熱點專題2-6函數與圖像

近5年考情

考題示例考點分析關聯考點

基本初等函數的圖像是高考中的

2024年全國甲卷第7題，5分

重要考點之一，是研究函數性質

2024年I卷第7題，5分的重要工具.高考中總以一次函

數、二次函數、反比例函數、指

2023年天津卷第4題，5分(1)函數圖像的識別

數函數、對數函數、賽函數、三

2022年全國乙卷第8題，5分角函數等的圖像為基礎來考查函(2)函數圖像的應用

數圖像，往往結合函數性質一并(3)函數圖像的變換

考查，考查的內容主要有知式選

2022年全國甲卷第5題，5分圖、知圖選式、圖像變換以及靈

活地應用圖像判斷方程解的個

數，屬于每年必考內容之一.

函數圖象的應用很廣泛,利用函數圖象可研究函數的性質、解決方程和不等式的求解問題、求參數范

圍等，同時也體現了數形結合的思想.有時利用函數圖象能夠更便捷地解決問題.函數圖象應用的考

查在高考中占有重要地位，應引起師生重視.

模塊-N題型解讀

【題型1】由解析式確定函數圖像

【題型2】由函數圖像選擇解析式

【題型3】函數圖像與實際問題

【題型4】表達式含參數的圖象

【題型5】函數圖象的平移，伸縮，對稱，翻折變換

【題型6】利用函數圖像解不等式

【題型7】利用函數圖像研究函數的性質、最值

【題型8】利用函數圖像分析交點的個數

模塊二1高考模擬?新題速遞

【題型1】由解析式確定函數圖像

基礎知識

按先后順序進行排除篩選：先看奇偶性、定義域，再看特殊點的正負等，排除錯誤選項，從而篩選

出正確答案.

02x_1

1.（2024?全國?模擬預測）函數〃x）=3J.ln|［的大致圖像是（）

【答案】D

【分析】由奇偶函數的定義可判斷A,C;由特值法可判斷B,D.

【詳解】函數/（x）的定義域為wO},關于原點對稱，

又/(x)=(e"-尸)?In國，/(-x)=(e-*-er)ln|-x|=-(ex-e')-ln國=-/(x),

所以函數/（x）為奇函數，其圖像關于原點對稱，排除選項A,C.

因為/（…/2代-也史。,

排除選項B.

(另解:當0<x<l時，lnx0,ex-e-x^O,所以/(x)<0,排除選項B).

2.（2022?全國?統考高考真題）函數y=（3-3-、）cosx在區間-將的圖象大致為（）

【解析】令/(x)=(3"—3T)COSX,XE

貝q/(_X)=(3一工_3工)cos(—尤)=_(3*_3一")cosx=_/(x),

所以/(x)為奇函數，排除BD;

又當xe[o卷]時，3r-yx>0,cosx>0,所以/(x)>0,排除C.

故選：A.

3Y

【鞏固練習11函數/G）=一^的大致圖象是（）

e-e

【答案】A

【分析】根據奇偶性、區間函數值符號及對應幕、指數復合函數的增長趨勢，應用排除法確定答案

即可.

【詳解】由〃-）=^^==口=）僅）且定義域{X|XHO},即〃x）是偶函數，排除D:

e-e-e--e

當x＞0時,eA＞1＞e-x,即e*-尸＞0,此時〃x）＞0,排除C;

當x趨向+oo時，3x、e*-e-*均趨向+8,但隨x變大，e*-尸的增速比3x快，

所以/（X）趨向于0,排除B.

【鞏固練習2】當0＞1時,在同一直角坐標系中，函數＞與y=lQg°X的圖像是（

【分析】由。＞1可知0＜工＜1,根據指數函數和對數函數圖象的單調性即可判斷得出結果.

a

【詳解】依題意可將指數函數昨「化為廣化丫，由。＞1可知o＜Li；

\a）a

由指數函數圖象性質可得y=為單調遞減，且過定點（0,1）,即可排除BD,

由對數函數圖象性質可得y=lo&x為單調遞增，且過定點(L0),排除C

【鞏固練習3］函數立吧的大致圖象是()

ex+ex

【答案】A

【分析】由函數解析式判斷函數的定義域和函數的奇偶性，再求函數的零點，以及函數值的正負，

運用排除法得解.

