直角三角形的邊角關(guān)系知識(shí)歸納與題型突破

（十一類題型）

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

一、銳角三角函數(shù)

1.正弦、余弦、正切的定義

如右圖、在RtaABC中，ZC=9O°,如果銳角A確定:

這個(gè)比叫做NA的正弦.

鄰b

(2)cosA=^-=-這個(gè)比叫做NA的余弦.

(3)tanA=^=?,這個(gè)比叫做NA的正切.

要點(diǎn)：

(1)正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個(gè)數(shù)值，其

大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無關(guān).

(2)sinA、cosA、tanA是一個(gè)整體符號(hào)，即表示NA三個(gè)三角函數(shù)值，書寫時(shí)習(xí)慣上省略符號(hào)“4”，

但不能寫成sin-A,對(duì)于用三個(gè)大寫字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號(hào)不能省略，應(yīng)寫成

sinZBAC,而不能寫出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinAp而不能寫成sinA2.

(4)三角函數(shù)有時(shí)還可以表示成sina,cos戶等.

2.銳角三角函數(shù)的定義

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的銳角三角函數(shù).

要點(diǎn)：

I.函數(shù)值的取值范圍

對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是ZA的函數(shù).同樣，COSA、

tanA也是NA的函數(shù)，其中NA是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對(duì)應(yīng)的函數(shù).其中自變量NA的取值范圍

是0。<乙\<90。，函數(shù)值的取值范圍是0<sinA<l,0<cosA<l,tanA>0.

2.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

45"

CB

余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如NA+NB=90。,

那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

cmA

同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A+cos2A=l；tanA=-———

COSJ4

3.30。、45。、60。角的三角函數(shù)值

Z.A30°45°60°

sinA收也

2~T2

工

cosA在也

222

tanA立1出

3

30。、45。、60。角的三角函數(shù)值和解30。、60。直角三角形和解45。直角三角形為本章重中之重，是幾何計(jì)

算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.

二、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.

解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：

角角關(guān)系:兩銳角互余，即NA+ZB=90。；

勾股定理，即a2+6

邊邊關(guān)系:

邊角關(guān)系:銳角三角函數(shù)，即

a

~b

bab

sin5=—,cos5=-,tanB

cca

要點(diǎn):

解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：

(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；

(2)已知一條邊和一個(gè)銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角).這兩種情形的共同之處：有一條邊.因

此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊.

三、解直角三角形的應(yīng)用

解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量

關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.

L解這類問題的一般過程

(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出

幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的

問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.

2.常見應(yīng)用問題

h

*(1)坡度：j=1：w=—=tana；坡角:a.

(3)仰角與俯角:

鉛垂線

要點(diǎn):

1.解直角三角形的常見類型及解法

和解法

三角形類鏟已知條件解法步驟

tan="

由b求4A,

兩直角邊（a,b）

z.B=90°-zA,

兩C=+廢

邊

Aa

sin=—

由c求乙A,

RtAABC斜邊,一直角邊（如c,a）

Bz.B=90°-zA,

b=_J

ZB=9O°-ZA,

x\銳角、鄰邊

b

乙1

X-------------------c（如NA,b）c=------

ba=6,tan&cos工

一直角邊

邊和一銳角zB=90°—zA,

銳角、對(duì)邊

a.a

（如NA,a）

角sinA,tan工

zB=90°—zA,

斜邊、銳角（如c,ZA）

a=csinAfb=ccosA

2.用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的基本方法是:

把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題（解直角三角形），就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)

化為圖形（點(diǎn)、線、角等）以及圖形之間的大小或位置關(guān)系.

借助生活常識(shí)以及課本中一些概念（如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等）的意義，也有助于把實(shí)際問

題抽象為數(shù)學(xué)問題.

當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求?

03題型歸納

題型一銳角三角函數(shù)的概念

例題

1.在中，若各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來的2倍，則銳角/的余弦值（）

A.擴(kuò)大為原來的2倍B.縮小為原來的：

C.保持不變D.擴(kuò)大為原來的4倍

【答案】C

【分析】本題考查了角的余弦值，某個(gè)角的余弦值只與該角的大小有關(guān)，據(jù)此即可求解.

