第40講數列的基本知識與概念

知識梳理

知識點一、數列的概念

（1）數列的定義：按照二定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每二個數叫做這個

數列的項.

（2）數列與函數的關系：從函數觀點看，數列可以看成以正整數集N*（或它的有限

子集｛1,2,...,?｝）為定義域的函數%=/（〃）當自變量按照從小到大的順序依次取值時所

對應的一列函數值.

（3）數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法.

知識點二、數列的分類

（1）按照項數有限和無限分:

遞增數列：an+l>an

遞減數列：a>a?

（2）按單調性來分:n+1

常數列：%=%=C（常數）

擺動數列

知識點三、數列的兩種常用的表示方法

（1）通項公式：如果數列｛4｝的第"項與序號〃之間的關系可以用一個式子來表示，

那么這個公式叫做這個數列的通項公式.

（2）遞推公式：如果已知數列｛外,｝的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）

開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式

就叫做這個數列的遞推公式.

【解題方法總結】

n=l

（1）若數列｛4｝的前〃項和為S",通項公式為明,則。''*

〔5“一5“_|,“22,n&N

注意：根據S”求.”時，不要忽視對九=1的驗證.

（2）在數列｛q｝中，若巴最大，則卜'認1,若凡最小，則卜""%.

N4+11%V。同

必考題型全歸納

題型一：數列的周期性

,、1

例1.（2024.全國?高三專題練習）在數列｛凡｝中，已知。“>0,4=1,??+2=-T,且

4+1

"100="96，則”2022+。3=（）

AB.一好c.好D-1+逐

-i22--2~

例2.（2024?全國?高三專題練習）在數列｛%｝中,q=7,%=24,對所有的正整數〃都有

an+\=an+an+2'則"2024=（）

A.-7B.24C.-13D.25

例3.（2024?江西贛州?高三校聯考階段練習）斐波那契數列｛4｝可以用如下方法定義：

%+2=%+|+4，且4=的=1，若此數列各項除以4的余數依次構成一個新數列｛〃｝,則數

列也｝的第100項為（）

A.0B.1C.2D.3

變式1.（2024?全國?高三對口高考）已知數列｛%｝中，％=；，%+1=1-'（"22）,貝|。刈4=

,an

（）

A.1B.-1C.2D.1

變式2.（2024?全國?高三對口高考）設函數/定義如下，數列｛%｝滿足%=5,且對任意自

然數均有%+1=/（%），則Zoos的值為（）

12345

〃尤）41352

A.1B.2C.4D.5

變式3.（2024?安徽合肥?合肥一六八中學校考模擬預測）在數列｛%｝中，已知

%=2,〃2=3,當〃22時，〃〃+1是〃屋。1的個位數，則〃2023=（）

A.4B.3C.2D.1

變式4.（2024?北京通州?統考三模）數列｛%｝中，％=2,%=4,=??（?>2）,則

%023=（）

A.-B.±C.2D.4

42

【解題方法總結】

解決數列周期性問題的方法

先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值.

題型二：數列的單調性

例4.（2024?北京密云?統考三模）設數列｛%｝的前〃項和為S“，則"對任意〃eN*,

是“數列母｝為遞增數列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不是充分也不是

必要條件

例5.（2024?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝滿足4=a>0,%+i=-d+r%（"wN*）,若

存在實數乙使｛%｝單調遞增，則。的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

例6.（2024?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝滿足

*+…+墨="（"wN*）也=彳（4-1）一"2+4〃,若數列也｝為單調遞增數列,則人的

取值范圍是（）

A.伍+^B.g+jC.[+jD.

變式5.（2024.天津武清?高三天津市武清區楊村第一中學校考開學考試）數列｛q｝的通項

公式為為=選+九+1，則“左>-；”是“｛叫為遞增數列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

變式6.（2024?全國?高三專題練習）已知數列｛%｝的通項公式為4=1-3而，則“；1<1”是

“數列｛4｝為遞增數歹！J”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

變式7.（2024.江蘇南通?高三期末）已知數列｛%｝是遞增數列，且

[t,n>6

則實數f的取值范圍是（）

A.（2,3）B.[2,3）C.D.（1,3）

變式8.（2024.全國?高三專題練習）已知數列｛%｝滿足log?（4+1）,若｛4｝是遞增數

列，則為的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（0,72）C.(-1,0)D.(l,+oo)

變式9.（2024?甘肅張掖?高臺縣第一中學校考模擬預測）已知數列｛%｝為遞減數列，其前〃

項和S“=-/+2”+〃?，則實數機的取值范圍是（）.

