專題2.8函數模型及其應用【六大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1利用函數圖象刻畫實際問題的變化過程】...................................................2

【題型2已知函數模型解決實際問題】..............................................................4

【題型3構造二次函數模型】......................................................................5

【題型4構造指數、對數函數模型】...............................................................7

【題型5構造分段函數模型】......................................................................8

【題型6函數模型的選擇問題】....................................................................9

?考情分析

1、函數模型及其應用

考點要求真題統計考情分析

（1）了解指數函數、對數函

數與一次函數增長速度的

差異函數模型是高考數學的重要內容之

⑵理解“指數爆炸”“對數2020年新高考全國I卷：第6一，從近幾年的高考形勢來看，高考對

增長”“直線上升”等術語題，5分函數模型的考查相對穩定，一般以選擇

的含義2020年全國in卷:第4題，題與填空題的形式出現，難度不大；學

⑶會選擇合適的函數模5分生在復習中要加強對建模能力和應用能

型刻畫現實問題的變化規力的培養.

律，了解函數模型在社會

生活中的廣泛應用

?知識梳理

【知識點1幾種常見的函數模型】

1.一次函數模型

一次函數模型：兀0=依+6（左力為常數，際0）.

一次函數是常見的一種函數模型，在初中就已接觸過.

2.二次函數模型

二次函數模型：7（x）=ax2+fcv+c（a,6,c為常數，存0）.

二次函數為生活中常見的一種數學模型，因二次函數可求其最大值（或最小值），故最優、最省等最值

問題常用到二次函數模型.

3.塞函數模型

幕函數模型應用的求解策略

(1)給出含參數的函數關系式，利用待定系數法求出參數，確定函數關系式.

(2)根據題意，直接列出相應的函數關系式.

4.指數函數模型

指數函數模型:/(x)=6a*+c(a,6,c為常數，a>0,且*1,厚0).

4.對數函數模型

對數函數模型：/'(x)=61og“x+c(a,仇c為常數,a>0,且存1，—0).

6.分段函數模型

由于分段函數在不同區間上具有不同的解析式，因此分段函數在研究條件變化前后的實際問題中具有

廣泛的應用.

7.“對勾”函數模型

對勾函數模型是常考的模型，要牢記此類函數的性質，尤其是單調性：產ar+g(a>0,b>0),當x>0時,

在1d上遞減'在(1，+8)上遞增?另外'還要注意換元法的運用.

【知識點2判斷函數圖象與實際問題變化過程的解題策略】

1.判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象.

(2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排

除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.

【知識點3實際問題中函數建模的基本步驟】

1.構造函數模型解決實際問題的基本步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數量關系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的函數模型.

(3)求解：根據實際問題所需要解決的目標及函數式的結構特征正確求得函數模型的解.

(4)還原：應用問題不是單純的數學問題，既要符合數學學科背景又要符合實際背景，因此解出的結果

要代入原問題中進行檢驗、評判，最后得出結論，作出回答.

?舉一反三

【題型1利用函數圖象刻畫實際問題的變化過程】

【例1】(2024?海南?模擬預測)下列四個圖象中，與所給三個事件吻合最好的順序為()

①我離開家不久，發現自己把作業本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業本再上學;

②我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；

③我出發后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速.

A.④①②B.③①②C.②①④D.③②①

【變式1-1]（2024?全國?模擬預測）某公司在30天內4商品的銷售價格P（元）與時間t（天）的關系滿足

下方圖象所示的函數，4商品的銷售量Q（萬件）與時間t的關系是Q=40-a則下列說法正確的是（）

③最大日銷售額為120萬元④最大日銷售額為125萬元

A.①③B.①④C.②③D.②④

【變式1-2]（2023?北京門頭溝?一模）在聲學中，音量被定義為：Lp=201g*,其中J是音量（單位為流?），

P。是基準聲壓為2x10-5Pa,P是實際聲音壓強.人耳能聽到的最小音量稱為聽覺下限閾值.經過研究表明，

人耳對于不同頻率的聲音有不同的聽覺下限閾值，如下圖所示，其中240Hz對應的聽覺下限閾值為20dB,

1000Hz對應的聽覺下限閾值為OdB,則下列結論正確的是（）

A.音量同為20dB的聲音，30~100Hz的低頻比1000~10000Hz的高頻更容易被人們聽到.

B.聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大而減小.

C.240Hz的聽覺下限閾值的實際聲壓為0.002Pa.

