第14講拋物線【題型歸納目錄】題型一：拋物線的定義題型二：求拋物線的標準方程題型三：拋物線的綜合問題題型四：軌跡方程題型五：拋物線的幾何性質題型六：拋物線中的范圍與最值問題題型七：焦半徑問題【知識點梳理】知識點一：拋物線的定義定義：平面內與一個定點和一條定直線（不經過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．知識點詮釋:（1）上述定義可歸納為“一動三定”，一個動點，一定直線；一個定值（2）定義中的隱含條件：焦點F不在準線上，若F在上，拋物線變為過F且垂直與的一條直線.（3）拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關系，在解題時常與拋物線的定義聯系起來，將拋物線上的動點到焦點的距離與動點到準線的距離互化，通過這種轉化使問題簡單化.知識點二：拋物線的標準方程拋物線標準方程的四種形式：根據拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，。知識點詮釋：①只有當拋物線的頂點是原點，對稱軸是坐標軸時，才能得到拋物線的標準方程；②拋物線的焦點在標準方程中一次項對應的坐標軸上，且開口方向與一次項的系數的正負一致，比如拋物線的一次項為，故其焦點在軸上，且開口向負方向（向下）③拋物線標準方程中一次項的系數是焦點的對應坐標的4倍.④從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一次項系數。用待定系數法求拋物線的標準方程時，首先根據已知條件確定拋物線的標準方程的類型（一般需結合圖形依據焦點的位置或開口方向定型），然后求一次項的系數，否則，應展開相應的討論.⑤在求拋物線方程時，由于標準方程有四種形式，易混淆，可先根據題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數p，若不能確定是哪一種形式的標準方程，應寫出四種形式的標準方程來，不要遺漏某一種情況。知識點三：拋物線的簡單幾何性質：拋物線標準方程的幾何性質范圍：，，拋物線y2=2px（p＞0）在y軸的右側，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標（x，y）的橫坐標滿足不等式x≥0；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。對稱性：關于x軸對稱拋物線y2=2px（p＞0）關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。頂點：坐標原點拋物線y2=2px（p＞0）和它的軸的交點叫做拋物線的頂點。拋物線的頂點坐標是（0，0）。拋物線標準方程幾何性質的對比圖形標準方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）頂點O（0，0）范圍x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，對稱軸x軸y軸焦點離心率e=1準線方程焦半徑知識點詮釋：（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準線；（2）標準方程中的參數p的幾何意義是指焦點到準線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點F不在準線上這一隱含條件；參數p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應找到相當于p的值，才易于確定焦點坐標和準線方程.【典例例題】題型一：拋物線的定義【例1】（2023·高二課時練習）若P為拋物線y2=2px（p>0）上任意一點，F為拋物線的焦點，則以|PF|為直徑的圓與y軸的位置關系為（）A．相交 B．相離C．相切 D．不確定【答案】C【解析】如圖所示，設的中點，作軸、軸分別交軸于點，由拋物線的定義，可得，又由梯形的中位線的性質，可得，所以以為直徑的圓與軸相切.故選：C.

