2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練6

導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)

[考情分析]1.此部分內(nèi)容是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容.在選擇題、填空題中多考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、

幾何意義，難度較小2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性多在選擇題、填空題靠后的位置考查，難

度中等偏上，屬綜合性問(wèn)題.

【練前疑難講解】

一、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和幾何意義

1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

⑴阿士ga)r=f(x)±gr(X).

(2)應(yīng)辦g(x)]‘=f(x)g(x)-\-j[x)g'(x).

(3)閣=，'(x)

,Lg(X)」[g(x)r

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1曠(無(wú)0)的幾何意義：曲線y=/U)在點(diǎn)。0,犬Xo))處的切線的斜率，該切線的方程為y-Kxo)

=f(尤0)?(尤一尤o).

(2)切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線>=兀0上；②在切線上.

二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

(1)求函數(shù)的定義域；

(2)求導(dǎo)函數(shù)/(尤)；

(3)由/(x)>0的解集確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，由7?'(無(wú))<0的解集確定函數(shù)兀0的單調(diào)

遞減區(qū)間.

三、由單調(diào)性求參數(shù)范圍

由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

(1)若可導(dǎo)函數(shù)穴犬)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則/(x)20(xWM)恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)人X)在區(qū)間

M上單調(diào)遞減，則/Q)W0(xGM)恒成立；

(2)若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，則/(尤)>0(或(尤)<0)在該區(qū)間上存在解集；

⑶若己知/(x)在區(qū)間/上的單調(diào)性，區(qū)間/中含有參數(shù)時(shí)，可先求出汽幻的單調(diào)區(qū)間，則/是

其單調(diào)區(qū)間的子集.

一、單選題

L(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)"x)=ln(e2*+l)-如是偶函數(shù)，則曲線y=〃“在

處的切線斜率為()

12

B.0C.一D.

22

2.(24-25高三上?安徽?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(%)=/-Hnx的圖象在點(diǎn)(1)⑴)處的切線方

程為y=xf貝！Ia二()

1

A.-2B.-1C.-D.1

2

3.(2023?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(x)=lnx+爐-?在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)

〃的取值范圍是()

A.B.卜8,C.(—8,2]D.[1,+co)

4.(2024?云南大理模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(%)=加+cosx-1在(0,+“)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的

取值范圍為()

A.B.[g'+s]C.[1,+co)D.(1,+GO)

二、解答題

5.(2024?浙江金華?一模)已知函數(shù)/(犬)=3%2-Qlnx+(1-〃)無(wú)，(?>0).

⑴若々=1,求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

2

⑵若小)"e?求〃的取值范圍.

6.(2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=-alnx+(2〃+l)x—%2.

(1)若。=g，求f(x)在(1，/⑴)處的切線方程.

(2)討論/(x)的單調(diào)性.

⑶求證：若a>0,/Q)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2023?山東濰坊,模擬預(yù)測(cè))設(shè)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且lim四二^^至。=-2,

—Ax

則曲線y=〃尤)在點(diǎn)(1,〃功處的切線斜率為()

1

A.2B.-1C.1D.——

2

2.(2023?河南鄭州?二模)已知曲線y=xln%+Qef在點(diǎn)x=1處的切線方程為2x—y+人=。，

則人()

A.-1B.-2C.—3D.0

3.（2023?山東?二模）已知直線與曲線y=e不相切，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.-2B.-1C.0D.2

4.（2023?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）若〃x）=alnx+6x2+尤在x=l和x=2處有極值，則函數(shù)

外力的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.（-oo,l）B.（2,+co）C.（1,2）D.Q,1

5.（2023?重慶?一模）已知函數(shù)/（無(wú)）=；渥+尤2+x+4,貝是"/（尤）在R上單調(diào)遞

增"的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/。）=/。＞0）,a為實(shí)數(shù)，/（x）的導(dǎo)函數(shù)為了'（x）,

在同一直角坐標(biāo)系中，/（X）與尸（X）的大致圖象不可能是（）

7.（2023?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/Q）和g（x）分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，且

/(x)+g(x)=2\則()

A.f(x)-g(x)=2-x

B./(x)在定義域(-8,+8)上單調(diào)遞增

C./(X)的導(dǎo)函數(shù)((幻21

D.gM>1

8.(22-23高三上?江蘇南京?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=3*-2，，xeR,則下列結(jié)論正確

的是()

A.函數(shù)/■")在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增

B.存在aeR,使得函數(shù)'=曾為奇函數(shù)

a

C.任意xeR,

D.函數(shù)g(x)=/(x)+x有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

三、填空題

9.(2022?全國(guó)?高考真題)若曲線y=(x+a)e”有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則〃的取值范圍

是.