A.（-2,+oo）B.（-oo,-2）C.（2,+8）D.（-<?,2）

【解題方法總結】

解決數列的單調性問題的3種方法

作差比較法根據。，十一4的符號判斷數列｛%｝是遞增數列、遞減數列或是常數列

根據包〃或為）與的大小關系進行判斷

作商比較法93>0V01

an

數形結合法結合相應函數的圖象直觀判斷

題型三：數列的最大（小）項

例7.（2024.湖南邵陽?邵陽市第二中學校考模擬預測）數列｛2〃-1｝和數列｛3〃-2｝的公共

項從小到大構成一個新數列｛4｝,數列也｝滿足：b,吟,則數列也｝的最大項等于

例8.（2024.全國?高三專題練習）記5“為數列｛4｝的前〃項和，若巴=2"一，則

2

（n-3n）-log2（SH+l）的最小值為.

例9.（2024?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝滿足4=18,an+1-an=3n,則組的最小

值為_________

變式10.（2024?全國?高三專題練習）已知正項數列｛%｝滿足％=1,%=64,

a?a?+2=ka1+l,若。5是｛凡｝唯一的最大項，則上的取值范圍為.

（2〃-1n<4

變式11.（2024?高三課時練習）數列｛4,｝的通項公式為%==若鬼是

[~n+（a-l）n,n>5,

｛4｝中的最大項，則a的取值范圍是.

變式12.（2024?北京?高三北京八中校考階段練習）數列｛。“｝中，4=T，+lb7（"eN*）,

則此數列最大項的值是.

變式13.（2024?全國?高三專題練習）已知見=1-〃+2022（〃eN+JeR）,若數列｛風｝中

最小項為第3項，則“.

變式14.（2024?全國?高三專題練習）已知數列｛。“｝的通項公式為q,=〃-，/2+2,則氏的

最小值為.

【解題方法總結】

求數列的最大項與最小項的常用方法

(1)將數列視為函數/(X)當XG"時所對應的一列函數值，根據/(X)的類型作出相

應的函數圖象，或利用求函數最值的方法，求出了(元)的最值，進而求出數列的最大(小)

項.

(2)通過通項公式明研究數列的單調性，利用[""""a,5N2)確定最大項，利用

[anN%

("22)確定最小項.

a

[nM4+1

(3)比較法：若有=/(〃+1)-/(")>0或%>0時也>1,則則數

列｛4｝是遞增數列，所以數列｛"”｝的最小項為4=/(1);若有an+1-an=f(n+1)-f(n)<0

或%>0時4&<1,則%+1<%,則數列｛"”｝是遞減數列，所以數列｛“”｝的最大項為

an

?1=/(1).

題型四：數列中的規律問題

例10.(2024.全國?高三專題練習)分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何

學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”.按照如圖1所

示的分形規律，可得如圖2所示的一個樹形圖.若記圖2中第"行黑圈的個數為句,則

。7=()

/°\......第1行

。工<?A小一一一一第2行

第3行

圖1圖2

A.110B.128(144D.89

例11.（2024.云南保山.統考二模）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一

書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看

做是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構成數

列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,則此數列的第56項為（）

A.11B.12C.13D.14

例12.（2024.全國?高三專題練習）古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數.如

三角形數1,3,6,10,第〃個三角形數為嗎3=1/+[〃.記第九個左邊形數為

N（〃《）（左之3）,以下列出了部分左邊形數中第〃個數的表達式：三角形數：

1131

N（n,3）=-n2+-n；正方形數：N（〃,4）=/；五邊形數：N（n,5）=-n2--n；六邊形

數：N（n,6）=2n2-n,可以推測N（〃,左）的表達式，由此計算N（20,23）=（）

A.4020B.4010C.4210D.4120

變式15.（2024?全國?高三專題練習）古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數”進行了深入的研

