.②③C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)三棱錐P-/BC的幾何特征，取BC的中點(diǎn)為尸，利用線面垂直的判定定理即可證明截面。的

形狀為正方形，且其面積等于25,即①正確，②錯(cuò)誤；利用平面向量數(shù)量積以及余弦定理可求出異面直線

也與所成角的余弦值為交，可知③正確；利用垂直關(guān)系找出外接球球心位置，計(jì)算出半徑即可得④正

4

確.

【解析】取8c的中點(diǎn)為尸，連接EF,NF,

因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱尸區(qū),PC,48的中點(diǎn)，所以MV//4C,EFHAC,可得MN//EF；

又MN=、AC=5,EF=-PB=5,即AGV=EF；

22

所以廠四點(diǎn)共面，且四邊形好為平行四邊形，

取/C的中點(diǎn)為。，連接PD,BD,如下圖所示：

易知L/C,又是等腰直角三角形，且48/8C,所以=可得8OLZC；

又PDcBD=D,PRADu平面，所以/C_L平面尸AD；

易知P8u平面P8O,可得ZC_LP8；

又MEIIPB,EFHAC,所以尸，

旦ME=NF=%B=5,所以四邊形為正方形，

2

即截面。的形狀為正方形，所以①正確；

由正方形面積公式可知，四邊形跖VM的面積為5x5=25,即②錯(cuò)誤；

設(shè)PA=a,PB=S,PC=c>可得BC=c-b>

^yVXPA-BC=a-[c-b^=a-c-ba,

易知q-c=lOxlOxcos60°=50>a-b=10x10xcosZAPB

在△尸45中，PA=10,PB=10,AB=56,所以cos//一1°十"一[后）:40■=3,可得

2x10x102004

a-b=lOxlOxcos/APB=75;

a-c—b-a50—751y/2

所以3（加10=^^=1^=一季=一7，

所以異面直線期與8C所成角的余弦值為也，即③正確；

4

易知PD=5#>,BD=5,尸8=10,所以可得尸。_LBD；

又PD1AC,且8Dc/C=。，8￡）,/Cu平面NBC,

所以PD_L平面/BC,

又尸Du平面上4C,所以平面上4C_L平面48C；

所以可得外接球球心。在尸。上，設(shè)。。=力，半徑為五,

貝lJ/+52=（5百一=及2,解得〃=孚，尺=苧；

所以三棱錐尸-/3C外接球的表面積等于4成2=?*即④正確；

所有正確結(jié)論的序號是①③④.

故選:C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于球外接幾何體的問題，首先根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用線面垂直判定定理等確

定球心位置，再利用半徑相等列出等量關(guān)系即可計(jì)算出半徑的大小.

?題型03：棱臺

7.（23-24高三上?河北廊坊?期末）如圖所示，正四棱臺/BCD-4與GA中，上底面邊長為3,下底面邊

長為6,體積為電1,點(diǎn)E在/。上且滿足。E=2/￡,過點(diǎn)￡的平面&與平面O/C平行，且與正四棱臺

2

各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（）

A.772B.8啦C.3G+4后D.4有+4友

【答案】D

【分析】首先過點(diǎn)4作于點(diǎn)”，結(jié)合已知得/〃=逆，由棱臺體積公式得4?=逑，由勾股

22

定理得44=癡不而=3,再求出力9的長，最終根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得解.

【解析】如圖所示,

過點(diǎn)4作4〃，/c于點(diǎn)a,因?yàn)?G=3也,AC=6枝,

所以

2

則四棱臺的高為4H，則四棱臺的體積為:(32+62+3x6)xA,H=與2,

22

解得//=孚，所以側(cè)棱長為AAX=^AH+AXH=3.

如圖所示:

過。于點(diǎn)尸，/G，/。于點(diǎn)G,連接幺2,

6-33

由對稱性可知DF=AG=——=—,GF=44=3,

22

39

所以北為一片于

而DDX=AAX=3,

所以L>F=H=當(dāng)

所以NR=—+—=3A/3,同理=/'=3右,

44

分別在棱DC,DDX上取點(diǎn)N,M,使得DN:NC=DM:MD、=2:1,

易得ME=NM=—AR=26,EN=—AC=4g,

33

所以截面多邊形的周長為4百+4后.

故選：D.