【解析】解：???某個(gè)角的余弦值只與該角的大小有關(guān)，

.?.若各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來的2倍，則銳角A的余弦值保持不變

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

2.在RtZ\A8C中，ZC=90°,各邊都擴(kuò)大2倍，則銳角/的三角函數(shù)值（）

A.擴(kuò)大2倍B.不變C.縮小!D.擴(kuò)大!

22

【答案】B

【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)

的定義，三角形相似的判定和性質(zhì)，根據(jù)三角形相似的判定，可以確定各邊擴(kuò)大后的三角形與原三角形相

似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知銳角/的度數(shù)不變，所以銳角/對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值就不變.

【解析】解：因?yàn)楦鬟厰U(kuò)大后的三角形與原三角形相似，銳角/的度數(shù)不變，銳角/對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值就

不變.

故選：B.

3.在RtZk/BC中，ZC=90°,AB=13,CB=5,28的余弦值為

【答案*

【分析】本題主要考查了余弦.根據(jù)余弦的定義，即可求解.

【解析】解：在RtZ\A8C中，ZC=90°,A8=13,CB=5,

—些5

AB13

故答案為：—.

4.如圖，在RtZk/BC中,ZC=90°,AC=4,BC=3,則/A4C的正切值為（）

44

A.5B.D.-

75

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角函數(shù)的比值關(guān)系，熟悉掌握正弦的比值關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正切的比值關(guān)系列式比較即可.

【解析】解：在Rt448C中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

fBC3

.,.tanNB4C-----

AC4

故選：C.

題型二求銳角三角函數(shù)

例題

5.在RtZkZBC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,那么siM的值為（）

3344

A.-B.-C.-D.—

5453

【答案】A

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正弦的定義解答即可.

【解析】解：在RtZi/BC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

6.在RtZ\/8C中，ZC=90°,那么也等于（）

/C

A.tanAB.cot/C.sinAD.cosA

【答案】A

【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用.

據(jù)題意畫出圖形，由銳角三角函數(shù)的定義解答即可.

【解析】

解：如圖,

7.在RtZk48C中，ZACB=90°,BC=\,AB=2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.sin4=B.tanA=—C.cosB=@~D.tanB=也

222

【答案】D

【分析】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，正確記憶三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

先根據(jù)勾股定理求出AC=^AB2-BC2=后方=V3，再根據(jù)三角函數(shù)的定義分別求解可得.

【解析】解：如圖所示,

B

vZACB=90°,BC=l,AB=2,

-AC=y/AB2-BC2=722-12=V3，

sin^=4f=7-故該選項(xiàng)不符合題意;

A、

AD2

tan/二生，，故該選項(xiàng)不符合題意;

B、

AC

cos5=4f=7-故該選項(xiàng)不符合題意;

C、

AB2

ACr-

D、tang=5=6,故該選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

題型三特殊銳角三角函數(shù)值

例題

8.tan60°的值是（)

B.叵1

A.V3D.-

22

【答案】A

【分析】本題考查了求一個(gè)角的正切值，熟記tanGO。：/是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：依題意，tanGOwG

故選:A.

鞏固訓(xùn)練

9.-3。。=

【答案】I

【分析】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵.

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解決此題.

1-1下

【解析】解：原式=一，x當(dāng)

3

故答案為：!

10.計(jì)算：2cos230°-V2sin450+tan60°-sin60°=?

【答案】2

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，掌握運(yùn)算法則.根

據(jù)特殊角的三角形函數(shù)值的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【解析】解：2cos2300-V2sin450+tan60°-sin60°

oAV收_1_百

=2x(——)-V2x——+，3x——

222

-313

=2x-l+

42

=2.

題型四根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求角度

例題

11.如果銳角。滿足cosa,則。的大小是

2

【答案】30。/30度

【分析】本題主要考查了根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可直接得出答案.

【解析】解：.??銳角a滿足cosa=立，

2

銳角夕=30。，

故答案為：30°.

鞏固訓(xùn)練

12.如果銳角a的正切值為立，那么銳角a為度

3

【答案】30

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可解答.

【解析】解：因?yàn)殇J角a的正切值為立，即tana=@,

33

所以銳角a為30度,

故答案為：30.

