2025年高考數(shù)學第三次模擬考試02(新高考II卷)

全解全析

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足3=2+i，則目=()

l-z

A.VioB.V2c.V5D.1

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則可求得z,進而可求得目.

555(2-i)5(2-i)

【詳解】由12+i,可得1一=丁==\^=2-i,

1-z2+1(2+i)(2-1)J5/

所以z=-i+i,則目=JL

故選：B.

2.已知集合/={x|x>3},B={x\y-y]6-x],則()

A.(3,+co)B.[6,+(?)C.(3,6]D.(3,6)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求得定義域，結(jié)合集合交集，可得答案.

【詳解】由8={x|y=j6-x}={xI6-x>0}={xIx<6},

貝(]/c8={x[3<xV6}=(3,6].

故選：C.

3.向量1|=W=1,H=且￡+B_"=6，則cos(q,c)=()

A.--B.一且C.y

D.

2222

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)量積運算律得小,=3￡,再利用向量夾角公式即可.

【詳解】a+b—c=Ot則石=c-a，貝!）廬=/一2H+J?,

3

即1=3-2鼠3+1,解得鼠工=1,

2

所以----a-c2v3

771cosa,c=cosa,c=,“,=—=——'

同同1x732

故選：D.

4.設(shè)//?是兩個不同的平面，/,加是兩條直線，且加ua,/，a.則“/，/?”是“機//4”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】通過面面平行的性質(zhì)判斷充分性，通過列舉例子判斷必要性.

【詳解】/1/?,且/La,所以a//尸，又小ua,所以加//分，充分性滿足,

如圖：滿足力〃￡,m^a,l±a,但/，刀不成立，故必要性不滿足，

所以“/，￡，，是“m"0”的充分而不必要條件.

故選：A.

5.如圖中，圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為（）

|v|kl

A,/Xe-cos2x口"Qesin2x

A.〃x)=^7rB.〃x)="

?sin2尤「el%lsin2x

c"kd-/w=^r

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除A,根據(jù)有界性可排除C,根據(jù)4處的函數(shù)值不超過5,可判斷B.

【詳解】由圖象可知函數(shù)關(guān)于原點對稱，故為奇函數(shù)，

“/\e^cos2x_/、e'?(cos-2x)e^cos2x“/、

對于A,/(x)二一丁丁J(r)=-；—-----=—丁丁=/(%)，故函數(shù)為偶函數(shù)，不符合，

X+1(-X)+1X+1

小丁一c(5兀8兀)，5兀r1.c.8兀G?/.xe4sin8VJe4百x2.541.7x39.

對于B,V8G—,—k—,37iL/.sin8>sin—=—,/(4)=———q—>^—>5,

\乙3)\乙)3Z4ooo

根據(jù)圖象可知，4處的函數(shù)值不超過5,故B不符合，

對于C,由于顯然不符合，

X+1X+1

故選：D

6.據(jù)典籍《周禮?春官》記載，“宮、商、角、徵、羽”這五音是中國古樂的基本音階，成語“五音不全”就是指此

五音.如果把這五個音階全用上，排成一個五音階音序，要求“宮”不為末音階，“羽”不為首音階，“商”“角”不

相鄰，則可以排成不同音序的種數(shù)是()

A.50B.64C.66D.78

【答案】A

【分析】以“宮'’的順序?qū)⒁綦A排序分為四類，再考慮“商”“角”順序，運用排列組合知識可得答案.

【詳解】①若“宮”為首音階，“商”“角”可取24,25,35音階，

排成的音序有C；A；A；=12種；

②若“宮”為第2音階，“商”“角”可取13,14,15,35音階,

排成的音序有C；A；A；+A；=14種；

③若“宮”為第3音階，“商”“角”可取14,15,24,25音階，

排成的音序有C；A；A；+C；A：=12種；

④若“宮”為第4音階，“商”“角”可取13,15,25,35音階,

排成的音序有C；A；A；+C；A；=12種.

由分類加法計數(shù)原理可知,一共有12+14+12+12=50種排法.

故選：A.

