《平面解析幾何》專項測試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.“￡1〉0”是“點(0,1)在圓久2+曠2-25一2曠+。+1=0外”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查充分、必要條件的判斷方法，圓的方程，考查數學運算能力及推理能力，屬于基礎題.

把圓方程化成標準形式，根據點(0,1)在圓/+y2__2y+a+1=0外的充要條件進行計算出。的范

圍可解決此題.

【解答】

解：將刀2+必一2ax—2y+a+1=0化為標準方程，得(乂—a)2+(y—1)2=az-a.當點(0,1)

在圓d+產一2a久一2y+a+1=0外時，有。、彳，“八2、2解得a>1.

所以“a>0”是“點(0,1)”在圓/+y2—2a久—2y+a+l=0外”的必要不充分條件.

故選：B.

2

2.雙曲線C:方-/=1(a>0)的上焦點&到雙曲線一條漸近線的距離為會則雙曲線兩條漸近線的斜率之積

為()

A.-4B.4C.-2D.2

【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎題.

首先根據題意得到一‘=1=［得a=2,從而得到兩條漸近線斜率，即可得到答案.

Vl+a22

【解答】

解：由已知可得々(O,c),b-1,又a2+l=c2,

可設一條漸近線方程y=ax,

由點到直線的距離公式可得：=1=*

a—2,

第1頁，共19頁

兩條漸近線的斜率為口=2,七=-2,則的%=-4,

故選：A.

3.設。為坐標原點，直線x=2與拋物線。產=2「雙「>0)交于。，E兩點，若。DLOE,則拋物線。的焦

點坐標為()

A.(1,0)B.0)C.(1,0)D.(2,0)

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查直線與拋物線的位置關系及拋物線的性質，基礎題.

根據直線x=2與拋物線交于。、￡兩點，確定。、E兩點坐標，由。D1OE可得麗?麗=0,可確定。的

值，從而得到拋物線的焦點坐標.

【解答】

解：根據題意，不妨設。(2,26)，E(2,—2杼)，

因為。D1OE,可得麗?麗=0,所以4—4p=0,故p=l,

所以拋物線C：丫2=2刈所以拋物線的焦點坐標為弓,0).

故選B.

4.已知直線/：x-y+2=0,圓C：x2+y2=r2(r>0),若圓C上恰有三個點到直線/的距離都等于，I,

則r=

A.2B.4C.272D.8

【答案】C

【解析】【分析】

本題考查圓的半徑的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意圓的性質、點到直線距離公式的合理運用.

先求出圓心(0,0)到直線I的距離d=72,由圓上恰有三個點到直線I的距離都為，2得到圓心(0,0)到直線

/的距離d+，一2=r,由此能出r的值.

【解答】

解：圓心C(0,0),則點C到直線/的距離d=

又因為圓C上恰有三個點到直線的距離為逅，

所以圓心到直線I的距離d+72=r,即r=，，+=242,

故選：C.

第2頁，共19頁

5.已知兩個不同的圓Ci，C2均過定點A(a,b),且圓Ci，C2均與x軸、了軸相切，則圓的與圓C2的半徑之積為

()

ooQ2_L^2

A.\ab\B.2\ab\C.a2+b2D.---

【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查點與圓的關系，屬于中檔題.

討論點力所在象限，根據題意可得丁江2.

【解答】

解：當點4在第一象限時，圓Ci，。2的方程為。一丁)2+(y—r)2=八(廠＞0)的形式，代入點4(q,b)的坐標,

可得關于尸的方程72-2(a+b)7+次+爐=0,圓Ci，。2的半徑勺，上是該方程的兩個不同實根，

所以廠172=十+/,

同理，當點4在第二、三、四象限時也可得廠1廠2=+接.

當點/在歹軸上時，。=0,此時圓C1，。2的圓心分別位于第一、二象限(或第三、四象限)，

兩圓在4點處相切，且71=72=網，滿足廠172=力2=+扶.

同理，當點Z在X軸上時，b=0,同樣滿足廠1丁2=*=/+房.

顯然4點不可以是坐標原點，

綜上4是除原點外任意一點時，滿足丁1T2=小+房.

6.已知雙曲線得—9=1上有不共線的三點/、B、C,且線段AB、BC、NC的中點分別為。、E、F,若直

線。D、OE、。口的斜率之和為—2,則J—F——I--T-——()

kABkBCkAC

A.2B.-4C.-73D.3

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查雙曲線的中點弦問題、直線與雙曲線的位置關系及其應用、過兩點的斜率公式、中點坐標公式，

屬于中檔題.

