2025年高考數(shù)學(xué)第三次模擬考試01(新高考II卷)

全解全析

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.復(fù)數(shù)z=0±Dl(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)彳的虛部為()

1-1

A.iB.-i

C.1D.-1

【答案】C

r、羊版】(1+02(200-02+2，

1-z(l-z)(l-z)2

故答案為C

2.已知集合4=(-2,3],B=[y\y=r,x^A^,則()

A.：,3B.Q,3C.(-力,-2)“8,+司D.(0,3]

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域，再進行集合的交集運算.

【詳解】由題知4=(-2,3],

則B=,卜=2\xe(-2,3])={y\2-2<y<23)=Q,8,

所以.

故選：B.

3.已知向量,=(1,加),5=(-2,1),若向量己=1+2彼且1，則同=()

A.V65B.V17C.叵D.4

2

【答案】A

【分析】由向量垂直的坐標表示求得〃，再由向量的模長公式即可求解.

【詳解】由題知^=@+23=(1,%)+2(—21)=(一3，加+2),又因為己,3,所以不B=_3X(_2)+〃?+2=0,解

得加二一8,

所以3=(1,-8),所以同=jF+(_8『=屈.

故選：A.

—2x2%>0

4.已知〃x)=：[n則不等式/(x+3)</，+3x)的解集是()

in11xj,x&u,

A.(-3,1)B.(0,1)C.(-oo,-3)U(l,+<?)D.(l,+℃)

【答案】A

【分析】判斷在R上的單調(diào)性，將不等式等價于x+3>/+3x,由一元二次不等式的解法即可得解.

/、-2X2,X>0,

【詳解】/x=?'可得當xVO時，〃x)單調(diào)遞減，當x>0時，“X)單調(diào)遞減，且x=0時

ln(l-x),x<0,

函數(shù)連續(xù)，則/(x)在R上單調(diào)遞減，

不等式/(x+3)</，+3x),可化為X+3>X2+3X,即/+2x-3<0,

解得：-3<x<l,則原不等式的解集為：(-3,1),

故選：A

5.已知焦點在x軸上的橢圓的長軸長為其短軸長的2倍，若該橢圓經(jīng)過圓“：(x+2)2+(y-l)2=g的一條

直徑的兩個端點，則該橢圓的標準方程為()

22222

AA.——1+y2=l1Bn.——%+—V=1C.土+匕=1D

482123-￥卜

【答案】c

【分析】法一：設(shè)出橢圓方程和直線方程，直曲聯(lián)立，由韋達定理和中點坐標公式得到直線的斜率，再由

弦長公式解出b即可得到橢圓方程；

法二：設(shè)出橢圓和直線方程，利用點差法求出直線斜率；再直曲聯(lián)立由弦長公式求出6即可得到橢圓方程;

法三：由點差法得到3B?自"=-：，進而得到心》=；，以下同“一題多解”.

22

【詳解】設(shè)橢圓的標準方程為云+方=1（。〉6>0）,

由題意知4=26,圓V的圓心為M（—2,1）,

設(shè)該橢圓經(jīng)過圓M的直徑48的兩個端點，A（xi，yD，8（x2,y2）,

顯然直線48的斜率存在，設(shè)直線/3:了-1=A（x+2）,即y=fcr+2左+1,

22

與橢圓方程J+烏=1聯(lián)立，得（1+4左2）/+8左（2左+l）x+4（2左+1）2-4/=0,

4〃b2

△=[8左（2左+1）了一4（1+）[4（2%+1）?—46?]>0,

-8左（2左+1），由再+%=-4,得2紇11=一4,解得％=；

則X]+無2=

1+4后2-1+4左22

則XX.4、+1）2-'

田-1+軟2=8-2/，

所以|/同=-即=島）（%+x?）2一4在=島限/-2）=11082-2）=2.

22

解得〃=3,所以該橢圓的標準方程為二+匕=1.

123

故選：C.

