第53講傳統方法求角度與距離

知識點1：線與線的夾角

平行直線

共面直線

（1）位置關系的分類：相交直線

異面直線:不同在任何一個平面內，沒有公共點

（2）異面直線所成的角

①定義：設”，6是兩條異面直線，經過空間任一點。作直線〃〃a,b'//b,把/與〃所

成的銳角（或直角）叫做異面直線。與6所成的角（或夾角）.

②范圍：（0,-]

2

③求法：平移法：將異面直線6平移到同一平面內，放在同一三角形內解三角形.

知識點2：線與面的夾角

①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角.

②范圍：[0,-]

2

③求法：

常規法：過平面外一點8做班'，平面a,交平面a于點3'；連接AB',則44?即

為直線鉆與平面a的夾角.接下來在心△/&班'中解三角形.即sin/瓦?=型=」

AB斜線長

（其中/z即點3到面a的距離，可以采用等體積法求/z,斜線長即為線段4?的長度）；

知識點3：二面角

（1）二面角定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線

稱為二面角的棱，這兩個平面稱為二面角的面.（二面角G-7-/?或者是二面角A-CD-B）

（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點為端點，在兩個半平面

內分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍[0,淚.

（3）二面角的求法

法一：定義法

在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面

角的平面角，如圖在二面角6的棱上任取一點O,以。為垂足，分別在半平面a和〃

內作垂直于棱的射線Q4和03,則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條

垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就相當于求兩條異面直線的夾角即可）.

法二：三垂線法

在面a或面月內找一合適的點A,作于O,過A作ABLc于3,則30為斜線

AB在面月內的射影，N/3O為二面角a-c-尸的平面角.如圖1,具體步驟：

①找點做面的垂線；即過點A,作A0_L〃于O；

②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過A作ABLc于8,連接30；

③計算：NASO為二面角a-c-￡的平面角，在RfZkABO中解三角形.

圖1圖2圖3

法三：射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的

都可利用射影面積公式（cosO='=￡q,如圖2）求出二面角的大小；

S斜S.ABC

法四：補棱法

當構成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確

的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題.當二平面沒有明確的交線時，

也可直接用法三的攝影面積法解題.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所

成的角，就是二面角的平面角.

例如：過二面角內一點A作AB，&于3,作AC,尸于C,面ABC交棱。于點O,則

4OC就是二面角的平面角.如圖3.此法實際應用中的比較少，此處就不一一舉例分析了.

知識點4：空間中的距離

求點到面的距離轉化為三棱錐等體積法求解.

必考題型全歸納

題型一：異面直線所成角

例1.（2024?四川綿陽?綿陽中學校考二模）如圖，圓柱的軸截面為矩形ABCD,點M,N

分別在上、下底面圓上，NB=2AN，CM=2DM，AB=2,BC=3,則異面直線AM與

CN所成角的余弦值為（）

A3而口3而「g?V3

A.-----D.-----C.U.

102054

例2.（2024?全國?高三校聯考開學考試）如圖，在直三棱柱ABC-A耳G中,

AB=BC=AC=A41,則異面直線4片與BQ所成角的余弦值等于（）

例3.（2024?江西?高三統考階段練習）如圖，二面角夕-/-分的大小為L，aua,6u/7,

6

且。與交線/所成的角為三，則直線方所成的角的正切值的最小值為（）

a

A.省B.叵C.gD.”1

13313

變式1.（2024.河南?洛寧縣第一高級中學校聯考模擬預測）在正三棱柱ABC-A旦G中，

AB=AAl,￡＞為的中點，E為4cl的中點，則異面直線與2E所成角的余弦值為

（）

V6口庖「底n后

AA.D.---C.---D.---

610147

變式2.（2024?全國?高三對口高考）兩條異面直線a、。所成角為余一條直線/與°、6成

角都等于。，那么a的取值范圍是（）

A?仁兀旬兀B.小兀，兀萬］C.黑「TT石Sir_］1口.匕兀，可2兀

變式3.（2024?四川?校聯考模擬預測）在正四棱臺ABCD-A耳中，AB=2A,B1=4,

其體積為生巫,E為BQ的中點，則異面直線與跖所成角的余弦值為（）

3

旦373730

5lo-記

變式4.（2024.黑龍江哈爾濱.哈爾濱市第六中學校校考三模）正三棱柱ABC-A耳G的棱長

均相等，E是用G的中點，則異面直線A4與所成角的余弦值為（）

A④RV2「MN3A/W

432020

題型二：線面角

例4.（2024?貴州貴陽?校聯考三模）如圖，在直三棱柱ABC-AWG中，AB=AC=A^,

ZBAC=60°,則A4與平面A41GC所成角的正弦值等于（）

A/2R6c而n

AA.----D.--C.----U.-----

2244

例5.（2024?全國?高三專題練習）如圖，在四棱錐P-ASCD中，AB//CD,

ZABC=90,AAD尸是等邊三角形，AB=AP=2,BP=3,AD±BP.