10.(2023?廣西?一模)若曲線＞與〉=lnx有一條斜率為2的公切線，則

a=.

11.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))曲線〃x)=(x+l)/+lnx在(l,a)處的切線與直線版-y+2=0

平行\(zhòng)貝IJ人.

四、解答題

12.(22-23高二下?四川資陽(yáng)?期末)已知函數(shù)/(x)=e*-M+l.

(1)求曲線＞=/(%)在(0,/(0))處的切線方程；

(2)若xe(0,+8)時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

13.(23-24高三上?湖北?期中)己知函數(shù)〃無(wú))=#+恭2+(q_])x+i.

⑴若曲線y=〃x)在點(diǎn)(2,"2))處的切線與直線6》+〉+1=。平行，求出這條切線的方程；

⑵討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)性.

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2023?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)"力，g(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x),g'(x)的定義域

均為R,〃2尤+1)為奇函數(shù)，g(x—1)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則()

A./(g(T))=-/(g⑴)B,g(/(-l))=-g(/(3))

C./(g.l))=/3⑴)D.g(廣(T))=g(〃3))

/、[ox+l,x＜0

2.（2023?北京西城?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃無(wú)）=也尤＞0，若存在無(wú)。＞°，使得

/（-x0）=-〃毛）成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.B.（-oo,l]C.[1,+co）D.[-1,1]

3.（2023?廣東佛山?二模）若斜率為1的直線/與曲線y=ln（x+a）和圓產(chǎn)+丁=；都相切，

則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.-1B.0C.2D.0或2

4.（2023?陜西寶雞?二模）若過(guò)點(diǎn)（0,2）可作曲線＞=爐+3/+辦+”2的三條切線，則。

的取值范圍是（）

A.（-3,-1）B.（-2,2）C.（4,5）D.（4,6）

5.（2023?全國(guó)?二模）若曲線〃x）=金有三條過(guò)點(diǎn)（0,可的切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

（）

A.《JB.[oC.時(shí)D.心

6.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知/⑺是定義在R上的奇函數(shù)，g（x）=y'（x）-2e,+x也是定

義在R上的奇函數(shù)，則關(guān)于尤的不等式g（l-f）+g（2x+2）＞。的解集為（）

A.（^?,-l）u（3,+＜x＞）B.（F,-3）U（L+°O）

C.（-1,3）D.（-3,1）

7.（2024?北京海淀?一模）函數(shù)是定義在（Y,4）上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，

/（3）=0.設(shè)尸。）是,3的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于尤的不等式/（尤+D?八尤）20的解集是（）

A.[0,2]B.[-3,0]U[3,4)C.(-5,0]U[2,4)D.(-4,0]U[2,3)

二、多選題

8.（2025?四川巴中?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)"x）=asinx+cosx的圖象關(guān)于對(duì)稱，下列結(jié)

論中正確的是（）

A./卜-\是奇函數(shù)

B.巾=/

7E

C.右/（X）在［-根,相］上單調(diào)遞增，貝！

JT

D./（x）的圖象與直線y=2x+：有三個(gè)交點(diǎn)

9.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=sin（3x+3,下列說(shuō)法正確的是（）

A.〃尤）的最小正周期為市

B.點(diǎn)［,。［為〃x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.若/（尤）="（。€1＜）在口］-白父上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則也4.＜1

L189」2

D.若“X）的導(dǎo)函數(shù)為（（X）,則函數(shù)y=/（x）+r（x）的最大值為M

三、填空題

10.（22-23高二下?浙江杭州?期中）若直線y=%（x+D-l與曲線y=e'相切，直線

y=履（x+1）-1與曲線y=In無(wú)相切，則k網(wǎng)的值為1

11.（2023?廣東佛山?一模）己知曲線“無(wú)）=6與曲線g（x）=alnx（aeR）相交，且在

交點(diǎn)處有相同的切線，則。=.

四、解答題

12.（2020?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃尤）=依-?-111尤（aeR）.

（1）若f（x）是定義域上的增函數(shù)，求a的取值范圍；

2

（2）若。＞,,若函數(shù)/（久）有兩個(gè)極值點(diǎn)看，%（為＜々），求尤?）的取值范圍.

13.（2024?江蘇徐州?一模）已知函數(shù)/'（x"f+izx-ln尤，aeR.

⑴若函數(shù)y=〃x）-在（0,2］上單調(diào)遞減，求a的取值范圍：

⑵若直線y=前與〃x）的圖象相切，求a的值.