7.設(shè)拋物線。：必=2°40>0）的焦點為尸，準線為/,過尸的直線與C交于A、5兩點，記點A到直線/

的距離為d,且|/同=。乙若點A的橫坐標為2,則。=（）

24

A.-B.1C.-D.2

33

【答案】C

【分析】由拋物線的定義可得d=^+2,設(shè)點心,弘）、B（x2,y2）,設(shè)直線48的方程為x=（y+],將該

直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出％="，根據(jù)拋物線的焦點弦長公式可得出關(guān)于夕的

等式，結(jié)合P>0可求得P的值.

【詳解】拋物線C的準線方程為尤=-5，由拋物線的定義可得以可="=5+2,

設(shè)點/（再,必）、B（x2,y2）,若直線與x軸重合，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，

_P

設(shè)直線的方程為x=3+§,聯(lián)立“="可得/_2伽-/=0,

2

2[y=2Px

貝！JA=4〃p2+4p2>0,由韋達定理可得%為=-P2，

所以，玉馬=2七=等=/=勺,故％=?

2+『+。=門+*

所以，\AB\^xx+x2+整理可得3/+8/2-16=0,

即（3p-4乂p+4）=0,因為p>0,解得p=（

故選：C.

產(chǎn)+i,xV2,

8.已知函數(shù)/（x）=丫>2（。>°且。*1）在口上為單調(diào)函數(shù)若方程/（》）-4|〃刈+3=0有4

—(x—2)2+4。,

個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是()

<11「11］fill(1A

I2j［42j(42j(4)

【答案】C

【分析】首先根據(jù)單調(diào)性的定義得到。的范圍，接著將尸⑸看作一個整體，然后結(jié)合一元二次方程求解出

|/(刈的值，然后結(jié)合/'(x)的值域求解出”的范圍.

【詳解】由題意可知：/(x)為單調(diào)函數(shù)，

當x>2時，/'(x)單調(diào)遞減；

故當xV2時，f(x)也是單調(diào)遞減，故

要確保/(x)在R上單調(diào)遞減，則-(2-2>+4a=4aV〃2)=2,

解得…(；，

所以滿足f(x)在R上單調(diào)遞減時，實數(shù)a的取值范圍為

當X42時，/(%)=優(yōu)一2+1,

又/'(X)在(-8,2］上單調(diào)遞減，0<awg,

所以〃x)=ai+i2/⑵=2,

即/'(x)在(-叫2］上的值域為［2,+“).

令尸(X)-4|/(X)+3=0,則/(x)|=l或3,

即/(尤)=土1或±3,

要使得/2(X)-4|〃X)|+3=0有4個不同的實數(shù)解，

則-(2-2)2+4a=4a>1,

解得…

4

綜上，實數(shù)a的取值范圍為：即.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已矢口函數(shù)/(x)=cos2x+cos［2x+^］4lj()

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點［￡,()］對稱

B.將函數(shù)/'(x)的圖象向左平移三個單位長度后所得到的圖象關(guān)于了軸對稱

C.函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,可上有2個零點

D.函數(shù)/(尤)在區(qū)間R與上單調(diào)遞增

3o

【答案】ACD

【分析】利用三角恒等變換易得/(x)=cos(2x+1｝采用代入檢驗法即可判斷A項，利用平移變換，求

得函數(shù)解析式，易得其為奇函數(shù),，故而排除B項，將2》+三看成整體角，求出其范圍，利用余弦函數(shù)的圖

象觀察分析，易對C,D兩項進行判斷.

【詳解】/(x)=cos2x+-cos2x-sin2x=-^-cos2x-^-sin2x=cos^2x+^

對于A,當x=^|時,2x+1=g,而cos￡=0,故A正確；

對于B,將〃x)向左平移普個單位后可得，g(x)=cos21+爸+三

=cos(2x+芳)=sin2x為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，故B錯；

對于C,當04x<兀時，1<f=2x+y<y,

因了=。(^在耳，與］上僅有2個零點，故/(x)在［0,可上也僅有2個零點，故C正確；

對于D,當g71vxW57?r時，因了=3$才在兀2兀］上單調(diào)遞增，

36

故/'(X)在上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：ACD.