⑴求BC的長度；

（2）求直線BC與平面ADP所成的角的正弦值.

例6.（2024?廣東陽江?高三統考開學考試）在正三棱臺ABC-中，AB=6,

A4=AA=3,。為AG中點，E在8月上，EB=2BIE.

⑴請作出4片與平面CDE的交點并寫出AM與Mg的比值（在圖中保留作圖痕跡,

不必寫出畫法和理由）;

(2)求直線BM與平面ABC所成角的正弦值.

變式5.(2024.海南海口.海南華僑中學校考二模)如圖，在多面體ABC-OEFG中，平面

ABC，平面。EFG,底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC=yf2,側面ACGD是正方

形，D1_L平面ABC,且FB〃GC,GEIDE.

⑴證明：AELGE.

⑵若。是DG的中點，。￡/平面3。6/，求直線OE與平面的所成角的正弦值.

變式6.(2024?全國?高三專題練習)在三棱錐O-ABC中，

AB=BC=OB=2,^ABC=120，平面3co_L平面A3C,且

(1)證明：OB±AC；

(2)若F是直線OC上的一個動點，求直線AF與平面A5C所成的角的正切值最大值.

變式7.（2024?湖南邵陽?高三統考學業考試）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABC。

是邊長為2的正方形，AC與8。交于點。，面ABCD,且R4=2.

⑴求證班平面PAC.；

⑵求PD與平面PAC所成角的大小.

變式8.（2024?全國?高三專題練習）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，4。，底面ABC,

ZACB=90°,A4,=2,兒到平面BCC.B,的距離為1.

⑴證明：\C=AC-

（2）已知AA與BB｝的距離為2,求A片與平面BCQBi所成角的正弦值.

變式9.（2024?全國?模擬預測）如圖，在多面體ABCOE中，平面ACD，平面ABC,

8E_L平面ABC,ACD是邊長為2的正三角形，AB=BC=—,BE=6.

3

（1）點M為線段CD上一點，求證：DEYAM-,

（2）求AE與平面BCE所成角的正弦值.

變式10.（2024?海南海口?統考模擬預測）如圖，四棱錐尸-ABCD中，AB//CD,

AB±AD,平面平面PCD

⑴證明：平面平面ABCD；

⑵若AD=2AB=2,PB=V2，PD=也,8c與平面PCD所成的角為6,求sin。的最大

值.

變式11.（2024?全國.模擬預測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，

AD//BC,ZBAZ）=90°,R4_L底面ABC。，S.PA=AD=AB=2BC,M,N分別為

PC,PB的中點.

p

A'>

B

(1)證明：PB±DM.

(2)求3。與平面ADMN所成角的正弦值.

變式12.(2024.全國?高三專題練習)如圖所示，在四棱錐E-A6CD中，底面A8CD為直

角梯形，AB//CD,AB=^CD,CDLCE,ZADC=NEDC=45。,AD=近,

BE=6

(1)求證：平面ABE2平面"CD；

⑵設M為AE的中點，求直線DM與平面ABCD所成角的正弦值.

題型三：二面角

例7.(2024?全國?高三專題練習)如圖，在三棱柱MC-AEC中，已知平面

ABB'A,AB=2,且A￡.

⑴求A4'的長；

⑵若D為線段AC的中點，求二面角A-。的余弦值.

例8.（2024?全國?高三專題練習）如圖，在三棱柱ABC-A用G中，側面3與弓。為菱形,

/CBB\=60,AB^BC^2,AC=ABt=應.

（1）證明：平面AC41平面BBCC；

⑵求二面角A-AG-4的余弦值.

例9.（2024?廣東深圳?高三校聯考開學考試）在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為正方

形，AB1PD.