22

法二：設(shè)橢圓的標準方程為］+方=1（°>6>0）,

由題意知。=26,圓M的圓心為M（-2,1）,半徑為半，

設(shè)該橢圓經(jīng)過圓M的直徑的兩個端點，8（%2》2），

則M為直徑AB的中點，則再+%=-4，%+%=2,

江+左=1,

由題知不3了2,由0：b\'兩式作差，得（士+:）!」一“）+（M）=0,

a

x2JV2_ib

3+%21必+%必一^2=0所以片+匕/45=0,

21

abx1-x2ab

將無1+工2=-4,K+%=2,a=26代入，得人加二；，

則直線的方程為>=g(x+2)+l=；x+2,

22

與橢圓方程二+1=1聯(lián)立，得f+4x+8-2方2=0,A=16-4(8-2〃=8〃-16>0,

22

4bb17

2

所以西+超二-4,xxx2=8-2b,

所以|/同=?7^.上一切=島）（%+xj一4守2=島《8口—2）=J10僅2-2）=屈,

22

解得/=3,所以該橢圓的標準方程為上+匕=1.

123

故選：C.

X2y2

法三:設(shè)橢圓的標準方程為斗+=l(q〉b>0),

ab2

由題意知a=2b,圓，的圓心為M（-2,1）,設(shè)該橢圓經(jīng)過圓M的直徑45的兩個端點，4（%i,yi）,8（久2,及），

LK=i

2

由;二二兩式作差得’廳+勺^O'即驍b

因為勺材=一；，所以3B=g.以下同一題多解.

6.已知函數(shù)〃幻=長M，則a=/（log°J2）,^=/（0.3°-4）,，=/（0.4。3）的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

【答案】A

【分析】求出〃X）的定義域，得到/'（x）是偶函數(shù)，判斷X>O時/（X）的單調(diào)性，再借助中間值比較大小即

可.

【詳解】方法一：由題知“X）的定義域為R,/（-x）=-7^7=/（%）,所以“X）是偶函數(shù),

x

記p=^+片才>0,當尤>0時，y=e-e^>0,所以y=e'+eT在（0,+e）上單調(diào)遞增，

則〃x）=在（°，+8）上單調(diào)遞減，

因為logoJ2<0,所以a=/（log。J2）=/（-log。J2）=/（loggJ2）=/（Iog2j2）,

而0<log251.2<log25Vz5=；.

令〃(x)=l^(x>0),則/(x)=l,

XX

當xe(O,e)時，h'(x)>0,所以〃(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，

所以4竽<端即041no.3<0.3In0.4,所以0.3口<。.產(chǎn)，

又因為指數(shù)函數(shù)>=0.3'在R上單調(diào)遞減，所以0.3°4>0.34=［得］=嚕>；，

所以0<1082,51.2<；<0.3°,<0.4°3,

04

所以/(log251.2)>/(O.3)>/(0.4。3),^a>b>c.

方法二：由題知/(x)的定義域為R,/(_》)=—J=/(x),所以/(x)是偶函數(shù)，

e+e

e八一X_e-X

,(")=屋；-x、2，當x>0時，e^x<1<ev,即ef-e，<0,

(e+e)

所以當x>0時,/'(x)<0,則〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

因為log。J2<0,所以。—J2)=/(-log041.2)=/(log04_,1.2)=/(log251.2),

而0<log251.2<log25.

因為指數(shù)函數(shù)y=0.3"在R上單調(diào)遞減，

所以0.3。,3>0.3">O.3°-5=f』『=畫>L

UOj102

因為幕函數(shù)了=x°3在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以0.3°，3<O,40-3,所以0.3°4<O,403,

所以0<108251.2<；<0.3°"<0.4°3,

所以/'(logzs1.2)>/(0.304)>/(O.403),即a>匕>c.

故選：A.