10.在正四棱臺45cz)-中，AB=3,AXBX=2,則()

A.該正四棱臺的體積為迎1

6

B.直線與底面488所成的角為60。

c.線段4c的長為舊

D.以&為球心，且表面積為6兀的球與底面488相切

【答案】BCD

【分析】由臺體的公式可判斷A；求出直線/4與底面4BCD所成的角可判斷B；求出線段4c的長可判斷

C；求出以4為球心，且表面積為6兀的球的半徑可判斷D.

【詳解】連接/C,AC,過4作4〃_L/c,垂足為a.

因為43=3,4月=2,所以NC=38,4G=2也，

所以AHJ亞一班=顯,A3=[AA；-AH?=如,

22、2

所以該正四棱臺的體積/=與x（/笈+質(zhì)二評+4母）=竽，A錯誤.

AH1

直線與底面4BCD所成的角為///“，由cos/耳/"=77=；,所以N44H=60。，B正確.

TlTliL

22

AXC=^CH+AXH=,C正確.

設(shè)以4為球心，且表面積為6兀的球的半徑為R,則4兀汗=6兀，解得R=坐=4”,

所以以4為球心，且表面積為碗的球與底面相切，D正確.

故選：BCD.

11.“黃金雙曲線”是指離心率為“黃金分割比”的倒數(shù)的雙曲線（將線段一分為二，較大部分與全長的比值等

22

于較小部分與較大部分的比值，則這個比值稱為“黃金分割比”）.若黃金雙曲線C:=-4=1（。>0/>0）的

ab~

左右兩頂點分別為4,4,虛軸上下兩端點分別為片，B2,左右焦點分別為品工，口為雙曲線任意一條不

過原點且不平行于坐標軸的弦，M為E尸的中點.設(shè)雙曲線C的離心率為e,則（）

AA.e=-V-5-+-1-

2

B.kEF?k0M=e

C.直線號目與雙曲線C的一條漸近線垂直

D.直線y=^x+l與雙曲線C的左支有兩個不同的交點

【答案】AC

【分析】根據(jù)黃金分割比計算可得A正確，利用點差法計算可得蜃入心.=?2-1,即B錯誤，由兩直線的

斜率關(guān)系可判斷C正確，易知一條漸近線的斜率為左=可判斷D錯誤.

【詳解】對于A,設(shè)線段長度為1,較大部分為x,則較小部分為l-x,

由題黃金分割比為x,且x=^^^=>無2+x-1=0nx=—?+舊

x2

1_V5+1

則離心率為「"忑二"三-，即A正確；

2

M+居

/二一^―

對于B,設(shè)百（4必）,尸（%2，%），"（%0，%），其中1~

%2

之1

留-1

2

又￡,尸在雙曲線線上，所以「2

X?%1

萬F-1

2_22_2

兩式相減可得土乎-咋江=0,

ab

即==??這=?.無可得魘尸

Xj-x2ayx+y2a2yQay0a-0ak0M

R_2

所以降?％/=<=二土=/-1，可得B錯誤；

aa

/、/、i—b—0b

對于c,易知片（一c,o）,鳥（0,一3，所以與鄉(xiāng)=西工y=

易知雙曲線的一條漸近線斜率為左=2,

a

因此直線丹目與雙曲線C的一條漸近線垂直，即C正確;

對于D,由離心率為e：組可得值1二理，解哈”,

可得一條漸近線的斜率為k=-

a

而直線y=2^x+l的斜率如＜叵1,

-22V2

根據(jù)漸近線性質(zhì)可知直線y=乎尤+1與雙曲線C的左右兩支各有一個交點，即D錯誤.

故選：AC

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。其中14題第一空2分，第二空3分。

12.某地為了更好地開發(fā)當?shù)氐穆糜钨Y源，決定在兩座山頭建一條索道，現(xiàn)測得兩座山高分別為MC=160

米，A?=100米.從山腳下的A處測得M處的仰角為53。，N處的仰角為45。，NK4N=45。，點A,B,

C在同一水平面內(nèi)，MCIAC,NB工AB,則兩座山的山頂N之間的距離是米.（參考數(shù)據(jù)：

【答案】1006

【分析】在直角三角形中求出K4、NA,再由余弦定理計算可得.