設出點43、。的坐標，代入雙曲線的方程，利用點差法結合中點坐標公式和過兩點的斜率公式，可得

kAB

2k0D,同理可得J-=2/COE，；=2k°F，相加即可得到所求的值.

KBCKAC

【解答】

解:設點4(久1，乃)、8(X2,為)、DOo,y。)，

第3頁，共19頁

貝卜1+久2=2x0,yi+y2=2y0.

由點/、8在雙曲崎-9=1上，可唬―￥=1，條4=1，

兩式相減可得魚普?=d-嗎"+⑸,

則1=?資=言BP^-=2k0D,

打一冷，y。KAB

同理可得^—=2k()E，T—=2k()F，

KBCKAC

111

?,,++~2"OD+k()E+k()F)=2x(-2)=-4.

故選：B.

7.P是橢圓C4+*l(a>6>°)上一點，％、吃是。的兩個焦點，時尾=。;點0在2PF2的平分

線上，。為原點，OQIIPF],且|0Q|=b.則。的離心率為()

【答案】C

【解析】【分析】

本題考查橢圓離心率的求法，屬于較難題.

根據題意可得點0至此F1PF2兩邊的距離相等，不妨設P%<P?2,貝4PF2=b+2PFi，根據橢圓的定義和

勾股定理求解即可.

【解答】

解：因為際?嗝=0,

所以PFi1PF2,

因為點。在NF1PF2的平分線上，

所以點。至U/F1PF2兩邊的距離相等，

不妨設P%<PF2,

11

貝心PF2=b+^PFlt

聯立PFi+PF2=2a,

可得PF1—a—b,PF2—a+b,

又PF/+「@2=/弁，

則(a—b)2+(a+b)2=(2c)2,

第4頁，共19頁

化簡可得+b2=2c2,

則》+a2-c2=2c2,

貝！I2a2=3c2,

艮吟=等

故C的離心率為苧.

8.如圖，畫在紙面上的拋物線產=8久過焦點廠的弦長為9,則沿x軸將紙面折成平面角為60°的二面角

后，空間中線段N3的長為()

D.<65

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查直線與拋物線位置關系及其應用，空間向量長度與夾角的坐標表示，屬于較難題.

聯立直線與拋物線方程得到根與系數關系式，結合焦半徑公式可得4(4,4，1),8(1,-2/1),進而根據線面

垂直，以及二面角的定義得60。，根據銳角三角函數計算長度，可得4(4,-2，％2d石),8(1,-

272,0),利用兩點距離公式即可求解.

【解答】

解：因為拋物線V=8x過焦點為R

所以尸(2,0),

設直線AB的方程為x=my+2(m>0),

BQ2,月)，

'x=my+2(m>0)

由

y2—8x

可得y2—8my-16=0,

則+丫2=8m,

則比1+久2=m(yi+乃)+4=8m2+4,

故|4B|=+久2+P=87n2+8=9,

第5頁，共19頁

解得m=，，

4

故儼-272y-16=0,

即（y-4，I）（y+2"）=0，

解得Vi=4V_2,y2=—2A/~2>

故A（4,4，I）,B（1,-2，I），

如圖，建立空間直角坐標系，過/作力N_L平面xOy于N,過N作NH_L無軸于，，連接

ZA

B

由于力Nix軸，且N”_Lx軸，ANCtAH=A,

故x軸J■平面ANH,

因為力Hu平面/人%，

故AH1x軸，則ZAHN=60。，

由于在直角坐標系中4（4,4，1）,3（1,-2，1），

故。"=4,AH=4，1，

因此在直角三角形/NH■中，

HN=^AH=2回,AN=苧4H=2<6,

因此在空間直角坐標系中，

4（4,-2<2,2<6）,8（1,-272,0）,

故|4B|=J（4-I）2+02+（2/6）2=<33>

故選：B.

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知直線4：ax—3y+1-0,l2：x-by+2-0,則（）

A.若匕_L%，貝勺—3

B.若力〃2，貝Uab=3

第6頁，共19頁

C.若A與坐標軸圍成的三角形面積為1,則。=±、

D.當bWO時，"不經過第一象限

【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查兩直線位置關系的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

由兩直線平行、垂直與系數的關系列式判斷力,B；先得出直線匕與坐標軸的交點，再計算三角形面積可得

a,判斷C；分b=0和b豐0兩種情況討論可得結果.