8.(22-23高三下?浙江紹興?開學(xué)考試)在正棱臺48co-44G2中，=24用,/4=6，屈為棱3c中

點(diǎn).當(dāng)四棱臺的體積最大時(shí)，平面”3。截該四棱臺的截面面積是()

A.巫B.3亞C.巫D.6夜

42

【答案】C

【分析】根據(jù)正四棱臺的體積公式、結(jié)合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公式進(jìn)行求解即

可.

【解析】設(shè)/5=244=4X,上底面和下底面的中心分別為Q,。，該四棱臺的高j。="，A.HLAC.

在上下底面由勾股定理可知，17(M2+(2X)2=^X,AO=^7(4x)2+(4.r)2=272x.

2222

在梯形中，A1A=AH+A[H?=>3=^2y[2x—^20+h=>h=3—2x,

所以該四棱臺的體積為憶=:(16》2+/^口？+4，卜=]，〃，

匚ur、i“278422,278422(、.2\784(x~+x~43-2x2

所以,2=——x2-x2-h^=——x2-x2-3-2r2k_.-------------,

991尸9(3)

當(dāng)且僅當(dāng)/=3-2/,即x=l時(shí)取等號，止匕時(shí)/8=4,44=2,0,0=1.

取G2的中點(diǎn)N,連接2W、ND,顯然有MNUD昌"DB,MVu平面N3CD,

8。u平面48cD,所以血W〃平面48cD,因此平面就是截面.

顯然MN=；B\D[=6,BD=46.,

在直角梯形。1”石。中，ME=+(OE-OlM^=Vl+1=V2,

因此在等腰梯形BgCB中，MB=^ME2+EB-=J2+4=*>，

同理在等腰梯形AGCO中，DN=R,

在等腰梯形AffiDN中，MFI/DN,MGLBD,

她MF=病腳=4血-血=36,

所以梯形皿斷的面積為與逑x^=乎

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)基本不等式求出體積最大值，結(jié)合線面平行判定定理判斷截面的形狀是解題的關(guān)

鍵.

9.（22-23高二上?湖北荊州?階段練習(xí)）用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截得的棱臺上、下底面積

之比為1:4,已知截去的棱錐的頂點(diǎn)到其底面的距離為3,則棱臺的上、下底面的距離為（）

A.12B.9C.6D.3

【答案】D

【分析】

根據(jù)棱錐的性質(zhì)，用平行于棱錐底面的平面截該棱錐，截面與底面為相似多邊形，面積比為相似比的平方,

以此可得棱錐的高，進(jìn)而得到棱臺的高.

【解析】???截去小棱錐的高為3,設(shè)大棱錐的高為隊(duì)

根據(jù)截面與底面為相似多邊形，面積比為相似比的平方，

則3?:*=1：4,..."=6,

.??棱臺的高是6-3=3,即棱臺的上、下底面的距離為3.

故選：D.

?題型04：圓柱

10.（2022?河南新鄉(xiāng)?三模）已知一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐的軸截面分別為正方形與正三角形，且正方形與正三

角形的邊長相等，則該圓柱的體積與圓錐的體積的比值為（）

A.V3B.272C.2A/3D.出

【答案】C

【分析】設(shè)正方形與正三角形的邊長為2,則可求出圓柱和圓錐的體積，從而可求得答案

【解析】設(shè)正方形與正三角形的邊長為2,

則圓柱的體積為力XFX2=2",

圓錐的體積為包，

33

所以圓柱的體積與圓錐的體積的比值為2G.

故選：C

11.（23-24高二上?遼寧?階段練習(xí)）如圖，某圓柱的軸截面N3CO是邊長為2的正方形，P,。分別為線段

BC,/C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為罰上一點(diǎn)，且2￡=1,則尸。+尸￡的最小值為（）

。/'

?X

3G3亞

~T~F

【答案】c

【分析】根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征采用將ABCE沿直線2C旋轉(zhuǎn)到某個(gè)位置的方法，將線段和轉(zhuǎn)化為一條線段的

長度問題，結(jié)合求解線段長度即得答案.