(1)證明：平面R4D_L平面4BCZ)；

⑵若24=尸￡>,ZPDA=60°,求平面B4￡)與平面P8C夾角的余弦值.

變式13.(2024?四川成都?高三川大附中校考階段練習)如圖，A3是圓。的直徑，點P在

圓。所在平面上的射影恰是圓。上的點C,且AC=23C,點。是R4的中點，PO與BD

交于點E,點尸是PC上的一個動點.

(1)求證：BC1PA-,

(2)求二面角3-尸C-O平面角的余弦值.

變式14.(2024?云南?高三云南師大附中校考階段練習)已知在四棱錐尸-ABCD中，

AB=4,BC=3,AD=5,ZDAB=ZABC=ZCBP=90,PA±CD,E為CD的中點.

P一

D

BC

(1)證明：平面PCD_L平面鞏E；

(2)若直線PB與平面B4E所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求二面角

P—CD-A的正弦值.

變式15.(2024?廣東廣州?高三廣州市第六十五中學校考階段練習)如圖，在五面體ABCDE

中，AZ5_L平面ABC,ADBE,AD=2BE,AB=BC.

(1)問：在線段CO上是否存在點P,使得平面AC。?若存在，請指出點尸的位置，并

證明；若不存在，請說明理由.

(2)若42=6，AC=2,AD=2,求平面ECO與平面48c夾角的余弦值.

變式16.(2024.安徽黃山?屯溪一中校考模擬預測)如圖，在梯形ABCD中，ABCD,

AD=DC=CB=1,ZABC=60°,四邊形ACFE為矩形，平面ACFE_L平面ABCD,

CF=1.

F

M

E

D

'B

(1)求證：BCmACFE；

(2)求二面角A-M-C的平面角的余弦值;

(3)若點M在線段EF上運動，設平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為仇，＜90。),

試求COS0的范圍.

變式17.(2024.吉林?長春吉大附中實驗學校校考模擬預測)如圖，AB是圓。的直徑，點

C是圓。上異于的點，直線PC,平面ABCE,尸分別是PAPC的中點.

(1)記平面與平面ABC的交線為/,證明：//平面PCB；

(2)設(1)中的直線/與圓。的另一個交點為且點。滿足=記直線PQ與平

面A3C所成的角為凡異面直線尸。與所成的角為a,二面角E-/-C的大小為廣，求

證：sin。=sinasin尸.

變式18.(2024.全國?高三專題練習)如圖，在三棱錐尸-ABC中，AB1BC,AB=2,

BC=272，PB=PC=?BP,AP,8C的中點分別為。，E,O,AD=45DO,點/在

AC上，BFLAO.

⑴證明：￡F〃平面A。。；

(2)證明：平面ADO_L平面8￡F；

(3)求二面角O-AO-C的正弦值.

變式19.(2024?廣東廣州?統考三模)如圖，在幾何體ABCDEF中，矩形3DEF所在平面

與平面ABCD互相垂直，S.AB=BC=BF=1,AD=CD=^>,EF=2.

⑴求證：3。，平面。。石；

(2)求二面角E-AC-O的平面角的余弦值.

變式20.(2024?浙江?校聯考模擬預測)己知四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為平行四邊

形，ABLAP,平面PCD_L平面ABCD,PD=AT>.

（1）若H為釬的中點，證明：AP1平面8CD；

⑵若AB=1,AD=區PA=2近,求平面從B與平面PCD所夾角的余弦值.

變式21.（2024.河南?洛寧縣第一高級中學校聯考模擬預測）在圖1中，一ABC為等腰直角

三角形，?B90?,AB=2/，ACD為等邊三角形，。為AC邊的中點，E在BC邊

上，且EC=2BE,沿AC將ACD進行折疊，使點。運動到點F的位置，如圖2,連接

FO,FB,FE,使得FB=4.

⑴證明：平面ABC.

⑵求二面角E-E4-C的余弦值.

變式22.（2024?江蘇蘇州?校聯考三模）如圖，在三棱錐尸-ABC中，.ABC是邊長為6夜

的等邊三角形，且R4=PB=PC=6,P￡）_L平面ABC,垂足為。，。后！.平面R4B,垂足

為E,連接PE并延長交A3于點G.

⑴求二面角尸-AB-C的余弦值；

(2)在平面PAC內找一點尸，使得跖1平面PAC,說明作法及理由，并求四面體PDEE

的體積.