【詳解】在中，sin53°=—=—,所以M4“160x°=200米,

MAMA4

在中，NA=4iNB=1006米,

在中，MN2=AM2+AN2-2AM-AN-cos45°

=2002+(100V2)2-2x200x1000=(100&『，則JW=10072米.

故答案為：100匹

13.已知機＞0,〃＞0且加+,z=五，若當|機取最小值時有切=",則"的取值范圍是.

【答案】（0,8+4⑹

【分析】先判斷加〃4（巴^［=@,當且僅當加=”時等號成立，根據(jù)對勾函數(shù)＞=x+9口的單調(diào)性可得

解不等式即可得答案.

4

【詳解】由于見7等:=：,當且僅當加=”時等號成立.

機+邛〃+”+，+(m+n)-2mna+1

-------------------=mnH2?

m八n)mnmn-----------mn

由于對勾函數(shù)y=x+一在（0,而i）上單調(diào)遞減，（而T,+8）上單調(diào)遞增,

若［加+工n+~］取最小值時有m=n

9貝!J1Q+12二，BPtz2-16tz—16<0.

vm4

解得8-464。48+4退,

又由于。＞0,所以。的取值范圍是（0,8+4石］.

故答案為：（0,8+45/司.

14.在如圖斜方格陣中，一機器人從中心方格。出發(fā)，每次運動可以跨越機器人所在方格的一條邊（如第1

次運動，機器人可以運動到以，2，。或◎）.若機器人走出斜方格陣視為“失敗”，反之視為“成功”，則

運動2025次后機器人“成功”的概率為

【分析】設(shè)2025次后機器人在。處的概率為在①處的概率為“，在②處的概率為c“，在③處的概率

為4,則由題意可得d.=；bg,%=/，進而求得結(jié)論.

【詳解】如圖，斜方格具有對稱性，因而若機器人運動過程不走出斜方格陣，只需考慮機器人位于斜方格

陣中的①、②、③處位置即可，設(shè)2025次后機器人在。處的概率為%,在①處的概率為"，在②處的

概率為c“，在③處的概率為

則dn=]b…an=~bn-i,2+,。〃—i+。〃一1?

將C“=；%,d.=；b,T,a“=；代入到bn=；*+14T+a?_,中，得"=白bn_2,

42442lo

"n-\

又由題意得4=1,b2=o,則高〃為奇數(shù),

0〃為偶數(shù)

(9V012(3Y°24ill

C

所以人2025=77~~7，則“2025=/2024=。,2025=T^2024=。,^2025=T^2024=。,

2024

3

所以概率P=。2025+^2025+02025+“2025=

故答案為:

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及概率和數(shù)列知識，關(guān)鍵是分析運動次數(shù)與所在位置的的情況找規(guī)律，推導

出一般概率表達式，再利用全概率公式，求出運動2025次后機器人“成功”的概率即可.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

某工廠為了解員工績效分數(shù)達標情況與員工性別的關(guān)系，隨機對該廠男、女各30名員工的績效分數(shù)達標情

況進行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：

單位：人

績效分數(shù)達標情況

性別合計

未達標達標

男201030

女52530

合計253560

(1)經(jīng)計算，所調(diào)查的男員工績效分數(shù)的平均數(shù)第為26；女員工績效分數(shù)的平均數(shù)X為34,求這60人績效

分數(shù)的平均數(shù)提

(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值夕=0.001的/獨立性檢驗,能否據(jù)此推斷績效分數(shù)達標情況與性別有關(guān)聯(lián)？

(3)該廠為激勵員工，規(guī)定每月績效分數(shù)的第一名獎勵1千元，其他名次無獎勵.甲為該廠員工，他在工廠開

工的第一個月贏得獎勵的概率為g，從第二個月開始，若上個月沒有贏得獎勵，則這個月贏得獎勵的概率

1?

