直線和圓、圓錐曲線

一、單項選擇題

1.（2024?北京?高考真題）圓/+產―2x+6y=0的圓心到直線x—y+2=0的距離為（）

A.V2B.2C.3D.3V2

2.（2024?全國?高考真題）已知直線ax+6y—a+2b=0與圓C：/+/+-_i=o交于4方兩點，貝加40

的最小值為（）

A.2B.3C.4D.6

3.（2024?全國?高考真題）已知6是a,c的等差中項，直線ax+by+c=0與圓/+/+4y一i=o交于人方

兩點，則的最小值為（）

A.1B.2C.4D.2V5

4.（2024?全國?高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為（0,4）,（0,—4）,點（一6,4）在該雙曲線上，則該雙

曲線的離心率為（）

A.4B.3C.2D.V2

22

5.（2024?天津?高考真題）雙曲線放一標=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為乙、是雙曲線右支上

一點，且直線P&的斜率為2.是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）

A史—尤=1B--^=1C--^=1D--^=1

821841281481

6.（2024?全國?高考真題）已知曲線C：x2+y2=16（y>0）,從C上任意一點尸向x軸作垂線段PP-

P為垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為（）

A.f|+?=i（y>。）B-S+?=1（^>o）

c.§+T=I（y〉。）D.§+f=i（y>o）

7.（2023?全國?高考真題）已知實數久,y滿足/+產一4%一2y—4=0,貝！|x-y的最大值是（）

A.1+乎B.4C.1+3V2D.7

8.（2023?全國?高考真題）過點（0,—2）與圓/+必—4尤—1=0相切的兩條直線的夾角為a,貝㈣na=

（）

A.1B.—C.—D.—

444

9.（2023?北京?高考真題）已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,點M在C上.若M到直線％=—3的距離為5,

則|MF|=()

A.7B.6C.5D.4

10.（2023?全國?高考真題）設％尸2為橢圓C：9+y2=1的兩個焦點，點P在C上，若麗?麗=0,貝IJ

\PFr\?\PF2[?（）

A.1B.2C.4D.5

11.（2023?全國?高考真題）設O為坐標原點，Fi，&為橢圓C：9+q=1的兩個焦點，點P在C上，coszFi

PF2=I，則|OP|=（）

A.B.等C.3D.警

3ZDZ

22

12.（2023?全國?高考真題）已知雙曲線。a一標=1（。＞0,6＞0）的離心率為遙，C的一條漸近線與圓

。-2）2+3—3）2=1交于4,B兩點,則|48|=（）

A在B型C型D公

?5555

13.（2023?全國?高考真題）設/,8為雙曲線/—噂=1上兩點，下列四個點中，可為線段中點的是

（）

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.（-1,-4）

2-2

14.（2023?天津?IWJ考真題）已知雙曲線a?一:=1（。＞0力＞0）的左、右焦點分別為%、尸2.過尸2向一,條

漸近線作垂線，垂足為P.若|PF2l=2,直線P%的斜率為坐，則雙曲線的方程為（）

久2y2R%2y2

1

A-y-T-B.T-y-l

C光—比=1D1

J4224,

22

15.（2023?全國?高考真題）設橢圓的:叁+必=i（a＞i）,C2：5+y2=i的離心率分別為el。.若=M

e1；則&=（）

A.竽B.V2C.V3D.V6

16.（2023?全國?高考真題）已知橢圓。點+y=1的左、右焦點分別為F1，F2,直線y=x+zn與C交于

A,8兩點,若面積是面積的2倍，則爪=（）.

17.（2022?北京?高考真題）若直線2久+y—1=0是圓Q—a）2+y2=1的一條對稱軸，貝以=（）

A.-B.——C.1D.-1

18.（2022?天津?高考真題）已知雙曲線/一，=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為%尸2,拋物線y?=4而