【解析】如圖，連接EC,將ABCE沿直線2C旋轉(zhuǎn)到ABCE的位置，

'BE

E

且在N3的延長線上.則

7T

由于圓柱的軸截面45cZ）是邊長為2的正方形，故/B4c=/BC4=—,AEf=AB+BE1=2+1=3,

ff

則PQ+PE=PQ+PE>EQf當(dāng)Q,P,/三點(diǎn)共線時(shí)取等號,

當(dāng)￡0,4。時(shí)，EQ最小,最小值為4月飛吊4=逑，

42

即尸。+PE的最小值為豆1,

2

故選：C

12.（23-24高三上?陜西?階段練習(xí)）已知某圓柱的軸截面是邊長為2的正方形/BCD,在該圓柱的底面內(nèi)

任取一點(diǎn)E,則當(dāng)四棱錐后-/BCD的體積最大時(shí)，該四棱錐的側(cè)面積為（）

A.1+V2+A/5B.1+2V2+V5

C.1+V2+2V5D.V2+2V5

【答案】B

【分析】根據(jù)棱錐體積公式以及正方形438的面積為定值確定E點(diǎn)在底面上的位置，求出相關(guān)線段長,

根據(jù)棱錐側(cè)面積公式即可求得答案.

【解析】如圖，設(shè)圓柱的底面圓心為。，E為該底面上一點(diǎn)，底面半徑為1,

E

四棱錐體積VE_ABCD=^SABCD-d,其中d為E到NO的距離，

因?yàn)檎叫?BCD的面積為定值2義2=4,

所以當(dāng)E為石的中點(diǎn)時(shí)，連接。￡,此時(shí)OE為四棱錐E-4BCD的高，高最大,

此時(shí)四棱錐E-4BCD體積最大，

則/￡_LOE,OE_L,OE=1,AE=DE=C，BE=CE=物+（回■=痣，

設(shè)圓柱的另一底面圓心為。一連接。也，則且=J（病2一產(chǎn)=石,

此時(shí)四棱錐￡一/8。￡1側(cè)面積為S=!4D-OE+L42./E+i-CD-DE+l-^COE

2222

=—x2x1H—x2x+—x2x+—x2x=1+26~,

2222

故選：B

?題型05：圓錐

13.（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）已知軸截面為正三角形的圓錐W的高與球。的直徑相等，則圓錐

的體積與球。的體積的比值是.

【答案】f

【分析】設(shè)圓錐W的底面半徑為r,球。的半徑為R,由題意可得2A=/?=技，結(jié)合體積公式運(yùn)算求解.

【解析】設(shè)圓錐MM'的底面半徑為r,球。的半徑為幾

因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，可知圓錐7W的高力=6廠，

貝1|27?=〃=G廠，即R=火廠，

2

1八

可得圓錐W的體積匕=卜兀屋后=三兀/,

44

球。的體積匕=-7LR3=-KX

33

V33

V——Tir2

所以廣3

拒33

——Tir

2

故答案為：I".

14.（22-23高二上?上海浦東新?期中）如圖，圓錐。的軸截面是一個(gè)面積為1的等腰直角三角形，C為弧

上的一點(diǎn)，ZCPB=45°,￡為線段尸8上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+OE的最小值為（）

D,立+

A.V2B.V3C.2

2

【答案】B

【分析】將空間圖形進(jìn)行翻折變化到同一平面，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求解.

【解析】

pC

將APBC翻折到平面尸48內(nèi)，得到如圖所示平面四邊形OBC'P,

因?yàn)?^尸/一尸2=1,所以尸/=尸3=血，

所以O(shè)尸=CM==1，所以ZBPO=45。,

又因?yàn)镹CP2=45。,所以翻折后的圖形中NOPC'=90°,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，CE+OE的最小值為OC=^OP2+PC2=73,

故選:B.

15.(23-24高二上?北京?期中)已知圓錐的底面半徑為26，高為2,S為頂點(diǎn)，A,3為底面圓周上的兩

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是.

①圓錐的體積為8兀；

②圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為岳；

③圓錐截面SAB面積的最大值為46；

④若圓錐的頂點(diǎn)和底面上的所有點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則此球的體積為學(xué)兀.

【答案】①②④

【分析】根據(jù)題意求出圓錐的母線長，體積，側(cè)面展開圖的弧長，軸截面的面積，外接球體積，即可得出

結(jié)論.

