熱點專題2-4指數與指數函數

近3年考情

考題示例考點分析關聯考點

2024年新高考I卷，第6題,5分

從近五年的高考情況來看，指數

2024年北京卷，第7題,5分運算與指數函數是高考的一個

年新高考卷第題，分重點也是一個基本點，常與球函

2023I45(1)指數幕的運算性質

數、二次函數、對數函數、三

(2)指數函數的圖像與性

2023年乙卷第4題，5分角函數綜合，考查數值大小的比

質

較和函數方程問題.在利用指數

2022年甲卷第12題，5分

函數的圖像與性質應用上，體現

2020年新高考n卷第11題，5

了邏輯推理與數學運算素養.

分

模塊一、熱點題型解讀(目錄)

【題型1】指數森的運算

【題型2】指數函數過定點問題

【題型3】求指數函數的解析式

【題型4】指數函數的圖象及應用

【題型5】比較指數幕的大小

【題型6】解指數方程或不等式

【題型7】指數型復合函數單調性

【題型8】指數型函數的值域問題

【題型9】指數函數的實際應用

【題型10］指數型復合函數的奇偶性問題與恒成立綜合

【題型11］指數函數的綜合性問題

【題型1］指數幕的運算

基礎知識］

【方法技巧】

(1)靈活運用指數的運算性質進行指數運算，根式形式需要化為分數指數露形式去求解.

(2)運算的最終結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有負指數又有分母.

指數與根式的概念

1、n次方根的定義

(1)定義：一般地，如果x"=a,那么x叫做a的n次方根，其中〃>1,且〃eN*

(2)偶次方根的被開方數要為非負數

2、根式

(1)定義：式子標叫做根式，這里n叫做根指數，。叫做被開方數.

(2)性質：(〃>1,且〃eN*)

,—[ci〃為奇數

而"a；而)"=

同，〃為偶數.

3、分數指數森的意義

(1)分數指數賽的意義

fl

正分數指數森：規定：=Vo?"(>0,m,MeN*,M>1)

m1_1Z*\

負分數指數第：規定：。〃f---1=(d!>O.m.T?GN>1)

m

QGN0'，

(3)性質：0的正分數指數纂等于0,0的負分數指數露沒有意義

4、分數指數第的注意事項:

(1)分數指數纂是指數概念的又一推廣，分數指數暴〃:不可理解為一個。相乘，它是根式的一種

Qn

新的寫法.

在這樣的規定下，根式與分數指數氟是表示相同意義的量，只是形式不同而已.

(2)把根式舊7化成分數指數幕的形式時，不要輕易對生進行約分.

n

(3)在保證相應的根式有意義的前提下，負數也存在分數指數暴，

如(_5)：=y(-5)2有意義,但(—5]=#(—5)3就沒有意義.

5、無理數指數賽

一般地，無理數指數幕小(。>0,&為無理數)是一個確定的實數.

有理數指數氟的運算性質同樣適用于無理數指數氟.

【注意】(1)對于無理數指數霹，我們只需要了解兩點：

①它是一個確定的實數；②它是有理數指數森無限逼近的結果.

(2)定義了無理數指數露之后，露的指數就由原來的有理數范圍擴充到了實數范圍.

6、實數指數幕的運算性質

①a"=a"""(a〉0,jseR).

②(力”=°枕"(a>0,r,5eR).

mm

③(的=ab(?>0,6>0,reR).

1.⑴卜[]+(o.l)-2+[21y]3-lOOn0;

IJ_

(2)已知x+y=ll,初=9,求三上Zl的值.

x2+y2

2

【解析】⑴原式/竺￥+102+(竺丫_]00=1+]00/^_100=3

(9J127)399

(2)因為尤+了=11,xy=9,

j_2I-------------------------

所以戶+戶=Jx+y+2,x+y=(x+y)2-2xy=103,

所以x?+儼=后.

x2+y2-103

【鞏固練習1】化簡或求值:

(1)+8°-25X</2+(V2XV3)6

1_2]

⑵(O.25p-(-2)2x(23p+lO(2--10x3°-5；

1Ii

(3)(7+4行)5_8”+32§-2X

(4)2a3b2^-6a2b3+-3a6b6j(。>0且6>0).