D.240Hz的聽覺下限閾值的實際聲壓為1000Hz的聽覺下限閾值實際聲壓的10倍.

【變式1-3]（2024?全國?模擬預測）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數關系的圖象，假

設其函數關系為指數函數，現給出下列說法，其中正確的說法有（）

A.野生水葫蘆的面積每月增長量相等

B.野生水葫蘆從9m2蔓延到36m2歷時超過1個月

C.設野生水葫蘆蔓延到9m2,20m2,40m2所需的時間分別為匕，打，則有G+匕＜2^

D.野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均

速度

【題型2已知函數模型解決實際問題】

【例2】（2024?廣東茂名?一模）Go〃驢e〃z曲線用于預測生長曲線的回歸預測，常見的應用有：代謝預測，

腫瘤生長預測，有限區域內生物種群數量預測，工業產品的市場預測等，其公式為：f（x）=kabT（其中人＞

0,6＞0,a為參數）.某研究員打算利用該函數模型預測公司新產品未來的銷售量增長情況，發現a=e.若久=

1表示該新產品今年的年產量，估計明年0=2）的產量將是今年的e倍，那么b的值為（e為自然數對數的底

數）（）

A.—B.—C.V5-1D.V5+1

22

【變式2-1］（23-24高三上.北京通州?階段練習）被譽為信息論之父的香農提出了一個著名的公式：C=

仞og2（l+§，其中C為最大數據傳輸速率，單位為bit/s；W為信道帶寬，單位為Hz；灑信噪比.香農公

式在5G技術中發揮著舉足輕重的作用.當J=99,W=2000Hz時，最大數據傳輸速率記為6；當］=9999,

加=3000Hz時，最大數據傳輸速率記為。2，則合為（）

C1

A.-B.-C.—D.3

324

【變式2-2］（2024?陜西安康?模擬預測）若一段河流的蓄水量為。立方米，每天水流量為k立方米，每天往

這段河流排水r立方米的污水，貝狂天后河水的污染指數機⑴=（+（如-。e與（如為初始值,領＞0）.現

有一條被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以當前的污染指數為初始值，若從現在開始停止排

污水，要使河水的污染指數下降到初始值的點需要的天數大約是（參考數據：ln7=1.95）（）

A.98B.105C.117D.130

【變式2-3］（2024.四川.模擬預測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實

現時速350km自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內噪聲更小.如果用聲強/（單位：W/m2）表示

聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級L（單位：dB）與聲強/的函數關系式為L=L0lg（a/）,

其中為基準聲強級，。為常數，當聲強/=日時，聲強級L=20dB.下表為不同列車聲源在距離20m處的

聲強級：

聲源與聲源的距離（單位：m）聲強級范圍

內燃列車20[50,80]

電力列車20[20,50]

高速列車20{10}

設在離內燃列車、電力列車、高速列車20m處測得的實際聲強分別為/I//，則下列結論正確的是（）

A.Lo=30B.>I2C.I2>10/3D.<100/2

【題型3構造二次函數模型】

【例3】（2023?江西九江?模擬預測）隨著新冠病毒的暴發，感染人數越來越多，醫療資料受到極大的挑戰,

某地政府開始建立方艙醫院，建筑公司為某方艙醫院一病區預備的建筑材料總長為158米，計劃建立24間

病房，分為兩排，過道的寬為1米，病房的長為x米，如圖所示，如何設計病房的長、寬才能使單間病房面

積最大？

【變式3-1］（2024?上海青浦?一模）考慮到高速公路行車安全需要，一般要求高速公路的車速u（公里/小時）

控制在[60,120]范圍內.已知汽車以0公里/小時的速度在高速公路上勻速行駛時，每小時的油耗(所需要的汽

油量)為2("—左+等)升，其中卜為常數，不同型號汽車k值不同，且滿足60WkW120.

(1)若某型號汽車以120公里/小時的速度行駛時，每小時的油耗為11.5升，欲使這種型號的汽車每小時的油

耗不超過9升，求車速"的取值范圍；

(2)求不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.

【變式3-2](2022?上海虹口?一模)某地政府決定向當地納稅額在4萬元至8萬元(包括4萬元和8萬元)

的小微企業發放補助款，發放方案規定：補助款隨企業納稅額的增加而增加，且補助款不低于納稅額的50%.

設企業納稅額為x(單位：萬元)，補助款為f(x)=；/一族(單位：萬元)，其中人為常數.