7.已知三棱錐”-BCD的所有頂點都在球。的球面上，4D_L平面48C,4D=2,AB1AC,若三棱錐

A-BCD(以A為頂點)的側(cè)面積為6,則球。的表面積的最小值為()

A.36兀B.127rC.24兀D.30兀

【答案】B

【分析】將三棱錐4-BCD的外接球，轉(zhuǎn)化為以/3,4C,40為同一頂點出發(fā)的三條棱的長方體的外接球,

再令N8=x,AC=y,通過側(cè)面積為6,利用基本不等式準確求出而的取值范圍.即可求解；

【詳解】由題知平面NBC,AB1AC,所以三棱錐4-BCD的外接球，即為以為同一頂

點出發(fā)的三條棱的長方體的外接球，

所以外接球半徑7?=此工史且:，其中/。=2,

2

令4B=x,AC=y,則三棱錐(以A為頂點)的側(cè)面積為5摻g+$力加+5力沖=1■中+x+y=6,

所以x+y=6一;肛,

222

=I(上)2-8a+40=|犯T67―24,

又因為x+夕=,即;(7^)+27^-640,

所以g(V^+6)(J^-2)W0,所以-6wJ^W2,

又因為J^>0,所以0<J^V2,當且僅當》=>=2時，y[xy=2,

2

所以當歷=2,即孫=4時，7?inin=1^lx(4-16)-24=V3,

此時球。的表面積的取得最小值為S=4兀尺2=12兀.

故選：B.

8.已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,y=〃x)的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱，g(l-2x)-g(l+2x)=0,

/(x)-g(l-x)=2,/(4)=-2,則g(2025)=()

A.-2B.2C.-4D.1003

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，可得=即/(x)是R上的偶函數(shù)和以4為周期的周期函數(shù)，從而g(x)

也是以4為周期的周期函數(shù)，可得解.

【詳解】因為y=/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱，所以〃x)+/(2-x)=0①.

因為g(l-2x)-g(l+2x)=0,所以80-力-80+力為②.

因為/(x)-g(1)=2③,所以/(f)-g(l+」)=2④.

③-④得，/(x)-/(-x)=0,所以〃x)是R上的偶函數(shù)，

所以①可變形為〃x)+〃x-2)=0,fj/(x+2)+/(x)=0,

故〃x+4)=-〃x+2)=〃x),所以〃x)是以4為周期的周期函數(shù).

由④可得g(x)=〃l-x)-2=/(x-l)-2,則g(x)也是以4為周期的周期函數(shù).

因為〃0)=/(4)=-2,又/(0)-g⑴=2,

所以g⑴=-4,所以g(2025)=g(l)=-4.

故選：C.

【點睛】方法點睛：求解函數(shù)性質(zhì)綜合問題時，往往借助函數(shù)奇偶性、對稱性、周期性等性質(zhì)進行推理證

明，結(jié)合對稱軸、對稱中心等實現(xiàn)求和計算即可.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某研究機構(gòu)為了探究過量飲酒與患疾病A真否有關(guān)，調(diào)查了400人，得到如圖所示的2x2列聯(lián)表，其中

參考公式與臨界值表：上產(chǎn)溜需E

a0.1000.0500.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

A.任意一人不患疾病A的概率為0.9

3

B.任意一人不過量飲酒的概率為?

O

C.任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病A的概率為石

D.依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，認為過量飲酒與患疾病A有關(guān)

【答案】ACD

【分析】先求出。=10/=120,利用古典概型概率公式求解判斷AB,利用條件概率概念求解判斷C,求出

/的觀測值，即可判斷D.

【詳解】由已知得4a+36=400,又6=12〃，所以。=108=120.

Q7

任意一人不患疾病A的概率為大=0.9,所以A正確；

400

任意一人不過量飲酒的概率為二出=：,所以B錯誤；

4008

任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病A的概率為=，所以C正確；

a+2b25

對于D,2x2列聯(lián)表如下:

患疾病A不患疾病A合計

過量飲酒30120150

不過量飲酒10240250

合計40360400

則/的觀測值/=400X(30X240T20X10)2=獨226.67,由于26.67>10.828,

40x360x150x2503

依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，認為過量飲酒與患疾病A有關(guān)，所以D正確.

