2025年北師大版初三數學總復習試卷（附解析）

姓名：得分：

請你一一耐心審題、用心思考、精心作答、細心檢查

參考答案與試題解析

題號1234567891011

答案CDDBDBCCBDA

題號12

答案B

一、選擇題（每小題3分，共36分.每小題均有A、B、C、D四個選項，其中只有一個選項正確）

1.（3分）下列有理數中比-1小的是（）

A.2B.0C.-3D.1

【分析】先根據正數大于0,0大于負數的性質，比較選項中數的大小，再根據兩個負數比較，絕對值

大的反而小，進行比較即可.

【解答】解：?..正數大于0,。大于負數，

，-3<0<1<2,

V|-3|=3,|-1|=1,3>1,

A-3<-1,

-3<-1<0<1<2,

，選項中的有理數比-I小的是-3,

故選：C.

【點評】本題主要考查了有理數的大小比較，解題關鍵是熟練掌握正數大于0,0大于負數，兩個負數

比較，絕對值大的反而小.

2.（3分）如圖所示的幾何體為商獸面紋輒，其俯視圖為（）

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可.

【解答】解：從上面看，是兩個同心圓，其中里面的是虛線，故選項。符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖.

3.（3分）2023年國家通過新建、改擴建新增公辦學位，保障了1878萬一年級新生入學.將1878萬用

科學記數法表示為（）

A.1.878X103B.1.878X106C.1.878X108D.1.878X107

【分析】將一個數表示成“X10〃的形式，其中lW|a|<10,w為整數，這種記數方法叫做科學記數法,

據此即可求得答案.

【解答】解：1878萬=18780000=1.878X1（）7,

故選：D.

【點評】本題考查科學記數法表示較大的數，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

4.（3分）某公司5名員工在一次義務募捐中的捐款額為（單位：元）：30,50,50,60,60.若捐款

最少的員工又多捐了20元，則不受影響的統計量是（）

A.平均數B.中位數C.眾數D.方差

【分析】根據捐款最少的員工又多捐了20元，則從小到大的順序不變，即中位數不變，據此即可求解.

【解答】解：依題意，捐款最少的員工又多捐了20元，則從小到大的順序不變，即中位數不變，而平

均數，眾數，方差都要用到第一個數，

故不受影響的統計量是中位數.

故選：B.

【點評】本題考查了中位數，平均數，眾數，方差，掌握以上知識是解題的關鍵.

5.（3分）正安縣譽為“吉他之都，音樂之城”.吉他是一種彈撥樂器，通常有六條弦.弦與品柱相交,

品柱與品柱互相平行（如圖①），其部分截圖如圖②所示，AB//CD,則下列結論正確的是（）

【分析】由平行線的性質，即可判斷.

【解答】解：A、由推出N1和N2的對頂角互補，得到/I和N2互補，N1和N2不一定相

等，故A不符合題意；

B、由兩直線平行，同旁內角互補，鄰補角的性質推出N3和N4互補，N3和N4不一定相等，故B不

符合題意；

C、N1和N4不是同旁內角，由A3〃C0不能判定Nl+N4=180°,故。不符合題意；

D、由兩直線平行，同旁內角互補，鄰補角的性質推出N3+N4=180°,故。符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查平行線的性質，關鍵是掌握平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行,

同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等.

2m

6.（3分）化簡----—;的結果是（）

m-2m-2

11

A.------B.-1C.D.1

m-2m—2

【分析】利用分式的減法的法則進行運算即可.

【解答】解：總m

m-2

_2—m

-m—2

=-1.

故選：B.

【點評】本題主要考查分式的加減法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握.

7.（3分）如圖，是某小區地下車庫示意圖.A為入口，B,C,D,E為出口，王師傅從入口進入后，隨

機任選一個出口駛出，則王師傅恰好從。出口駛出的概率為（）

【分析】直接利用概率公式即可得答案.

【解答】解：?..有8、C、。、E四個不同的出口，

王師傅恰好從D出口駛出的概率為上

4

故選：C.