42

(1)分別判斷6=0,6=1時，f(x)是否符合發放方案規定，并說明理由；

(2)若函數/(%)符合發放方案規定，求b的取值范圍.

【變式3-3](2023?上海嘉定?二模)某村共有100戶農民，且都從事蔬菜種植，平均每戶的年收入為2萬

元.為了調整產業結構，該鎮政府決定動員部分農民從事蔬菜加工.據估計，若能動員x(x€N*)戶農民從

事蔬菜加工，則剩下的繼續從事蔬菜種植的農民平均每戶的年收入比上一年提高2x%,而從事蔬菜加工的

農民平均每戶的年收入為2(a—。％)(a>0)萬元.

(1)在動員x戶農民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農民的總年收入不低于動員前100戶農民的總

年收入，求久的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，要使這100戶農民中從事蔬菜加工的農民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的

農民的總年收入，求a的最大值.

【題型4構造指數、對數函數模型】

[例4]（2024?陜西西安?模擬預測）2023年10月31日，國務院新聞辦舉行“權威部門話開局”系列主題新

聞發布會的第28場發布會.會上提出蒙古國、中國，包括東北亞的日本、韓國，都是沙漠化的受害者，所以防

沙治沙、植樹造林符合本地區各國和人民當前及長遠利益.根據對中國國家整理的中國沙塵暴資料的分析，發

現持續時間大于t的沙塵暴次數N滿足N=a-10-tb,目前經測驗4地情況氣象局發現，t=300時，次數N=

5j=600時，次數N=3,據此計算N=4時對應的持續時間t約為（）

（參考數據：lg2x0.301,lg3-0.477）

A.389B.358C.423D.431

【變式4-1]（2024.寧夏銀川?一模）鋰電池在存放過程中會發生自放電現象，其電容量損失量隨時間的變

化規律為、=卜嚴，其中。（單位mAh）為電池容量損失量，p是時間f的指數項，反映了時間趨勢由反應

級數決定，上是方程剩余項未知參數的組合，與溫度T和電池初始荷電狀態M等自放電影響因素有關.以某

種品牌鋰電池為研究對象，經實驗采集數據進行擬合后獲得p=0.5,相關統計學參數R2>0.995,且預

測值與實際值誤差很小.在研究M對。的影響時，其他參量可通過控制視為常數，電池自放電容量損失量

隨時間的變化規律為Q=ktp=e（?BM）tP,經實驗采集數據進行擬合后獲得4=2.228,8=1.3,相關統計

學參數#=0.999,且預測值與實際值誤差很小.若該品牌電池初始荷電狀態為80%,存放16天后，電容

量損失量約為（）

（參考數據為：e322~25.08,e3232?25.33,e3265~26.26,e3628?37.64）

A.100.32B.101.32C.105.04D.150.56

【變式4-2]（2024?湖南長沙?三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數值，里氏震級最早是

由查爾斯?里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為M=lg2-IgA。，其中M表示某地地震的里

氏震級，4表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，4。表示這次地震中的標準地震振幅.假設在一

次地震中，某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000,且這次地震的標準地震振幅為0.002,則該

地這次地震的里氏震級約為（）（參考數據：0.3）

A.6.3級B.6.4級C.7.4級D.7.6級

【變式4-3]（2023?陜西咸陽?模擬預測）陜西榆林神木石期遺址發現于1976,經過數十年的發掘研究，已

證實是中國已發現的龍山晚期到夏早期規模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁畫、房屋、城池、人

體骨骼等遺跡，2019年科技人員對遺跡中發現的某具人婁骨骼化石進行碳14測定年代，公式為：t=

57301n(—)+0.693(其中t為樣本距今年代，出為現代活體中碳14放射性豐度，4為測定樣本中碳14放射

性豐度)，已知現代活體中碳14放射性豐度40=1.2XICT%該人類骨骼碳14放射性豐度2=7.4xIO-%

則該骨骼化石距今的年份大約為()(附：lnl.6216=0.4834,lnl.7=0.5306,Ini.5=0.4055)