【對點訓練1】（2023·廣東深圳·高二統考期末）若拋物線上一點到軸的距離為，則點到該拋物線焦點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為點到軸的距離為，所以點P的橫坐標為，所以點P的縱坐標，拋物線的準線為.所以到拋物線準線的距離為，即點到該拋物線焦點的距離為.故選：C【對點訓練2】（2023·浙江臺州·高二期末）已知拋物線的焦點為F，是C上一點，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】依題意知，焦點，由定義知：，所以，所以．故選：C.【對點訓練3】（2023·四川德陽·高二四川省廣漢中學校考階段練習）拋物線的方程為，拋物線上一點P的橫坐標為，則點P到拋物線的焦點的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】依題意，拋物線的準線方程為，而點在拋物線上，則，所以點P到拋物線焦點的距離為.故選：B【對點訓練4】（2023·四川綿陽·高二四川省綿陽實驗高級中學校考階段練習）已知為拋物線：的焦點，縱坐標為5的點在C上，，則（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【解析】依題意，拋物線：的焦點，準線方程為，顯然有，所以.故選：D題型二：求拋物線的標準方程【例2】（2023·高二課時練習）根據下列條件寫出拋物線的標準方程：(1)準線方程是；(2)過點；(3)焦點到準線的距離為.【解析】（1）由準線方程為知拋物線的焦點在軸負半軸上，且，則，故所求拋物線的標準方程為．（2）點在第二象限，設所求拋物線的標準方程為或，將點代入，得，解得，所以拋物線方程為；將點代入，得，解得，所以拋物線方程為．綜上所求拋物線的標準方程為或．（3）由焦點到準線的距離為，所以，故所求拋物線的標準方程為或或或．【對點訓練5】（2023·陜西西安·高二西北大學附中校考階段練習）根據下列條件寫出拋物線的標準方程，并求焦點坐標和準線方程．(1)經過點．(2)焦點為直線與坐標軸的交點．【解析】（1）①設拋物線方程為，將點代入方程得：，解得：，所以拋物線方程為，即，所以，則焦點坐標為，準線方程為.②設拋物線方程為，將點代入方程得：，解得：，所以拋物線方程為，即，所以，則焦點坐標為，準線方程為.綜述：①拋物線方程為，焦點坐標為，準線方程為.②拋物線方程為，焦點坐標為，準線方程為.（2）因為，令得，即，令得，即，①當焦點為時，，則，所以拋物線方程為，準線方程為.②當焦點為時，，則，所以拋物線方程為，準線方程為.綜述：①拋物線方程為，焦點坐標為，準線方程為.②拋物線方程為，焦點坐標為，準線方程為.【對點訓練6】（2023·高二課時練習）已知拋物線的標準方程如下，分別求其焦點和準線方程：(1)；(2)．【解析】（1）由拋物線方程為，可得，且焦點在軸正半軸上，所以可得其焦點為，準線方程為；（2）將化成標準方程為，可得，且焦點在軸負半軸上，所以焦點為，準線方程為.【對點訓練7】（2023·高二課時練習）求焦點在x軸正半軸上，并且經過點的拋物線的標準方程．【解析】由題意，拋物線的開口向右，設方程為，將代入拋物線方程可得，，拋物線的標準方程為，拋物線的標準方程．【對點訓練8】（2023·高二單元測試）根據下列條件寫出拋物線的標準方程：（1）經過點；（2）焦點在軸的負半軸上，且焦點到準線的距離是6.【解析】（1）當拋物線的標準方程為時，將點代入，得，即所求拋物線的標準方程為；當拋物線的標準方程為時，將點代入，得，即所求拋物線的標準方程為.綜上，拋物線的標準方程為或.（2）由焦點到準線的距離為6，知.又焦點在軸的負半軸上，∴拋物線的標準方程為.題型三：拋物線的綜合問題【例3】（2023·山西晉中·高二統考期末）拋物線的焦點到準線的距離為.(1)求拋物線的標準方程；(2)過焦點的直線（斜率存在且不為0）交拋物線于兩點，線段的中垂線交拋物線的對稱軸于點，求.【解析】（1）因為拋物線的焦點到準線的距離為，所以，根據建系方案的不同，拋物線的標準方程有四種可能，分別是，，，.（2）在平面直角坐標系中，拋物線的位置并不影響的取值，因此不妨取拋物線的方程為，此時焦點，根據題意，直線的斜率存在且不為，因此設直線的方程為，與拋物線聯立，得關于的一元二次方程，則，設、，則，，，，則，線段的中點坐標為，中垂線方程為，令，解得，即中垂線與軸交于，所以，則.