14.(22-23高二下?天津紅橋?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx-ox(aeR).

⑴若尤=1是/(x)的極值點(diǎn)，求”的值；

⑵求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶若函數(shù)在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練6

導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)

[考情分析]1.此部分內(nèi)容是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容.在選擇題、填空題中多考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、

幾何意義，難度較小2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性多在選擇題、填空題靠后的位置考查，難

度中等偏上，屬綜合性問(wèn)題.

【練前疑難講解】

一、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和幾何意義

1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

⑴g)±g(x)r=f(x)±g'(X).

(2)[/U>g(x)]'=f(x)g(x)+ftx)g'(x).

(3)闿(x)/

，Lg(E)」[gWJ-

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1曠(無(wú)0)的幾何意義：曲線y=/(x)在點(diǎn)(xo,道劭))處的切線的斜率，該切線的方程為y—/(xo)

=f'(Xo)-(X—尤0).

(2)切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線y=/(x)上；②在切線上.

二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

(1)求函數(shù)/U)的定義域；

⑵求導(dǎo)函數(shù),(x);

⑶由f(x)>0的解集確定函數(shù)兀0的單調(diào)遞增區(qū)間，由f(x)<0的解集確定函數(shù)八x)的單調(diào)

遞減區(qū)間.

三、由單調(diào)性求參數(shù)范圍

由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

(1)若可導(dǎo)函數(shù)五尤)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則/(勸20(尤G")恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)兀v)在區(qū)間

M上單調(diào)遞減，則/7(x)WO(xGM)恒成立；

(2)若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間,則/(無(wú))>0(或/(尤)<0)在該區(qū)間上存在解集；

⑶若已知式x)在區(qū)間/上的單調(diào)性，區(qū)間/中含有參數(shù)時(shí)，可先求出/(X)的單調(diào)區(qū)間，則/是

其單調(diào)區(qū)間的子集.

一、單選題

1.(2024廣東?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)"x)=ln(e2，+l)-ox是偶函數(shù)，則曲線y=在尤=0

處的切線斜率為()

2.(24-25高三上?安徽?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/⑴=必一41nx的圖象在點(diǎn)(1"⑴)處的切線方

程為y=%,貝！J〃=()

1

A.-2B.-1C.-D.1

2

3.(2023?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(犬)=lnx+爐-?在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)

4的取值范圍是()

A.B.卜8,2AC.(-8,2]D.[1,+oo)

4.(2024?云南大理?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)“力二加+cosx-1在(0,+。)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的

取值范圍為()

A.:什001B.[g,+s]C.[1,+co)D.(1,+GO)

二、解答題

5.(2024?浙江金華?一模)已知函數(shù)/(x)=g%2一〃1nx+(1一々)%,(〃＞0).

⑴若a=l,求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

2

⑵若"力之-求e〃的取值范圍.

6.(2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=-alnx+(2〃+l)%-%2.

(1)若。=g，求f(x)在(1"⑴)處的切線方程.

(2)討論了。)的單調(diào)性.

⑶求證：若。＞0,/(尤)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

參考答案:

題號(hào)1234

答案BDBA

1.B

【分析】利用偶函數(shù)的定義可求得。=1,進(jìn)而求得＞=/(X)在％=0處的導(dǎo)數(shù)，可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“X)是偶函數(shù)，所以〃T)=〃x),又易得函數(shù)〃%)的定義域是R,

即In(e-"2+1)+ox=In^e2x+l)-or,

(2x.iA

所以2ox=ln(e2"+l)-ln(e-2"+l)=ln———=lne2x=2x,

1e+1J

所以2(Q—l)x=O,XxeR,所以解得a=l,所以dn?'+l)—x,

所以尸(x)=T，所以尸(O)=石上產(chǎn)/。-1=0,

e+1e+1

所以曲線y=〃尤)在x=o處的切線斜率為0.

故選：B.

2.D

【分析】求出函數(shù)了。)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即得.

【詳解】函數(shù)/(%)=Y—Qin%,求導(dǎo)得/(犬)=2]-3,

X

依題意，[⑴=2—0=1,所以4=1.

故選：D

3.B

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:(%)NO在(0,+8)上恒成立，利用基本不等式可得.

【詳解】“X)的定義域?yàn)?0,+8),f'(x)=^+2x-a,

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=111犬+/-6在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以工+2x-a20在(0,+8)上恒成立，即工+2x2。在(0,+8)上恒成立，

XX

因?yàn)長(zhǎng)+2X22、1^=2衣，當(dāng)且僅當(dāng)彳="時(shí)，等號(hào)成立，

X\x2

所以=2a,所以2VL

\X7min

故選：B

4.A

【分析】尸W20對(duì)xe(0,+8)恒成立，其中((0)=0,令g(%)=f，(x),則g，(O)ZO,

從而得到?>|,驗(yàn)證后得到答案.