究，若一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數稱為三

角形數，如I,3,6,10,15,21,…這些數量的點都可以排成等邊三角形，.?.都是三角

形數，把三角形數按照由小到大的順序排成的數列叫做三角數列｛凡｝類似地，數1,4,

9,16,…叫做正方形數，則在三角數列｛%｝中，第二個正方形數是（）

A.28B.36C.45D.55

變式16.（2024?全國?高三專題練習）早在3000年前，中華民族的祖先就已經開始用數字

來表達這個世界.在《乾坤譜》中，作者對易傳“大衍之數五十”進行了一系列推論，用來

解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，如圖.該數列從第一項起依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,60,72,若記該數列為｛%｝,貝|見必一/3=（）

A.2018B.2020C.2022D.2024

變式17.(2024?全國?高三專題練習)觀察下列各式:

a+b=l；

/+〃=3；

di3+Z?3=4;

a4+b4=7;

a5+b5=11;

L

則"°+W°=()

A.28B.76C.123D.10

變式18.（2024.全國?高三專題練習）古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數”進行了深入的研

究，若一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數稱為三

角形數，如1,3,6,10,15,21,...這些數量的點都可以排成等邊三角形，.?.都是三角

形數，把三角形數按照由小到大的順序排成的數列叫做三角數列｛4｝.類似地，數1,4,

9,16,…叫做正方形數，則在三角數列｛七｝中，第二個正方形數是（）

A.36B.25C.49D.64

【解題方法總結】

特殊值法、列舉法找規律

題型五：數列的恒成立問題

例13.（2024.全國.高三專題練習）已知數列｛《｝的通項公式前”項和是

S“，對于V〃wN*,都有S.WS”貝隈=.

例14.（2024.全國?高三專題練習）已知數列｛%｝滿足%=4+—1+…+=，若％2a,恒成

nn+12n

立，則實數左的最小值為.

例15.（2024?河南關B州?高三校聯考階段練習）數列｛為｝滿足4-又￡5（〃22,且

〃eN*）,4=2,對于任意〃eN*有2>a”恒成立，則幾的取值范圍是.

變式19.（2024?全國?高三專題練習）數列也,｝滿足。"=r+加+2,若不等式42a4恒成

立，則實數上的取值范圍是（）

A.[-9,-8]B.[-9,-7]C.（-9,-8）D,（-9,-7）

變式20.（2024.河北唐山.高三唐山一中校考階段練習）數列｛%｝滿足4=；,

“向=一一，若不等式&+幺+…+/<〃+%,對任何正整數”恒成立，則實數彳的最

4-4凡4的an+l

小值為

【解題方法總結】

分離參數，轉化為最值問題.

題型六：遞推數列問題

例16.（2024?全國?高三專題練習）設數列｛%｝滿足%）09=0,且

%=2--2（"wN*）,則數列的前2009項之和為.

例17.（2024?全國?高三專題練習）正項數列｛6｝中，。向=號7，q=1，猜想通項公式

為an=----------

例18.（2024?廣東佛山?統考模擬預測）數列｛%｝滿足。用>4,a2?=2an+l,寫出一個符

合上述條件的數列｛4｝的通項公式______.

變式21.（2024?全國?模擬預測）斐波那契數列由意大利數學家斐波那契以兔子繁殖為例引

入，故又稱為“兔子數列”，即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,

233,....在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數恰是斐波那契數

列中的數，斐波那契數列在現代物理及化學等領域也有著廣泛的應用.斐波那契數列｛為｝

滿足：。］=。2=1,%+2=a“+i+4”€N"）,貝5|1+。3+。5+%+。9H-----是斐波那契數列

｛4｝中的第項.

變式22.（2024?全國?高三專題練習）將一個2021邊形的每個頂點染為紅、藍、綠三種顏

色之一，使得相鄰頂點的顏色互不相同.問：有多少種滿足條件的染色方法？

變式23.(2024?全國?高三專題練習)已知平面上有幾條直線，其中任意兩條不平行，任何

三條不共線.問：這些直線把平面分成多少個部分？其中有多少個部分是無界的？

變式24.(2024?全國?高三專題練習)(1)學生甲手里有一枚質地均勻的硬幣，他投擲10

次，不連續出現正面的可能情形有多少種？

(2)用1,2,3,4四個數字組成一個6位數，要求不允許兩個1緊挨在一起，那么可以組

成多少個不同的6位數？

第40講數列的基本知識與概念

知識梳理

知識點一、數列的概念

（1）數列的定義：按照二定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每二個數叫做這個

數列的項.