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

歷

13.在銳角△4BC中，乙4=75°,sinC=—,則ZB=°.

2

【答案】60

【分析】考查了特殊角的三角函數(shù)值及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值.根據(jù)

sinC=YZ,可求出NC的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和即可求解.

2

歷

【解析】解：,??在銳角△4BC中，sinC=—,

2

ZC=45°,

ZL4=75°,

Z8=180°-/4-/C=180°-75°-45°=60°,

故答案為：60.

14.已知.為銳角，且cos(a-30。)=],則。=.

【答案】60。/60度

【分析】本題考查由特殊角的三角函數(shù)值，求角的度數(shù).根據(jù)cos30°=也，得到a-30。=30。，求解即

2

可.牢記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：；cos30。=,cos(a-30°)=^-,

.??a-30。=30。，

:.a=60°.

故答案為：60°.

近2

15.在△/3C中，若cos/---■1-(1—tan5)=0,zA,22都是銳角，貝!]△48C是_______三角形.

【答案】等腰直角

【分析】此題考查了已知三角函數(shù)值求角，涉及了絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三

角函數(shù)值.

根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性可得，cosZ-@=0,1-tan5=0,求得N4/B,即可求解.

2

【解析】解：由cos/-券+0-tan8)-=0可得

cosA.------=0,1—tan5=0,

2

5

即cosN=——，tan8=1,

2

解得：乙4=45。，AB=45°,則NC=90。，

.?.△/5C為等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角.

題型五比較銳角函數(shù)值的大小

例題

16.已知實(shí)數(shù)。=tan30。，b=cos60°,c=sin45°,則下列判斷正確的是()

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【分析】分別求出各三角函數(shù)值，然后比較他們的大小即可.

本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握所有特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)比較大

小.

【解析】???a=tan3()o=且，&=sin45°=—,c=cos60°=^,

322

：.b>a>c.

故選:：A.

鞏固訓(xùn)練

17.令@=$吊60。，b=cos45°,c=tan30°,則它們之間的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<c<b

【答案】A

【分析】分別求出a、b、c所對(duì)應(yīng)的值，然后比較它們的大小即可.

【解析】a=sin60°=—,b=cos45°=—,c=tan30°=—

223

...也電＜昱,

322,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)，熟練掌握特殊角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

18.中，/C=90°,AB=5,BC=3,貝U()

A.siib4>cosA,且taiL4>cosB

B.siib4<cosA,且tark4>cosB

C.siiL4>cosA,且tarU<cosB

D.siib4<cosA,且tag<cosB

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理求出/C的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形中正弦、余弦、正切的定義分別求值，即可得到答

案.

【解析】解：在RM4BC中，BA=5,BC=3,

.■.AC=4,

3433

sin/=—,cosA=—,tan=—,cosB=—

5545

■■■sirU<coJ,tanA>cosB,

故選B.

題型六網(wǎng)格問題

例題

19.如圖，A,B,C是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），則sin//CB的值為（）

2V51

A.C.一

"I-2D-T

【答案】A

【分析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,過點(diǎn)B作BD1AC于D,過點(diǎn)B作BF1AE于點(diǎn)F,由勾股定理可求AC,

BC的長(zhǎng)，由三角形的面積公式可求BD的長(zhǎng)，即可求sin/ACB的值.

【解析】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,過點(diǎn)B作BDLAC于D,過點(diǎn)B作BF1AE于點(diǎn)F,

由勾股定理可知：AC=jF+72=50

.,.BD=72，

由勾股定理可知：BC=7I2+32=Vio，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用面積法求BD的長(zhǎng).

鞏固訓(xùn)練

20.如圖，2MBC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則tanNNBC等于（）

【答案】C

【分析】如圖，過點(diǎn)A作AD1BC于D.解直角三角形即可解決問題.

【解析】解：如圖，過點(diǎn)A作AD1BC于D.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

題型七解直角三角形一直角三角形

例題

21.如圖，在RtZ\4SC中，ZC=90°,AC=2,BC=l,則sinB的值為（）

【答案】C

【分析】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確掌握邊角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.直接利用勾股定理求

出N8的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案.

【解析】解：：在中，ZC=90°,AC=2BC,

設(shè)BC=1,則AC=2,故AB=V5,

plljsin5=—=^.