A.3353B.3997C.4125D.4387

【題型5構造分段函數模型】

【例5】(2023?上海普陀?模擬預測)某公司按銷售額給銷售員提成作獎金，每月的基本銷售額為20萬元，

超額中的第一個5萬元(含5萬元以下)，按超額部分的2%提成作獎金；超額中的第二個5萬元，按超額

部分的4%提成作獎金；……后每增加5萬元，其提成比例也增加一個2%.如銷售員某月銷售額為27萬元,

則按照合約，他可得獎金為50000x2%+(70000-50000)x4%=1800元.試求：

(1)銷售員某月獲得獎金7200元，則他該月的銷售額為多少？

(2)若某銷售員7、8月份的總銷售額為60萬元，且兩月都完成基本銷售額，那么他這兩個月的總獎金的最大、

最小值分別是多少？

【變式5-1](2023?上海浦東新?三模)某晚報曾刊登過一則生活趣事，某市民唐某乘坐出租車時，在半途

中罵罵咧咧要求司機臨時停靠，打表計價結賬，然后重新計價，繼續前行，該市民解釋說，根據經驗，這

樣分開支付車費比一次性付費便宜一些，他的這一說法有道理嗎？確實，由于出租車運價上調，有些人出

行時會估計一下可能的價格，再決定是否乘坐出租車.據了解，2018年上海出租車在5時到23時之間起租

價為14元/3千米，超起租里程單價為2.50元/千米，總里程超過15千米(不含15千米)部分按超起租里

程單價加50%.此外，相關部門還規定了低速等候費和其他時段的計價辦法，以及適合其他車型的計價辦法.

你乘坐過出租車嗎？你會仿效那位市民唐某的做法嗎？為什么？

(1)根據上述情境你能提出什么數學問題？為了解決你的問題，你能否作出一些合理假設？

(2)你能否根據你的假設建立數學模型，并回答你所提出的問題.

【變式5-2]（2024.江蘇南通.二模）某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環境消毒，已知在一定范圍

內，每噴灑1個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫米/立方米）隨著時間x（單位：小時）變化

的關系如下：當0WXW4時，y=蕓一1；當4〈久W10時，y=5-^x.若多次噴灑，則某一時刻空氣中

的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應時刻所釋放的濃度之和.由實驗知，當空氣中消毒劑的濃度不低

于4（毫克/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用.

（1）若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？

（2）若第一次噴灑2個單位的消毒劑，6小時后再噴灑a（l<a<4）個單位的消毒劑，要使接下來的4小時中

能夠持續有效消毒，試求a的最小值（精確到01，參考數據：/取1.4）

【變式5-3]（2024.上海寶山?模擬預測）自2017年起，上海市開展中小河道綜合整治，全面推進“人水相

依，延續風貌，豐富設施，精彩活動”的整治目標.某科學研究所針對河道整治問題研發了一種生物復合劑.這

種生物復合劑入水后每1個單位的活性隨時間x（單位：小時）變化的函數為u=

/256,.?.

------%+64，0V%v4

，+4—，已知當x=4時，a的值為28,且只有在活性不低于3.5時才能產生有效作

、a（12—x）/4<%<12

用.

（1）試計算每1個單位生物復合劑入水后產生有效作用的時間；（結果精確到0.1小時）

（2）由于環境影響，每1個單位生物復合劑入水后會產生損耗，設損耗剩余量。關于時間x的函數為u=

0<%<12,記aw為每1個單位生物復合劑的實際活性，求出U2的最大值.（結果精確到0.1）

【題型6函數模型的選擇問題】

【例6】（2024.上海崇明.二模）環保生活，低碳出行，電動汽車正成為人們購車的熱門選擇.某型號的電

動汽車在國道上進行測試，國道限速80km/h.經多次測試得到該汽車每小時耗電量M（單位：Wh）與速度

v（單位：km/h）的數據如下表所示:

V0104060

M0132544007200

為了描述國道上該汽車每小時耗電量〃與速度口的關系，現有以下三種函數模型供選擇：

32

①Mi（u）=—v+bv+cv；②M2（U）=1000?+a；③M3（u）=3001ogav+b.

（1）當時，請選出你認為最符合表格中所列數據的函數模型（需說明理由），并求出相應的函數

解析式；

（2）現有一輛同型號電動汽車從A地行駛到8地，其中高速上行駛200km,國道上行駛30km,若高速路上該

汽車每小時耗電量N（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的關系滿足N3）=2v2-10v+200（80<v<

120）,則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？

【變式6-1］（2024?全國?模擬預測）某養殖場隨著技術的進步和規模的擴張，肉雞產量在不斷增加.我們

收集到2020年前10個月該養殖場上市的肉雞產量如下:

月份（m）12345678910

產量（W）1.02072.00002.57822.99743.31393.57893.80414.00004.17364.3294

產量W（萬只）和月份m之間可能存在以下四種函數關系：①W=b?aq②W=6?機氣③皿=b+logam；

@W=a+-.（各式中均有a>0,b>0）.

m

（I）請你從這四個函數模型中去掉一個與表格數據不吻合的函數模型，并說明理由；

（II）請你從表格數據中選擇2月份和8月份，再從第一問剩下的三種模型中任選兩個函數模型進行建模,

求出這兩種函數表達式再分別求出兩種模型下4月份的產量，并說明哪個函數模型更好.