【點評】本題考查概率公式：概率=所求情況數與總情況數之比.熟練掌握概率公式是解題的關鍵.

8.（3分）如圖，在△ABC中，ZA=48°,ZABC=14°,延長AC到。，使得CD=CB,連接8D.則

ND的度數為（）

D

A.48°B.54°C.59°D.62°

【分析】根據三角形內角和定理求出NACB=118。，根據等腰三角形的性質求出/。=/圓。，再根

據三角形外角性質求解即可.

【解答】解：VZA=48°,ZABC=14°,/A+/ABC+NACB=180°,

/.ZACB=118°,

,:CD=CB,

：.ZD=ZCBD,

,：NACB=ZD+ZCBD,

：.ZD=59°,

故選：C.

【點評】此題考查了等腰三角形的性質等知識，熟記“等邊對等角”是解題的關鍵.

9.（3分）我國古代《九章算術》中有一個數學問題，其大意是：有若干人一起買雞，如果每人出9文

錢，就多出11文錢；如果每人出6文錢，就相差16文錢.問買雞的人數和雞的價錢各是多少？設買雞

的人數為無人，則依題意列方程正確的是（）

A.9x+ll=6x-16B.9x-H=6x+16

C.6x+ll=9x-16D.6x-ll=9x+16

【分析】根據題意和題目中的數據，可以列出方程9尤-ll=6x+16,然后即可判斷哪個選項符合題意.

【解答】解：由題意可得，

9x-ll=6x+16,

故選：B.

【點評】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程.

10.（3分）如圖，原點。是△ABC和△AB'C的位似中心，點A（1,0）與點A'（-2,0）是對應點,

△ABC的面積是4,則△AEC的面積是（）

【分析】根據位似圖形的概念得到△ABCsAA'B'C,再根據相似三角形的面積比等于相似比的平方計

算即可.

【解答】解：；△ABC和△ABC位似，點A(1,0)與點A'(-2,0)是對應點，

AAABC^AA'B'C,且相似比為1：2,

.,.△ABC與△ABC的面積比為1：4,

：△ABC的面積是4,

.,.△AEC的面積是16,

故選：D.

【點評】本題考查的是相似變換、相似三角形的性質，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是

解題的關鍵.

11.(3分)如圖，△ABC是等腰直角三角形，ZABC=90°,。是AC的中點，連接80并延長至。，使

得DO=BO,連接4。和CD①以點。為圓心，0c的長為半徑畫弧交8。于點E；②分別以點C、E

1一

為圓心，大于5CE的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；③作射線DP交于點F,連接EF.若力B=

2V2+2,則CF的長為()

B.V2+1C.4V2-4D.V2-1

【分析】根據平行四邊形的性質得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據矩形的判定定理得到四邊形

ABC。是矩形，根據正方形的判定定理得到四邊形ABC。是正方形，求得AB=BC=C￡)=2a+2,得

到&A8=4+2VL求得BE=BD-DE=2,根據全等三角形的性質得到/OEF=/￡)CB=90°,

EF=CF,根據等腰直角三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：?.?。是AC的中點，

：.AO=CO,

■:DO=BO,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

V90°,

???四邊形A5CD是矩形，

'：AB=BC,

???四邊形A3CD是正方形，

：.AB=BC=CD=2^2+2,

：.BD=傷3=4+2近，

■:DE=CD=2&+2,

：.BE=BD-DE=2,

由作圖知，DF平分NCDB,

：.ZCDF=ZEDF,

?；DE=DC,DF=DF,

：./\DEF^ADCF(SAS),

：.ZDEF=ZDCB=90°,EF=CF,

：.ZBEF=90°,

VZEBF=45°,

：.BE=EF,

：.CF=EF=2,

故選：A.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質，正方形的判定和性質，角平分線的

定義，等腰直角三角形的判定和性質，熟練掌握正方形的性質，全等三角形的判定和性質是解題的關

鍵.