【詳解】因為函數=的定義域為R,

所以函數/(X)的定義域關于原點對稱，

2

又H)cos(-x)=三絲二

JI)ex+e-%e-x+exr)

所以函數/(%)為偶函數，

故函數/(x)的圖象關于〉軸對稱，B,C錯誤，排除B,C,

令/(x)=0可得,%=0或cosX=0,

所以％=0或x=左兀+］,左］Z,

jr37r57r7冗

所以函數的非負零點從小到大依次為0,—,—,—,—，…，

2222

當0<%<1時，cosx>0,x2>0,ex+ex>0,所以/(x)>0,D錯誤，排除D.

【題型2】由函數圖像選擇解析式

基礎知識

方法技巧

1、從定義域值域判斷圖像位置;

2、從奇偶性判斷圖像的對稱性;

3、從周期性判斷圖像循環往復;

4、從單調性判斷大致變化趨勢;

5、從特殊點排除錯誤選項.

3.（2022?全國?統考高考真題）如圖是下列四個函數中的某個函數在區間［-3,3］的大致圖像，則該

函數是（）

2sinx

D.y=

x2+1

【答案】A

【解析】設=則/（1）=0,故排除B;

'X+1

設〃⑴=,當X￡[0,51時，o〈cosx<l,

所以〃(x)=2x：osx<<1,故排除c；

X+1X+1

、“/x2sinx一小2sin3八_

設g(x)=2[，則g(3)=F->。，故排除D.

x+110

4.（2024?湖南?二模）已知函數/（x）的部分圖象如圖所示，則函數/（%）的解析式可能為（）

A」”-隹2x2IB-”一2前x2

【答案】A

【分析】根據函數的奇偶性和定義域，利用排除法即可得解.

【詳解】由圖可知，函數圖象對應的函數為偶函數，排除C;

由圖可知，函數的定義域不是實數集.故排除B;

由圖可知，當Xf+oo時，＞一一0°,

而對于D選項，當時，yfO,故排除D.

5.(2024?廣東廣州?一模)已知函數/(%)的部分圖像如圖所示，則/(%)的解析式可能是()

\7o\y^\yx

A./(x)=sin(tanx)B./(x)=tan(sinx)

C./(x)=cos(tanx)D./(%)=tan(cosx)

【答案】D

【分析】利用函數的奇偶性、定義域結合三角函數的性質判定即可.

【詳解】觀察圖象可知函數為偶函數，

對于A,/(-%)=sin(tan(-x))=sin(-tanx)=-sin(tanx)=-/(x),為奇函數，排除；

對于B,f(-x)=tan(sin(-%))=tan(-sinx)=-tan(sinx)=-/(x),為奇函數，排除；

(兀兀、

同理，C、D選項為偶函數，而對于C項，其定義域為一萬+左私萬+E，不是R,舍去，故D正確.

【鞏固練習1】(2024?安徽馬鞍山?三模)已知函數y=/(x)的大致圖象如圖所示，則了=〃尤)的解析

式可能為()

x-3%

B.〃x)=

9r+l

D，")(x?+2)

【答案】D

3

【解析】對于選項A:因為/(1)=一＞0,與圖象不符，故A錯誤;

8

3

對于選項B:因為/(1)=m＞0,與圖象不符，故B錯誤；

對于選項C:因為/(1)=寫＞0,與圖象不符，故C錯誤

【鞏固練習2】(2024?寧夏固原?一模)已知函數/(x)的部分圖像如圖所示，則/'(x)的解析式可能

為()

XX

A-小)=才=\

e-X+.exX

c./(%)=D.f(x)=

4H-3國-1

【答案】A

X_-x

【解析】對于B,當x>l時，/(x)=——,易知e，-er>0,3-4x<0,

v73-4x

則/(x)<0,不滿足圖象，故B錯誤；

3

對于C,〃x)=,定義域為—00,----U---U*

4|x|-34-H

e-X~4,—ecXceX.e-x

又/(-x)=4l_m=f(x),則/(無)的圖象關于y軸對稱，故C錯誤;

—JT,LV-J

%X]

對于D，當0時，小)=2=工=1+口，

由反比例函數的性質可知，/(X)在(1,+8)上單調遞減，故D錯誤；

檢驗選項A,/(X)=；滿足圖中性質,故A正確.