變式23.(2024.全國?高三專題練習)已知四棱錐尸-ABCD的底面為梯形ABCD,且

AB//CD,又上4_LAD,AB=AD=\,CD=2,平面PAD_L平面ABCD,平面E4Dc平面

PBC=I.

(1)判斷直線/和3c的位置關系，并說明理由；

(2)若點。到平面P3C的距離為:，請從下列①②中選出一個作為已知條件，求二面角

■8-/-D余弦值大小.

①CD_LA￡＞；

②/PAB為二面角P—AD—B的平面角.

題型四：距離問題

例10.(2024?山東濱州?高三山東省北鎮中學校考階段練習)如圖所示的斜三棱柱

ABC-48cl中，是正方形，且點G在平面上的射影恰是A2的中點以，M

是C4的中點.

⑴判斷與面OL41G的關系，并證明你的結論；

⑵若C1〃=百，AB=2,求斜三棱柱兩底面間的距離.

例11.(2024?北京海淀?高三海淀實驗中學校考期末)如圖，在三棱柱ABC-A瓦G中，平

面AGCA，平面側面是邊長為2的正方形，G2=CC=2,E,尸分別為

BC,A片的中點.

(1)證明：EF面4￡CA

(2)請再從下列三個條件中選擇一個補充在題干中，完成題目所給的問題.

①直線A3與平面3CG片所成角的大小為;；②三棱錐F-8GE的體積為:；③

43

BCJAC.若選擇條件.

求（i）求二面角的余弦值;

（ii）求直線所與平面4GCA的距離.

例12.（2024.全國.高三專題練習）如圖，三棱錐P-ABC中，_上45,.ABC均為等邊三

角形，PA=A,。為A3中點，點。在AC上，滿足"）=1,且面面ABC.

⑴證明：DCXffiPOD；

⑵若點石為PB中點，問：直線AC上是否存在點R使得EF〃面POD,若存在，求出

FC的長及EF到面POO的距離；若不存在，說明理由.

變式24.（2024.廣東河源.高三校聯考開學考試）在長方體488-4用CR中，

AB=BC=3,朋=2,P,Q為A。，2G的中點，S在2C上，且3s=1.過尸，Q,S

三點的平面與長方體的六個面相交得到六邊形尸QRSMN,則點/到直線QR的距離

為—.

變式25.（2024.黑龍江?黑龍江實驗中學校考二模）在圓臺QU中，ABCD是其軸截面，

AD=DC=BC=^AB,過。。與軸截面ABCD垂直的平面交下底面于EF,若點A到平面

變式26.（2024?全國?高三專題練習）如圖，已知AB,CM分別為圓柱上、下底面的直徑,

且42=2,圓柱的高為豆，ABLCM,則點M到平面ABC的距離為.

變式27.（2024?湖北武漢.高三武漢市黃陂區第一中學校考階段練習）在四面體ABCD中，

AB=1,CD=2,AB與CO所在的直線間的距離為3,且AB與。所成的角為60,則四面

體ABCD的體積為.

變式28.（2024?浙江紹興?高三統考開學考試）在正三棱錐P-ABC中，PA=B設

分別是棱PAAB的中點，。是三棱錐尸-ABC的外接球的球心，若MN1MC,貝|0到平

面ABC的距離為.

變式29.（2024?全國?高三對口高考）已知線段且AD與平面1的距離為4,點8

是平面。上的動點，且滿足A3=5,若位）=10,則線段8。長度的取值范圍是.

變式30.（2024?全國?高三專題練習）已知NAC8=90。，P為平面ABC外一點，PC=4,點

尸至叱兩邊AC,8C的距離均為2石，那么點尸到平面ABC的距離為.

變式31.（2024.安徽滁州?校聯考二模）已知兩平行平面辦分間的距離為2石，點A、Bea,

點C、Dw/,且43=4,8=3,若異面直線A8與。所成角為60。，則四面體ABCD的體

積為________

第53講傳統方法求角度與距離

知識梳理

知識點1：線與線的夾角

］玨而吉建J平行直線

（1）位置關系的分類：［相交直線

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點

（2）異面直線所成的角

①定義：設a,6是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線b'//b,把/與〃所

成的銳角（或直角）叫做異面直線。與6所成的角（或夾角）.

②范圍：（0,-］

2

③求法：平移法：將異面直線a,匕平移到同一平面內，放在同一三角形內解三角形.