AB5

故選：C

鞏固訓(xùn)練

22.在RtZ\/3C中，ZACB=90°,BC=\2,tanS=—,則4B的長(zhǎng)為（

c

A.8B.12C.13D.18

【答案】C

【分析】在中，AACB=9G°,BC=U,tanB=—,求出/C=5,由勾股定理求出48的長(zhǎng)即可.

【解析】解：在中，???N/C2=90。，SC=12,tan5=—,

.-.AC=BCtanB=nx—=5,

12

AB=y]AC2+BC2=,5?+12?=13，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形、勾股定理，熟練掌握銳角三角形函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，在RtZkZBC中，ZS=9O°,ZA=a,AB=4,則/。的長(zhǎng)是（）

44

A.4sinaB.------C.------D.4tana

smacosa

【答案】C

【分析】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角形的定義.

根據(jù)余弦的定義解答即可.

【解析】解：在中，二90。,

,AB

：.COSA=,

AC

,/Z.A=aMB=4,

*?A.——,

cosAcosa

故選：C

24.如圖，在△/5C中，ZACB=90°,下列結(jié)論正確的是（）

B.AB=ACcosAC.BC=AB-sinB

D.AC=BCtanB

【答案】D

【分析】此題主要考查了銳角三角三角函數(shù)關(guān)系.根據(jù)銳角三角三角函數(shù)關(guān)系，逐項(xiàng)判斷，即可求解.

【解析】解：A、AC=-^~,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

tanA

AT

B、AB=-故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

cos/

C、BC=AB-sinA,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D、AC=BCtanB,故本選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

25.如圖，在aABC中/A=45O/C=90。,點(diǎn)D在線段AC上/BDC=6（r,AD=l,則BD等于（）

A.V3B.V3+1C.V3-1D.以

3

【答案】B

【分析】設(shè)BC=x，根據(jù)銳角三角函數(shù)分別用x表示出AC和CD,然后利用AC-CD=AD列方程即可求出

BC,再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出BD.

【解析】解：設(shè)BC=x

?.?在4ABC中/A=45°/C=90°,

..AC=BC=x

BCx43x

在Rt"CD中，CD=

tanNBDC亍

???AC—CD=AD,AD=1

解得：工=2±立

2

即BC=3+V|

2

Be

在RtABCD中，BD=-------------=73+1

sin/ADC

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.

題型八解直角三角形在特殊平行四邊形中的應(yīng)用

例題

26.如圖，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,對(duì)角線NC的垂直平分線分別交AD、4c于點(diǎn)E、O,則OE

的長(zhǎng)為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)題意以及矩形的性質(zhì)，勾股定理求得4。=1,進(jìn)而根據(jù)tan4D/C=tanN切。得出空=空

2ADAO

即可求解.

【解析】解：,??四邊形/BCD是矩形，AB=1,BC=2,

：.Z_D=90°,AB=DC=1,BC=AD=2,

,??對(duì)角線NC的垂直平分線分別交40、/C于點(diǎn)E、o,

：.AO=OC=-AC=-y)AD2+CD2=—,ZAOE=90°,

222

???ADAC=ZOAE,則tanADAC=tan/EAO,

DC_EO

''AD~AO

1_EO

2y/5，

~T

解得：EO=

4

故選：D

nrpc

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正切的定義，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，得出令=言是解題的關(guān)

ADAO

鍵.

鞏固訓(xùn)練

3

27.如圖，在菱形/BCD中，DEJ.AB于點(diǎn)、E,cosA=-,AD=5,貝!JtanNRDE的值為（）

A.立B.叵C.2D.-

252

【答案】D

【分析】本題主要考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，勾股定理，先解RM/OE得到==再由勾

股定理求出?！?4,由菱形的性質(zhì)得到"8=40=5,則3E=2,據(jù)此根據(jù)正切的定義可得答案.

【解析】解：???￡>￡2

ZDEA=ZDEB=90°,

4E3

在RtaZQE中，cosA=---=一，AD=5,

AD5

3

AE=-AD=3,

5

■■DE=^AD1-AE1=4

?.?四邊形是菱形，

/.AB=AD=5,

BE=2,

???在Rt/\DEB中，tan/BDE=,

DE42

故選：D.