【解答】

解：若k—2，當的斜率存在時，貝哈=一3；

當，2的斜率不存在時，則a=。，b=0，故N錯誤；

若A//G，當％的斜率存在時，1=貝！1就=3；

當％的斜率不存在時，則匕=0,",%不可能平行，不符合題意，故3正確；

直線匕：ax—3y+l=0與x軸，夕軸的交點分別為(一，0),

則匕與坐標軸圍成的三角形面積為S=：|-1x〉l,解得a=±：,故C正確；

若直線％不經過第一象限，則當640時，!<0,解得6<0；

當b=0時，直線x--2,也不過第一象限；

綜上可知：bWO時，G不經過第一象限，故。正確.

故選BCD

10.已知M為直線x-y+5=0上的一點，動點N與兩個定點。(0,0),4(3,0)的距離之比為2,貝！|()

A.動點N的軌跡方程為(x-4)2+產=4B.\MN\22+苧

C.|MN|+]NO|的最小值為D.乙4ON的最大角為看

【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查與圓相關的軌跡問題，直線與圓的位置關系中的最值問題，屬于一般題.

設N(x,y),運用兩點間的距離公式，整理可得點N的軌跡方程，可判斷/；由M點與圓上一點的距離的最

小值，可判斷3；要求|MN|+：|NO|的最小值，即求點/到直線x—y+5=0的距離，即可判斷C；易知

當直線ON與點N的軌跡所在圓相切時，上AON最大,可判斷D

第7頁，共19頁

【解答】

解:設N(x,y),由。(0,0),4(3,0),耨=2,

可得JN+y2=2d(x―3)2+y2,

兩邊平方整理可得/+V一8久+12=0,

即(X—4)2+y2=4,故/正確；

由題意點N的軌跡為圓，圓心C(4,0),半徑為2,

又M為直線x—y+5=0上的一點，

所以|MN|之姓萼一2=殍—2,故5錯誤，

由題意|M4|=/|ON|,

所以|MN|+]NO|=\MN\+\NA\,易知點/在圓內，

所以要求|MN|+g|NO|的最小值，即求點/到直線x—y+5=0的距離,

所以|/0|+加。|的最小值為號包=4，之故C正確；

易知當直線ON與點N的軌跡所在圓相切時，乙AON最大,

此時sin乙40N=喘=U解得乙4ON=也

所以乙4ON的最大角為和故。正確；

故選力CD.

11.在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線C：y2=4x,過點P(m,0)(m>0)作與x軸垂直的直線，與拋物

線。交于43兩點，則下列說法正確的是()

第8頁，共19頁

A.若|P*>\P0\,則m的取值范圍是0<小<2

B.若△AB。為正三角形，則m=12

C.若拋物線C上存在兩個不同的點E,F（異于4,B）,使得|PE|=|PF|=竿，則m>4

D.當叫瞿取得最大值時，m=1

【答案】BCD

【解析】【分析】

本題以命題的真假為載體考查了拋物線的應用，解題的關鍵是掌握拋物線的相關性質，同時考查了基本不

等式求解最值的應用，考查了邏輯推理能力與化簡計算能力，屬于中檔題.

利用兩點間距離公式列出關于加的不等關系，求解即可判斷選項/,設4（爪,2行）,8（磯-2V沆），利用等

邊三角形的性質列出關于加的等式，求解即可判斷選項瓦設E（t,2，7）,t>0且t大山,表示出|PE|=|PF|=

^\AB\,求出加和f的關系，利用，的范圍，求出機的范圍，即可判斷選項C,利用加表示出廠費PL

再利用換元法和基本不等式求解取最大值時m的值，即可判斷選項D

【解答】

解：對于/,^\PA\>\P0\,則|P*2>|po/，所以4m>源，解得0<小<4,故選項/錯誤；

對于8,若△AB。為正三角形，不妨設/在x軸的上方，貝1」月（犯2，元）,3（犯-2，而），

所以|。川=|0B|=|4B|,即機2+4租=16m,因為m>0,解得巾=12,故選項3正確；

對于C,不妨設E在x軸的上方，則設E（t,2，7），t>0且tKm,

因為|PE|=J（m-t）2+（0-2<t）2,\AB\=4，而，

由|PE|=|PF|=g,可得（m—t）2+4t=4m,則由（m—t）2=4（m—t）,

因為tH所以?n-t=4,貝!Jt=ni—4>0,所以zn>4,故選項。正確；

-p-r\%\AB\+\OP\_4V_m+m_44-/m_/m+16+8-/m_匚~（12+87^

河于|0周二吞2+47n-=d-m+4'

0

令％=12+貝！Jm+4=）2+4="一筆+的,

o64

所以+_J-64%__J064

切以\0A\-4%2_24X+4OO~%+竽一24

-J1+2718^24=

當且僅當％=即X=20,即12+8/元=20,故租=1時取等號，

第9頁，共19頁

所以當嘴臀取得最大值時，爪=1,故選項。正確.