【詳解】/,(x)=2<xr-sinx,由題意尸(x)20對(duì)xe(0,+8)恒成立，

其中/'(0)=0,令貝久)=尸0),

則需g'⑼20,其中g(shù)'(x)=2a-cos尤，故2a-120naN：,

當(dāng)時(shí)，g,（x）=2（7-cosx＞l-cosx＞0,故f'（久）在（0,+8）上遞增，

回廣（x）＞/（。）=。成立.

當(dāng)時(shí)，取易知g＜x）=2a—cosx在上單調(diào)遞增，

若“W0,則g'（x）=2a-cosx＜0,所以/''（x）在]。，3上遞減，

故尸（力＜/'（0）=0,與題意不符,舍去;

若時(shí)，g'（0）=2〃—l＜0,g'^=2a＞0,所以存在與（0e],使得

g'伉）=。,

當(dāng)?！辏?,九0）時(shí)，g'（x）=2a—cos尤＜0,所以/'（%）在（0,%）上遞減，

故/'（X）＜/（。）=。，與題意不符，舍去；

綜上得

故選：A.

5.⑴單調(diào)增區(qū)間為。,收），減區(qū)間為（0,1）

⑵（0,e]

【分析】（1）代入?yún)?shù)值，求導(dǎo)函數(shù)，解導(dǎo)函數(shù)大于。的不等式，得出增減區(qū)間；

（2）求導(dǎo)函數(shù)，得到增減區(qū)間，求得最小值；由題意建立不等式，構(gòu)建對(duì)應(yīng)函數(shù)，由導(dǎo)函

數(shù)求得單調(diào)區(qū)間得最小值再建立不等關(guān)系，得到范圍.

【詳解】（1）當(dāng)°=1時(shí)，f'（x）=x--=—=^~1^X+1^

XXX

.,.xe（0,l）時(shí)，/（x）＜0,xe（l,+8）時(shí)，尸（x）＞0；

???/O）的單調(diào)增區(qū)間為（1,+8）,單調(diào)減區(qū)間為（0,1）

（2）r⑺=（A?（x+i）

「.X￡（0,Q）時(shí)，尸O）＜0,X￡（a,+8）時(shí)，尸（久）＞0

〃2

?.fGUn=/（〃）=一___〃lna+a

3^f（x）2---,/.-----+a2--------

v7222

令h(a)=-^-—alna+a

則“5)=—a-lna,顯然〃⑷單調(diào)遞減，且(g]>0,1(1)<0

必然存在唯一&e使得/1go)=0

當(dāng)1￡(0,%),力(。)單調(diào)遞增，

當(dāng)〃￡(%,+8),”(a)<0,力(。)單調(diào)遞減

由于〃￡(0,1]時(shí)，/z(〃)=〃(一,一lna+11>0>——,成立

2

當(dāng)ae(l,+e)時(shí)，無(wú)⑷單調(diào)遞減，且/i(e)=-1~,因此a?l,e]成立

綜上，。成立的范圍為(0,e]

6.(1)x+2y—3=0；

(2)答案見(jiàn)解析；

⑶證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)把。=g代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

(2)根據(jù)給定條件，按aWO,0<a<1,a=g,a>g分類，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間.

(3)利用(2)的結(jié)論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推理證明即可.

【詳解】(1)當(dāng)。=一時(shí)，f(x)=—In尤+2x—尤2,求導(dǎo)得—(%)=-----2x+2,貝!]

222x

-⑴=-;，而/(1)=1,

所以函數(shù)/(X)的圖象在(1"⑴)處的切線方程為y-l=-g(x-l),即x+2y-3=0.