【解析】???圓錐的底面半徑r=2囪，高為〃=2,

..?圓錐的母線長SA=SB=y/r2+h2=《2團(tuán)+2?=4,

112

二圓錐的體積k兀X(26『X2=8TT,①正確；

設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為c,貝127ix2jj=ax4,a=百兀，②正確；

當(dāng)圓錐截面”8為圓錐的軸截面時(shí)，止匕時(shí)"=S2=4,N3=4AQ,

則cosZASB="+板-次

又N4ffie（0,兀）,

2SASB

2兀

,\ZASB=—

3

-JT

則當(dāng)=不時(shí)，圓錐截面&48面積的最大，

此時(shí)S“sB=；-S4S4sin4S8=gx4x4xl=8,故③錯(cuò)誤；

圓錐的頂點(diǎn)和底面上的所有點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，即為圓錐的外接球,

設(shè)圓錐的外接球半徑為五,

由球的性質(zhì)可知尺2=①一尺『+產(chǎn)，即尺2=(2-及y+(26『,

解得R=4,

所以外接球體積％=：成兀x4;等，④正確.

故答案為：①②④.

?題型06：球

16.（2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測）對球面上的三個(gè)點(diǎn)，每兩個(gè)點(diǎn)之間用大圓劣弧相連接，所得三弧圍成的球

面部分稱為“球面三角形”，這三個(gè)弧叫做球面三角形的邊.若半徑為2的球的球面上有一個(gè)各邊長均為兀的

球面三角形，則該球面三角形的面積為（）

42

【答案】A

【分析】確定球面三角形與球表面積的關(guān)系，可求球面三角形的面積.

【解析】設(shè)球面三角形N3C.

因?yàn)榍虻陌霃綖?,所以大圓周長為4兀，求的表面積為4兀x2?=16兀.

因?yàn)榍蛎嫒切蔚母鬟呴L均為兀，所以N/O8=N/OC=/8OC=9CP.

以。為球心，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：

則球面三角形45。的面積就是球面在第一卦限內(nèi)的部分，根據(jù)對稱性，球面三角形45C的面積為球面面積

的為,X4TIX22=2兀.

88

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：確定乙4。5=44。。=/8。。=9。后，關(guān)鍵是弄清楚球面三角形的面積和整個(gè)球的

表面積之間的數(shù)量關(guān)系.

17.（2024?江西宜春?模擬預(yù)測）在正六棱柱4BCQE尸-48￡。1%片中，AA{=2AB=2,。為棱441的中

點(diǎn)，則以。為球心，2為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（）

A.1H----3--7J1B.2H------71

37

C.-平卜D,[2+^].

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，作圖，分別求出球面與正六棱柱各個(gè)面所交的弧線的長度之和，可計(jì)算得到答案.

【解析】因?yàn)榍颉５陌霃綖?,所以球O不與側(cè)而/班及側(cè)面/助4相交，

連接。。1，/￡,必”4片.由題得。4=1，4G=44=6.所以。。=2,

所以球。與側(cè)面BCC圈交于點(diǎn)G，c,與側(cè)面或隹用交于點(diǎn)心，E.

在正六邊形4耳中，易得4G1￡2,因?yàn)镃G，平面4出?*￡,4Gu平面.

所以cq_L4G,又G2ncq=GC2,ccxu平面CDD、C、,

所以4cli平面CQDC，即OGI平面CDDC，且OG=6，又亞7左=1，OH=OC\=OC=2.

所以球O與側(cè)面CDDC的交線為以cq為直徑的半圓，同理可得球O與側(cè)面的交線為以E4為直徑

的半圓.

兀

由題易得/耳4G=2,則球。與上底面4片。。圈廳及下底面N3COE廠的交線均為1二個(gè)半徑為百的圓.

36

所以球面與該正六棱柱各面的交線總長為2x7^1+2x7x236=2+二二兀.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)球。的半徑為2,判斷球。只與側(cè)而CD。?及側(cè)面皮＞。&，上底面44G片

及下底面48co跖相交.

18.（23-24高二上?四川德陽?階段練習(xí)）已知正三棱錐/-BCD的外接球是球。，正三棱錐底邊8C=3,

側(cè)棱48=26，點(diǎn)E在線段助上，且BE=DE，過點(diǎn)石作球。的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（）

史,3兀C」里,4兀］D.隹,4兀

A.B.[271,3K]

444

【答案】D

【分析】設(shè)△BCD的中心為。?,球。的半徑為R,在RtzX。。。中，利用勾股定理求出五，余弦定理求出。也,

再由勾股定理求出過點(diǎn)E作球。的截面，當(dāng)截面與0E垂直時(shí)，截面的面積最小，當(dāng)截面過球心時(shí),

截面面積最大.