久的準線/經過％,且/與雙曲線的一條漸近線交于點4若4/1尸24=%則雙曲線的方程為（）

A.盤―？=1B.7

164416

C.。―y2=iD.。=1

4/4

19.（2022?全國?高考真題）已知橢圓唁+，=1（。>6〉0）的離心率為《，分別為C的左、右頂點,

—>—>

8為C的上頂點.若=—1，則C的方程為（）

A-§+§=1B.?+^=1C.f+^=lD.f+/=l

22

20.（2022?全國?高考真題）橢圓。今+方=l（a>b>0）的左頂點為/,點、P,。均在C上，且關于y軸

對稱.若直線AP/Q的斜率之積4-為則C的離心率為（）

A.gB.乎C.|D.|

21.（2022?全國?高考真題）設尸為拋物線C：y2=4x的焦點，點/在C上，點B（3,0）,若|”|=|BF|,則

\AB\=（）

A.2B.2V2C.3D.3V2

二、多項選擇題

22.（2024?全國?高考真題）拋物線C：y2=4x的準線為/,尸為C上的動點，過尸作。4:/+（y-4尸=1

的一條切線，。為切點，過尸作/的垂線，垂足為2,則（）

A./與相切

B.當尸，A,8三點共線時，|PQ|=回

C.當|PB|=2時，P414B

D.滿足|P4|=|PB|的點P有且僅有2個

23.（2024?廣東江蘇?高考真題）設計一條美麗的絲帶，其造型K可以看作圖中的曲線C的一部分.已知。過

坐標原點。.且C上的點滿足:橫坐標大于一2,到點F（2,0）的距離與到定直線工=a（a<0）的距離之積為4,

則（）

A.a=—2B.點（2四,0）在C上

4

）

c.C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1D.當點（久0,%在C上時，y0<^

24.（2023?全國?高考真題）設。為坐標原點，直線y=—板（久—1）過拋物線。產=2pK（p>0）的焦點，

且與C交于M,N兩點，/為C的準線，則（）.

A.p=2B.\MN\=!

C.以MV為直徑的圓與/相切D.△OMN為等腰三角形

25.（2022?全國?高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線C:*=2px（p〉0）焦點廠的直線與C交于N,B

兩點,其中/在第一象限，點M（p,0）,若=則（）

A.直線48的斜率為2逐B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4|OF|D./-OAM+Z.OBM<180°

26.（2022?全國?高考真題）雙曲線C的兩個焦點為Fi，尸2，以C的實軸為直徑的圓記為。，過％作。的切

?2

線與C交于M,N兩點，且COSNF1NF2=g，則C的離心率為（）

A逅B-C叵D也

22J22

三、填空題

2

27.（2024?北京?高考真題）若直線y=kQ—3）與雙曲線？一步=1只有一個公共點，則k的一個取值為.

28.（2024?北京?高考真題）拋物線外=16x的焦點坐標為.

29.（2024?上海?高考真題）已知拋物線必=4式上有一點P到準線的距離為9,那么點P到x軸的距離為.

30.（2024?天津?高考真題）圓（久一1尸+產=25的圓心與拋物線y2=2px（p〉0）的焦點F重合，4為兩曲

線的交點，則原點到直線4F的距離為.

22

31.（2024?廣東江蘇?高考真題）設雙曲線。器―標=l（a>0,b>0）的左右焦點分別為％、F2,過&作平

行于y軸的直線交C于48兩點，若|七加=13,|AB|=10,則C的離心率為.

32.（2023?全國?高考真題）己知直線2:%—小）7+1=0與。。（久一1）2+丫2=4交于/,2兩點，寫出滿足

“△ABC面積為段的m的一個值_____.

33.（2023?北京?高考真題）已知雙曲線C的焦點為（一2,0）和（2,0）,離心率為或，則C的方程為.

34.（2023?全國?高考真題）已知點4（1,同）在拋物線C：y2=2px±,則/到。的準線的距離為.

35.（2023?天津?高考真題）已知過原點。的一條直線/與圓。。+2）2+*=3相切，且/與拋物線y2

=2px（p>0）交于點O,P兩點，若|OP|=8,則p=.

36.（2023?全國?高考真題）已知雙曲線C：《一\=l（a>0/>0）的左、右焦點分別為.點4在C上,

點B在y軸上，^ALF1B,F2A=~IF^B,則C的離心率為.

37.（2022?天津?高考真題）若直線x—y+爪=0（m>0）被圓（久一1產+（y-I）2=3截得的弦長為機，則m

的值為.

38.（2022?全國?高考真題）設點4（—2,3）,B（0,a）,若直線力B關于y=a對稱的直線與圓（x+3>+（y+2尸

=1有公共點，則a的取值范圍是.

39.（2022?全國?高考真題）設點M在直線2x+y—1=0上，點（3,0）和（0,1）均在OM上，則OM的方程

為.

40.（2022?全國?高考真題）過四點（0,0）,（4,0）,（—1,1）,（4,2）中的三點的一個圓的方程為.

41.（2022?全國?高考真題）寫出與圓=1和（久一3尸+（y—4尸=16都相切的一條直線的方程.