【變式6-2］（23-24高一上?浙江湖州?期末）隨著電動汽車研發技術的日益成熟，電動汽車的普及率越來越

高.某型號電動汽車在封閉路段進行測試，限速80km/h（不含80km/h）.經多次測試得到，該汽車每小

時耗電量M（單位：Wh）與速度u（單位：km/h）的數據如下表所示.

V0103070

M0132533759275

為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關系，現有以下三種函數模型供選擇：

32

M（v）=v+bv+cv,M（u）=1000?修）+a,M（u）=3001ogav+b.

（1）當0<u<80時，請選出你認為最符合表格所列數據實際的函數模型，并求出相應的函數解析式；

（2）在本次測試報告中，該電動汽車的最長續航里程為400km.若測試過程為勻速運動，請計算本次測試時

的車速為何值時，該電動汽車電池所需的容量（單位：Wh）最小？并計算出該最小值.

【變式6-3］（23-24高一上.上海.期末）浦東某購物中心開業便吸引了市民紛紛來打卡（觀光或消費），某

校數學建模社團根據調查發現：該購物中心開業一個月內（以30天計），每天打卡人數PQ）與第x天近似地

滿足函數POO=8+：（萬人），k為正常數,且第8天的打卡人數為9萬人.

工+從請你根據上表中

的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數來描述打卡市民（含觀光）的人均消費CQ）（元）與第x天的關

系，并求出該函數的解析式;

（2）確定k的值，并在問題（1）的基礎上，求出該購物中心日營業收入f（x）（1W久W30,x為正整數）的最

小值（單位：萬元）.

（注：日營業收入=日打卡人數P（x）x人均消費CO））.

?過關測試

一、單選題

1.（2024.青海海西?模擬預測）北京時間2020年11月24日4時30分，中國在文昌航天發射場用長征五

號遙五運載火箭，成功將嫦娥五號月球探測器送入地月轉移軌道，發射取得圓滿成功.在不考慮空氣阻力

的情況下，火箭的最大速度。（km/s）和燃料的質量M（kg）、火箭（除燃料外）的質量?n（kg）的函數關系是u=

20001n（l+\）.按照這個規律，當1000M=8m時，火箭的最大速度為女；當1000M=4m時，火箭的最

大速度為攻.則丹-%（參考數據：ln|||=0.004）（）

A.8.0km/sB.8.4km/sC.8.8km/sD.9.0km/s

2.（2024.寧夏吳忠.模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km,經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量Q

（單位：L）與速度u（單位：km/h）（0<v<120）的下列數據：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（）

A.Q=0.5"+aB.Q=avb

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=k\ogav+b

3.（2024.內蒙古赤峰.一模）在下列四個圖形中，點P從點。出發，按逆時針方向沿周長為/的圖形運動

一周，0、尸兩點連線的距離y與點尸走過的路程x的函數關系如圖，那么點尸所走的圖形是（）

必

OIX

T

4.（2024?全國?模擬預測）近年來，“共享單車”的出現為市民“綠色出行”提供了極大方便.某共享單車公司

計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據行業規定，每座城市至少要投資40萬元.由前期市場調研可知：

甲城市收益P（單位：萬元）與投入a（單位：萬元）滿足P=3后-6,乙城市收益Q（單位：萬元）與投入4（單

位：萬元）滿足Q=；A+2,則投資這兩座城市收益的最大值為（）

4

A.26萬元B.44萬元C.48萬元D.72萬元

5.（2024.北京通州.二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間t（單位:

月）的關系式為S=M+i（a>0,且aRl）,圖象如圖所示.則下列結論正確的個數為（）

①浮萍每個月增長的面積都相等；

②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；

③浮萍面積每個月的增長率均為50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經過的時間分別是t2,t3-則ti+t2=t3.