為若上個月贏得獎勵，則這個月仍贏得獎勵的概率為二，求甲在前兩個月所得獎金總額X(單位：千元)

的分布列和數(shù)學期望.

附:

a0.10.010.001

%2.7066.63510.828

參考公式：入+雙黑黑其中…+

【答案】(1)30

(2)有關(guān)聯(lián)

(3)分布列見解析，0.44

【分析】（1）根據(jù)題意計算即可;

（2）由已知數(shù)據(jù)利用公式計算與參考數(shù)據(jù)比較大小即可得出結(jié)論;

（3）根據(jù)題意計算出X可能取值及相應(yīng)概率，即可得到分布列，再利用公式計算期望值.

30豆+30弓_26+34

【詳解】（1）由題意可知,x==30.

602

（2）零假設(shè)為吊：績效分數(shù)達標情況與性別無關(guān).

60x（20x25-5x10）2

~15.429>10.828=x,

~30x30x25x350001

根據(jù)小概率值a=0.001的/獨立性檢驗，我們推斷Ho不成立，即認為績效分數(shù)達標情況與性別有關(guān)聯(lián),

此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.

（3）由題意知X可能的取值為0,1,2,

P（X=2）=?|W

所以甲在前兩個月所得獎金總額X的分布列為

X012

1672

P

252525

X竺+1「+2」』=0.44.

數(shù)學期望￡（x）=0

25252525

16.（15分）

已知單調(diào)遞增數(shù)列｛。"｝滿足％=1,-%>=2（一+%）-1.

⑴證明:｛瘋｝是等差數(shù)列;

⑵從①[②"等言這兩個條件中任選一個’求同的前〃項和加

注:如果選擇不同的條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）證明見解析

（2）答案見解析

【分析】（1）依題意可得（。用+。“-1）2=46+0，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性得到。用+%-1=2向忑，從而得

至i1阮7-向~=1，即可得證;

,11

(2)若選①:4[〃2(“+1)2(〃+1汽“+2)2若選②：aw，利用裂項相消

法計算可得.

【詳解】(1)因為(%+1-%)2=2(。用+g)一1,

所以匕1-2。“+M”+。；=2(%+]+<1?)-1,

所以(。用+*)-2(a?+1+a“)+1=4%+]%,

4aa

所以(。”+1+%-1)=?+in，

又數(shù)列｛??｝單調(diào)遞增且滿足％=1,即>%>…>%=1,

所以。“+1+。”>1,

則an+l+%―1=2血+血",

即(向?」+(阮)~T=2向?瓦,

所以(而?-阮『=1'

a

所以?+i-=1,又=1，

所以｛瘋｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.

(2)由(1)可得瘋=〃，則%=小,

1_n+1

若選①:

/+1)(〃+2『n2(77+1)2(77+2)2

1(w+2)2-n2

4/+1)2+2)2

1r11

41”+1)2(〃+1)2(〃+2)2

oiriirii

所以S"=NE-/J+汽中一wj+…+/]而而一(〃+1瓶+2)2

1111111

222222222222

4[1X22X32X33X4H(W+1)(?+1)(H+2)

_]_]_________]_J__________]

_ax"("+1)2(“+2)2]~16~4("+1)2(“+2)2；

”費⑸h=%+4〃+2_/+4〃+2_+

+122+1

右理3："a,A+1-2"?.(?+1)X2"”2.(〃+1)2義2向

2(n+l)2___________*

〃2.(〃+l/x2向n2-(n+l)2x2"+i

1__________]

=77~2「5+1八2"+一

、111_______1___J_______1___J__________]

-2-22+2223+2324++2+1

所以"1X212X22X2-3x23x2-4x2""(w+l)x2"

11

"2+1

-2(n+l)x2",

17.(15分)

如圖，四棱錐尸-N3C￡＞中，PA=PB=AB=4,平面尸48_L平面

PAD,BC1CD,BC=245,CD=4i,PD=5.