【答案】(1)112;(2)21；(3)4;(4)4a

【解析】(1)原式=213^xl+(23)4x24+23X32-2+244+22x：33=112.

\7k7

<2)(O.25p-(-2)2x(23p+10(2-G)T-10x305=[(；)12-(-2)2x2-2+10x—^-10x32

=2-4X^-+10(2+V3)-10V3=21.

_L_1

【鞏固練習2］已知。5+/5=3,求下列各式的值.

3_3

(1)a+/；(2)/+a-2；(3)4+”+2.

+。之+3

2

【答案】(1)7;(2)47;(3)|

【解析】(1)將/+〃彳_3兩邊平方，得“+/+2=9,

ci?a-J

所以。+小=7.

(2)將。+1=7兩邊平方，得力+/+2=49,

所以。？+r=47.

(122

3)ai+ai_,a+a=7,a+<7=47,

3_3(J丫/_JA3,1_1A

2

.二a，+〃萬=a，+a=a?+Q21〃+蘇)=3乂7—l)=18,

\7V7\J

33

???a_____f____2___1_8_+__2__2?

a2+a~2+3-47+3-5

【鞏固練習3】計算（―64）3+［（-3）不一（加一1）。+套=（）

A13

A--TB--Tc-4D-1

【解題思路】利用指數運算及根式運算計算即得.

11n11o1

【解答過程】(-64)3+[(-3)4]?-(V2-1)°+3^=(-43)3+(34)i-l+[(1)3n-4+3-

0L

1+^-1

22,

故選：C.

【題型2】指數函數過定點問題

基礎知識1

指數函數圖象都經過點（0,1）,了=優+"'+〃恒過定點（—〃1,〃+1）.

2.已知函數y=2°i-3（a>0且awl）的圖象恒過定點P,則點P的坐標為.

【答案】（2,-1）

【解析】令x-2=0,得x=2,則y=2“°-3=-l.

所以函數y=2a"2-3（a>0JLa^l）的圖象恒過定點P（2,-l）.

【鞏固練習1］函數/'（xh/M+Z（穌0且"1）的圖象恒過定點（嘰〃），則〃?+〃等于.

【答案】2

【解析】由x+l=0,即1=-1,得歹=3,所以加=-1,〃=3,所以加+〃=-1+3=2

【鞏固練習2】（2024?山東濟寧?一模）已知函數歹=優一|（。＞0且〃。1）的圖象過定點4且點4在

Q3

直線+2肛=8（m＞0,〃＞0）上，則-------的最小值是_______.

mn2m

9

【答案】—

16

【解析】函數歹=4（。＞0且的圖象過定點/（L1）,

則加+2〃=8,所以2〃二8-冽，

m>0

得0（冽＜8,

2n=S-m>0

則且一工」——亙=32-3"）3m+8

mn2m2m2m（8-m）-2m2+16m

f_Q

令，=3加+8/￡（8,32）,則冽

839t

2+80/-512

時，取等號,

839

所以-------的最小值是一.

mn2m16

【題型3】求指數函數的解析式

基礎知識

y=ax

0<?<1a>1

圖

象

%~o\~1_*X

①定義域尺,值域(0,+8)

②a°=l,即時x=0,J=l,圖象都經過(0,1)點

性

③a'=a,即x=l時，V等于底數。

質

④在定義域上是單調減函數在定義域上是單調增函數

⑤x<0時，ax>1;x>0時，0<優<1x<0時，0</<1；x>0時，ax>1

⑥既不是奇函數，也不是偶函數

3.已知y=/(x)是指數函數，若/(-向=血，則(-￡|=.