\UA\

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分,共15分。

12.已知直線2x-y+1=0的傾斜角為a,則tan2a的值是.

【答案】一號

【解析】【分析】

本題考查二倍角正切公式，直線的傾斜角,屬于基礎題.

根據直線斜率等于傾斜角的正切值，得tana=2,再利用二倍角的正切公式即可得到結果.

【解答】

解：由直線2x-y+1=0的傾斜角為a,得直線的斜率為tana=2,

所以tan2a=哥^=當=4

故答案為-土

13.老張家的庭院形狀如圖，中間部分是矩形/BCD,AB=8,BC=3（單位：m）,一邊是以CD為直徑的

半圓，另外一邊是以為長軸的半個橢圓，且橢圓的一個頂點”到的距離是2小，要在庭院里種兩棵

樹，想讓兩棵樹距離盡量遠，請你幫老張計算一下，這個庭院里相距最遠的兩點間距離是m.

【答案】2/7+4

【解析】【分析】

本題主要考查兩點間距離公式，橢圓方程，屬于中檔題.

由題意問題轉化為。C中點到半個橢圓上點的距離的最大值加4,以N5中點為原點，所在直線為x軸,

建立直角坐標系，設橢圓上一點坐標，利用兩點間距離公式結合橢圓方程，由二次函數求最值即可.

【解答】

解：以48中點為原點，48所在直線為x軸，48中垂線為y軸建立直角坐標系,

第10頁，共19頁

DC中點即為。1(0,3),橢圓方程為￥+4=i(yw0),

164

由題意，0到半圓上的距離均為4,故問題可看做。1到半個橢圓的距離的最大值加4即可，

設橢圓上一點為P(x,y),-2<y<0,

則|0P|=JN+3_3)2=J-3/一6y+25=J-3(y+l)2+28,

當y=-1時，—3(y+l)2+28取到最大值28,

即J—3y2-6y+25<728=2萬

所以庭院里相距最遠的兩點間距離是(2，7+4)m.

故答案為：2/7+4.

14.已知曲線G:x|久|+y\y\=4,0為坐標原點.給出下列四個結論：

①曲線G關于直線y=無成軸對稱圖形；

②經過坐標原點。的直線/與曲線G有且僅有一個公共點；

③直線Lx+y=2與曲線G所圍成的圖形的面積為兀-2；

④設直線2：y=依+2,當ke(-1,0)時，直線/與曲線G恰有三個公共點.其中所有正確結論的序號是.

【答案】①③④

【解析】【分析】

本題考查二元二次方程表示的曲線，屬于較難題.

分x,y的正負四種情況去掉絕對值符號得到曲線方程后，由圖可得①正確；當斜率為-1時結合漸近線可得

②錯誤；由四分之一圓面積減去三角形面積可得③正確；數形結合可得④正確.

【解答】

rx2+y2=4,x>0,y>0

x2—y2=4,x>0,y<0

解o：x|x|+y|y|,=40〈2'2/，

=4,x<0,y>0

x2—y2=4,x<0,y<0

因為當％<0,y<0時，一%2-y2=4無意義，無此曲線，故舍去；

第11頁，共19頁

"x2+y2=4,x>0,y>0

所以曲線G表示為：,久2一y2=4,x>0,y<0,

y2—x2=4,x<0,y>0

作出曲線圖象如下：

對于①，由圖象可得曲線G關于直線y=x成軸對稱圖形，故①正確；

對于②，由于左上和右下部分雙曲線的a=6,所以漸近線方程為y=-x,

所以當直線的斜率為-1時，過原點的直線與曲線無交點，故②錯誤；

對于③，設直線/與久,y交點分別為4B,

因為圓方程中半徑為2,且點4(0,2),B(2,0),

所以直線與曲線圍成的圖形的面積為,x兀X22—白X2x2=?r—2,故③正確;

對于④，由于直線y=kx+2恒過(0,2),

當k=0時，直線與x平行，有一個交點；

當k=—1時，與漸近線平行，此時有兩個交點，

當-l<k<0,結合斜率的范圍可得有三個交點，如圖:

故答案為：①③④.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

第12頁，共19頁

已知定點「(-2,-1)和直線/：(1+3A)x+(1+2A)y-(2+54)=0(AGJ?).