4X—3

【鞏固練習3】(2。21?浙江?高考真題)已知函數〃x)i+：,g(Ms"則圖象為如圖的函數可

能是()

A.>=/(x)+g(x)-:B.>=/(x)-g(x)-：

C.y=f(x)g(x)D”黑

【答案】D

【分析】由函數的奇偶性可排除A、B,結合導數判斷函數的單調性可判斷C,即可得解.

【詳解】對于A,y=/(x)+g(x)-^-=x2+sinx,該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除

A;

對于B,>=/(%)-g(x)一sinx,該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除B;

對于C,y=f(x)g(x)=^x2+；)sinx,則y'=2xsinx+^x2+；)cosx,

當x=g時，y=~x~~+與圖象不符，排除C.

422(164)2

【鞏固練習4】(2024?天津?二模)函數/(%)的圖象如圖所示，則/(x)的解析式可能為()

B."子

D-/()平

【答案】C

【分析】根據奇偶性判斷A;驗證/(1)的值判斷B;根據奇偶性、單調性判斷C;根據單調性判斷

D.

【詳解】由圖象知，該函數圖象關于原點對稱，所以函數/(%)為奇函數，且/(1)=0,

lnN.lnN

對于A,〃)一(田+1\+1=〃x),為偶函數，故A錯誤;

e1-e_11

對于B,/⑴=,=-―0,故B錯誤；

對于c,f(一尤)=2上！=_匚二L,為奇函數，當x>0時，f(x}=^^=x--

v7-XXXX

因為y=x,了=一!在(0,+8)為單調遞增函數，所以=在(o,+s)單調遞增，故C正確;

XX

對于D,當％>0時，〃％)=乎，-(x)=,所以X￡(o,e)時，/'(%)>0,

/(x)單調遞增，當x￡(e,+8)時，/r(x)<0,/(x)單調遞減，故D錯誤

【題型3】函數圖像與實際問題

基礎知識

方法技巧

(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；

(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象；

(5)根據圖象的變化趨勢，設置分段函數節點

6.某研究所開發一種新藥，據監測，一次性服藥10W12)小時后每毫升血液中的含藥量y(毫克)

與時間小時)之間近似滿足圖中所示的曲線關系.據測定，每毫升血液中含藥量不少于4毫

克時治療疾病有效，則12小時內藥物在體內對治療疾病一直有效所持續的時長為()

C.6小時D.7小時

【答案】A

【分析】首先求出函數解析式，再令歹24求出相應的/的取值范圍，即可得解.

【詳解】當04:43時，貝，1>=孑=%,

當3<￡<12時，設函數為歹=切+6,

[6=3左+bk=—2

<(3,6),(12,0)代入可得解得3,所以k-3+8,

0=12左+匕7c3

ib=8

2^,0</<3

所以歹=42,

-了+8,3</V12

f2

⑵24——?+8>4

要使了24,則J〈或J3,解得24f43或3</V6,

綜上所述：2V/W6,

所以有效所持續的時長為6-2=4個小時.

【鞏固練習1】(2024?山東?二模)如圖所示，動點P在邊長為1的正方形的邊上沿

運動，x表示動點P由4點出發所經過的路程，N表示的面積，則函數

了=/（無）的大致圖像是（）.

【答案】A

【分析】分xe[O,l],xe[l,2],尤e[2,3]求出解析式，然后可知圖象.

【詳解】當x?O,l]時，y=是一條過原點的線段；

當xe[l,2]時，y=1,是一段平行于x軸的線段；

當xe[2,3]時，y=^~,圖象為一條線段.

【鞏固練習2】（2024?廣東佛山?模擬預測）如圖，點P在邊長為1的正方形邊上運動，M是C。的

中點，當點尸沿運動時，點尸經過的路程x與△4府的面積歹的函數了=/（x）的圖象

的形狀大致是（）

nC

AB

%斗斗斗

bxi/-J.r\,

卜八,

O122.5/o122.5X0122.5x。i22.5x

E.均不是

【答案】A

1x

【解析】當點尸在45上時，y=—xAPxBC=—,

22

當點P在BC上時，y=ABxBC--xABxBP--ADxDM-U/CxCP

222

其中A選項符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正確.