【答案】6

【解析】設y=/(x)=a*(a>O,awl),

因為/1|]=下,即/；，解得a=44=：,所以=即/[；)=2：=口.

【鞏固練習1】已知函數〃尤)=￡'"￥(左eZ)，若〃x)為偶函數，且在(0,+")是增函數，求小)的

解析式

【答案】/(x)=x2

【解析】???/(X)在(0,+8)上增函數，+左-5左2>0,解得-1〈左<3.

又???左￡Z,..?左二0,1,2,

由/W為偶函數知左=1,f(x)=x2;

【鞏固練習2】已知函數/(%)是奇函數，且當x〉0時，/(x)-10r+x+l,那么當x<0時，/(x)的

解析式是()

A.-----Fx-1B.--------Fx—1C?-------x+1D.---------x+1

10x10x10x10x

【答案】B

【解析】當x<0時，則—x〉0,所以/(—x)=10'—x+1,

又因為函數/(%)是奇函數，所以-/(-x)=/(x),

所以當尤<0時/(》)=一10-*+改一1=一一^+x-l.

【題型4】指數函數的圖象及應用

基礎知識

對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過伸縮、平移、對稱

等變換得到，當a>l時，指數函數^=優的圖像呈上升趨勢；當0<a<l時，指數函數了=罐的

圖像呈下降趨勢.

4.(2024?黑龍江?二模)已知函數>+6的圖象經過原點，且無限接近直線V=2,但又

不與該直線相交，則ab=()

A.-1B.-2C.-4D.-9

【答案】C

【解析】因為函數y=/(x)=a(1.+6圖象過原點，所以a(g)°+b=O,

得。+6=0,又該函數圖象無限接近直線y=2,且不與該直線相交，

所以6=2,則a=-2,所以。6=-4.

5.函數①y=a'②y="；③>=/；@y=優的圖象如圖所示，a,b,c,d分別是下列四個數:

:,6,g中的一個，則a,b,c,d的值分別是()

A.5\B,百’|C.百’；D.百

【答案】C

【解析】直線x=l與函數圖象的交點的縱坐標從上到下依次為c,d,a,b,而百

所以a,h,c,1的值分別是:，：，百，"I，故選：C.

，34

【鞏固練習1］函數〃x)=""的圖像如圖所示，其中“，6為常數，則下列結論正確的是(

A.a>\,b<0B.a>\,b>0C.0<?<l,b>0D.0<a<l,b<0

【答案】D

［解析】由函數/(x)=ax-b的圖像可知，

函數/(無)=aj在定義域上單調遞減，

.-.0<a<l,排除AB選項；

函數/(x)=ax-b圖像是由y=優向左平移所得,

-b>0,.?.6<0.故口選項正確.

【鞏固練習2］若函數/(')=優+6的圖象如圖所示,且/(-1)=0,則實數。，b的值可能為()

1

C.a=2,6=一；D.a=—,b=-2

2

【答案】C

【解析】由函數/(x)=a，+b的圖像，可得函數/(x)為單調遞增函數，所以。>1,

又由/(-1)=0,可得.-|+6=0,可得浦=-1,

結合選項，只有C項適合.故選：C.

【鞏固練習3】如圖，曲線①②③④分別是指數函數>=優，y=bx,y=cx,y=的圖像，則實

數a、b、c、d的大小關系滿足()

A.a<b<c<dB.b<a<d<cC.d<c<b<a；D.c<d<a<b.

【答案】B

【解析】作出直線x=l,此時與各函數的交點的縱坐標即為對應的底數，如圖,

【題型5】比較指數幕的大小

基礎知識

比較指數幕的大小

常用方法有：

(1)對于底數相同，指數不同的兩個幕的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷；

(2)對于底數不同，指數相同的兩個森的大小比較，可以利用指數函數圖象的變化規律來判斷；

(3)對于底數不同，且指數也不同的幕的大小比較，可先化為同底的兩個幕，或者通過中間值來比

較.