【解析】如下圖，設(shè)△BCD的中心為。一球。的半徑為R,

連接OQ,OD,OXE,OE,則

22

OXD=3sinyx|=6,/。=yjAD-OxD=3,

在RtZkOQD中，T?2=（V3）2+（3-7?）2,

3

解得R=2,所以。。］=/。］—R=l,因?yàn)樗浴！?1,

在ADEO［中，O［E=卜班）-2x^3xcos-^=~^,

所以CE=招工+C0；=［,過點(diǎn)￡作球。的截面，

當(dāng)截面與。￡垂直時(shí)，截面的面積最小，

此時(shí)截面的半徑為-。加=之,則截面面積為7TX（3］=-71,

24

當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大，最大面積為4兀.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是過點(diǎn)￡作球。的截面，當(dāng)截面與。￡垂直時(shí)，截面的面積最小，當(dāng)

截面過球心時(shí)，截面面積最大.

?題型07：組合體

19.（21-22高二上?湖南?期中）從一個(gè)底面圓半徑與高均為2的圓柱中挖去一個(gè)正四棱錐（以圓柱的上底

面為正四棱錐底面的外接圓，下底面圓心為頂點(diǎn)）而得到的幾何體如圖所示，今用一個(gè)平行于底面且距底

面為1的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形的面積為（）

A.4?—4B.4%C.4TI-2D.2萬一2

【答案】c

【分析】先求出截面截圓柱所得的圓面的面積，再求出截面截正四棱錐所得的正方形的面積，從而得出答

案.

【解析】截面圖形應(yīng)為圓面中挖去一個(gè)正方形，且圓的半徑是2,

則截面圓的面積為：47

設(shè)正四棱錐的底面正方形邊長為。，貝1]2/=16,所以a=2行

正四棱錐的底面正方形的面積為（2行『=8

由圓錐中截面的性質(zhì)，可得圓面中挖去一個(gè)正方形與正四棱錐的底面正方形相似

設(shè)圓面中挖去一個(gè)正方形的面積為S',正四棱錐的底面正方形為S

q's'1

則幺=幺=上，從而S'=2

S84

所以截面圖形的面積為4萬-2.

故選：C.

20.（2022?陜西西安?模擬預(yù)測）“牟和方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和

諧優(yōu)美的幾何體，它是由兩個(gè)相同的圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾

何體（如圖1）.如圖2所示的“四腳帳篷”為“牟和方蓋”的上半部分，點(diǎn)。為四邊形48CD的中心，點(diǎn)尸為“四

腳帳篷”的“上頂點(diǎn)”，OP=1.用平行于平面ABCD的平面?去截“四腳帳篷”，當(dāng)平面?經(jīng)過0P的中點(diǎn)時(shí),

截面圖形的面積為.

圖1圖2

【答案】3

【分析】根據(jù)對稱性，可得截面￡的形狀為正方形，利用勾股定理得正方形的邊長即可求得面積.

【解析】根據(jù)對稱性，可得截面&的形狀為正方形.

D

取中點(diǎn)￡,CD中點(diǎn)F,可知截面￡尸尸為半圓.

截面a與弧EP交于點(diǎn)與尸O交于點(diǎn)N,N為尸。中點(diǎn)，

1A

所以NO=—,MO=PO=1,由勾股定理可得

22

所以截面正方形的邊長為?義2=有，故其面積為（省/=3.

2

故答案為：3

21.（2021?全國?模擬預(yù)測）如圖，正八面體R45co。的棱長為2,點(diǎn)E,F,〃分別是尸/,PB,的

中點(diǎn)，則過￡,F,〃三點(diǎn)的平面。截該正八面體所得截面的面積等于

p

【答案】—

2

【分析】由班V//3得EF〃平面48。，同理口〃平面CZ)P,進(jìn)而得

到平面a〃平面ABQII平面CDP,結(jié)合正八面體的對稱性可知截面是

邊長為1的正六邊形，求出面積即可.

【解析】F,H分別是尸/,PB,8c的中點(diǎn)，

EFIIAB,又EFO平面ABQ,ABu平面ABQ,

EFH平面.同理得FHH平面CDP.

又平面ABQH平面CDP,EFTFH=F,

：.平面a〃平面ABQ//平面CDP.