【題型4】表達式含參數的圖象

基礎知識

根據參數的不同情況對每個選項逐一分析，推斷出合理的圖像位置關系，排除相互矛盾的位置關系,

以得出正確選項.

7.（多選）我國著名數學家華羅庚先生曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.數形結合百般好,

割裂分家萬事休.”在數學的學習和研究中，常用兩數的圖像來研究函數的性質，也常用函數的

x（jx

解析式琢磨函數圖象的特征，如函數y=L且awl）的圖像的大致形狀可能是（）

【分析】按o<a<l和。>1分類，結合指數函數圖象判斷即得.

【詳解】當0<a<l時，函數了=優在口上單調遞減，當x<0時，了=-</在（-8,0）上遞增，y<-1,

當x>0時，了=屋在（0,+℃）上遞減，A不滿足，D符合題意；

當。>1時，函數了=/在R上單調遞增，當x<0時，y=-a，在（-8,0）上遞減，

當x>0時，了=屋在（0,+s）上遞增，y>l,C不滿足，B符合題意.

8.（2024?重慶?模擬預測）已知函數〃x）=xa（x>0）,a為實數，/⑴的導函數為/（x）,在同一

直角坐標系中，/（X）與，（X）的大致圖象不可能是（）

【解析】由/（x）=x。，可得/'（力=￡》―

對于A,當a=-l時，在第一象限上/（x）=/遞減，對應/'（》）=-二=一：圖象在第四象限且遞

增，故A項符合；

對于B,C,D,在第一象限上與/（X）的圖象在（0,+8）上都單調遞增，故a>0且a-l>0,則

a>\.

又由/（x）=/'（x）可得X=C>1,即〃刈=/與/'（x）=axi的圖象交點橫坐標應大于1,顯然C

項不符合，B,D項均符合.

9.設°、6為常數，若。則函數>=優+6的圖象必定不經過第象限

【答案】二

【分析】由指數函數的性質與圖象的平移可得.

【詳解】已知。

則指數函數y=/單調遞增，過定點（0,1）,且例>1,

函數y=/+6的圖象是由函數函數y向下平移網個單位，

作出函數y=a*+6的圖象，可知圖象必定不經過第二象限.

故答案為：二.

【鞏固練習1］（多選）函數/■卜）="2+以+1與g（x）=x。在同一直角坐標系中的圖象可能為（）

A-

\/\oX

【答案】ABC

【分析】根據各選項中二次函數圖象特征確定。的正負，再觀察幕函數圖象判斷即得.

【詳解】對于A,二次函數開口向上，則。＞0,此時存在g(x)=x"與圖中符合，如。=2,A可能;

對于B,二次函數開口向下，則°＜0,此時存在g(x)=x"與圖中符合，如。=-1,B可能；

對于C,二次函數開口向上，則。＞0,此時存在g(x)=x"與圖中符合，如a=；,C可能；

對于D,二次函數開口向上，則。＞0,此時g(x)=x"在(0,+e)為增函數，不符合，D不可能.

故選：ABC

【鞏固練習2】(23-24高三上?江蘇揚州?期末)(多選)已知函數/(x)=x(e'+eer)是奇函數或偶

函數，則了=/")的圖象可能是()

【答案】BC

【分析】利用奇偶性求對應參數。的值，再由指數型函數性質判斷x＞0時的函數值符號，即可得答

案.

【詳解】由已知得/'(-x)=f(eT+a-e*),

若V=1(x)為偶函數，則一》(b+a.e*)=x(e*+a-b)恒成立，

所以x(l+aXe*+er)=O恒成立，故a=-l,則/(無)=x(e*-尸)，

所以尤>0時有/(x)>0,顯然C對，D錯；

若V=1(x)為奇函數，則一x⑹"+a.e")=-X(e*+a-e-')恒成立，

所以x(a-D(e*-er)=0恒成立，故a=l,則=x(e*+e-*),

所以x>0時有/(x)>0,顯然B對，A錯

2

【鞏固練習3](2024高三?全國?專題練習)(多選)函數/(x)=log2(Vx+1-kx)的圖象可能是()

【答案】ABD

【分析】首先根據選項中圖象的對稱性得出，選項A和B關于原點對稱，為奇函數，求出左，即可

判斷；選項C和D關于〉軸對稱，為偶函數，求出左，根據值域即可判斷.