22￡

6.若.=人=\：,c=U，則°、Ac的大小關系是()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

211

【解析】因為y=/在(0,+8)上單調遞增，且

22

所以即a>b,

「21

因為yJL—>-

33

2

所以即c>a,

所以c>a>b,即6<a<c,故選：A

7.(2024?四川?模擬預測)設。=0.5°，4,b=0.411,c=1.105,則()

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【解題思路】根據指數函數、幕函數的單調性，結合與特殊值1的比較，即可得到答案.

【解答過程】因為指數函數y=0.5,是單調減函數，所以0.59<0.50-4<0.5°=1,

又由薪函數y=爐,在（0,+8）上單調增函數，所以1=111>0,511>0.411,

又因為指數函數y=I.-是單調增函數，所以>1.10=1,

綜上可得：b<a<c

【鞏固練習1］（2024?云南?二模）若q=2?2,6=6，。=21則（）

A.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【答案】D

【解析】因為a=2~2>2i=2,c=2；<2，

所以a>c,因為6=67=，<1,c=2I>2°=1>

所以c>6,所以。>c>6.

201920212019

【鞏固練習2】設〃=（也產，6=（迎2產，c=（型2嚴，則a,b,c的大小關系是（）

1^2022）1^2022）<2022）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

2019（901QV

【解析】因為U.Y痂在（0,+8）上單調遞增，二上在R上單調遞減

y-x（2022）

201920192021

所以［這1產/嗎質/型上產，故a>c>b.故選：B

（2022J（2022）{2022J

【鞏固練習3］已知。=2。|為=0.33,，=0.3。/，則a,仇c的大小關系為（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【答案】C

【解析】???y=0.3，是減函數,3>0.1>0,所以O.d<0.3°/<1,

又2°」>1,：.b<c<a.故選：C.

【題型6】解指數方程或不等式

基礎知識

簡單指數不等式的解法

1、形如/（，）＞qg（x）的不等式，可借助》=優的單調性求解

2、形如＞6的不等式，可將Z?化為以。為底數的指數氟的形式，再借助了=優的單調性求解

3、形如優＞6*的不等式，可借助兩函數y=a＞y=Z/的圖象求解

8.（2024?河北邯鄲?一模）不等式10，-6'-3工21的解集為.

【答案】［1,+s）

【解析】由10工一6，一3,21,可得+用+nJ

因為＞=，＞=（［］=均為R上單調遞減函數

則/（x）在R上單調遞減,且/。）=1,

:.x＞］

故不等式10、-6工-3工21的解集為［1,+0＞）.

【鞏固練習1】若x滿足不等式不、4\］：則函數了=2工的值域是（）

A.[-.2)B.[-,2]C.(-<?，-]D.[2,+oo)

88

【答案】B

【解析由可得2yMe|=29-2）,

因為y=2*在R上單調遞增，所以犬+14一2》+4即/+2》一3《0,解得：一3W1,

所以2-3=即函數y=2'的值域是1,2,故選：B.

_8

4

【鞏固練習2】已知函數y（x）=x3,那么不等式〃2x-3）＜/（5）的解集為.

【答案】（一1,4）

4

【解析】已知函數/@）=/，可知函數是增函數，且是偶函數，不等式〃2x-3）＜/⑸等價于

—5<2x—3<5=>—1<x<4.

【鞏固練習3】不等式9*-427WO的解集為.

【答案】[1,2]

【解析】不等式9,-4*3川+27?0,可化為（3?-12x3、'+27V0,

即（3，-3乂3、-9）<0,解得3V3"9,

所以1VXV2,所以不等式9*-4*32+2740的解集為[1,2].

故答案為：[1,2].

【題型7】指數型復合函數單調性

基礎知識

判斷復合函數單調性的原則是“同增異減”.