42.（2022?浙江?高考真題）已知雙曲線/一看=l（a>。力>0）的左焦點為尸，過尸且斜率為2的直線交雙

曲線于點4（小,心）,交雙曲線的漸近線于點3（%2必）且%1<0<%2,若|FB|=3\FA\,則雙曲線的離心率

是.

43.（2022?全國?高考真題）記雙曲線嗒一'=l（a>0力>0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x

與C無公共點”的e的一個值_____.

44.（2022?全國?高考真題）若雙曲線必一/=1（爪>0）的漸近線與圓萬2+、2一4丫+3=0相切，貝a=

45.（2022?北京?高考真題）已知雙曲線V+'=1的漸近線方程為丫=士爭，則6=.

22

46.（2022?全國?高考真題）已知橢圓C：a+M=l（a>6>0）,C的上頂點為/,兩個焦點為名,F2,離

1

心率為了過％且垂直于的直線與C交于。，E兩點，\DE\=6,則△>!￡>《的周長是.

四、解答題

47.(2024?上海?高考真題)已知雙曲線「：/—1,(。>0),左右頂點分別為①”，過點也一2,0)的直線I

交雙曲線「于P,Q兩點.

(1)若離心率e=2時，求b的值.

(2)若。=孚,為等腰三角形時，且點P在第一象限，求點P的坐標.

(3)連接OQ并延長，交雙曲線「于點R,若布?行=1,求6的取值范圍.

48.(2024?北京?高考真題)已知橢圓E：5+^=l(a>b>0),以橢圓E的焦點和短軸端點為頂點的四邊

形是邊長為2的正方形.過點(0,t)(t>J2)且斜率存在的直線與橢圓E交于不同的兩點4B,過點A和C(0,l)的

直線4C與橢圓E的另一個交點為，

(1)求橢圓E的方程及離心率；

⑵若直線2。的斜率為0,求f的值.

49.(2024?全國?高考真題)己知橢圓喏+f1=l(a>b>0)的右焦點為F,點在C上，且MFlx軸.

⑴求C的方程；

(2)過點P(4,0)的直線交C于4B兩點，N為線段FP的中點，直線NB交直線MF于點Q,證明：軸.

50.(2024?天津?高考真題)已知橢圓《+看=1(￡1>6>0)橢圓的離心率6=右左頂點為4下頂點為B,

C是線段OB的中點，其中SOBC=^.

(1)求橢圓方程.

(2)過點(0,—|)的動直線與橢圓有兩個交點P,Q.在y軸上是否存在點T使得而?而W0.若存在求出這個T

點縱坐標的取值范圍，若不存在請說明理由.

51.(2024?廣東江蘇?高考真題)已知4(0,3)和。(3,|)為橢圓。捺+工=1(a>6>0)上兩點.

(1)求C的離心率；

(2)若過尸的直線1交C于另一點2,且△ABP的面積為9,求1的方程.

52.(2023,北京考真題)已知橢圓石:叁+，=l(a>6>0)的禺心率為孚，A,C分別是E的上、下頂點,

B,。分別是E的左、右頂點，\AC\=4.

⑴求E的方程；

(2)設P為第一象限內E上的動點，直線PD與直線BC交于點M,直線P4與直線y=-2交于點N.求證:MN〃CD.

53.(2023?全國?高考真題)已知直線x—2y+l=0與拋物線C:y2=2px(p>0)交于48兩點，且

\AB\=4V15.

⑴求P；

(2)設尸為C的焦點，M,N為C上兩點，FM-fW=0,求△/1!?可面積的最小值.

54.（2023?全國?高考真題）已知橢圓喏+5=l（a>b>0）的離心率是多點力（一2,0）在C上.

⑴求C的方程；

⑵過點（一2,3）的直線交C于PQ兩點，直線4P/Q與y軸的交點分別為MN,證明：線段MN的中點為定點.

55.（2023?天津?高考真題）已知橢圓卷+真=l（a>6>0）的左右頂點分別為①4，右焦點為乩已知

出可=3,|4尸|=1.

（1）求橢圓的方程和離心率；

（2）點P在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線42P交y軸于點Q，若三角形&PQ的面積是三角形42PF面積的二

倍，求直線42P的方程.

56.(2023?全國?高考真題)已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為(一2延,0),離心率為遙.

⑴求C的方程；

(2)記C的左、右頂點分別為A2,過點(一4,0)的直線與C的左支交于N兩點，M在第二象限，直線

與NA?