（2）數列與函數的關系：從函數觀點看，數列可以看成以正整數集N*（或它的有限

子集｛1,2,...,?｝）為定義域的函數4=/（〃）當自變量按照從小到大的順序依次取值時所

對應的一列函數值.

（3）數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法.

知識點二、數列的分類

（1）按照項數有限和無限分:

遞增數列：an+1>an

遞減數列：a>a

（2）按單調性來分:n+1n

常數列：%=%=C（常數）

擺動數列

知識點三、數列的兩種常用的表示方法

（1）通項公式：如果數列｛4｝的第"項與序號〃之間的關系可以用一個式子來表示，

那么這個公式叫做這個數列的通項公式.

（2）遞推公式：如果已知數列｛4｝的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）

開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式

就叫做這個數列的遞推公式.

【解題方法總結】

6,77=1

（1）若數列｛4｝的前"項和為通項公式為%,則%=*

，“22,n&N

注意：根據S“求a”時，不要忽視對”=1的驗證.

（2）在數列｛g｝中，若氏最大，貝門""""i,若猴最小，貝.

必考題型全歸納

題型一：數列的周期性

1

例L（2024.全國?高三專題練習）在數列｛q｝中，已知4>0,4+2-----,且

4+1

"100="96，則”2022+。3=（）

B.1+」C.gD,T+行

A.I222

【答案】C

11

1,可得5

【解析】由M一"7〃98+]_\___|_]，

0+1

“96+1

1

因為〃100二“96，所以11196,整理得+。96—1=。，

。96+1

75-11A/5-I1布-1

由于。>0,解得/，從而“98，〃100=

2為6+12。98+12

75-1

可知%6=a9S=a!00=…=%022=

2

11_、75

因為q=后5,所以〃2022+。3=3

故選：C.

例2.（2024?全國?高三專題練習）在數列｛（｝中，4=7,g=24,對所有的正整數”都有

H“+a“+2,則出024）

A.-7B.24C.-13D.25

【答案】B

【解析】由??+i=L+an+2得a?+2=an+1+an+3,

兩式相加得。“+3=-4,

…an+6=~an+3

...｛%｝是以6為周期的數列,

而2024=337x6+2,

..々2024=42=24

故選：B.

例3.（2024.江西贛州.高三校聯考階段練習）斐波那契數列｛4｝可以用如下方法定義:

an+2=an+l+冊，且q=%=l,若此數列各項除以4的余數依次構成一個新數列抄“｝,則數

列也｝的第100項為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由題意有4+2=%+1+4，且卬=%=1，

若此數列各項除以4的余數依次構成一個新數列電｝,

則4=1,b2=1,b3=2,,b&=3,b5=1,b6=0,b7=1,=1,b9=2...,

則數列｛或｝是以6為周期的周期數列，

則如=練《6+4=64=3,

則數列色｝的第100項為3,

故選：D.

變式1.（2024?全國?高三對口高考）已知數列｛%｝中，=1,??+1=!--（?>2）,則出0“=

2an

（）

A.1B.-1C.2D.1

【答案】A

【解析】數列｛%｝中，％=；，6+1=1-，（〃22）,

,an

1I11c111

可知。2=1=-1,。3=1=2,4=1=5=%,

a?d、/

故數列｛%｝是以3為最小正周期的周期數列，

所以02014="67b<3+1=4=萬.

故選：A

變式2.（2024?全國?高三對口高考）設函數/定義如下，數列｛%｝滿足%=5,且對任意自

然數均有x?+i=/（4）,則花》5的值為（）

12345

〃尤)41352

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【解析】由對任意自然數均有=/(4),且%=5,

可得%=/(%0)=〃5)=2,x2=/(X,)=/(2)=1,=y(x,)=/(l)=4,

x4=f(x3)=f(4)=5>%=/(%)=/(5)=2,........,

所以數列卜,｝是4項為周期的周期數列，且前四項分別為2,1,4,5,

所以%2005=%50^4+1=%=2.

故選：B.