解決步驟

第一步：求函數的定義域.

第二步：將函數分解成內層函數和外層函數.

第三步：判斷內層函數和外層函數的單調性.

第四步：根據“同增異減”的原則確定復合函數的單調性.

9.函數y=5T'.I的單調遞減區間是（）

A.[2,+co）B.（-8,2]C.（-84]D.[1,+?>）

【答案】A

【解析】設〃=-/+4X-3,在（一s,2]單調遞增，在[2,+8）單調遞減，

>=5"在（-叫+<?）單調遞增，

根據“同增異減”可得，函數了=54+g3的單調遞減區間是[2,+8）.故選：A.

10.（2024?遼寧一模）若函數/（X）=3-2，+3在區間（1,4）內單調遞減，則。的取值范圍是（）

A.（-8,4]B.[4,16]C.（16,+co）D.[16,+<?）

【答案】A

【分析】利用“同增異減”判斷復合函數的單調性，從而求參數的取值范圍.

2

【詳解】設/（“）=3",u=-2x+ax,貝3"在（-?,+s）上單調遞增.

因為/（x）=3—?在區間（1,4）內單調遞減，所以函數〃=-2x2+ax在區間（1,4）內單調遞減，

結合二次函數的圖象和性質，可得：-<1,解得aV4.

4

11.（2024?福建福州?模擬預測）設函數/卜）=小丹在區間（1,2）上單調遞減，則a的取值范圍是（）

A.（-oo,2]B.（-oo,4]C.[2,+co）D.[4,+oo）

【答案】D

【分析】根據題意，由復合函數的單調性，列出不等式，代入計算，即可得到結果.

【詳解】函數＞=3,在R上單調遞增，而函數[（x）=3*2R在區間（1,2）上單調遞減，

所以了=疝-。|在區間（1,2）單調遞減，所以解得a?4.

z1、2x2—3x+l

【鞏固練習1]函數y=;的單調遞減區間為（)

3

A.。,+8)C.(-8,1)D.—,+oo

4

【答案】D

【解析】因為函數y=2/-3x+l在區間,叫上單調遞減，在上單調遞增,

函數y=在定義域內是單調遞減函數，

所以，根據復合函數單調性法則“同增異減”得:

J=flY"的單調遞減區間為故選：D

【鞏固練習2】已知函數〃力=￡心步（左eZ），若在（0,+。）上減函數，求上的取值范圍.

【答案】{4|左＜-1或左＞3且左eZ}.

O1

【解析】若/（X）在（0,+8）上減函數，則＞左-3*＜0,

解得太＜-1或左＞3（左?Z）,

即左的取值范圍是{左歸＜-1或左＞3且無eZ}.

[鞏固練習3]（2023.重慶巴蜀中學高一校考）已知函數/&）=0.4'_（（/_2）2工+1在（_2,+00）上單

調遞增，則。的取值范圍為（）

A.[0,4]B.（0,4]C.[2,+9）D.{0}U[2,+s）

【答案】A

【分析】令方=2"利用復合函數的單調性，結合指數函數與二次函數的單調性求解即可.

【詳解】令t=2，，則＞=at?—（〃—2），+1,

當x￡（—2,+oo）時，％=2"單調遞增，且經一，

4

當。=0時，y=/2一（0-2）f+l=2f+l,當/＞；時單調遞增，

則函數〃x）在（-2,+?）上單調遞增，符合題意；

當a>0時，y=at2-(a-2)t+\的對稱軸為t=――,

2a

a-21

由題意----K—=>0<Q?4,

2a4

當a<0時，y=a/一(.-2)f+l表示開口向下的拋物線，對稱軸為/=旦二,

2a

在[與2,+s)上單調遞減，不符合題意，綜上，04a44.

【題型8】指數型函數的值域問題

基礎知識

解決步驟

第一步：求函數的定義域，然后將復合函數分解成兩個函數.