【詳解】A,B選項中，圖象關于原點對稱，

22

若/(x)為奇函數，則/(x)+/(-x)=0,Fplog2(Vx+1-kx)+log2(Vx+1+kx)=0,

解得左=±1,

2

當左=1時，/(x)=log2(&+1-X)=log2(—)--log2(Vx+1+X),

yjX+1+X

當x>0,y=Jx「+l+xe(1,+』)且單調遞增,

所以當x>0時，〃x)e(ro,0)且單調遞減，/(x)的圖象為選項A;

2

當上=-1時，/(X)=log2(Vx+1+x),

當x>0,y=，/+1+彳€(1,+00)且單調遞增,所以/(x)e(0,+oo)且單調遞增，

所以/(x)的圖象為選項B;

而C,D選項中，圖象關于y軸對稱，

21

所以若/(x)為偶函數，則/(x)=/(-x),FpiOg2(-7x+1-kx)=log2(yjx+1+kx),

所以上=0:

222

當上=0時，/(x)=log2(Vx+l),x+1e[1,+oo),log2(x+1)e[0,+co),即/(x)20,

故/(x)的圖象為選項D,不可能為選項C

【題型5】函數圖象的平移，伸縮，對稱，翻折變換

基礎知識

圖像的變換

(1)平移變換

①函數〉=[0+。)(。>0)的圖像是把函數>=/(x)的圖像沿x軸向左平移。個單位得到的；

②函數V=/(x-。)(。>0)的圖像是把函數V=/(x)的圖像沿x軸向右平移。個單位得到的：

③函數y=/(.X)+a(a>0)的圖像是把函數y=f(x)的圖像沿y軸向上平移a個單位得到的；

④函數y=/(X)+a(a>0)的圖像是把函數y=f(x)的圖像沿V軸向下平移a個單位得到的；

(2)對稱變換

①函數v=/(x)與函數了=/(-無)的圖像關于>軸對稱；

函數y=/(x)與函數的圖像關于x軸對稱；

函數y=/(x)與函數y=-〃-x)的圖像關于坐標原點(0,0)對稱；

②若函數/'(無)的圖像關于直線x對稱，則對定義域內的任意X都有

f(a-x)=f(a+x)或/(無)=/(2。-x)(實質上是圖像上關于直線x=a對稱的兩點連線的中點橫坐標

,?(a-x)+(a+x)，巫,，、

為a,即1----丁----為常數)；

若函數f(x)的圖像關于點(a,b)對稱，則對定義域內的任意x都有

f(x)=2b-f(2a-x)BSf(a-x)=2b-f(a+x)

③y=|/(刈的圖像是將函數f(x)的圖像保留X軸上方的部分不變，將X軸下方的部分關于X軸對稱

翻折上來得到的(如圖(Q)和圖(6))所示

④了=/(國)的圖像是將函數/'(x)的圖像只保留y軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關于了軸對稱

得到函數了=/(可)左邊的圖像即函數了=/(可)是一個偶函數(如圖(C)所示).

注：p(x)|的圖像先保留了(X)原來在X軸上方的圖像，做出X軸下方的圖像關于X軸對稱圖形，然后

擦去x軸下方的圖像得到；而/(|x|)的圖像是先保留“X)在了軸右方的圖像，擦去＞軸左方的圖像,

然后做出y軸右方的圖像關于夕軸的對稱圖形得到.這兩變換又叫翻折變換.

⑤函數y=f-\x)與＞=f(x)的圖像關于y=X對稱.

(3)伸縮變換

①y=Af(x\A＞0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點的縱坐標伸長(N＞1)或縮短(0＜/＜1)

到原來的/倍得到.

②》二/(0x)(口〉0)的圖像，可將＞=/(%)的圖像上的每一點的橫坐標伸長(0＜。＜1)或縮短(G〉l)

到原來的,倍得到.