(1)求證：直線/過某個定點，并求出該點的坐標；

(2)求證：不論2取何值，點尸到直線/的距離不大于

【答案】證明：(1)方程(l+34)x+(l+24)y-(2+54)=0,

可整理為0+y-2)+A(3x+2y-5)=0.

.(x+y-2=0(x=1

、(3x+2y—5=O^ly=1'

故x=1,y=1能使原方程左右兩邊相等恒成立，

所以直線/過定點，且該點的坐標為(1,1).

(2)由(1)知直線/過定點(1,1),

設該點為4,設P與直線/的距離為力

而線段NP為點P與直線/上一點的連接線段，

可知d<|4P|,而|4P|=79T4=713,

所以dW，言，即不論2取何值，點尸到直線/的距離不大于d

【解析】本題考查直線過定點問題，點到直線的距離，屬于基礎題.

(1)原方程整理為(X+y—2)+4(3支+2y—5)=。.令［+^~2=1「得定點，該點的坐標為(1,1).

(5%~rLy_3=U

(2)由(1)知直線/過定點4(1,1),設尸與直線/的距離為力而線段/尸為點P與直線/上一點的連接線段，

可知dW|AP|,而|AP|=AH?,所以結論成立.

16.(本小題15分)

已知圓〃經過函數y=/-6久+5的圖象與坐標軸的3個交點.

(1)求圓"的標準方程；

(2)若點尸為圓N：/+⑶—2尸=1上一動點，點。為圓M上一動點，點4在直線y=—2上運動，求|AP|+

MQI的最小值，并求此時點/的橫坐標.

【答案】解：(1)因為函數丫=/一6久+5的圖象與坐標軸的3個交點分別為8(0,5),C(l,0),5(5,0),

第13頁，共19頁

所以可設M(3,b),

由|MB|=\MC\,得J9+(6-5尸=VTTP，

解得b=3,則|MC|=/13>

故圓M的標準方程為(x—3>+(y—3)2=13.

(2)設圓N關于直線y=-2對稱的圓為圓E,則圓E的方程為了+(y+6)2=1.

設4(x,—2),則當/,E,M三點共線時，MP|+MQ|取得最小值，

且|4P|+MQ|的最小值為|ME|-1=V92+32-AA13-1=—Y4?-1，

此時，kME=kAE,即笠包=?6,

解得x/故點/的橫坐標為，

【解析】本題考查點到圓上點的最值問題，圓的方程的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題.

(1)求出函數丫=久2一6刀+5的圖象與坐標軸的3個交點分別為3(0,5),。(1,0),。(5,0),然后求解圓的圓心

與半徑，然后推出圓的方程；

(2)求出圓N關于直線y=—2對稱的圓E的方程.設2(無2),則當/,E,M三點共線時，|4P|+|4?|取

得最小值，利用斜率相等，求解/的橫坐標即可.

17.(本小題15分)

已知/,8是雙曲線1上的兩點，點P(—1,2)是線段的中點.

(1)求直線AB的方程；

(2)若線段48的垂直平分線與￡相交于C,。兩點，證明：A,B,C,。四點共圓.

【答案】(1)解：依題意，直線的斜率必定存在，設其斜率為匕力(巧/1)，8(尤2，乃)，

所以優一”=1，點一除=L

兩式相減得，01+久2)(%1-%2)-嗎=0,

又點P(-1,2)是線段A8的中點，

所以空=一1,嗎”=2

所以k=丫1一丫2_2(%1+%2)

%1一%2—71+72

故直線45的方程為y-2=-1x(%+1),即y=-%+l,經檢驗，符合題意,

所以直線AB的方程為y=-x+l.

第14頁，共19頁

2

r2_y-1

(2)證明：由X—2一,得久2+2.3=o,

y=-x+l

解得x=1或x=-3,

不妨令幺在3左側，

所以4(-3,4),5(1,0)

線段的垂直平分線方程為：丫=%+3,

設C(久3，為)，O(x4,y4),

心一比=1,,

由，2得比一6x—11——0.

y—x+3

所以乂3+^4=6,%3%4=-1L

故線段CD的中點M(3,6),

所以|CD|=YTTTX,36+44=4百6，

\MA\=J(3+3/+(6-4尸=2AA10

\MB\=J(3—1)2+(6—0)2=2AA10

1

所以=\MB\=^\CD\,

所以/,B,C,。在以〃■為圓心，為半徑的圓上，

所以N,B,C,。四點共圓.