變式3.(2024?安徽合肥?合肥一六八中學校考模擬預測)在數列｛七｝中，已知

%=2,%=3,當"22時，。“+1是的個位數，則。2023=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】因為％=2,%=3,當〃22時，。“+1是的個位數，

所以〃3=6,%=8,%=8,%=4,%=2,%=8,%=6,=8,。口=8,

%=4，

可知數列｛q｝中，從第3項開始有an+6=a?,

即當〃23時，%,的值以6為周期呈周期性變化，

又2023+6=337…1,

故出023=4=2.

故選：C.

變式4.(2024?北京通州?統考三模)數列｛4｝中，％=2,%=4,a?_A+1=??(?>2),則

〃2023~)

A.-B.士C.2D.4

42

【答案】C

【解析】因為4=2,a2=4,an_xan+i=an（n>2）,令孔=2,則％。3=%，求得%=2,

令〃=3,則〃2〃4=。3，求得。4=;，令〃=4,則。3。5=。4，求得。5=:，

令〃=5,則。4。6=〃5，求得。6=；，令孔=6,則〃5%=〃6，求得%=2,

令n=7,則〃。68=。7，求得。8=4,........,

所以數列｛4｝的周期為6,則電023=%=2.

故選：C

【解題方法總結】

解決數列周期性問題的方法

先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值.

題型二：數列的單調性

例4.（2024?北京密云?統考三模）設數列｛4｝的前〃項和為s“，貝廣對任意”eN*,%>。"

是“數列電｝為遞增數列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不是充分也不是

必要條件

【答案】A

【解析】數列｛%｝中，對任意”eN*,??>0,

所以數列｛S“｝為遞增數列，充分性成立；

當數列｛Sj為遞增數列時,S,>Sn_vn>2,

即S,T+a“>Si，所以。“>0,”22,

如數列-1,2,2,2,…,不滿足題意，必要性不成立；

所以“對任意〃eN*,%>。”是“數列｛，｝為遞增數列”的充分不必要條件.

故選：A

例5.（2024?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝滿足q="＞0,a.+|=-a；+sGeN*）,若

存在實數乙使｛%｝單調遞增，則。的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】A

【解析】由｛%｝單調遞增，得。用+S”＞，

由q=a＞0,得a“＞0,

?，?，>+1(〃wN*).

〃=1時，得t>a+l①,

〃=2時，得彳＞一/+勿+1,即（a—1）%＜（々+1乂〃-1）②，

若。=1,②式不成立，不合題意；

若々＞1,②式等價為，＜Q+1,與①式矛盾，不合題意.

綜上，排除B,C,D.

故選：A

例6.（2024?全國?高三專題練習）已知數列｛q｝滿足

與+會+…+|^=M"eN*），d=2（%-l）-/+4〃，若數列｛2｝為單調遞增數列，貝IM的

取值范圍是（）

A.1|,+]B,&,+-C.],+[D.]；,+4

【答案】A

【解析】由B+*+...+M=M〃eN*）可得？+墨+.??+喘=1（心2）,

兩式相減可得生=1,則%=2"22,

2

當”=1時，卜1可得q=2滿足上式，故a“=2"（"eN*）,

所以2=彳（2"-1）-/+4〃，

因數列也“｝為單調遞增數列，即VneN*,bn+1-bn>0,

貝1］力(2向一1)-(〃+1)2+45+1)-［彳(2"-1)—"2+4“］=/1.2"_2"+3>0.

整理得見〉當J,

2n-32"一12n-35-In

令％=，則股,〃￡N*,

2"2"M2"2“+I

當"W2時，C“+J>cn,當〃23時，c“+］<cn,

于是得。3=羨是數列｛%｝的最大項，即當“=3時，空」取得最大值I，從而得

o2oo

3

所以2的取值范圍為｛加4>/.