第二步：由自變量的范圍求內層函數的值域.

第三步：由內層函數的值域求外層函數的值域.

12.函數xe[0,3]的值域是()

A.；,8B.(-?,8]C.3，+°°]D.(0,8]

【答案】A

【解析】令8(。=%2-2居％<0,3],則g(/)e[g⑴,g⑶卜則/(x)e已可]=1,8,

故選：A.

【鞏固練習1】函數夕=(；)'+2、+3的值域是.

【答案】(0,白

【解析】依題意，X2+2X+3=(X+1)2+2>2,當且僅當x=-l時取等號，而函數y=(；)、在R上單

調遞減，

因此0<(；)/+2X+3《(；)2=上，

4416

所以函數y=(3)42.+3的值域是(0)±]

【鞏固練習2】已知函數〃刈=4'-2'+4,%6[-1,1],則函數了=/(x)的值域為().

「、「13】「1?1

A.[3,+oo)B.[3,4]C.3，1D.—,4

【答案】B

【解析】依題意,函數/（x）=（2?-2x2,+4,xe[-l,l],

令2，=/,貝卜=2*在上單調遞增，即

于是有y=J—2/+4=（/—1）2+3,當（=1時，Ymin=3,此時X=0,/（x）min=3,

當"2時，ymax=4,此時x=l,/（X）max=4,

所以函數＞=1（力的值域為[3,4].故選：B

【鞏固練習3】函數/'⑴=戶+仁]+：在[-1,+4上的值域為.

375

【答案】

45T

I解析】…飛"佃卜如:

\*xe[-l,+oo）貝q令,二Ie（0,3]

3375

>=〃+3%+1在（0,3]遞增，ye

45T

【題型9】指數函數的實際應用

基礎知識

1、在自然科學中，指數函數常常用于描述增長或衰減的過程，比如生物群落的增長、放射性物質的

衰變等。

2、在經濟學中，指數函數也可以用來描述復利增長，即資金按比例增長的情況。

指數函數在數學和現實生活中都有重要的應用，對于描述增長和衰減過程有著很好的表現能力。

13.心理學家有時用函數“/）=250（l-ed）來測定人們在時間《min）內能夠記憶的單詞量工，其中

人表示記憶率.心理學家測定某學生在lOmin內能夠記憶50個單詞，則該學生在30min從能記憶

的單詞個數為（）

A.150B.128C.122D.61

【答案】C

【分析】根據已知可求出再代入f=30即可求出.

【詳解】由題可得“10）=250（l-e—°*）=50,則「"=不，

所以￡（30）=250（l—e—w）=250[1_（片3）[=250x1H=122,

即該學生在30min從能記憶的單詞個數為122.

14.（2024?安徽合肥?二模）常用放射性物質質量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間

被稱做半衰期，記為7（單位:天）.鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質，其半衰期分別為7；,%.開

始記錄時，這兩種物質的質量相等，512天后測量發現乙的質量為甲的質量的;，則叱滿足

的關系式為（）

。512512c512512

A.-2+-=—B-2+丁石

…5121512D.2+log2要「log??

C.-2+log2—=10g2—

612

【答案】B

【分析】設開始記錄時，甲乙兩種物質的質量均為1,可得512天后甲，乙的質量，根據題意列出

等式即可得答案.

【詳解】設開始記錄時，甲乙兩種物質的質量均為1,

512512

則512天后，甲的質量為：§）丁，乙的質量為：g）無，

512512512

由題意可得W）豆=；?（；）不=（；）2+1丁，

c512512

所以2+7工

【鞏固練習1】已知某種果蔬的有效保鮮時間了（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：℃）近似滿

足函數關系V=（a,b為常數，e為自然對數底數），若該果蔬在4。（2的保鮮時間為216小時,

在16℃的有效保鮮時間為8小時，那么在8（時，該果蔬的有效保鮮時間大約為小時.