【對點訓練9】（2023·河南洛陽·高二統考期末）已知圓S：，點P是圓S上的動點，T是拋物線的焦點，Q為PT的中點，過Q作交PS于G，設點G的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過的直線l交曲線C于點M，N，若在曲線C上存在點A，使得四邊形OMAN為平行四邊形（O為坐標原點），求直線l的方程．【解析】（1）圓S：，即，由題意得，，，是的中垂線，所以，所以，所以點G的軌跡是以為焦點的橢圓，設其方程為，焦距為，則，得，所以曲線C的方程為.

（2）由題意知，直線l的斜率不為0，設，，，設與交于點.聯立，得，當時，，則，所以，因為是中點，所以，因為在曲線C：上，所以，化簡得，，得或（舍），所以，所以直線l的方程為，即或.

【對點訓練10】（2023·貴州貴陽·高二統考期末）設直線與拋物線相交于兩點，且.(1)求拋物線方程；(2)求面積的最小值.【解析】（1）設直線與拋物線交于點，聯立得，顯然，所以，因為，所以，即，化簡得，代入得解得，所以拋物線方程為（2）因為直線過定點，所以，當且僅當時，的面積取得最小值為【對點訓練11】（2023·廣西河池·高二統考期末）已知拋物線C：過點．(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；(2)過該拋物線的焦點，作傾斜角為60°的直線，交拋物線于A，B兩點，求線段AB的長度．【解析】（1）∵過點，∴，解得，∴拋物線C：，準線方程為；（2）由（1）知，拋物線焦點為，設直線AB：，，，由，得：，則，則．【對點訓練12】（2023·廣東梅州·高二統考期末）已知動點與點的距離與其到直線的距離相等.(1)求動點的軌跡方程；(2)求點與點的距離的最小值，并指出此時的坐標.【解析】（1）由題意知動點到的距離與它到直線的距離相等，所以動點的軌跡為以為焦點、以直線為準線的拋物線，因此動點的軌跡方程為.（2）設，由兩點間的距離公式得：，當，即時，，即當或時，點與點的距離最小，最小值為.題型四：軌跡方程【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知平面直角坐標系中有兩點，且曲線上的任意一點P都滿足．則曲線的軌跡方程為_______________.【答案】【解析】設，由題設有，整理得到，故.故答案為：.【對點訓練13】（2023·高三課時練習）已知點F（1，0），直線，若動點P到點F和到直線l的距離相等，則點P的軌跡方程是______.【答案】【解析】根據拋物線定義可知，點在以為焦點，直線為準線的拋物線上，所以，，拋物線方程為.故答案為：.【對點訓練14】（2023·上海·高二專題練習）動點在曲線上移動，則點和定點連線的中點的軌跡方程是__________.【答案】【解析】設，點P和定點連線的中點坐標為，則,又，∴，代入得，，∴，即點和定點連線的中點的軌跡方程是，故答案為∶．【對點訓練15】（2023·全國·高三專題練習）在平面坐標系中，動點P和點滿足，則動點的軌跡方程為_____________．【答案】【解析】由題意，由得，化簡得．故答案為：．【對點訓練16】（2023·北京海淀·高二北京市十一學校校考期中）設O為坐標原點，，點A是直線上一個動點，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點A作y軸的垂線交l于點P，則點P的軌跡方程為______．【答案】【解析】如圖，由垂直平分線的性質可得，符合拋物線第一定義，拋物線開口向右，焦點坐標為，故，點P的軌跡方程為.故答案為：【對點訓練17】（2023·四川·高二雙流中學校考開學考試）已知動圓M與直線相切，且與定圓C：外切，那么動圓圓心M的軌跡方程為_______.【答案】【解析】方法一：由題意知，設，則，，解得.方法二：由題意知，動點M到的距離比到的距離多1，則動點M到的距離與到的距離相等，根據拋物線的定義，為準線，為焦點，設拋物線為，，，故.故答案為：.【對點訓練18】（2023·江蘇·高二專題練習）點，點B是x軸上的動點，線段PB的中點E在y軸上，且AE垂直PB，則點P的軌跡方程為______．【答案】【解析】設，，則．由點E在y軸上，得，則，即．又，若，則，即．若，則，此時點P，B重合，直線PB不存在．所以點P的軌跡方程是．故答案為：.【對點訓練19】（2023·江蘇·高二專題練習）與點和直線的距離相等的點的軌跡方程是______．【答案】【解析】由拋物線的定義可得平面內與點和直線的距離相等的點的軌跡為拋物線，且為焦點，直線為準線，設拋物線的方程為，可知，解得，所以該拋物線方程是，故答案為：題型五：拋物線的幾何性質【例5】（2023·高二課時練習）拋物線上一點到準線和拋物線的對稱軸距離分別為10和6，則該點的橫坐標是__________．【答案】1或9【解析】拋物線的準線方程為，對稱軸為軸，設該點的坐標為，由題意可得，，則，即，解得或，因為，所以或.故答案為：1或9.【對點訓練20】（2023·高二課時練習）一個正三角形的三個頂點都在拋物線上，其中一個頂點在原點，則這個三角形的面積為__________．【答案】【解析】設等邊三角形，點為原點，點和點在拋物線上，與軸的交點為，如圖所示，