(2)函數(shù)f(x)=-alnx+(2a+l)x-f的定義域?yàn)?0,+oo),

求導(dǎo)得f'(x)=--+(2a+1)-2x=-(2%~1)(X-a),

XX

①當(dāng)aWO時(shí)，由尸(無(wú))>0,得xe(O,g),由/(無(wú))<0,得xe(；,+oo),

則函數(shù)在(0,；)上單調(diào)遞增，在。,+8)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)0<。<5時(shí)，由((尤)>。，得xe(a，5),由/''(x)<。，得尤e(0,a)U(5，+°°),

則函數(shù)/(x)在(a,g)上單調(diào)遞增，在(0,。)，(g,+◎上單調(diào)遞減；

③當(dāng)a=)時(shí)，/(x)<0,函數(shù)/(x)在(0,+s)上單調(diào)遞減；

④當(dāng)時(shí)，由尸(彳)>0,得尤由八尤)<0,得了€(0,3)^1(。,舟)，

則函數(shù)/(X)在(；,a)上單調(diào)遞增，在(0,5，3內(nèi))上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(尤)的遞增區(qū)間為(0,；),遞減區(qū)間為(；,+8)；

當(dāng)。<。<；時(shí)，函數(shù)/Q)的遞增區(qū)間為(a,g),遞減區(qū)間為(0,a),(；,+/)；

當(dāng)a=g時(shí)，函數(shù)/(x)的遞減區(qū)間為(0,+8)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)/G)的遞增區(qū)間為(；,a),遞減區(qū)間為(0,；),3y).

(3)①當(dāng)a=g時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，而/⑴=1>0,

1,

/(e)=--+2e-e2<0,

因此存在唯一毛e(l,e)使/(xo)=O,則f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)0<a<g時(shí)，函數(shù)/(x)在x=a處取得極小值/(a)=q(-lna+a+l),

令g(尤)=-lnx+x+l,求導(dǎo)得短。)=-工+1,當(dāng)xe(0,l)時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)xe(L+co)時(shí),

尤

g'(x)>0,

函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，g(x)>g(l)=2>0,即

/(?)>0,

/(^)>/(a)>0,當(dāng)x->+8時(shí)，-alm—>-ao,(2。+l)x-尤？一>—co,貝!J/(x)-,

因此存在唯一改eg,+co)使/(占)=0,則/(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(X)在x=g處取得極小值/(g)=a(ln2+l)+；>0,

/(a)>/(1)>0,

同理存在唯一%e(a,+s)使〃％)=0,則/(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

所以/(尤)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

且1〃l）T（+2Ax）

1.(2023?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè))設(shè)/■(*)為R上的可導(dǎo)函數(shù),ml=-2,

△xf0Ax

則曲線y=〃x）在點(diǎn)0"⑴）處的切線斜率為（）

1

A.2B.-1C.1D.

2

2.（2023?河南鄭州?二模）已知曲線y=xlnx+〃er在點(diǎn)光=1處的切線方程為2%-y+b=0,

則b=()

A.-1B.-2C.-3D.0

3.（2023?山東?二模）已知直線＞=%-1與曲線y=e'+。相切，則實(shí)數(shù)4的值為（）

A.-2B.-1C.0D.2

4.（2023?貴州貴陽(yáng),模擬預(yù)測(cè)）若/（x）=alnx+bx2+無(wú)在x=l和x=2處有極值，則函數(shù)

外力的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.B.（2,+co）C.（1,2）D.g/

5.（2023?重慶?一模）已知函數(shù)/（無(wú)）=；依3+/+尤+4,則"°?0"是尤）在R上單調(diào)遞

增"的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/。）=/。＞0）,a為實(shí)數(shù)，/（x）的導(dǎo)函數(shù)為「（x）,

在同一直角坐標(biāo)系中，/（X）與尸（X）的大致圖象不可能是（）

7.（2023?湖南?模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)/Q）和g（x）分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，且

/(x)+g(x)=2X,則()

A.f(x)-g(x)=2-x

B./(X)在定義域(-8,+00)上單調(diào)遞增

C./(元)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)21

D.g(x)>1

8.(22-23高三上?江蘇南京?階段練習(xí))已知函數(shù)/食)=3工-2',xeR,則下列結(jié)論正確

的是()

A.函數(shù)f(x)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增

B.存在aeR,使得函數(shù)>=與為奇函數(shù)

a

C.任意xeR,/(JC)>-1

D.函數(shù)g(x)=/(x)+x有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

三、填空題

9.(2022?全國(guó)?高考真題)若曲線y=(x+a)e，有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則。的取值范圍

是.

10.(2023?廣西?一模)若曲線、=存2與y=lnx有一條斜率為2的公切線，則

CI—.

11.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))曲線〃x)=(x+l)e，+lnx在(1⑷處的切線與直線及->+2=0

平行，則6—。=.

四、解答題

12.(22-23高二下?四川資陽(yáng)?期末)已知函數(shù)/。)=1-以2+1.

⑴求曲線y=/(%)在(o,/(o))處的切線方程；

⑵若xw(0,+s)時(shí)，/(X)單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

13.(23-24高三上,湖北?期中)已知函數(shù)"X)=gx，+(a—l)x+1.