(1)求證：平面尸48_L平面48cZ＞；

(2)求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)方法一：取尸/的中點為M,取網(wǎng)的中點為N,并連接由面面垂直得得

平面PN。，從而BM工AD,由DN上PB.又AN工PB,故尸5_1_平面/NZ),從而PB_L4D,又BM工AD,

故4D_L平面尸48,進行證明；

方法二：取尸Z的中點為“，并連接由面面垂直得2初，平面尸40,由余弦定理解得40=3,

知4D44B,又BMLAD,故40_L平面尸48,進行證明.

（2）方法一：在平面48cZ）中，過C作C77_LN8于〃，作C￡_L4D于E,二面角/-P3-C的平面角為

Zf/GC進行求解；

方法二：以〃及野,必分別為x,y,z軸，4為坐標原點建立空間直角坐標系，利用空間向量來求解.

【詳解】（1）方法一：

取P/的中點為取必的中點為N,關(guān)連^BM,AN,ND,如圖所示.

因為為等邊三角形，

故BMLPA,ANLPB.

又平面尸48_L平面尸4D,且平面上43c平面尸40=尸4,AWu平面尸48,

故氏W_L平面P4D,而40u平面P4D,

從而BMLAD.

又BCLCD,BC=25CD=E,故BD=5,

又PD=5,且N為依的中點，故有DN_LP2.

又ANLPB,且ANCDN=N,AN,DNu平面AND,

故尸8_L平面/ND,ZOu平面/NO,

從而PBLAD,

又BML4D,且尸8nBM=8,尸叢BMu平面/MB,故/。_L平面尸AS,

又4Du平面4BCD,

故平面PAB1平面ABCD.

方法二：

取P/的中點為并連接如圖所示.

因為AP/2為等邊三角形，

故BA/_LP/,

又平面尸48_L平面P4D,且平面上43c平面尸AD=PN,9u平面尸AS,

故8Af_L平面尸40,而Affl,40u平面P4D,

從而BM1MD,BM1AD,

XSC±CD,BC=275,CD=45,故20=5,

從而可得〃￡>=屈.

在APAD和APMD中，由cosZCFA=cosACPM,

得52+42/￡>252+22-(而)，

2x5x42x5x2

解得AD=3,

故由/。=3,AB=4,20=5,知/AB,

又BMLAD,S.ABHBM=B,AB,BMcPAB,故4DJ_平面尸4B,

又4Du平面4BCD,故平面尸48_L平面48co.

(2)方法一：

在平面4BCD中，過C作C77_L48于H,作CE_L4D于￡,

設(shè)DE=m,CE=n,

m2+n2=5,m=1,

如圖，易有解得

(3+m)2+(4-?)2=20,n=2.

即H為的中點.

^BN=\BP,BG=\BP,因為AP/B為等邊三角形,

24

故易有〃G_LP2.

又CHLAB,且平面尸48J_平面48。=48,C?u平面P48,

故S_L平面尸AB,

故易有二面角N-P5-C的平面角為///GC,如圖所示.

在RtAHGC中，HC=4,HG=0故GC=M，

故cos/HGC=—=—,

GC19

即二面角A-PB-C的平面角的余弦值為嚕.

方法二：

取48的中點為〃，連接郎，并過a作野〃ND,

因為且平面尸/8_L平面4BC。，平面P/歸c平面48cz>=N8,

HPu平面PAB，故AP_L平面ABCD,

又ADJ.AB,

故以HB,Hy,HP分別為x,八z軸，H為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示.

由題可知：8(0,0,0),/(-2,0,0),2(2,0,0),。(一2,3,0),尸(0,0,26),

設(shè)。優(yōu),％,0),則

忸牛H+"=2后卜。=0,

卬卜加。+2)2+(%一3)2=卮1外=4，

即C(0,4,0).

因為77C_L平面尸4B,故平面尸4D的法向量可取應(yīng)=(0』,0),

設(shè)平面P5C的法向量為五=(再,必，4),則

X]=2'>/3,

萬?BC=(Xi，yi，Z]>(-2,4,0)=_2X]+4%=0,

可取，必="

n-BP=(再,必/]>(-2,0,26)=-2xj+2>/§2]=0,

Z]=2,

即萬=僅百,后2),

\m-n\>/3_V57

故|cos麗，同=[

H-|?r7i9"IT

由圖易知二面角/-P5-C為銳角，

故二面角A-PB-C的平面角的余弦值為嚕.