故選：ACD

10.已知函數(shù)/'(xhsinZx+nicosZxl加>0)的最大值為2,則()

A.m=V3

B.函數(shù)/(x)圖象的一個對稱中心是點］號,0

C.f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增

D.將/(x)的圖象先向右平移;個單位長度后，再將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的兩倍(縱坐

標不變)，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=2sin4x

【答案】AB

【分析】先應(yīng)用輔助角公式化簡應(yīng)用最大值計算求參判斷A,再應(yīng)用正弦函數(shù)的對稱中心計算或代入檢驗判

斷民根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間計算判斷C,應(yīng)用函數(shù)圖象的變換得出解析式判斷D.

【詳解】對于A,因為〃x)=sin2x+加cos2x=VH^sin(2x+0)(其中tan0=加)，且函數(shù)/(x)的最大值

為2,所以J1+加2=2，解得加=±百，

又因為機>0,所以加=6，故A正確；

對于B,解法一：由A選項可知，/(x)=sin2x+V3cos2x=2sin,令2x+1=而(左￡Z),解得

x=--—(keZ],

26V)

當“=2時，x=^-,所以/'(x)的圖象關(guān)于點[充,0)中心對稱，故B正確；

解法二：由A選項可知，/(x)=sin2x+73COS2X=2sin,將》=,代入/(x)的解析式，得

2sin|2x—+—|=2sin27i=0,

I63)

所以/(X)的圖象關(guān)于點中心對稱，故B正確；

對于C,當T.f，2x+#3小等卜,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象得了(x)在鼻切上單

調(diào)遞減，故c錯誤；

對于D,將/'(X)的圖象先向右平移三個單位長度，得到y(tǒng)=2sin+g=Zsin^x-3的圖象，

再將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的兩倍，得到g(x)=2sin]x-。的圖象，故D錯誤.

故選:AB.

22

H.已知雙曲線。：與一]=1(。〉08>0)的一條漸近線4過點尸("1),尸為c的右焦點，則下列關(guān)于雙

曲線C的結(jié)論正確的是()

A.離心率為立

2

B.兩條漸近線的夾角的余弦值為:

C.若直線尸尸與雙曲線C的一條漸近線垂直，貝心尸。尸的面積為逑

4

D.若尸(6,0),雙曲線上一點。到漸近線4的距離為;，則點。到另一條漸近線4的距離為2

【答案】BD

【分析】對于A,根據(jù)漸近線4過點尸（亞,1）得到占=：='即可；對于B,設(shè)漸近線4的傾斜角為。，則

兩條漸近線的夾角為20求解即可；對于C,由題意得到直線尸尸的方程為>=-亞卜-啦）+1=-缶+3或

了=應(yīng)[-亞）+1=缶-1,求得焦點F,由S=；|。斗力求解即可；對于D,先求得雙曲線C的方程

2

/=1,設(shè)。（X。,%）,利用點到直線的距離公式求解.

【詳解】對于A,根據(jù)題意，漸近線4的斜率勺=：=g,則離心率e=?=j++=乎，

故A錯誤；

1兀

對于B,設(shè)漸近線4的傾斜角為0,貝I]tan6=&<l,所以0<e<a，則兩條漸近線的夾角為29,

_2tanJ_-s/2_/-.