知識點2：線與面的夾角

①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角.

②范圍：［0,-］

2

③求法：

常規法：過平面外一點3做33'，平面a,交平面。于點3'；連接AB',則NE43'即

為直線至與平面a的夾角.接下來在心△?'中解三角形.即sin/BAB，=%=

AB斜線長

（其中/l即點3到面a的距離，可以采用等體積法求//,斜線長即為線段AB的長度）；

知識點3：二面角

（1）二面角定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線

稱為二面角的棱,這兩個平面稱為二面角的面.（二面角C-/-月或者是二面角A-CD-3）

（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點為端點，在兩個半平面

內分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍［0,祠.

（3）二面角的求法

法一：定義法

在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面

角的平面角，如圖在二面角的棱上任取一點O,以。為垂足，分別在半平面c和〃

內作垂直于棱的射線。4和03,則射線和03所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條

垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就相當于求兩條異面直線的夾角即可）.

法二：三垂線法

在面a或面〃內找一合適的點A,作于O,過A作于3,則30為斜線

他在面力內的射影，N/3O為二面角a-c-尸的平面角.如圖1,具體步驟：

①找點做面的垂線；即過點A,作40,6于O；

②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過A作ABLc于5,連接30；

③計算：NABO為二面角a-c-6的平面角，在府中解三角形.

圖1圖2圖3

法三：射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的

都可利用射影面積公式（cos0=&==3,如圖2）求出二面角的大小；

S斜S.ABC

法四：補棱法

當構成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確

的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題.當二平面沒有明確的交線時，

也可直接用法三的攝影面積法解題.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所

成的角，就是二面角的平面角.

例如：過二面角內一點A作于5,作AC_L￡于C,面ABC交棱a于點O,則

/BOC就是二面角的平面角.如圖3.此法實際應用中的比較少，此處就不一一舉例分析了.

知識點4：空間中的距離

求點到面的距離轉化為三棱錐等體積法求解.

必考題型全歸納

題型一：異面直線所成角

例1.（2024?四川綿陽?綿陽中學校考二模）如圖，圓柱的軸截面為矩形ABCD,點N

分別在上、下底面圓上，NB=2AN，CM=2DM，AB=2,BC=3,則異面直線AM與

3口3而口6

AA.--屈--D.----U.U.

102054

【答案】B

【解析】如圖（1）,在AB上取點E，使AE=2EB，

N

圖⑴

連接A?,AN,NB,BE,EA.

易知四邊形4VBE為矩形，則NB〃AE,且A?=AE.

連接MN,CM.因為MN〃BC,且MN=3C,

所以四邊形ACVBC為平行四邊形，所以。0〃A?,且CN=NB.

連接CE,則AE〃。度，且AE=CM,

所以四邊形A￡CM為平行四邊形，則AM〃CE,

所以NNCE或其補角是異面直線AM與CN所成的角.

在RtAABN中，NB=2AN，AB=2,BN=拒,AN=1,

在Rt^BNC中，CB=3,BN=6所以CN=由?+（。戶=26.

在RtBCE中，CB=3,BE=1,所以。石=7?7?=亞.又NE=AB=2,

10+12-43屈

在△河：￡1中，由余弦定理cosNNCE=

2x710x2^20

故選：B.

例2.（2024.全國?高三校聯考開學考試）如圖，在直三棱柱ABC-A瑪q中,

AB=BC=AC=AAif則異面直線入用與3G所成角的余弦值等于（）

A.B1

BcD.-

2-I-I4

【答案】D

【解析】如圖,將該幾何體補成一個直四棱柱ABC。-AAGA，由題易得底面A3CD為菱

形，且,ABC為等邊三角形.

連接。G，3D,易得A4〃￡>G，所以48￡￡>（或其補角）是異面直線4片與BG所成的

角.

設AB=1,則BC|=￡>G=應,8￡>=2=y/i，

(&『+(局-(Gy1

所以cos/BC|O=

2x(0)24

例3.（2024?江西?高三統考階段練習）如圖，二面角夕-/-尸的大小為L，aua,bu4,

6

且。與交線/所成的角為三，則直線a,6所成的角的正切值的最小值為（）

-百B.普C.乎D.誓

【答案】B

【解析】先證明一個結論：如圖，直線ST為平面/的一條斜線，T為斜足，ST與平面7

所成的角為凡則平面/內的直線與直線ST所成角的最小值為6.