CD

【分析】利用特殊點法與圖象平移即可得解.

22

【詳解】因為歹=——,所以當x=0時，y=——=2,故才非除ABC,

1-x1-x

222

又y=--------------的圖象可由函數y=—的圖象向右平移'一個單位得到，則D正確.

1-xx-1X

，一X

11.(2024?重慶?三模)設函數/(無)==,則下列函數中為奇函數的是()

A./(x-2)+1B./(x-2)+2

C./(x+2)+2D./(x+2)+l

【答案】A

【分析】首先推導出/(-4-％)+/(工)=-2,即函數/(%)的對稱中心為(-2,-1),再根據函數的平移

只需將函數/（尤）向右平移2個單位，向上平移1個單位，得到函數了=/（x-2）+l,則該函數關于

（0,0）對稱，即可判斷.

【詳解】因為/（不=三=一（“+2）+4__1+/_定義域為{刈》《一2},

'72+x2+xx+2

44

貝+/（》）=一1+-------1H-----=-2（XH-2）,所以函數/（x）的對稱中心為（-2,-1）,

所以將函數/（無）向右平移2個單位，向上平移1個單位，得到函數了=/卜-2）+1,

該函數的對稱中心為（0,0）,故函數y=/卜-2）+1為奇函數.

12.已知函數/（無）的圖象如圖1所示，則圖2所表示的函數是（）

D.1-/(-^)

【答案】C

【解析】由圖知，將/（無）的圖象關于y軸對稱后再向下平移1個單位即得圖2,

又將/（無）的圖象關于了軸對稱后可得函數了=/（-無），

再向下平移1個單位，可得了=/（-尤）-1

所以解析式為y

【鞏固練習1】（2024?四川南充?二模）已知函數/（x）=[,則函數V=/（x-l）+l的圖象（）

A.關于點。,1）對稱B.關于點對稱

C.關于點（-1,0）對稱D.關于點。,0）對稱

【答案】A

【分析】首先判斷函數/（x）=（為奇函數，再根據函數平移規則判斷即可.

【詳解】函數/（x）=:的定義域為{x|xW0},又〃T）=-（=_〃X）,

所以/（X）=|■為奇函數，則函數/（X）的圖象關于原點（0,0）對稱，

又y=/（x-l）+l的圖象是由/（x）=：的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到,

所以函數了=/（尤-1）+1的圖象關于點（1,1）對稱.

【鞏固練習2】（2024?江西贛州?二模）已知函數/（x）的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數

圖象所對應的函數解析式()

l-4x

C.V=/(l-2x)D.y=f

2

【答案】C

【解析】

y=f(x)fy=/(-x)Ty=f(l-x)fy^f(1-2x

①關于y軸對稱②向右平移1個單位③縱坐標不變，橫坐標變為原來的一半

【鞏固練習3】(2024?遼寧?三模)已知對數函數〃x)=log,x,函數的圖象上所有點的縱坐標不

變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數g(x)的圖象，再將g(x)的圖象向上平移2個單位長度，所

得圖象恰好與函數/(x)的圖象重合，則。的值是()

A.—B.。C.D.G

233

【答案】D

【分析】根據函數圖像變換法則求出函數的解析式，由條件列方程，解方程求解即可

【詳解】因為將函數/(x)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數g(x)

的圖象，所以g(x)=loga§,即gahbg,X-log^,

將g(x)的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象的函數解析式了=log?xToga3+2,

因為所得圖象恰好與函數/(x)的圖象重合，

所以-log。3+2=0,

所以/=3,又Q〉0且QW1,

解得Q=5/3

【題型6】利用函數圖像解不等式

基礎知識

利用函數圖像求解不等式的解集及參數的取值范圍.先作出所研究對象的圖像，求出它們的交點,

根據題意結合圖像寫出答案

13.(2024?重慶?模擬預測)已知函數/(無)是定義在R上周期為4的奇函數，且

,、fx,0<x<1

/X=則不等式力(xT)<0在(-2,2)上的解集為()

[-x+2,l<x<2

A.(-2,-1)B.(-2,-l)U(0,l)

C.(-l,0)U(0,l)D.(-l,0)U(l,2)

【答案】B

【分析】由函數了=/(無)的圖象向右平移1個單位長度，作出函數了=八>-1)在[-2,2]上的圖象,

結合圖象，即可求解.