所以匕112""匚嬴萬=C=2"2，所以8$28=工，故B正確；

1----3

2

對于C,若直線尸尸與雙曲線C的一條漸近線垂直，則直線尸尸的斜率六=±血，則直線尸尸的方程為

y=-V2^x-V2j+1=_也》+3或y=C,x-也）+1=72X-1,所以產(chǎn)或F—,0,

則APO尸的面積為s=g|o司.力=孚或S=3|O司?力,=J_X也義1=也，故C錯誤;

224

對于D,由A選項可得，雙曲線C的離心率e=46,又c=6,則。=啦，6=1,

2

22

所以雙曲線C的方程為設(shè)。（%,%）,則￡一第=1,即年一2需=2,

雙曲線C的兩條漸近線方程為=0,則點。到兩漸近線的距離之積為

布卜。+河卜。一川=|x；一2y；|=,因為所以4=2,故D正確.

12V3V3333

故選：BD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，若邑=72,則％。$的最大值為

【答案】64

【分析】利用等差數(shù)列基本量的關(guān)系列出方程，用基本不等式或二次函數(shù)性質(zhì)求最值.

【詳解】解法一：因為跖=（"|+；j,9=^2=9）=72,所以%=8,

所以電+6=2牝=16,因為16=%+〃822J%/，

所以出/464,當且僅當。2=%=8時取等號.

解法二：因為S9=（2+"j'=2^=9。72,

所以。5=8,所以出+%=2a5=16,

貝lja2as=A2（16-a2）=-a；+16a2=~（a2-8）"+64,

故當g=8時，a2a8取得最大值64.

解法三：（基本量思想）：設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d（420）,

9xXd

因為風=9q+^—=9%+36d=72,所以q+4d=8,即％=8-4",

所以出。8=（。|+/）（。]+76/）=（8-41+，）（8-4（7+7"）=（8-31）（8+3"）=64-9屋,

當d=0時，。2a8取得最大值64.

故答案為：64

13.若sin2a=—^,sin(1-a),且ae—，Pe肛；"，貝iJa+^=

510142」L2J

【答案】子77r

【分析】先根據(jù)已知角的范圍確定三角函數(shù)值的正負，再利用兩角和的余弦公式求出cos（a+0的值，最后

根據(jù)a+￡的范圍確定其具體值.

兀兀（兀

【詳解】因二￡二,乃，所以2ae二2兀,Xsin2a=——>0,所以2ae

[4」]2」512.

根據(jù)sin2A+cos2/=1,得cos2a--Vl-sin22a=-

因為河--0=噂，匹卜與"匕目，所以尸…I,1

cos(月-a)--^l-sin2^-^)3M

10

所以cos(a+/7)=cos[(/?-a)+2a]=cos(/?-a)cos2々一sin(4一a)sin2a

(3面)r2后］V10453Vi0x2V5VlOxVs6病-病5病后

I10J(5J10510x510x550502

因為ae(彳肛彳，所以二十4苧,2乃).

在這個區(qū)間內(nèi)，cos(6r+尸)=時，a+/3=亨.

、7JT

故答案為：—.

4

14.數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上首個提出二進制計數(shù)法的人，任意一個十進制正整數(shù)均可以用二進制數(shù)表示.

若正整數(shù)〃=旬-2k+%-2"1+-+%/21+%,其中心=1,。,=0或l(i=l,2,…㈤，貝產(chǎn)可以用化+1)位二進

制數(shù)(。0%。2…4.1右)2表示?記"的二進制各個位數(shù)和為/(〃)，貝1J/5)=。0+%+…+%+%例如

21

5=1X2+0X2+1X2°=(101)2,因此〃5)=1+0+1=2.已知正整數(shù)〃W1024且/'(")=2,則這樣的〃有

個；39+3小)+3氏)+…+3虺)+3心)=.

【答案】454095

【分析】第一空：由題意：”是2?10位二進制數(shù)，得到”的前10位中恰有兩個1,其余位均為0即可求解;

第二空：63=(111111)2是最大的6位二進制數(shù)，從而說明1?63的二進制數(shù)中，/⑺?1,2,3,…,6}-"〃)=1

時共有C：個二進制數(shù)，〃")=2時共有C；個二進制數(shù)，〃")=3時共有C：個二進制數(shù)，…，/(〃)=6時共

有C：個二進制數(shù)，進而可求解；

1O

【詳解】詳解：(1)H<1O24=2=(1OOOOOOOOOO)2,要使〃")=2,

則〃是2~10位二進制數(shù)，且〃的前10位中恰好有兩個1,

其余位均為0,因為最高位必為1,

所以有C；+C；+C；+C：+c!+C：+C；+C；+C；=9x(；+9)=45個滿足題意的?的值.