由圖可知，點與點關于軸對稱，則，則，即，因為，所以，解得或（不合題意舍去），則，所以，故答案為：．【對點訓練21】（2023·福建·高二校聯考階段練習）已知拋物線的焦點為，過且傾斜角為的直線交于兩點，線段中點的縱坐標為，則__________.【答案】【解析】由拋物線，可得其焦點坐標為，過焦點且傾斜角為的直線方程為，設，聯立方程組，整理得，可得，則的中點的縱坐標為，因為線段中點的縱坐標為，可得，解得，又由拋物線的定義可得.故答案為：.【對點訓練22】（2023·貴州·高二校聯考階段練習）拋物線在第一象限上一點，滿足，為該拋物線的焦點，則直線的斜率為______.【答案】【解析】由題意作圖如下：過引拋物線準線的垂線，垂足為，則，所以，在中，，所以，所以.故答案為：.【對點訓練23】（2023·山東德州·高二統考期末）如圖是一座拋物線型拱橋，拱橋是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．當水位下降，水面寬為6米時，拱頂到水面的距離為______米．【答案】4.5/【解析】如圖，建立平面直角坐標系，設拋物線方程為，將代入，得，所以．設，代入，得．所以拱橋到水面的距離為．故答案為：4.5.【對點訓練24】（2023·四川涼山·高二統考期末）過點的直線與拋物線交于，兩點，點在軸上方，若，則直線的斜率___________.【答案】【解析】設，直線與拋物線聯立得，即；，因為，所以，所以，代入可得即，，所以故答案為：【對點訓練25】（2023·陜西漢中·高二校考期中）已知拋物線：經過點，若點到拋物線的焦點的距離為4，則______【答案】4【解析】拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，因為點到拋物線的焦點的距離為4，由拋物線定義可得到的距離為4，所以，所以.故答案為：4.題型六：拋物線中的范圍與最值問題【例6】（2023·河南南陽·高二校聯考階段練習）已知拋物線的焦點為F，點M（3，6），點Q在拋物線上，則的最小值為______．【答案】【解析】拋物線的準線方程為，過作準線的垂線，垂足為，則，所以.當且僅當與準線垂直時，取等號.所以的最小值為.