,.,.|x,0<x<l

【詳解】因為函數/(x)是定義在R上周期為4的奇函數，且/(x)=

I—x+2,1xs2

所以當xe(-l,0]時，f(x)=x；

當xe[-2,—1]時，—Xe[l,2],所以/(x)=-/(—x)=—(x+2)=-x—2；

當xe[-3,-2]時,x+4e[1,2],所以/(無)=/(x+4)=_(x+4)+2=_式-2,

函數了=/(x-l)的圖象可由函數了=/(x)的圖象向右平移1個單位長度得到，

作出函數V=在[-2,2]上的圖象，如圖所示.

由圖可知不等式獷(x-1)<0在(-2,2)上的解集為(-2,-l)U(0,l).

【鞏固練習1】(2024?高三?江西?期中)已知函數/(同=用±+1,g(x)=/(x-2)+l,則不等式

/(x)<g(x)的解集為()

A.(fl)B.(1,2)

C.(1,+℃)D.(2,+oo)

【答案】A

八/、\x\+xfl,x<0,/、/、f2,x<2,

【解析】由題知/(x)=L^—+l={>ng(x)=/(x-2)+l={在同一坐標系下畫出

乙IJi?_U,I力,4_N,

y(x),g(x)圖象如下所示:

|log2x|,xe(O,4)

【鞏固練習2]已知函數〃x)h3、，則滿足lV/(x)<3的x的取值范圍為(

』臼4,+⑹

A.-0,2]u[4,6]B.34,6]

_8?2_

11Jj_-

C.32,4]D.32,6]

8528?2

【答案】D

【解析】令/(x)=l,則|log2x|=l(xe(0,4))或/^=l(xe[4,+e)),

x—3

令/(x)=3,則降2尤|=3(尤e(O,4))或^^=3(xe[4,”))，

x—3

解得X二1或％=4.

8

畫出函數/(X)圖象的草圖(如圖)，得滿足14/(x)43的x的取值范圍為u[2,6].

o2

【題型7】利用函數圖像研究函數的性質、最值

基礎知識

利用函數圖像求函數的最值，先做出所涉及到的函數圖像，根據題目對函數的要求，從圖像上尋找

取得最值的位置，計算出結果，這體現出了數形結合的思想.

__....—.

14.用min{0,dc}表示°,b,c三個數中的最小值，則函數〃x)=min［x+l,-；x+4,-x+61的最大

值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】在一個坐標系中畫出y=x+l,y=-;x+4,y=—x+6的圖像，從左到右，取橫坐標對應的縱

坐標小的點構成新的圖像，如圖：

其中4點，即歹=%+1與＞=一；％+4的交點，其縱坐標即為所求

y=x+\

聯立1-解得4(2,3),

y=——x+4

I2

函數/(x)=min{x+l,—；x+4,—x+61的最大值為3

f.\a,(a>b)八f..791

【鞏固練習1】對Q,6GR記max{a,Z?}=%(4<份，則函數/(x)=maxe+1|/—2x+j的最

小值為___________

3

【答案】-/1.5

2

99

［解析】函數/(%)=max^|X+1|,X2-2X+是函數y=|x+l］與函數了=/-2尤+］同一個x取得的兩

個函數值的較大的值,

9

作函數v=1x+l1與函數y=x-2x+z的圖象如下,

得X」或％=*,

22

13

故當x=—時，/㈤的最小值為己.

22

【鞏固練習2］已知設函數/(x)=|log2%+2x+［在區間(￡+1］?>0)上的最大值為M(b).

若也M0)22}=R,則正實數f的最大值為

【答案】；

【解析】畫出/(x)=|log2x+2x+Z)|的圖象如下：

由圖象可知，當/(。=/?+1)時，叫修)取得最小值，最小值為了⑺，

此時￡＜加＜￡+1,—(log2t+2t+b^=log2?+l)+2?+l)+b,

則b=—gk)g2%,+l)-2/一1①，

故只需要-(^^,+為會②，

將①代入②得—(log2+2/——log2+1)—2%—1122,

化簡得_L?_L,解得