6.（2024?北京懷柔?模擬預測）“綠水青山就是金山銀山”的理念已經提出18年，我國城鄉深化河道生態環

境治理，科學治污.現有某鄉村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進出水量為左立方米，已知污染

源以每天廠個單位污染河水，某一時段M單位：天）河水污染質量指數爪（t）（每立方米河水所含的污染物）

滿足機（t）=*+（爪0-。0-宗（爪0為初始質量指數），經測算，河道蓄水量是每天進出水量的50倍.若從現

在開始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的；，需要的時間大約是（參考數據：ln5=1.61,

6

ln6?1.79）（）

A.1個月B.3個月C.半年D.1年

7.（2023?北京?模擬預測）血藥濃度（PlasmaConcentration^）是指藥物吸收后在血漿內的總濃度.藥物在

人體內發揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1

單位某藥物后，體內血藥濃度及相關信息如圖所示：

J

U

I不

一最低中毒濃度（MTC）

安

ohU峰濃度

I

)全

幽

范

理

圍

名&

目-----最低有效濃度（MEC）

,

疝、時）

O12345^6―7—7rli

——持續期------J殘留期

根據圖中提供的信息，下列關于成人使用該藥物的說法中:

①首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發揮治療作用；

②每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產生藥物中毒；

③每向隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續發揮治療作用；

④首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發生藥物中毒.

其中正確說法的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2023?江西南昌?二模）為了預防某種病毒，某學校需要通過噴灑藥物對教室進行全面消毒.出于對學

生身體健康的考慮，相關部門規定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時，學生方可進入教室.已

知從噴灑藥物開始，教室內部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時間f（分鐘）之間的函數關系為y=

0.1t,0<t<10

，函數的圖像如圖所示.如果早上7：30就有學生進入教室，那么開始噴灑藥物的時間最

遲是（）

A.7：00B.6：40C.6：30D.6：00

二、多選題

9.（2024.河南?模擬預測）1889年瑞典的阿倫尼烏斯提出了阿倫尼烏斯公式：k=Ae-^（R和4均為大于0

的常數），k為反應速率常數（與反應速率成正比），T為熱力學溫度（T>0）,在同一個化學反應過程中

以為大于0的定值.已知對于某一化學反應，若熱力學溫度分別為A和72時，反應速率常數分別為七和B（此

過程中力，R與％的值保持不變），貝U（）

A.右則七>七

B.若丁>12，則七<々2

C.若T2=3T「一黑=加，則ln?=|"

D.若72=371，——M,則In答=|M

10.（2023?全國?模擬預測）小菲在學校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線.為了解自己記憶一組單詞的情

況，她記錄了隨后一個月的有關數據，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間x（單位：天）之間的函數關

（7

-----X+1,0<%<1

系霽x.則下列說法中正確的是（）

”（劫EK3。

A.隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低

B.第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多

C.9天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%

D.26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%

11.（2024.全國.模擬預測）某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀

態，經搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為64ppm,繼續排氣4分鐘后又測

得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間t（單位：分鐘）之間滿

足函數關系y=aeRt（a,R為常數,e是自然對數的底數）.若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm,人就可

以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（）

A.a=128

B.R=-\n2

4

C.排氣12分鐘后濃度為16Ppm

D.排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫

三、填空題

12.（2024.廣東廣州.模擬預測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒，等于10T8秒，原子核內部作用

過程的持續時間可用“阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到，“一尺之例，日取其半，萬世不竭”，如果把“一

尺之梗”的長度看成1米，按照此法，至少需要經過天才能使剩下“梗”的長度小于光在2“阿托秒”內

走過的距離.（參考數據：光速為3x108米/秒，［g2yo.3,lg3=0.48）

13.（2024?上海長寧?二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運營的相關數據如下表：

甲乙丙

接單量f（單）783182258338

油費S（元）107150110264110376

平均每單里程左（公里）151515

平均每公里油費a（元）0.70.70.7

出租車空駛率=鱉給需鬻警；依據以上數據，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型a=

出租車仃駛的總里程

f（s,t,k,a）,并求得甲、乙、丙的空駛率分別為23.26%、21.68%、x%,貝卜=.（精確到0.01）

14.（2024.北京.模擬預測）農業技術員進行某種作物的種植密度試驗，把一塊試驗田劃分為8塊面積相等

的區域（除了種植密度，其它影響作物生長的因素都保持一致），種植密度和單株產量統計如下：

種植密度（株數/n?）

5

45

4

3

Z4

2

1

區域代號

O

根據上表所提供信息，第號區域的總產量最大.