(2)由于63=64-l=26-l=lx25+lx24+lx23+lx22+lx2i+lx2°=(llllll)2是最大的6位二進制數(shù)，故

1~63的二進制數(shù)中最少1個1,最多6個1,即當〃e{l,2,3,…,63}時，/⑺e{1,2,3,…,6}.

當/(〃)=1時，1~6位二進制數(shù)最高位必為1,其余位為0,

故共有C；=6個二進制數(shù)(或者理解為前6位中恰有1個1,其余位均為0)；

當/(〃)=2時，2?6位二進制數(shù)最高位必為1,其余位只有一個1,?WC；+C^+C；+Ci+C；=C^-a

制數(shù)(或者理解為前6位中恰有2個1,其余位均為0)；當［(")=3時，3~6位二進制數(shù)最高位必為1,

其余位只有2個1,故共有C；+C；+C；+C；=C：個二進制數(shù)(或者理解為前6位中恰有3個1,其余位均為

0)；

當/(")=6時，6位二進制數(shù)全是1,故共有C：個二進制數(shù),

所以37(1)+3/⑵+…+3/⑹)=31C'+32Cg+---+36C?=

3°C°+3'^+32Cg+---+36C"-l=（l+3）6-l=46-l=212-1=4095.

【點睛】思路點睛：第二空：由63=(111111),是最大的6位二進制數(shù)，得到/(〃)e{l,2,3,…,6}；分別討論

/(?)=1,〃")=2,〃”)=3,…，/(〃)=6時二進制數(shù)的個數(shù)即可.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

2

記AABC的內(nèi)角48,C所對的邊分別為a,b<,已知c=2且=sinB+taiL4cos8.

⑴求A；

⑵若也廣孚’求調(diào)

【答案】(l)g

O

V2+y/6

(-4.

?x~f?

【分析】(1)利用兩角和的正弦公式、三角形內(nèi)角和為兀以及。=2,結(jié)合正弦定理得到詈丁=迫7,從

V3SIIL4COSA

而求解出taiM即可求解；

(2)利用三角形面積公式求解出6,結(jié)合余弦定理求解出。，再利用三角形面積公式即可求解.

?、小新、(1、?D,彳?.?siiL4_sin5cos/+siiL4cos5sin(4+5)

【詳角車】(1)sm5+taib4cos5=sm5+-------cosB=----------------------------=——---------,

cosAcosAcosA

因為N+B+C=7i,所以sin（4+3）=sin（兀一C）=sinC,

所以sinS+taib4cos5=,..........................................（2分）

cosA

因為所以及2=高，所以由正弦定理可知c高=氤inC1？

c=2,(4分)

~,2.八/八一“一sinCsinC

sin5taiL4cos5

所以Ufa=+等價于^sinA=嬴7

nnsiib4/1W

因為Ce（O,兀），所以sinCwO,所以出BP----=taiL4=-^=—

cosAJ33

又因為/?O,兀），所以N=3.....................（6分）

6

（2）因為工"。=!bcsiiL4=Lb.2.sin￥=^^^,解得b=G+l,.....................（8分）

△”c2262

22

川十022（0+1）+2-tZJ3

由余弦定理得cos/=9十:"~——=蕓，解得Q=&,....................（10分）

2bc2（V3+l）x22

由三角形面積公式得以45c=；acsin8=；xV^x2sin5=4l4，....................（12分）

解得sinS=?Y^.....................（13分）

4

16.（15分）

如圖，在四棱錐P-28CD中，PAVAB,底面42CD是矩形，且Z2=4,AD=3.側(cè)面P2C是面積為一

2

的直角三角形，其中BCIBP.點旦尸分別為線段尸C的中點，連接

（1）證明：直線E尸〃平面P4D；

（2）求直線即與平面尸3c所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

（2）半.