故答案為：.【對點訓練26】（2023·福建莆田·高二莆田一中校考階段練習）已知拋物線的焦點為，點為上任意一點，點，則的最小值為______.【答案】7【解析】依題意，如圖所示：其中，準線，由拋物線的定義知：，要使取得最小值，只需點移動到點時，三點共線時取得最小值，此時準線，所以的最小值為：.故答案為：7.【對點訓練27】（2023·江蘇常州·高三校聯考開學考試）在平面直角坐標系中，點到直線與到點的距離相等，點在圓上，則的最小值為__________.【答案】3【解析】設，因為點到直線與到點的距離相等，所以點軌跡是以為焦點的拋物線，即；設圓的圓心為，則，，僅當x=6時等號成立，所以，即.故答案為：3.【對點訓練28】（2023·湖南衡陽·高二校考期末）已知拋物線的焦點為為拋物線內側一點，為上的一動點，的最小值為，則______.【答案】3【解析】根據題意畫圖，過點作準線的垂線，垂足為，過點作準線的垂線，垂足為，由拋物線的定義可知，，由于為上的一動點，則當三點共線時即，則，解得.故答案為：3.【對點訓練29】（2023·河北邢臺·高二邢臺一中校考期末）已知點分別是拋物線和圓上的動點，到的準線的距離為，則的最小值為__________.【答案】【解析】拋物線的焦點為，則，圓的圓心為，半徑為所以.故答案為：.【對點訓練30】（2023·高二課時練習）已知拋物線：的準線為，若M為上的一個動點，設點N的坐標為，則的最小值為___________.【答案】【解析】由題意知，，∴拋物線：.設，由題意知，則，當時，取得最小值8，∴的最小值為.故答案為：.【對點訓練31】（2023·浙江寧波·高二效實中學校考期中）拋物線的焦點為，點，為拋物線上一點且不在直線上，則△周長的最小值為______．【答案】/【解析】由題設，拋物線準線為，由拋物線定義：等于到準線的距離，而，∴要使△周長的最小，只需到準線的距離等于，即在過點且垂直于準線的直線上，此時，.故答案為：題型七：焦半徑問題【例7】（2023·廣西·高二校聯考階段練習）已知拋物線的焦點為F，是拋物線C上一點，若，則________．【答案】9【解析】由題可知，，解得．故答案為：9【對點訓練32】（2023·北京·高二北京師大附中校考期中）若拋物線的焦點為，點在此拋物線上且橫坐標為，則________.【答案】【解析】設，由題意可知，則，故答案為：6【對點訓練33】（多選題）（2023·山西大同·高二統考期末）經過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，設，，則下列說法中正確的是（

）A．當與軸垂直時，最小 B．C．以弦為直徑的圓與直線相離 D．【答案】ABD【解析】

如圖，設直線為，聯立，得，即，所以，，故D正確，，將代入得，故當時，取得最小值，此時直線與軸垂直，故A正確，，代入，，得，故B正確，設的中點為，則以弦為直徑的圓的圓心為，半徑為分別過作拋物線的垂線，垂足分別為,由拋物線的定義知，，則,故以弦為直徑的圓與直線相切，C錯誤，故選：ABD【對點訓練34】（多選題）（2023·廣西河池·高二統考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，若為坐標原點，則（

）A．點的坐標為 B．C． D．【答案】BD【解析】由題可知，因為點在拋物線上，且，所以，解得，所以，故選：BD.【對點訓練35】（多選題）（2023·安徽·高二校聯考期末）已知為坐標原點，拋物線的焦點到其準線的距離為4，過點作直線交于，兩點，則（

）A．的準線為 B．的大小可能為C．的最小值為8 D．【答案】ACD【解析】由題意得，，則的準線為，故A正確；,設，整理得，，所以，，，所以，故B錯誤；，當時，的最小值為8，故C正確；∵，∴，故D正確.故選：ACD.【對點訓練36】（多選題）（2023·高二課時練習）設拋物線的焦點為，點為上一點，若，則直線的傾斜角可能是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】如圖，作于，則，作于，則，在中，，又，所以，即直線的傾斜角為，同理，當點在軸下方時，直線的傾斜角為．