28.如圖，在矩形45CD中，ZABC=90°,點(diǎn)E是4B上一點(diǎn),連接/C,CE,若/BCE=30。,BE=3,

3

tanZ5^C=-,則的長(zhǎng)為（）

4

AD

BL--_^c

A.4GB.36C.2百D.372

【答案】A

RFr-

【分析】本題主要考查了解直角三角形，矩形的性質(zhì)，先解Rt-BC得到—=373,再解

tan/BCE

RtA^C可得AB=JC=46

【解析】解；???四邊形N88是矩形，

.-,zB=90°,

在RtAEBC中，ZBCE=30°,BE=3,

/l：^t￡\ABC中，tan/BAC=----=—,

AB4

.-.AB=-BC=4y[3,

3

故選A.

題型九解直角三角形一非直角三角形

例題

29.如圖，在△N3C中，/4=30。，ZC=26,tanB=—,則48的長(zhǎng)為（）

2

A.2+273B.3+73C.4D.5

【答案】D

【分析】作于。，根據(jù)乙4=30。，AC=243,算出CO和再根據(jù)tan8=%=也，算出

BD2

BD,最后根據(jù)48=40+8。計(jì)算即可.

【解析】如下圖，作。，43于。,

在RtaNCZ)中，/Z=30。，AC=2也,

:.CD=^AC=y/3,AD=6CD=3,

在RtZ\5CD中，tanS=—=—,

BD2

.,.-V-3-_-V-3-，

BD2

BD=2,

：.AB=AD+BD=3+2=5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了用銳角三角函數(shù)解非直角三角形，作垂直構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

30.如圖，在等腰44BC中，AB=AC.若/B/C=a,AB=m,則底邊8c=()

A

BC

acc

A.m-sinaB.2m-sinaC.2m-sin—D.m-sin一

22

【答案】C

【分析】首先如圖過點(diǎn)A作AD1BC交BC于D點(diǎn)，據(jù)此接著利用等腰三角形性質(zhì)可以得出NBAD=gNBAC=

[a,BC=2BD,然后在RtaABD中，根據(jù)sin/A4D=g2求出BD,最后利用BC=2BD求出答案即可.

2AB

如圖，過點(diǎn)A作AD1BC交BC于D點(diǎn)，則aABD是直角三角形，

???△ABC為等腰三角形，AD1BC,

/.ZBAD=-Z.BAC=-6Z,BC=2BD,

22

,,,.?/ns。BDBD

在RtAABD中，sinZBAD=sm—==,

2ABm

2.a

...BD=sin—?m,

2

/.BC=2BD=2-m-sin—,

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.

31.如圖，ZACB=45°,/PRQ=125。,△45。底邊5C上的高為由,△尸。穴底邊。尺上的高為〃2，則有

()

A.4=%2B.\<h2C.h1>h2D.以上都有可能

【答案】B

【分析】由已知可知高所對(duì)的斜邊都為5,由正弦的定義可得到高關(guān)于正弦的表達(dá)式，比較正弦值即可得到

答案.

【解析】解：如圖，分別作出兩三角形的高矩為

AP

■.■ZACB=45°,AC=5

：.九=ACxsin45°=5sin45°

vNPRQ=125。,PR=5

:.h2=PT?sin(180°-125°)=5sin55°

vsin55°>sin45°

h>h1

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，依題意作高構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

32.如圖，在四邊形ABCD^,C4平分/BCD,ABVAC,ZB=60°,AE18C于點(diǎn)￡.若8c=10,

【答案】孚

【分析】本題考查了解直角三角形，角平分線的性質(zhì)；過點(diǎn)A作N尸_LC￡（交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，則N尸的

長(zhǎng)為點(diǎn)A到CD的距離，進(jìn)而解RtA/8C,RtA/8E,即可求解.

【解析】解：如圖所示，過點(diǎn)A作NPLCO交C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，則4月的長(zhǎng)為點(diǎn)A至IJCD的距離

???乙4平分/8C。，AE13。于點(diǎn)石.