四、解答題

15.（2024?貴州六盤水?模擬預測）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.水城春茶

因富含有機茶硒和十余種人體必需的微量元素而享譽貴州省內外.經驗表明，水城春茶用85K的水泡制，再

等到茶水溫度降至60久時，飲用口感最佳.為方便控制水溫，某研究小組采用了物體在常溫環境下溫度變化

的冷卻模型：若物體的初始溫度是%。c,室溫是品久，則經過時間單位：分鐘)后物體的溫度e(單位:

℃)滿足。=。0+(的-/)?e-kt,其中々為正常數.該研究小組在19K的室溫下，通過多次測量取平均值的

方法，測得200mL初始溫度為98汽的水的溫度降至相應溫度所需時間如下表所示：

從98冤降至85久所需時間3.4分鐘

從98久降至80久所需時間5.0分鐘

(1)從上表中選取一組數據求出發的值(精確到0.01),并根據上述冷卻模型寫出冷卻時間f關于冷卻后水溫

。的函數解析式；

(2)在(1)的條件下，現用200mL水在19久的室溫下泡制水城春茶，從泡制到獲得最佳飲用口感約需要多

少分鐘？(精確到0.1分鐘)

(參考數據：ln79?4.369,ln66?4.190,ln61?4.111,ln41?3.714)

16.(2023?上海楊浦?一模)企業經營一款節能環保產品，其成本由研發成本與生產成本兩部分構成.生產

成本固定為每臺130元.根據市場調研，若該產品產量為x萬臺時，每萬臺產品的銷售收入為/(x)萬元.兩

者滿足關系：/(%)=220-x(0<%<220)

(1)甲企業獨家經營，其研發成本為60萬元.求甲企業能獲得利潤的最大值；

(2)乙企業見有利可圖，也經營該產品，其研發成本為40萬元.問：乙企業產量多少萬臺時獲得的利潤最大;

(假定甲企業按照原先最大利潤生產，并未因乙的加入而改變)

(3)由于乙企業參與，甲企業將不能得到預期的最大收益、因此會作相應調整，之后乙企業也會隨之作出調

整，最終雙方達到動態平衡(在對方當前產量不變的情況下，己方達到利潤最大)求動態平衡時，兩企業

各自的產量和利潤分別是多少.

17.(2024?浙江金華?模擬預測)太陽能板供電是節約能源的體現，其中包含電池板和蓄電池兩個重要組件,

太陽能板通過電池板將太陽能轉換為電能，再將電能儲存于蓄電池中.已知在一定條件下，入射光功率密

度p=9(E為入射光能量且E>0,S為入射光入射有效面積)，電池板轉換效率〃(0<r]<100%)與入射光

功率密度p成反比，且比例系數為4.

⑴若k=2,S=1.5平方米，求蓄電池電能儲存量。與E的關系式；

(2)現有鉛酸蓄電池和鋰離子蓄電池兩種蓄電池可供選擇，且鉛酸蓄電池的放電量/=Q+E-i,鋰離子蓄電

池的放電量/=及+".設SNl,k>1,給定不同的Q,請分析并討論為了使得太陽能板供電效果更好,

應該選擇哪種蓄電池？

注：①蓄電池電能儲存量Q=/E；

②當S,k,。一定時，蓄電池的放電量越大，太陽能板供電效果越好.

18.(2023?上海嘉定?一模)李先生屬于一年工作250天的上班族，計劃購置一輛新車用以通勤.大致推斷每

天早八點從家出發，晚上六點回家，往返總距離為40公里.考慮從48兩款車型中選擇其一，A款車是燃油

車，B款車是電動車，售價均為30萬元.現提供關于兩種車型的相關信息：

4款車的油耗為6升/百公里，油價為每升8至9元.車險費用4000元/年.購置稅為售價的10%.購車后，車價每年

折舊率為12%.保養費用平均2000元/萬公里；

B款車的電耗為20度/百公里，電費為每度0.6至0.7元.車險費用6000元/年.國務院2022年出臺文件，宣布保持

免除購置稅政策.電池使用壽命為5年，更換費用為10萬元.購車后，車價每年折舊率為15%.保養費用平均

1000元/萬公里.

(1)除了上述了解到的情況，還有哪些因素可能需要考慮?寫出這些因素(至少3個，不超過5個)；

(2)為了簡化問題，請對相關因素做出合情假設，由此為李先生作出買車的決策，并說明理由.