【答案】72

【分析】根據已知條件求得e￡e”,進而求得正確答案.

(216=3"+"1

【詳解】依題意《.+,，兩式相除得237=eT2"=(ej),廠"=3?"=鼻，

Io—eJ

則216=e4fl+6=e""?e"=；?e〃，e"=648,

21

所以當x=8°C時，j=e8a+A=e8a-ez)=(e4a)-e6=-x648=72

【鞏固練習2】某種病毒的繁殖速度快、存活時間長，。個這種病毒在/天后將繁殖到個.已知

經過4天后病毒的數量會達到原來的2倍.且再過m天后病毒的數量將達到原來的16倍，則%=（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

【分析】根據指數式的運算求解.

【詳解】由題可知，，所以e3=2,

經過〃+z4天，數量變為原來的16倍，即ae，（z）=i6a,

2（m+4）44A41M

則有e=16=2=（e）=e,解得加=12

【鞏固練習3】把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是年C,空氣的溫度是嵋C,那么fmin

后物體的溫度0(單位：。C)可由公式。=4+(4-4)e*求得，其中左是一個隨著物體與空氣的接

觸情況而定的正常數.現有63℃的物體，放在15℃的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是390.要

使物體的溫度變為21℃,還要經過分鐘.

【答案】120

【分析】先把現有63℃的物體，放在15℃的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是39℃代入公式

。=4+(4-4)片”，再列出此物體的溫度變為21℃時的關系式，聯立二式組成方程組，解之即可求

得要使物體的溫度變為2VC,還要經過的時間.

【詳解】?.,現有63°。的物體，放在15℃的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是3”?,

.,.15+(63-15)片制=39,即=；①，

要使物體的溫度變為21℃,則15+48e-M=21,即②，

O

八-60左1

e=—

聯立①②，\,解得％=180,

e-kt=—1

18

故還要經過180-60=120分鐘.

【題型10］指數型復合函數的奇偶性問題與恒成立綜合

基礎知識

1、已知不等式能恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：

(1)函數法：討論參數范圍，通常借助函數單調性求解；

(2)分離參數法：首先將參數分離，轉化成求函數的最值或值域問題加以解決；

(3)數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的

圖象，再利用數形結合的方法來解決.

2、指數函數常與其他函數形成復合函數問題，解題時要清楚復合的層次，外層是指數函數還是內層

是指數函數，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調性等問題，則要按復合函數的性質規律

求解.

15.已知函數/(x)=一竺為定義在R上的奇函數，求實數加，〃的值.

2X+n

【答案】m=-l,n=l

【解析】由于/(%)是定義在R上的奇函數，

1+m2X-1

所以/(O)==0,m=-1,所以/(%)=

1+n2x+n

由于/(x)是奇函數，所以/(-%)=-/(%),

2"11—2"2"-1

所以/(f)=

2~x+nl+〃22x+n

1-2X1-2X2X-12x+l-2i2

即〃所以/(%)=-------=-----------=1-------

n=1,XX

1+H-2X2x+n2+12+12、+1

16.(2024?貴州畢節?三模)已知函數/(x)=3二是奇函數，若/(2023)>/(2024),則實數〃的值

QX+a

為()

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】根據函數奇偶性的定義，即函數的單調性解即可.

【詳解】因為函數/(x)=1^是奇函數，

ex+a

e-x-al-aex

所以〃一月二七=-/w=-

~l+aexex+a

解得Q=±l,

xx

e-ae+a-2a12a

又/(%)==1----------

ex+aex+aex+a

所以當〃〉0時，函數為增函數，當QVO時，函數為減函數,

因為“2023)>“2024),

所以。<0,故Q=-l.

17.已知函數/■(力=^-人「(">())是奇函數，且/⑴

⑴求凡上的值；

⑵若Vx?l,2],不等式外2無)+〃礦(x"0恒成立，求掰的取值范圍.