設(shè)平面a與C0相交于點(diǎn)則“M//8。，

故M為C。的中點(diǎn).同理得平面a也過。。，的中點(diǎn)，

結(jié)合正八面體的對稱性，得截面是邊長為1的正六邊形，

其面積S=x1x1xsin60°^x6=~~-

故答案為：述

2

【點(diǎn)睛】確定多面體截面的關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)，有了位于多面體同一表面上的

兩個(gè)截點(diǎn)即可連接成截線，從而求得截面.而截線與截點(diǎn)的主要依據(jù)主要有：

(1)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過此點(diǎn)的一條直線.

(2)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).

(3)如果一條直線平行于一?個(gè)平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條

直線就和交線平行.

（4）如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行.

22.（23-24高三上?云南昆明?階段練習(xí)）正方體/3CD-44GA的棱長為2,/是棱片。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含

端點(diǎn)），則兒〃+MG的最小值為（）

A.4B.2+41C.V6+V2D.275

【答案】C

【分析】將繞C4翻折至與ACBC共平面，當(dāng)A,M,G共線時(shí)，跖4+MQ最小.

【解析】由正方體的性質(zhì)可得為等邊三角形，邊長為2亞，

ACQG為等腰直角三角形，其直角邊長為2,

將下圖中AACBI繞CB,翻折至與ACQG共平面，

因?yàn)镃4=M=/q=2收，CCX=BXCX=2,所以A,M,Q共線時(shí),

跖4+MG最小，此時(shí)可為5中點(diǎn)，則M4+MG最小值為0+指.

故選：C

23.（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖，S-N8C是正三棱錐且側(cè)棱長為“，兩側(cè)棱&4,SC的夾角為30。,E,尸

分別是S4SC上的動(dòng)點(diǎn)，則三角形2跖的周長的最小值為（）

A.缶B.6aC.45aD.aa

【答案】A

【分析】通過展開平面以及勾股定理求得正確答案.

【解析】把正三棱錐沿S3剪開并展開，形成三個(gè)全等的等腰三角形：ASBC、ASCA、ASAB',

則N8S4=/8SC=ZASr=30°,ZBSB'=90°,

連接83',交SC于尸，交加于￡,

則線段83'就是48跖的最小周長，又SB=SB'=a,

根據(jù)勾股定理，SB2+SB'2=BB'2=2a2,BB'=>/2a.

故選:A

24.（23-24高三下?全國?階段練習(xí)）如圖，在三棱錐尸一N8C中，AB=BC=42,BA1BC,PA=PB=PC=1,

點(diǎn)〃是棱3c上一動(dòng)點(diǎn)，則9+M4的取值范圍是（）

A.）6+26,4B.[2+V2,4]

C,嚴(yán)+94〕D,嚴(yán)+舊2+目

2J[2

【答案】A

【分析】把平面P3C展開，判斷出當(dāng)河與C重合時(shí)，PN+M4最大；PM+M4的最小值為4P,利用余弦

定理即可求解.

【解析】如圖所示，把平面P8C展開，使/、B、C、P四點(diǎn)共面.

c

當(dāng)M與3重合時(shí)，PM+MA=2+垃<4;

當(dāng)M與C重合時(shí)，尸M+M4=2+2=4最大；

連結(jié)/P交3C于河|,由兩點(diǎn)之間直線最短可知，當(dāng)W位于時(shí)，PM+M4最小.

所以cosNABP=cos-+ZCBP=-sinZCBP=--—.

由余弦定理得：AP^ylAB2+BP--2ABBP-cosZABP

所以PA/+M4的取值范圍為46+2幣,4.

故選：A.

25.（2024?福建漳州,一模）如圖，石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿的一種機(jī)械，通常由兩個(gè)

圓石做成.磨是平面的兩層，兩層的接合處都有紋理，糧食從上方的孔進(jìn)入兩層中間，沿著紋理向外運(yùn)移,

在滾動(dòng)過兩層面時(shí)被磨碎，形成粉末.如果一個(gè)石磨近似看作兩個(gè)完全相同的圓柱體拼合而成，每個(gè)圓柱

體的底面圓的直徑是高的2倍，若石磨的側(cè)面積為64兀，則圓柱底面圓的半徑為（）

A.4B.2C.8D.6

【答案】A

【分析】設(shè)圓柱底面圓的半徑為r>0,則圓柱的高為「，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.

【解析】設(shè)圓柱底面圓的半徑為廠＞0，則圓柱的高為r,

則石磨的側(cè)面積為2x27trxr=647t,解得廠=4.

故選：A.

26.（21