???AF=AE,

???AB1AC.Z5=60°,BC=10fAEIBC

AB=BC-cosB=10x—=5,AE=NB-sinB=5x—

222

即點(diǎn)A到CD的距離為攣，

2

故答案為：建.

2

33.如圖，四邊形4BC。的對(duì)角線/C、3。相交于。，ZJOD=60。，AC=BD=2,則這個(gè)四邊形的面積是

A.@B.立C.73D.2拒

42

【答案】C

【分析】過8、。兩點(diǎn)分別作NC的垂線，禾煙41。。=60。，可推出OG=@。。，BH=&O,再利用四邊

22

形/8C。的面積等于△/CD的面積加上A45C的面積，即可求出；

【解析】如圖，過點(diǎn)。作DG_MC于點(diǎn)G,過點(diǎn)8作于點(diǎn)"

vzJOZ)=60o,

山OD=必OC=60。，

瓜

，DG=-DO,

:2

同理可得：BH=-BO,

2

11

S四邊形ABCD=]XACXZ)G+—XACXBH

1A

=—xZCx2^x(DO+BO)

22

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查含30。的直角三角形的性質(zhì)和四邊形面積的計(jì)算，熟練掌握含30。直角三角形的性質(zhì)和不

規(guī)則四邊形面積的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

題型十三角函數(shù)的應(yīng)用、利用三角函數(shù)測(cè)高

例題

34.如圖：為了測(cè)樓房BC的高，在距離樓房10米的A處，測(cè)得樓頂B的仰角為，那么樓房BC的高為

()

A.lOtana米B.1°米C.lOsin。米D.米

tanasina

【答案】A

【解析】試題分析：根據(jù)題意得：，則BC=AC?tanZ_A=10tana.

考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的計(jì)算.

鞏固訓(xùn)練

35.如圖，兩建筑物的水平距離為“m,從/點(diǎn)測(cè)得。點(diǎn)的俯角為a,測(cè)得C點(diǎn)的俯角為尸，則較低建筑

【答案】(atany-atan/7)m

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，過點(diǎn)。作于應(yīng)則四邊

形8DCE是矩形，CE=BD=am,CD=BE,解RG4CE得到

AE=atan/7m,解RtAADB得至ljAB=atanam,貝ljCD=BE=—ZE=(atana—atan夕)m.

【解析】解：如圖所示，過點(diǎn)。作于E,則四邊形BOCE是矩形，

CE=BD=am,CD=BE,

由題意得，/ACE=0,ZADB=a,

在Vi^ACE中，AE=CE?tan/ACE=atan4m,

在RtAylDS中，AB=BD?tanNADB=atanam,

：.CD=BE-AB-AE=(〃tana-atan/?)m,

故答案為：(atana-atan/?)m.

D

36.如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)要測(cè)量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點(diǎn)3

處前行30m到達(dá)斜坡CE的底部點(diǎn)C處，然后沿斜坡CE前行20m到達(dá)最佳測(cè)量點(diǎn)。處，在點(diǎn)。處測(cè)得塔頂

A的仰角為30。，已知斜坡的斜面坡度i=l:百，且點(diǎn)A,B,C,D,￡在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測(cè)得古

塔的高度是()

CB

A.(loV^+20)mB.^10A/3+10)mC.20-\/3mD.40m

【答案】A

【分析】過。作13C于尸，DH_LAB于H,得到=BH=DF,設(shè)DF=xm,CF=瓜

rn,根據(jù)勾股定理得到CD=^DF2+CF2=2x=20(m),求得BH=DF=10m,CF=loV3w,

=y-X(loV3+30)=(10+loV3)(m),于是得到結(jié)論.

【解析】解：過。作。尸_L8C于尸，DHA.AB于H,

FCB

:.DH=BF,BH=DF,

「斜坡的斜面坡度力=1:百,

…，

設(shè)。尸=x掰，CF=瓜憎,

:.CD=yjDF2+CF2=2x=20（加）,

x=10,

...BH=DF=10m,CF=106m，

DH=BF=（10百+30）加,

-：ZADH=30°,

AH=^DH=+30）=（10+10?。樱?