【分析】（1）法1,取尸。的中點G,利用線面平行的判斷，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)推理得證.法2,利用垂直

關(guān)系證明直線尸4/8,4。兩兩垂直，以A為原點建立空間直角坐標系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理

即得.

（2）法1,過點E作E0,尸8交依于點。，利用定義法求出線面角的正弦值.法2,由（1）中空間直線坐

標系，求出平面尸BC的法向量，再利用線面角的向量求法求解.

【詳解】（1）法1,取尸Z）的中點G,連接G￡G4.

由尸為PC的中點，得GF//。。且GP=g。。，由四邊形ABC。為矩形，得AB//DC且AB=DC,

則且又為的中點,

G////8G/=g4B,EA8則GF//ZE且G尸=ZE,（3分）

四邊形NE尸G為平行四邊形，于是EFIIAG,而斯仁平面P4D,NGu平面P4D,

所以斯//平面尸4D（6分）

法2：取尸。的中點G,連接G/,由BC1BP,BC1AB,ABcPB=B,

/民心U平面P48,得3C_L平面尸48,又AD"BC,于是4D_L平面尸48,

而以u平面尸48,則40，R4,又尸/，/民，則直線尸4N8,兩兩垂直，....................

（2分）

以A為原點，直線尸4N3,/。分別為x/，z軸建立空間直角坐標系,

15

BC=3,則尸2=5,

2

在RtZ\P4B中，48=4,PA=飛PB。-AB?=3，.....................(4分)

3333

則/(0,0,0),8(4,0,0),C(4,3,0),D(0,3,0),P(0,0,3),￡(2,0,0),F(2,-,-),G(0,-,-),

----33-.33—

則NG"。,],/），跖=（0亍J^AG=EF，因此即〃4G,.........................................（5分）

又跖①平面尸4D,NGu平面尸40,所以斯//平面尸4D..........................................（6分）

（2）法I：過點E作E0,尸8交網(wǎng)于點。，連接0斤.

由8cl8尸，BCLAB,ABcPB=B,平面尸48,得8C_L平面尸AB..............................................

（8分）

而EQu平面P4B,則EQL2C,又BCCPB=B,3C,P8u平面P3C,則成■平面

PBC,.........................................（10分）

因此/EF。即為直線E尸與平面尸8c所成的角，....................（11分）

在RMP3C中，S^PBC=-BCPB=^,由3。=3,得PB=5,

在中，AB=4,PA￡P(guān)B。-AB?=3,

而尸/u平面尸48,則2C_LP4,又ADIIBC,于是4D_LP4,

在Rt△尸4D中，P4=AD=3,G為尸D中點，則/G=M=逑，....................（12分）

2

由NPN8=NEQ8=90°,NABP=NQBE,^/\EQB^/^PAB,

則善=鬻，即半=3,解得在RSEQ尸中，sin/跖。=些=逑，....................

EBPB255EF5

（14分）

所以直線環(huán)與平面P8C所成角的正弦值為速.....................（15分）

5

—.—.—33

法2：由（1）得8c=（0,3,0）,BP=（-4,0,3）,^=（0,-,-）,.........................................（9分）

n-BC=?>y=0/、

設(shè)平面MC的法向量為k=（x,y,z）,貝I]_',令x=3,得元=3,0,4,...................................

n-BP=-4x+3z=0

（12分）

設(shè)直線所與平面尸2c所成的角為。，

.a,赤-Xl\EF-n\62V2

貯"=加〈防'小=而同=環(huán)=亍，....................（14分）

------5

2

所以直線防與平面尸8C所成角的正弦值為速.....................（15分）

5

17.（15分）

某項團體比賽分為兩輪，第一輪由團隊隊員輪流與AI人工智能進行比賽，若挑戰(zhàn)成功，則參加第二輪攻擂

賽，與上任擂主爭奪此次團體賽的擂主.現(xiàn)有甲隊參加比賽，隊中共有3名事先排好順序的隊員.