【解析】(1)???/(工)=。"一左,。一”是奇函數=>/(0)=0=左=1,

經檢驗當上=1時，/(x)=ax-a~x,f(<-x)=a~x-ax=-/(x),/(x)是奇函數符合題意，

311

又/(1)=5=Q----=>a=2a=——(舍)，

:.f(x)=2x-2-x；

(2)-f(2x)+mf(x)>0^22x-2-2x+m(2X-2^)>0,

即加(2、—2一12(2一"+2X)(2-X-2X),

又X￡[l,2],2]—2一、>0,故加(2、+2一1恒成立，

令”2"，因為xe[l,2],故/e[2,4],由對勾函數性質可得g⑺=-1+；]在te[2,4]上單調遞減,

g(x)max=g(2)=-|,/.m>-I，.-.mG5

—+00

2

【鞏固練習1】已知定義域為R的函數上是m-V奇函數.

n+Y

（1）求加，〃的值;

（2）若存在止［0,4］,使/（"2產）+/（4"2戶）＜0成立，求上的取值范圍.

【答案】（1）皿=1,n=l;⑵（-1,+℃）.

【分析】（1）由/（0）=0及”-1）=-/⑴即可求解；

（2）求出函數/（x）的單調性，不等式可轉化為左＞4產-4/,根據二次函數的最值即可求解.

【詳解】（1）因為函數/（x）是定義在R上的奇函數，所以/（0）=0,

即吟1=0,所以〃?=1,又因為=

1

-3

所以---r=---m-----=1代入，解得〃=1,

,1〃+3

經檢驗符合題意，所以，m=\,n=\.

%

1—3”-(1+3)+22

（2）由（1）知:函數/(%)=

1+3”―1+?T+?

所以函數/（X）在R上是減函數.

因為存在t￡［0,4］,使/（左—2?）+/（4,—2「）＜0成立，

又因為函數/（%）是定義在R上的奇函數，

所以不等式可轉化為/（左-2?）＜/（2——期），

又因為函數/（%）在R上是減函數，所以左-2*＞2t2-4t,

所以左＞4』—書，令g?）=4廣一由，

題意可知：問題等價轉化為左〉g⑺.，

又因為gOminUg-1,所以上＞-1,故左的取值范圍為（-1,+8）.

【鞏固練習2］已知函數/0）="2-2辦+b（a＞0）在區間［0,3］上有最小值2和最大值10.

（1）求。，b的值；

（2）設g（x）=W，若不等式g（2）+h2，20在xe［-l,0］上恒成立，求實數人的取值范圍.

【解析】（1）/（%）=。、2一2"+6的對稱軸為％=1,因為。＞0,

所以在區間[0,3]上最小值為/⑴，最大值為〃3),

a-2a+b=2,a=2

故解得

9a-6a+b=10,b=4

(2)由⑴可得g(x)=2x+±-4,所以g(2、)+h2、N0可化為h2，N-2-2工一心+4,

XN

化為左2-2-4(工1+4—.令/=!則/N-4—+4/-2,

[2X2*2、

因為xe[-1,0],故fe[l,2],記力(。=一4/+4f-2,

故”(%,*=〃⑴=-2,所以實數上的取值范圍是[-2,+8).

【鞏固練習3】已知函數〃x)=-x2+3x+5,g(x)=2*+a,若V再e[0,2],天？e[2,3],使得

/(x,)<g(x2),則實數a的取值范圍是.

3

【答案】"9

29

【解析】當％曰0,2]時,/(x)

T

當x曰2,3]時，g(x)=2X+a為增函數，

所以x=3時，g(x)取得最大值g(3)=8+a,

?對V再￡[0,2]注2￡[2,3],使得/(玉)<8(%2),

???/(X)max<g(x)max，

293

—<8+a,角不得a>一■-.

44

【鞏固練習4】已知定義在R上的函數/