AB=AH+BH=（20+1oV3）m,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解直角三角形的應(yīng)用一坡角坡度問題，正確的作

出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

37.如圖，某興趣小組用無人機(jī)進(jìn)行航拍測(cè)高，無人機(jī)從相距20G米的1號(hào)樓和2號(hào)樓的地面正中間點(diǎn)3

垂直起飛到點(diǎn)A處，測(cè)得1號(hào)樓頂部E的俯角為60。，測(cè)得2號(hào)樓頂部廠的俯角為45。.已知1號(hào)樓的高度

為20米，那么2號(hào)樓的高度為米（結(jié)果保留根號(hào)）.

【分析】本題考查了解直角三角形.過點(diǎn)￡作EGL4B于G,FH_LAB于H,先利用正切三角函數(shù)可求出

/G的值，在Rt△/尸”中，求出的值，然后根據(jù)線段的和差即可得出答案.

【解析】解：如圖，過點(diǎn)￡作EGL4B于G,FH工4B于H,

A

CB。地面

則四邊形BCEG和四邊形BDFH均為矩形，

.-.BC=EG,HF=BD,DF=BH,

由題意得：CE=20米，Cr）=20G米，BC=BD=\Q/米,^AEG=60°,ZAFH=45°,

在RtZ\/￡G中，tanZ.AEG=,即『=tan60°=6,

EG10V3

解得/G=30（米），

:.HF=1。6米，

在Rt△/阿中，/AHF=90°,ZAFH=45°,ZFAH=90°-ZAFH=45°,

AH=HF=1Q4米,

:.DF=BH=AG+BG-AH=30+20-IQ/=50（米）,

答：2號(hào)樓的高度是卜0-106）米.

故答案為：（50-1073）.

38.長(zhǎng)尾夾一般用來夾書或夾文件，因此也稱書夾.長(zhǎng)尾夾的側(cè)面可近似的看作等腰三角形，如圖1是一

個(gè)長(zhǎng)尾夾的側(cè)平面示意圖，已知8c=23mm,N/C8=70。.按壓該長(zhǎng)尾夾的手柄，撐開后可得如圖2所示的

側(cè)平面示意圖.測(cè)量得/GEO=/HDE=80。.求這時(shí)這個(gè)長(zhǎng)尾夾可夾紙厚度G〃為mm（參考數(shù)據(jù):

sin70°。0.94,cos70°?0.34,tan70°?2.75,sin80°它0.98,cos80°?0.17,tan80°。5.67）

圖1圖2

【答案】H.5

【分析】如圖1,在求得=—如答圖2,在RSGEP中，利用余弦函數(shù)求得

cos70°

EP=5.15,據(jù)此即可求解.本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問題

化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵.

【解析】解：圖1,作于點(diǎn)

；./AMB=9Q°,SAf=|fiC=11.5（mm）.

在RtA^4j8Af,cosB-......,

AB

/B=70°,BM=11.5（mm）,

AB=---H--.-5--.

cos70°

由題意可知：GE=HD=AB,ED=BC.

如答圖2,作GP1EQ于點(diǎn)P,HQLED于點(diǎn)、Q.

圖2

EP

在RMGEP中，cosE=—.

GE

???/GED=80°,

.?.EP=G￡，cos80°=-^-xcos80°?^-x0.17=5.75（mm）.

cos70°0.3417

同理可證：5.75mm,

PQ=ED-EP-QD=23-5.75x2=11.5（mm）.

???四邊形GP0/Z為矩形，

GH=PQ=11.5mm.

答案：這時(shí)這個(gè)長(zhǎng)尾夾可夾紙厚度GH為11.5mm.

故答案為：11.5

39.一款閉門器按如圖1所示安裝，支點(diǎn)力,C分別固定在門框和門板上，門寬為。D,搖臂43=18cm,

連桿8c=24cm,閉門器工作時(shí)，搖臂、連桿和OC長(zhǎng)度均固定不變，如圖2,當(dāng)門閉合時(shí)，sin5

【答案】18

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直

角三角形是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，過點(diǎn)A作4E_L8C于點(diǎn)E,可求得4E=48.sin8,則BE=/-AE?，因此CE=8C-8E,

得出結(jié)論4E垂直平分BC,因此NC=N8=18(cm).

【解析】解：過點(diǎn)A作4Ed.BC于點(diǎn)E