【解析】本題考查直線與雙曲線的位置關系，涉及到中點問題，可用點差法，四點共圓問題，可先求出圓

心坐標，再考慮其他的點到圓心的距離是否為半徑即可.屬于中檔題.

(1)利用點差法可求直線方程.

(2)算出CD的方程，聯立直線方程和雙曲線方程后可求線段CD的中點M和CD的長度，計算MB的

長度后可判斷/，B,C,。四點共圓.

18.(本小題17分)

已知直線/與拋物線的:y=2x交于兩點力(右,乃)，B(x2,y2)＞與拋物線。2：%=4%交于兩點。(刀3，乃)，

D(x4,y4),其中N,C在第一象限，B,。在第四象限.

(1)若直線/過點M(l,0),且=苧,求直線/的方程；

\DIVI?1z

(2)(i)證明：-+-=-+

yiyiy3y4

(ii)設△AOB,△C。。的面積分別為Si，S2(。為坐標原點)，

第15頁，共19頁

若|力。=2|啊，求今

【答案】解:(1)設直線/方程為％=my+1,4(久口為)，B(x2,y2),

(x=my+1

。=2久^/-2my-2=0,

_______i__________________________i_=C=工+工一

\AM\—7l+m2-y2Vl+m2-yi2yly22

yi4-V9y/~2/-：-;---72mrz-;---T?

12=———V1+m2,—=———V1+m2=>m=1,

y/22-22

?,?直線l的方程為％-y-1=0.

(2)解析一：(i)設直線/方程為第=my+t,t>0,

(x=my+t(x=my+t

2m

Iy2=2xy-2t=0;=4x-4nly-4t=o

.1+1_yi+y2_2m_m1+1_73+74_4m_m

-

??yi及_y/2_-2￡_t"y3y4~y3y4~-4tC，

22

(ii)v\AC\=2\BD\,Vl+m(y3-y。=2V1+m(y2-y4)=為一Yi=2(y2一y。，

.1111一73-71_、2—丫4

由-----------------------------------小乃乃=2y2y4,

yi73ys,及月以y2y4

由乃力=-2t,y3y4=-4tn%=丁，為乃=2y2y4=>為乃=『以，

yiyi

???五二芮=乃=五',4=一乃，且由丫3—=2(^2—、4)=五=3y”

,2t8

S1JIO1-二2)月+五%+2t寸+2t=7

-74)8^-10-

yi3

22

解析二：(2)(范)|ZC|二2\BD\=V1+m-(y3-yi)=2V1+m-(y2-y4),

且*+擊=套+器

???y3-yi=2(y2-%)①，

乃乃=一23為%=-43；?卷=嫄=2（乃+乃）=乃+判，②

由①=yi+2y2=丫3+2y4③，②-③=yiy*

設yi=一y4=A,=2=丫3=-2y2④，將④代入①=丫2=-/丫3=

y/24乙

...￡i=/lyifl=>]+?彳3A=2_

??S2—同僅一以1一|A+A-io.

【解析】本題考查直線與拋物線的位置關系，三角形的面積公式，弦長公式，解題中需要一定的計算能力,

屬于難題.

第16頁，共19頁

⑴設直線/方程為x=my+1,AQi，%)，B(x,y),所以廣2二7

22=>儼_2my—2—0,然后利用弦

ly—LX

長公式計算即可.

X=772V+t(X——771V+t

_2=y2_2my-2t==4]=>y2-

(X

4my-4t=0,利用根與系數的關系計算即可.

3)：由①矢p=今于=yi>3=2y2y4可得號=3yi，代入計算3可得?

y，3y2y4yi

解析二：(2)(范)由題意可得=2(丫2-、4)①，2(yi+丫2)=、3+丫4②，yi+2y2=丫3+2%③，

②-③今71=—丁4，

設為=-%=九3=罌匚珥代入對應數值即可.

S2|t||y3-74l

19.(本小題17分)

設橢圓E4+真=l(a>b>0).已知點7(0,1),S6-5)在橢圓E上.

(1)求橢圓￡的標準方程；

(2)若過點4(2,1)的直線/與橢圓￡交于2,C兩點(8在C右側)，且與線段ST交于點P.

⑴證明.也'=2.幽

(ii)當P為4C中點時，求直線力尸的方程.

【答案】解：(1)由于點T在橢圓上，可知b=l,

再將點S的坐標代入橢圓