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,〃2))處的切線與直線6x+y+l=0平行，求出這條切線的方程；

(2)討論函數(shù)“X)的單調(diào)性.

參考答案:

題號(hào)12345678

答案CCACCCBDABC

1.c

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，計(jì)算得到答案.

【詳解】f⑴=lim/⑴T0+2人）=」]皿/⑴T0+2AX）=]

故曲線y=在點(diǎn)（1,『⑴）處的切線斜率為1.

故選：c

2.C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線斜率為1-色=2,可得。=~,計(jì)算出切點(diǎn)代入切

e

線方程即可得力=-3.

【詳解】由題意可得''=1口X+1-。?-“,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在點(diǎn)龍=1處的切線斜率為1-3=2,解得a=-e；

e

所以切點(diǎn)為（1,-1）,代入切線方程可得2+1+6=0,解得b=-3.

故選：C

3.A

【分析】設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為（毛,%）,易知y'=e"",則。=解之得

故選：A

4.C

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意尸（1）=0且/'（2）=0,即可得到方程組，從而求出

。、6的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】f(x)-a\nx+b^+x,所以/'(x)=@+2Zzx+l,

X

2

a+2b+1=0a=——

3

由已知得＜解得:

-+4b+l=0

12b=——

16

所以/（尤）=一]111X一2/+無(wú)，所以r（x）=_：_,x+]=_（x_?（x_D,

363%33x

由f(x)>0,解得1〈尤<2,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是。,2).

故選：C.

5.C

【分析】求得/(x)在R上單調(diào)遞增的充要條件即可判斷.

【詳解】由題/'(九)=辦2+2]+1

/\,7X>0

若“X)在R上單調(diào)遞增，則/V)“恒成立，A=4-4a<0即

故"420"是"〃力在R上單調(diào)遞增"的必要不充分條件

故選:C.

6.C

【分析】先通過(guò)特值代入易得A項(xiàng)符合，對(duì)于B,C,D項(xiàng)，通過(guò)圖象觀察分析可得￡>1,

結(jié)合兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的位置舍去C項(xiàng).

【詳解】由“無(wú))=尤\可得了'("=分)

對(duì)于A,當(dāng)c=-1時(shí)，在第一象限上〃力=/遞減，對(duì)應(yīng)「(切=-尸=-[圖象在第四

象限且遞增，故A項(xiàng)符合；

對(duì)于B,C,D,在第一象限上f(尤)與廣。)的圖象在(0,內(nèi))上都單調(diào)遞增，故a>0且

cr-l>0,則。>1.

又由“X)=/(X)可得X=a>1,即/(x)=嚴(yán)與尸(x)=e的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)應(yīng)大于1,

顯然C項(xiàng)不符合，B,D項(xiàng)均符合.

故選：C.

7.BD

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得/(x)=等二,8(力=等:，結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解，

【詳解】由f(x)+g(x)=2,得/(-X)+g(-x)=2」，由于函數(shù)/(X)和g(無(wú))分別為奇函數(shù)和偶

函數(shù)，所以-〃x)+g(x)=2r,因此〃x戶甘，g(x)=等;，

對(duì)于A,7(x)-g(x)=-2T,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,由于函數(shù)y=2‘在(-8,+◎單調(diào)遞增，y=2f在(—,+8)單調(diào)遞減，所以

=2**在(_甩+8)單調(diào)遞增,故B正確，

對(duì)于C,尸(力2,2；2-/2=(，+；)ln2、2也”xjin2=比工當(dāng)且僅當(dāng)工=0時(shí)取等

號(hào)

而ln2<l，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,g(x)=￡±2二z復(fù)三二=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，所以D正確，

B')22

故選：BD

8.ABC

【分析】A選項(xiàng)：通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；B選項(xiàng)：取特殊值驗(yàn)證結(jié)論的存在；C選項(xiàng):

通過(guò)放縮，得到函數(shù)值的范圍；D選項(xiàng)：通過(guò)函數(shù)值的符號(hào)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】對(duì)于A：/''(x)=31n3-21n2=2'In3-ln2,

因?yàn)閤e(0,+8),所以2*>1，gj>1,因止匕In3>ln3>ln2,

故(㈤>0,所以〃x)在(0,E)上單調(diào)遞增，故A正確;

對(duì)于B：令a=灰,貝1Jy=-，令h(x)=,定義域?yàn)镽,關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱,

且h(-x)==-h{x},故力(x)為奇函數(shù)，B正確;

3

對(duì)于C：x>0時(shí)，/(尤)=2,-1>0；x=0時(shí)，〃x)=0；

%v0時(shí)，f(x)>—2V>—1；C正確；

對(duì)于D：x=0時(shí)，g(x)=0,x>0時(shí)，g(x)>3*-2*=2*停］-1>°，

x<0時(shí)，g(x)<3<2*=2*-1<0,所以g(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤;

故選：ABC

9.(^x>,-4)U(0,-H?)