O

故選：A

變式5.（2024?天津武清?高三天津市武清區楊村第一中學校考開學考試）數列｛%｝的通項

公式為。“=加+〃+1,則“左>--是“｛叫為遞增數列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【答案】B

【解析】由題意得數列｛%｝為遞增數列等價于對任意

neN*,a“+］-a”=［左（w+lj+w+2^-（krr+n+1）=2加+左+1>0,恒成立，

即k>一二二對任意〃eN*恒成立，

因為-彳二<0,且可以無限接近于0,所以上20,

所以“人>一；，，是“｛4｝為遞增數列，，的必要不充分條件，

故選：B

變式6.（2024.全國?高三專題練習）已知數列｛%｝的通項公式為。，=1-3沏，貝『"<1"

是“數列｛4｝為遞增數列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】若數列｛叫為遞增數列，

則。"+i_“"=［（九+1）-34+1）］——32”）

=2rl+1—3X>0,

即3A<2n+l

由〃EN*,所以有3%<2xl+l=3=4<l,

反之，當彳<1時，an+l-an>Q,則數列｛七｝為遞增數列，

所以“X<1”是“數列｛凡｝為遞增數列”的充要條件，

故選：C.

變式7.（2024?江蘇南通?高三期末）已知數列｛4｝是遞增數列，且%

t,n>6

則實數f的取值范圍是（）

A.（2,3）B.[2,3）C.D.（1,3）

【答案】C

（3——8,n<6

【解析】因為%=l〃6「，伍"是遞增數列，

t,n>6

3—/〉0

所以”>1,解得9<r<3,

（3-z）x6-8<r

所以實數，的取值范圍為[S,3],

故選：c

變式8.（2024?全國?高三專題練習）已知數列｛%｝滿足q+I=log2（4+1）,若｛4｝是遞增數

列，則4的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（0,72）C.（-1,0）D.（l,+oo）

【答案】A

【解析】因為｛4｝是遞增數列，所以。“<。用，即見<log2（a,+l）.

如圖所示，作出函數V=x和y=log2（x+l）的圖象，

由圖可知，當xe（O,l）時，元<log2（x+l）,且log2（x+l）?0,l）.

故當4?0,1）時，4<log2（4+l）=%,且出《。」）,

依此類推可得可<%<。3<…，

滿足｛%｝是遞增數列，即4的取值范圍是（0,1）.

變式9.（2024.甘肅張掖.高臺縣第一中學校考模擬預測）已知數列｛4｝為遞減數列，其前〃

項和=-/+2〃+m，則實數機的取值范圍是（）.

A.（-2,+oo）B.（-oo,-2）C.（2,+8）D.（-oo,2）

【答案】A

【解析】因為。計i-4<0,所以數列｛風｝為遞減數列，

當兒22時，一S=_〃2+2〃+加一］―（〃一1）+2（n—+=—2n+3,

故可知當時，｛風｝單調遞減，

故｛〃〃｝為遞減數列，只需滿足%<q,即機>-2.

故選：A

【解題方法總結】

解決數列的單調性問題的3種方法

作差比較法根據an+-an的符號判斷數列｛%｝是遞增數列、遞減數列或是常數列

根據—0>o或。/。）與1的大小關系進行判斷

作商比較法

冊

數形結合法結合相應函數的圖象直觀判斷

題型三：數列的最大（小）項

例7.（2024?湖南邵陽?邵陽市第二中學校考模擬預測）數列｛2〃-1｝和數列｛3〃-2｝的公共

項從小到大構成一個新數列｛叫，數列也,｝滿足：bn喂,則數列也｝的最大項等于

7

【答案】4/1.75

4

【解析】數列｛2〃-1｝和數列｛3〃-2｝的公共項從小到大構成一個新數列為：

1,7,13,…，該數列為首項為1,公差為6的等差數列，

所以%=6〃-5,

所以a=卡

r~i生716n+l6n一511-6n

因為％心=—x-----=亍1

所以當兒22時，&<0,即62>么>%>…，

又4〈4,

7

所以數列也“｝的最大項為第二項，其值為

1.7

故答案為：—.

4

例8.(2024?全國?高三專題練習)記S.為數列｛4｝的前〃項和，若見=2"\貝U

2

(?-37i)-log2(S?+1)的最小值為.

【答案】T

【解析】依題意，數列｛。“｝是首項為1,公比為2的等比數列，則s.=E=2,-1，

3232

于是(/-3?)-log2(S?+l)=/I-3H,令b“=n-3n,

2

則有%-b,=(n+1)3-3(〃+l)2-(n3-3H2)=3n-3n-2,

顯然當〃22時，3n2-3n-2>0,即%>%因此當"22時，數列也｝是遞增的，

2

又4=一2也=一4,所以(n-3?).log2(S?+1)的最小值為4

故答案為：-4

例9.(2024?全國?高三專題練習)已知數列｛4｝滿足q=18,a向-a,=3”，則.的最小

值為_________

【答案】9

【解析】由已知可得，??+i=an+3n,

所以當時，有q=4_]+3(〃-1).