（1）第一輪與AI對戰(zhàn)，比賽的規(guī)則如下：若某隊員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該隊員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該隊員結(jié)

束闖關(guān)并由下一位隊員接力去闖第一關(guān)，若某隊員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團隊接力闖關(guān)活動結(jié)束，否則該

成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位隊員接力去闖第二關(guān)；當?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有隊員全部上場參加了闖關(guān)，該隊

挑戰(zhàn)活動結(jié)束.己知甲隊每位成員闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為g，7,且每位成員闖關(guān)是否成功互

不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響用X表示甲隊闖關(guān)活動結(jié)束時上場闖關(guān)的成員人數(shù)，求X的分布列和期望.

（2）甲隊已經(jīng)順利進入第二輪，現(xiàn)和擂主乙隊1一3號隊員進行比賽，規(guī)則為：雙方先由1號隊員比賽，負者

被淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽……直到有一方隊員全被淘汰，另一方獲得勝利.已知甲隊三名隊員

4,4,4每場比賽的勝率分別為:，7.P,若要求甲隊獲得擂主的概率大于：，問0=:是否滿足？請說

明理由.

【答案】（1）分布列見解析，興37

1O

⑵滿足，理由見解析

【分析】（I）求出X的可能取值和對應(yīng)的概率，得到分布列，計算出期望值；

（2）分三種情況：①4一人參賽全勝獲得擂主，②4,4兩人參賽獲得擂主，③4,4,4三人參賽獲得擂

主，求出相應(yīng)的概率，從而得到乙＞773,得到不等式，得到結(jié)論.

【詳解】（1）由題意知，X的所有可能取值為1,2,3,（1分）

21￡

則尸（X=l）=1X,=

3

尸（X=2）="212<n1115

X—x—+—x1——X—=-+-=

32312j29618

尸（X=3）=l—P（X=l）_P（X=2）=l_；57

（4分）

1818

所以X的分布列為

X123

J_57

P

31818

.....................（5分）

15737

所以E（X）=lx,+2x運+3x^=謀（7分）

Jiolo1o

2

（2）2=§滿足題意，理由如下:

分三種情況:

①4一人參賽全勝獲得擂主，該事件發(fā)生的概率設(shè)為6,則4=d，....................（9分）

②4,4兩人參賽獲得擂主，該事件發(fā)生的概率設(shè)為鳥,

119

則巴=XZ___—________（10分）

2-108

③4,4,4三人參賽獲得擂主，該事件發(fā)生的概率設(shè)為A,

X1-%=

若4,4在第一局被淘汰，4淘汰掉乙隊三人，概率為

若4在第二局被淘汰，4淘汰掉乙隊兩人，

概率為:x（l1-1xl1

XX

I。2+H2

若4在第三局被淘汰，4淘汰掉乙隊一人，

2

概率為IX

,,13519

故D右/+前2+而°

23

因為1右前

所以要使甲隊獲勝的概率大于即耳+2+鳥＞g,則

151Q31

即￡"+6/+赤。＞百，化簡得36/+30/+19°＞31,....................（13分）

j1o1Uo1Uo

當。=!■時，代入可得當＞31,滿足題意......................（15分）

33

18.(17分)

X_]

已知/(x)=lnx-Q----,aeR.

⑴當a=1時，求曲線V=在點（1,7（1））處的切線方程.

（2）若/（x）恰有1個極大值點和1個極小值點.

①求極大值與極小值的和；

②判斷了（x）零點的個數(shù).

【答案】⑴x-2y-1=0

⑵①0;②3

【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率再點斜式得出切線方程