【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)飛,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到

關(guān)于X。的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得”的取值范圍.

[詳角軍]回y=(x+a)ex,團(tuán)y'=(x+1+a)ex,

設(shè)切點(diǎn)為(毛,％),則%=(x()+a)e均，切線斜率％=(x()+l+a)e&,

切線方程為：y-(x0+a)e^=(%0+l+a)e'°(x-x0),

團(tuán)切線過(guò)原點(diǎn)，0-(%0+?)6^+l+a)e*(f),

整理得：x；+ax0—a=0,

團(tuán)切線有兩條，回A=a2+4a>0,解得a<Y或。>0,

0?的取值范圍是(ro,-4)U(0,+<?),

故答案為：(Y°,-4)U(0,+°°)

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程的求解方法求解.

【詳解】設(shè)公切線在曲線y=與>=比尤上的切點(diǎn)分別為4孫5),Bg乃),

,111

由y=lnx可得、=一，所以一=2,解得/=彳，

X^22

所以%=ln%=-ln2,則B(1,-ln2),

所以切線方程為y+In2=2(x-g),

又由y=a、2,可得y'=2av,所以2〃%=2,即〃％=1,

所以％==%，

又因?yàn)榍悬c(diǎn)A(%，M),也即A(西，再)在切線y+ln2=2(1-g)上，

所以石+ln2=2(%—g),解得玉=ln2+l,

111

所以。=-=[01=[。?

玉In2+1In2e

1

故答案為:

In2e

11.e+1

【分析】求得尸(x)=(x+2)婷+：,得到/'(l)=3e+lj(l)=2",根據(jù)題意得到

b=/'(l),a=/(l),即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)〃x)=(x+l)e，+lnx,可得尸(X)=(X+2)/+L

X

可得「⑴=3e+l,/⑴=2e,

因?yàn)榍€y=在(l,a)處的切線與直線Zzr-y+2=0平行，

可得b=r(l)=3e+l,a=〃l)=2e,所以b-a=e+1.

故答案為：e+1

12.(l)y=x+2

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的點(diǎn)斜式方程求解.

(2)/(x)在xe(O,+◎單調(diào)遞增時(shí)，則((無(wú))2。對(duì)尤€(0,y)恒成立，再利用分離參數(shù)

法、導(dǎo)數(shù)計(jì)算求解.

【詳解】(1)f(x)=ex-ax2+1,得/(x)=e，-2ax,

貝|/'(0)=1,又“0)=2,

所以曲線，=/(尤)在(0"(0))處的切線方程為>-2=》-0,

即y=x+2.

(2)因?yàn)閤e(0,+◎時(shí)，單調(diào)遞增，

所以xe(0,+8)時(shí)，/'(x)=e*-2axz0恒成立,

即2aWC在xe(0,+s)時(shí)恒成立，

X

設(shè)g(x)=j,則g'(x)="?e'

則0<%<1時(shí)，g'(x)<0,X>1時(shí)，g'(%)>。，

可知％=1時(shí)，g(%)取極小值g6=e,該極小值也即為(0,+8)上的最小值，

所以2a<e,BPtz<—,

2

所以xe(0,+8),/(x)單調(diào)遞增時(shí)，。的取值范圍是[-8,].

13.(l)18%+3y-5=0

⑵答案見(jiàn)解析

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義和平行關(guān)系得到方程，求出。=-3,從而得到

/(2)=-y,求出切線方程；

(2)求定義域，求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)因式分解，分1-a<-l,1-a=-L和1-。>-1三種情

況，討論得到函數(shù)的單調(diào)性.