證明：對于平面7內的任意一條直線巾，如果其不過點T,則可以平移該直線至點T,

此時直線機與直線ST所成角即為平移后的直線與直線ST所成的角.

設平移后的直線為直線TG（如圖），過S作7U的垂線，垂足為E,

S在平面/內的射影為。，連接07,則NST0=，，

而直線TG與直線ST所成的角即為/S7E,其中

因為sin/S7E=笑,sin<9=也,SENSO,

STST

故NSTE2當且僅當7U與OT重合時等號成立,

所以平面/內的直線與直線ST所成角的最小值為夕

回到原題,

如圖，設al=B,取〃上一點A,過A作AC_L/,垂足為C,AD_L尸,

垂足為O,連接

因為AD_L力，lu0,故A￡)_U,而AC_L/,ADAC=A,

A￡),ACu平面ADC,故/J.平面ADC,

而。Cu平面ADC,故CD，/,故/ACD為平面a-/-/?的平面角的補角,

5兀兀

故NAC0=7i——

66

不妨令AT>=%,則AC=2x,DC=&.

2x_________

乂NABC=60。，所以BC=看,所以BD={DC2+BC2=爭,

ll,,tan^ABD=

所以

因為故A3與平面/?所成的角為NABD,

由前述所證結論可得，直線6所成角的最小值為其正切值為叵.

變式1.（2024.河南?洛寧縣第一高級中學校聯考模擬預測）在正三棱柱ABC-A耳G中，

A8=AA，。為A片的中點，E為4G的中點，則異面直線與BE所成角的余弦值為

()

V6R屈「庖735

AA.D.C.Un.

610147

【答案】C

【解析】。為A用的中點，E為4G的中點，所以。E=；Gg,DE//CA,

如圖，延長CB至凡使得BF=；CB,連接。E,DF,AF,CB=CXBX,

因為8歹=：￡耳，所以￡>E=B尸，DE//BF,

所以四邊形BEDF是平行四邊形，DFHEB,

則NADP為異面直線與BE所成的角或補角.設42=44,=2,

取AC的中點連接EM、BM,

則￡M_LAC,EM=2,BM=64。=1,

DF=EB=ylEM2+BM2=^22+（A/3）2=幣,

A￡>=J例2+412=｛展+12=后,

由余弦定理得AF=-JAB2+BF--2ABXBFcos120=幣，

3+。方2_4產下1底

由余弦定理得cosZADF=__V___—___

2ADxDF2幣-14

所以直線AO與BE所成角的余弦值為叵

14

故選：C.

變式2.（2024?全國?高三對口高考）兩條異面直線隊6所成角為；一條直線/與。、6成

角都等于。，那么a的取值范圍是（）

兀717171712兀

A.B.c?底］D.

6；2

【答案】B

TT

【解析】設a〃a,b,//b,a'b'=O,則a',少確定平面"，且,與〃的夾角為三,

1//r,/'過點。，如圖，當/'U6時，并且/'為多角的平分線時，此時a=￡,

36

當/'<z方時，且r為平面△的斜線時，由題意可知，/'在平面/的射影，落在儲與〃的所

成角的平分線上,

當落在夾角g的角平分線上時，過直線/'上一點P,作尸AB±b\連結依,

Uu/3,則R4_LZ/,PAAB=A,且尸平面笈上，所以Z/1平面

尸J5u平面所以tanZJPOB=tan6Z=,tanZAOB=tan—=,

OB6OB

因為所以tana>tan《，此時

當/'，6時，此時a=g,

TT7T

可知，a的取值范圍是,

62

當/'在與■角的平分線時，或是/'在平面夕的射影，落在三角的平分線時，以及時,

TTTT

此時a的取值范圍是y,-

jr7T

綜上可知，a的取值范圍是,

o2_

故選：B

變式3.（2024.四川?校聯考模擬預測）在正四棱臺4BCD-A8GA中，AB=2AiBi=4,

其體積為空亞,E為BQ的中點，則異面直線A2與班所成角的余弦值為（）

3

AV3R6R3A/3NA/30

1051010

【答案】D

【解析】設正四棱臺A3CO-A耳GR的高為〃，

連接作D尸〃BE交于點尸，

作。GL8D交3。于點G,連接AG,A廠，

則ZAD.F為異面直線AD,與砥所成角或其補角.