則有

4=18,

%=%+3x1,

a3=%+3x2,

L

。“=%+35-1),

兩邊分別相加可得，=%+?+,,?+61tl7+18+3x1+3x2+—1)

(〃一1)(3+3〃一3)3n(n-l)

=%+%+…++18H------------------------=〃]+%+???+H-------------F18,

所以%=當二Q+18.

當〃=1時，6=18滿足條件.

所以，3"(〃T)+]8,

〃2

%3(〃—1)183n183

所以==二---^+―=—+-----.

n2n2n2

、幾/x3x183

設〃無)=萬+:5'

根據對勾函數的性質可知，當0<X<26時，"》)單調遞減；當x>2?時，〃元)單調遞

增.

p，小3x3183，/八3x4183

又〃3)=丁+可一=9n,/(4)=—+---=n9,

所以，當〃=3或〃=4時，冬有最小值為9.

n

故答案為：9.

變式10.(2024?全國?高三專題練習)已知正項數列｛%｝滿足％=1,g=64,

a?an+2=ka3,若應是｛%｝唯一的最大項，則k的取值范圍為.

【解析】因為。〃。〃+2=3匕1，所以^^=女色"，又4=1,“2=64,

an+\an

所以1%4是首項為64,公比為左的等比數列，則&旦=64右T=26左"'

I%J%

則a,=?也.….Sk*2.26k"-3.….26/?1=6“.6"””2，

an-\2

(、［224A:6>230jt10iJo

因為生是｛”“｝唯一的最大項，所以［a：〉］，即［22廉6>>隈3，解得:<人<?，

即上的取值范圍為孝］

故答案為：J，坐］?

(44)

(2n-1n<4

變式IL(2024?高三課時練習)數列｛%｝的通項公式為%=2'，一二=若為是

-n+(a-l)n,n>5,

｛4｝中的最大項，則a的取值范圍是

【答案】［9,12］

【解析】當"W4時，。“=2"-1單調遞增,

因此〃=4時，取得最大值為%=15,

2

當"25時，an=-n+(a-l)z?=-(?-'

因為處是｛4｝中的最大項，

^1<55

所以，2一,解得94。412,

-25+5(a-l)>15

故答案為：［9,12］.

變式12.(2024.北京.高三北京八中校考階段練習)數列｛a"｝中，%=-/+11〃(〃eN*),

則此數列最大項的值是.

【答案】30

【解析】設/1(〃)=-/+1山，則該數列當九=日■時，”■)取最大值，

又因為%=-"2+ll〃（“eN*）,而5＜萬＜6,

故當〃=5或〃=6時，此數列取最大項，其值為%=30,%=30,

故此數列最大項的值是：30

故答案為：30

變式13.（2024?全國?高三專題練習）已知a“=〃2T”+20225eN+，reR）,若數列｛風｝中

最小項為第3項，貝he.

【答案】（5,7）

【解析】因為〃￡）=/-拄+2020開口向上，對稱軸為％=

則由題意知5;＜：t＜：7,

222

所以10（5,7）.

故答案為：（5,7）.

變式14.（2024?全國?高三專題練習）已知數列｛。“｝的通項公式為4=〃-+2,則2的

最小值為.

【答案】1-V3/-V3+1

易知數列｛4｝為遞增數歹U,

所以數列｛%｝的最小項為為,即最小值為1-6.

故答案為：1-右

【解題方法總結】

求數列的最大項與最小項的常用方法

（1）將數列視為函數/（X）當XG*時所對應的一列函數值，根據/（X）的類型作出相

應的函數圖象，或利用求函數最值的方法，求出〃尤）的最值，進而求出數列的最大（小）

項.

（2）通過通項公式““研究數列的單調性，利用22）確定最大項，利用

"T,(〃22)確定最小項.

〔%M%+i

(3)比較法：若有4書一4=/(〃+1)—/(〃)>0或。,>0時％^>。則4+1>4,則數