【詳解】(1)=+以+。一1,/12)=3a+3

由已知/(2)=-6,

團(tuán)3a+3=-6得&=—3

又“2)*

回曲線〃尤)在點(diǎn)("⑶處的切線方程為工十夫工，)

化簡(jiǎn)得：18x+3y-5=0

(2)〃尤)=#+#+(。-1)尤+1定義域?yàn)镽,

/,(x)=(x+?-l)(x+l),令r(x)=O得x=l-a或x=-l

①當(dāng)l-av—1即〃〉2時(shí)，

令/'(X)>0得了>一1或%<1一4,令/'(%)〈。得1一4V九V1,

故〃力在(1-。廠1)單調(diào)遞減，在(T/-。)，上單調(diào)遞增；

②當(dāng)1一a=—1即a=2時(shí)，f(x)=(%+1)?20恒成立,

故/(%)在R上單調(diào)遞增；

③當(dāng)1—〃>一1即a<2時(shí)，

令/'(%)>°得光>1一.或x<一1，令/'(%)<0得一1vxvl-a,

“力在(-1,1-。)上單調(diào)遞減，在(-8,-1),(1-。,口)上單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)〃>2時(shí)，/(%)在(1-a,—1)單調(diào)遞減，在(HO』-〃)，(-1,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)4=2時(shí)，“X)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<2時(shí)，”X)在(-1.1—a)上單調(diào)遞減，在(-8,-1),(1-。,+℃)上單調(diào)遞增；

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2023?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(X),g(x)及其導(dǎo)函數(shù)助⑺,g'(x)的定義域

均為R,〃2x+l)為奇函數(shù)，g(x-l)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則()

A./(g(-l))=-/(g(l))B.g(〃T)=-g(〃3))

C./3(—l))=/(g"))D.g(/”(-l))=g(〃3))

/、[ax+\,x<0

2.(2023?北京西城?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=]2尤>0，若存在無(wú)。>°，使得

〃不)成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.B.(-oo,l]C.[1,+<?)D.[-1,1]

3.(2023?廣東佛山?二模)若斜率為1的直線/與曲線y=ln(x+a)和圓/+丁=；都相切，

則實(shí)數(shù)。的值為()

A.-1B.0C.2D.0或2

4.(2023?陜西寶雞?二模)若過(guò)點(diǎn)(0,2)可作曲線>=爐+3/+辦+。-2的三條切線，則a

的取值范圍是()

A.(-3,-1)B.(-2,2)C.(4,5)D.(4,6)

5.(2023?全國(guó)?二模)若曲線〃x)=己有三條過(guò)點(diǎn)(0⑷的切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

()

A?(娟B.(。山C.(0,jD.[of

6.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，g(x)=/'(x)-2e'+x也是定

義在R上的奇函數(shù)，貝U關(guān)于x的不等式g(l-/)+g(2x+2)>。的解集為()

A.(^?,-l)u(3,+co)B.(-<30,-3)U(l,+°o)

C.(-1,3)D.(-3,1)

7.（2024?北京海淀?一模）函數(shù)/（x）是定義在（7,4）上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，

〃3）=0.設(shè)（。）是，。）的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于尤的不等式/（尤+D?八元）20的解集是（）

A.[0,2]B.[-3,0]U[3,4)C.(-5,0]U[2,4)D.(-4,0]U[2,3)

二、多選題

8.（2025?四川巴中,模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=asinx+cosx的圖象關(guān)于x=方對(duì)稱，下列結(jié)

論中正確的是（）

A.fY是奇函數(shù)

(兀、A/6+72

7T

C.若/（X）在［fV7H上單調(diào)遞增，貝!|0＜根4§

D./（x）的圖象與直線y=2x+］TT有三個(gè)交點(diǎn)

9.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)/（x）=sin（3x+［,下列說(shuō)法正確的是（）

A.的最小正周期為?

B.點(diǎn)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.若/（無(wú)）=a（aeR）在x上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則且會(huì)＜1

L189」2

D.若〃x）的導(dǎo)函數(shù)為尸（x）,則函數(shù)y=/（x）+/'（x）的最大值為加

10.（22-23高二下?浙江杭州?期中）若直線y=K（x+l）-l與曲線y=e、相切，直線

y=月（尤+1）—1與曲線y=Inx相切，則左色的值為.

11.（2023?廣東佛山?一模）已知曲線〃力=石與曲線g（無(wú)）=alnx（aeR）相交，且在

交點(diǎn)處有相同的切線，則〃=.

四、解答題

12.(2020?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=ax{Tnx(oeR).

(1)若/(無(wú))是定義域上的增函數(shù)，求a的取值范圍；

2

(2)若。＞,,若函數(shù)/(久)有兩個(gè)極值點(diǎn)看，%(為＜々)，求尤?)的取值范圍.

13.(2024?江蘇徐州?一模)已知函數(shù)/'(x"f+izx-ln尤，aeR.

⑴若函數(shù)y=〃x)-2/在(0,2］上單調(diào)遞減，求a的取值范圍：

⑵若直線y=5與“X)的圖象相切，求a的值.

14.(22-23高二下?天津紅橋?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=lnx-ar(aeR).

(1)若x=l是f(x)的極值點(diǎn)，求