故選：AC.【對點訓練37】（多選題）（2023·湖北·高二校聯考期中）已知拋物線：的焦點為，為上一點，且，直線交于另一點，記坐標原點為，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】依題意，拋物線C的準線為，因為為C上一點，且，則，解得，故A正確；可得拋物線C:，焦點為，因為A為C上一點，則4，所以，故B錯誤；若，則線的方程為，代入，得，整理得，解得或，因為B與A分別在x軸的兩側，可得；同理：若，可得；綜上所述：或，故C錯誤；若，則，則；同理：若，可得；故D正確；故選：AD.【對點訓練38】（多選題）（2023·湖北·高二宜昌市三峽高級中學校聯考期中）直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的焦點坐標為 B．的最小值為4C．對任意的直線， D．以為直徑的圓與拋物線的準線相切【答案】BD【解析】拋物線的焦點，A選項錯誤；拋物線的焦點弦中，通徑最短，故的最小值為4，B選項正確；由題意，直線斜率存在，設直線的方程為，代入拋物線方程得，則，C選項錯誤；如圖所示，的中點為M，過分別作準線的垂線，垂足分別為，則，可知以為直徑的圓與拋物線的準線相切，D選項正確.故選：BD【對點訓練39】（2023·江蘇·金陵中學校聯考三模）已知拋物線：，圓：，點M的坐標為，分別為、上的動點，且滿足，則點的橫坐標的取值范圍是______.【答案】【解析】因為拋物線：的焦點，準線：，所以圓心即為拋物線的焦點F，設，∴，∴.∵，∴，，∴，∴.故答案為：【對點訓練40】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多，記點的軌跡為．直線與軌跡恰好有兩個公共點，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】設點，則，即，整理可得：，；記，，當時，與有且僅有一個交點，與無交點，與有且僅有一個交點，不合題意；當時：，由得：；由得：，即，則；①當，即或時，與有一個交點，與有且僅有一個交點，，解得：或；②當，即時，與無交點，與有兩個不同交點，，解得：，；綜上所述：的取值范圍為.故答案為：.【對點訓練41】（2023·山東濟南·高二濟南市歷城第二中學校考期中）拋物線與圓交于A、B兩點，圓心，點為劣弧上不同于A、的一個動點，平行于軸的直線交拋物線于點，則的周長的取值范圍是______．【答案】【解析】∵圓交，拋物線，∴圓心也是拋物線的焦點，拋物線的準線為，過作準線的垂線，垂足為，根據拋物線的定義，可得，故的周長，由可得，又圓與軸正半軸交于，所以，又因為，所以的取值范圍為，所以的周長的取值范圍為.故答案為：.【對點訓練42】（2023·江蘇·高二專題練習）若過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，且直線l的傾斜角，點A在x軸上方，則的取值范圍是______．【答案】【解析】拋物線的焦點，準線方程為，，如圖，設點A的橫坐標是，則有，由拋物線定義知，于是得，而函數在上單調遞減，即，因此，即有，所以的取值范圍是.故答案為：【過關測試】一、單選題1．（2023·廣東東莞·高二校聯考階段練習）一種衛星接收天線（如圖1），其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分（如圖2），已知該衛星接收天線的口徑米，深度米，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，則該拋物線的方程為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，結合圖形可知，，由于該拋物線開口向右，可設，即，解得，于是.故選：B2．（2023·河南南陽·高二校聯考階段練習）拋物線C：過點，則C的準線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線C：過點，則，解之得，則拋物線C方程為，則C的準線方程為故選：B3．（2023·高二課時練習）已知是拋物線上的三點，點F是拋物線的焦點，且，則（

）A．B．C．D．與的大小關系不確定【答案】B【解析】拋物線的焦點，準線方程為，由拋物線的定義及，得，所以.故選：B4．（2023·高二課時練習）拋物線上有一點M，它的橫坐標是3，它到焦點的距離是5，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，在拋物線中，準線方程，∵到準線的距離等于它到焦點的距離，∴，解得：，∴拋物線方程為：，故選：A.5．（2023·云南昆明·高二統考期中）圓心在拋物線上，并且與拋物線的準線及軸都相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為圓心在拋物線上，所以設圓心為，又因為圓與拋物線的準線及軸都相切，所以，解得，所以圓心為，半徑為，所以圓的標準方程為：，即，故選：A．6．（2023·江蘇鹽城·高二統考期末）若拋物線上的一點到坐標原點的距離為，則點到該拋物線焦點的距離為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】設點，，，或（舍去），，到拋物線的準線的距離，點到該拋物線焦點的距離等于點到拋物線的準線的距離，點到該拋物線焦點的距離為．故選：C.7．（2023·河南周口·高二校聯考階段練習）已知拋物線，過其焦點的直線交拋物線于、兩點，交準線于點，且是線段的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知拋物線的焦點為，準線為，設點、在直線上的射影點分別為、，如圖所示：