因為AB=2A耳=4,

且正四棱臺-AAGA的體積為差也，

3

即;（4+16+J4xl6）/z=^^,

所以"=&，即RG=0,

易求DG=BF=E，

BG=3近,

DF=AF=AG=M，

AD1=2近，

r-r-|U/4Z~>F12+10-10y/30

所以cos/ADXF=----=一==--.

2x2V3xV1010

故選：D.

變式4.（2024?黑龍江哈爾濱.哈爾濱市第六中學校校考三模）正三棱柱ABC-A耳G的棱長

均相等，E是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）

A0RA/2「屈n3麻

432020

【答案】D

【解析】連接AEAB，設尸為4萬的中點，設A4，AB交于點D

連接少尸，由于四邊形耳4為平行四邊形，故。為的中點，

所以DF//BE,則ZADF即為異面直線A用與BE所成角或其補角,

w

B

連接AF,由于正三棱柱ABC-ABG的棱長均相等，設棱長為2,

?;.DF=gBE=與,

則BE=小44+BE=>/4+T=

AD=-ABl=^2,AiE=^,:.A[F=—,則AF=+=

V什4

2+519

AD-+DF--AF-2+4-T3M

故在產中，COSZADF===

5

2ADDF2.叵叵20

2

jr

由于異面直線AB】與BE所成角的范圍為（0,會，

故異面直線AB｛與BE所成角的余弦值為酒,

20

故選：D

題型二：線面角

例4.（2024?貴州貴陽?校聯考三模）如圖，在直三棱柱ABC-4AG中，AB=AC=AA^,

?

ZBAC=60°,則A4與平面A41GC所成角的正弦值等于（）

Q

AB

V2口6pV6D,巫

AA.----D.--C.----

2244

【答案】c

【解析】如圖所示：

取AG的中點。，連接用。，AD,

在正三棱柱ABC-AAG中，底面A4G是正三角形，

.?.B|O，AG，又?.CGJ■底面A4G，旦。u平面AAG，

又CC|CAG=G，CC|U平面AACC，AGu平面AACC,

.?.瓦。，平面AAGC,

SAD為AB,與平面AA^C所成角，

由題意，設AB=AC=A4j=2a,BXD=小(2d)。-a。=s/3a，

AB]=Q(2a)。+(2a)2=2-$/2a,

在Rt^4AO中，sinNB\AD=與2=￡±=顯,

1ABl2缶4

故選：C.

例5.(2024?全國?高三專題練習)如圖，在四棱錐P-ASCD中，AB//CD,

ZABC=90,AAPP是等邊三角形，AB=AP=2,BP=3,ADrBP.

A

A---.s

⑴求3C的長度；

(2)求直線BC與平面ADP所成的角的正弦值.

【解析】(1)取A。中點尸，連接尸RBRBD,

ADP是等邊三角形，，尸尸，4),

又ADLBP,BPcPF=P,3P,尸尸u平面尸Eg,二AD_L平面尸￡6,

3Fu平面尸用，:.ADVBF<.'.BD=AB-2,

AB。為等邊三角形，BC=A/22-12=A/3.

(2)AD_L平面尸FB,ADu平面APQ,二平面PFB_L平面API),

作3GLPF,垂足為G,則平面APD,ADBC=H,連接的,

:.NBHG為直線BC與平面ADP所成的角，

由題意知：PF=BF=5又BP=3,

PF?+BF?-BP?3+3-9

/.cosZGFB=

2PFBF―62

3

ZGFB=120,BG=-

2f

V3

ZABC=ZBCD=90,：.CD=1,:.BH=26...sinZBHG=

4

???直線3c與平面AZ*所成的角的正弦值為史.

4

例6.(2024?廣東陽江?高三統考開學考試)在正三棱臺ABC-A4G中，AB=6,

44=9=3,。為AG中點，E在8月上，EB=2B1E.

⑴請作出4片與平面CDE的交點并寫出AM與加用的比值（在圖中保留作圖痕跡,

不必寫出畫法和理由）；

（2）求直線BM與平面ABC所成角的正弦值.

【解析】（1）①作圖步驟：延長CE，04,使其相交于N,連接DN,則可得

DNI\BX=M.

作圖如下：

作圖理由：在平面CBqq中，顯然CE與G耳不平行，延長相交于N,

由NeCE,則Ne平面CED,由Oe平面CED,則DN