18.(17分)

已知函數(shù)/(x)=alnx,g(x)=e"，其中a>0.

⑴若/(x)和g(x)的圖象有公共點，求。的取值范圍;

⑵若“X)和g(x)的圖象沒有公共點，一條直線與/(X)和g(x)的圖象都相切，切點坐標分別為(牟弘)和

證明：(i)

X]-x2

(ii)xt+x2>0.

【答案】⑴。Ne

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用方程有解，結(jié)合同構(gòu)思想，進而構(gòu)造函數(shù)〃(x)=xe，,x>0,利用導數(shù)探

討單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為求”=F(X>1)的值域即可.

IWC

(2)(i)利用導數(shù)的幾何意義求出指定點處的切線方程，建立關(guān)系并結(jié)合反證法推理得證；(ii)由(i)的

信息建立尤2與3的關(guān)系等式，借助分析法推理構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出最小值判斷得證.

【詳解】(1)由/R)和g(x)的圖象有公共點,得方程“x)=g(x)有解,

XXX

BPa\wc=ea<^>xlnx=—ea<^>lux-eblx=黑。有解，又lnx>0,令〃(x)=〉0,

aa

求導得〃a)=a+i)/〉o,函數(shù)〃(%)在(o,+9)上單調(diào)遞增，

因此/(x)=g(x)o/z(lnx)=/z(—)olux=-oa=^—(x>1),

aaInx

令p(x)=m，x>l,求導得°'0)=塔」，當x￡(l,e)時，o'(x)<0；xw(e,+co)時，(p(x)>0,

InxInx

函數(shù)0(x)在(l,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增，。(%)血門="⑹=e,則aNe,

所以。的取值范圍是QNe.

(2)(i)由/(x)=Hnx,g(x)=e。，求導得=應(yīng)這，(工)=J，

xa

/(x)的圖象在(演,必)處切線方程為y-alwc,=，(x-再)，即歹=?+或1叫—1),

巧x

g(X)的圖象在(Z,%)處切線方程為y_￡=I(X-X2)，即了=V：+(1-亍)e二2,

%2

a_Qa

則玉a兩式相除得再(1叫-1)="工2，假設(shè)=1,即再=0,

，X|x"

X紅2

a(jwc-1)=(1——-)e°

la

解得X2=2a-alna,由(1)知0<a<e,貝！J￡l="=且>>與￡1=烏=1矛盾，所以215A力1?

aaa2。再再一9

a_eaa

x2=2alna-〃1叫

(ii)由⑴知:石a即《國，則

x2=a-xx(1叫-1)，

X](1叫-1)=6Z-x

xx(1叫-V)=a—x22

2a\na-alwcx=a-xx(InXj-1),整理得Inq-ln土=1+土(l-lnq-ln土)

aaa

不等式M+%2>。=再+2alna—alnX]>0,令，=，?>0),貝!|￡—ln%+lna>0,

a

i1、i￡+1+(1—f)ln/(1—^)lnZ

而Ina-In/=1+《1-Ina-In/),整理得Ina=------------=1+-------,

t+1t+1

因此M+%>0o，-Im+1+――>0o，+1->o<=>r+-+2-21nr>0,

/+12+1t

117/2_7/_1

令=—F2—21nZ,求導得=l—------=------------,由/(。=0,得/=>/^+1,

tttt

當0<t〈收+1時，〃(。<0；當”收+1時，〃(。>0,

函數(shù)?(0在(0,及+1)上遞減，在(收+1,+8)上遞增,

1

〃⑺min=M(V2+1)=V2+1++2-21n(V2+l)>0,

V2+1

所以國+%>0成立.

【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

①通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

②利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的

新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮

法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

19.(17分)

22

已知橢圓E的標準方程為：>3=l(a>b>0),在這個橢圓上取2〃(心3,〃￡N)個點，這些點的坐標分

別為片1〃cos4^,bsin生,連接匕以，左...,n-l.

<nnJvnn)

(1)若直線12的斜率為求橢