設，因為為線段的中點，，，則，所以，，由拋物線的定義可得，，所以，，所以，，因為軸，則，設直線交軸于點，則，，所以，，又因為，可得，故.故選：A.8．（2023·廣西河池·高二統考期末）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則的面積為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，又，所以4），即，又，所以，解得或，所以，又因為，點到直線的距離，所以的面積.

故選：.二、多選題9．（2023·廣西河池·高二統考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，若為坐標原點，則（

）A．點的坐標為 B．C． D．【答案】BD【解析】由題可知，因為點在拋物線上，且，所以，解得，所以，故選：BD.10．（2023·高二單元測試）拋物線的準線方程是（

）A．其焦點坐標是B．其焦點坐標是C．其準線方程是D．其準線方程是【答案】AC【解析】由，得，故準線方程為，其焦點坐標是，故A，C正確，B，D錯誤，故選：AC11．（2023·湖北·高二宜昌市三峽高級中學校聯考期中）直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的焦點坐標為 B．的最小值為4C．對任意的直線， D．以為直徑的圓與拋物線的準線相切【答案】BD【解析】拋物線的焦點，A選項錯誤；拋物線的焦點弦中，通徑最短，故的最小值為4，B選項正確；由題意，直線斜率存在，設直線的方程為，代入拋物線方程得，則，C選項錯誤；如圖所示，的中點為M，過分別作準線的垂線，垂足分別為，則，可知以為直徑的圓與拋物線的準線相切，D選項正確.故選：BD12．（2023·安徽阜陽·高二統考期末）若直線與拋物線只有一個交點，則的可能取值為（

）A．2 B． C． D．0【答案】BD【解析】聯立，消去可得，∵直線與拋物線只有一個交點，或.故選：BD.三、填空題13．（2023·陜西西安·高二統考期末）若拋物線上一點到軸的距離為，則點到拋物線的焦點的距離為________．【答案】4【解析】由題意可得，，P縱坐標為，由其解析式可得P橫坐標為，由拋物線定義知.故答案為：414．（2023·河南南陽·高二校聯考階段練習）已知拋物線的焦點為F，點M（3，6），點Q在拋物線上，則的最小值為______．【答案】【解析】拋物線的準線方程為，過作準線的垂線，垂足為，則，所以.當且僅當與準線垂直時，取等號.所以的最小值為.

故答案為：.15．（2023·河南·高二校聯考階段練習）設是拋物線的焦點，是拋物線上的兩點，線段的中點的坐標為，若，則實數的值為_________．【答案】2【解析】是拋物線的焦點，，準線方程，設，，，線段AB的中點橫坐標為，即.故答案為：2.

16．（2023·上海普陀·高二上海市晉元高級中學校考期中）設為拋物線的焦點，為該拋物線上三點,若為的重心，則_________【答案】12【解析】設三角形的三個頂點，由條件可知，,根據三角形的重心坐標公式，可得，所以，根據拋物線的定義，可得所以，故答案為：12.四、解答題17．（2023·高二課時練習）分別求符合下列條件的拋物線方程:(1)頂點在原點,以坐標軸為對稱軸,且過點;(2)頂點在原點,以坐標軸為對稱軸,焦點到準線的距離為.【解析】（1）由題意,方程可設為或,將點的坐標代入,得或,∴或,∴所求的拋物線方程為或