19.（2024?北京?二模）為響應國家“降碳減排”號召，新能源汽車得到蓬勃發展，而電池是新能源汽車最核

心的部件之一.湖南某企業為抓住新能源汽車發展帶來的歷史性機遇，決定開發生產一款新能源電池設備.生

產這款設備的年固定成本為200萬元，每生產x臺（xeN+）需要另投入成本以久）（萬元），當年產量久不足

45臺時，a（x）=工久2+30%―300萬元，當年產量%不少于45臺時，a（久）=61久+至U-900萬元.若每臺設

2x+1

備的售價與銷售量的關系式為（60+詈）萬元，經過市場分析，該企業生產新能源電池設備能全部售完.

（1）求年利潤y（萬元）關于年產量%（臺）的函數關系式；

（2）年產量x為多少臺時，該企業在這一款新能源電池設備的生產中獲利最大？最大利潤是多少萬元？

專題2.8函數模型及其應用【六大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1利用函數圖象刻畫實際問題的變化過程】...................................................2

【題型2已知函數模型解決實際問題】..............................................................4

【題型3構造二次函數模型】......................................................................5

【題型4構造指數、對數函數模型】...............................................................7

【題型5構造分段函數模型】......................................................................8

【題型6函數模型的選擇問題】....................................................................9

?考情分析

1、函數模型及其應用

考點要求真題統計考情分析

(1)了解指數函數、對數函

數與一次函數增長速度的

差異函數模型是高考數學的重要內容之

⑵理解“指數爆炸”“對數2020年新高考全國I卷：第6一，從近幾年的高考形勢來看，高考對

增長”“直線上升”等術語題，5分函數模型的考查相對穩定，一般以選擇

的含義2020年全國in卷:第4題,題與填空題的形式出現，難度不大；學

⑶會選擇合適的函數模5分生在復習中要加強對建模能力和應用能

型刻畫現實問題的變化規力的培養.

律，了解函數模型在社會

生活中的廣泛應用

?知識梳理

【知識點1幾種常見的函數模型】

1.一次函數模型

一次函數模型：式x)=fcc+b/力為常數，片0).

一次函數是常見的一種函數模型，在初中就已接觸過.

2.二次函數模型

二次函數模型：為常數，

二次函數為生活中常見的一種數學模型，因二次函數可求其最大值(或最小值)，故最優、最省等最值

問題常用到二次函數模型.

3.塞函數模型

幕函數模型應用的求解策略

(1)給出含參數的函數關系式，利用待定系數法求出參數，確定函數關系式.

(2)根據題意，直接列出相應的函數關系式.

4.指數函數模型

指數函數模型：/'(x)=ba，+c(a,6,c為常數，a>0,且存1,厚0).

4.對數函數模型

對數函數模型：/■(工)=6108/十，3力,亡為常數,a>0,且分1,厚0).

6.分段函數模型

由于分段函數在不同區間上具有不同的解析式，因此分段函數在研究條件變化前后的實際問題中具有

廣泛的應用.

7.“對勾”函數模型

對勾函數模型是常考的模型，要牢記此類函數的性質，尤其是單調性：y=ax+^(a>Q,b>0),當x>0時,

在?J1d上遞減'在(\W，+8)上遞增.另外'還要注意換元法的運用.

【知識點2判斷函數圖象與實際問題變化過程的解題策略】

1.判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象.

(2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排

除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.

【知識點3實際問題中函數建模的基本步驟】

1.構造函數模型解決實際問題的基本步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數量關系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的函數模型.

(3)求解：根據實際問題所需要解決的目標及函數式的結構特征正確求得函數模型的解.

(4)還原：應用問題不是單純的數學問題，既要符合數學學科背景又要符合實際背景，因此解出的結果

要代入原問題中進行檢驗、評判，最后得出結論，作出回答.

?舉一反三

【題型1利用函數圖象刻畫實際問題的變化過程】

【例1】(2024?海南?模擬預測)下列四個圖象中，與所給三個事件吻合最好的順序為()

①我離開家不久，發現自己把作業本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業本再上學;

②我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間;

③我出發后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速.

A.④①②B.③①②C.②①④D.③②①

【解題思路】根據三個事件的特征，分析離家距離的變化情況，選出符合事件的圖像.

【解答過程】對于事件①，中途返回家，離家距離為0,故圖像④符合；

對于事件②，堵車中途耽擱了一些時間，中間有段時間離家距離不變，故圖像①符合;

對于事件③，前面速度慢，后面趕時間加快速度，故圖像②符合；

故選：A.

【變式1-1]（2024?全國?模擬預測）某公