12.(3分)已知一次函數yi=mx+幾和的圖象如圖所示，有下列結論：①。力>0；②a+b>m+n；

③2(。-m)=b-九；@P(xi,yi)、Q(x2,y2)是直線yi=ax+b上不重合的兩點，貝！J(xi-X2)

(yi-y2)>0.其中正確的是()

Wy^mx+n

y2=ax+bA

,x、一

/-2\Jo汽

A.①④B.①③C.②④D.②③

【分析】根據一次函數y=^+6中的a,6與其圖象間的關系，利用數形結合的思想以及一次函數與一

元一次不等式的關系，可解決此題.

【解答】解：①??,*=辦+6的圖象過第二、二、四象限，

觀察圖象可知，a<0,b<0.

所以ab>0.

故①正確.

②將尤=1分別代入yi和中得，

yi=m+n,yi=a+b,

觀察圖象不難發現點(1,m+n)在點(1,a+b)的上方，

所以m+n>a+b.

故②不正確.

③觀察圖象發現，聲與"交點的橫坐標為-2.

當尤=-2時，兩者的函數值相等.

-2a+b=-2m+m

.*.2(a-m)=b-n

故③正確.

@P(xi,yi)、Q(x2,>2)是直線yi=ax+b上不重合的兩點，

由yi=ax+Z?的圖象可知，當％i>12時，yi〈y2,則(xi-x2)(yi-y2)<0.

當xi〈x2時，yi>y2,則(xi-x2)(yi-y2)<0.

故④不正確.

故選：B.

【點評】本題考查了一次函數與一元一次不等式的關系，以及用數形結合的思想解決問題.

二、填空題（每小題4分，共16分）

13.（4分）化簡2m+3m的結果是5m.

【分析】根據合并同類項法則計算即可.合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系

數，字母和字母的指數不變.

【解答】解：2m+3m=（2+3）m—5m.

故答案為：5m.

【點評】本題考查了合并同類項，掌握合并同類項法則是解答本題的關鍵.

14.（4分）已知〃是一元二次方程/-尤-1=0的根，代數式〃（w-1）+2的值是3.

【分析】把尤=〃代入一元二次方程得到后-5”+4=0,然后利用代數式變形可得到代數式后-5n的值.

【解答】解：是一元二次方程/-尤-1=0的一個根，

n2-n-1=0,

??n一〃=1,

（n-1）+2=〃2-〃+2=1+2=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方

程的解.

15.（4分）如圖，。。是△ABC的外接圓，連接OA,OB.若。。的半徑為5,AB=S,則cos/ACB的

【分析】作直徑BO，連接A。，根據勾股定理求出AD,根據圓周角定理求出ZDAB

90°,解直角三角形求出cos/AOB即可.

【解答】解：作直徑即，連接A。，則80=2X5=10,

則ZDAB=90°,

在Rt/YDAB中，：OO的半徑為5,AB=8,

由勾股定理得：AD=y/BD2-AB2=V102-82=6,

.".cosXACB=cosXADB==喘=,，

3

故答案為：

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，勾股定理的應用，能正確作出輔助線是解

此題的關鍵.

16.(4分)如圖，在△ABC中，平分N8AC,AD=5,AC=7,點E為4D的中點，ZBED=60°,

25

則BE的長為一.

-6-

A

【分析】過點C作CP〃AD交A4的延長線于R延長2E交CP于G,連接AG,則

△BEDs^BGC,從而得BE：BG=AE：FG,BE：BG=DE：CG,貝l|AE：FG=DE；CG,根據點E

為A。的中點得AE=DE=I，進而得PG=CG,再證/F=/ACF,從而得AG_LCF,AG1AD,在Rt

△AEG中根據NAEG=/BEZ)=60°,AE=^得EG=5,AG=竽，在RtZkACG中由勾股定理得CG=

11、11

-y,則86=8石+或；=8￡+5,然后根據BE：BG=DE：CG得BE：(BE+5)=了據此可得BE的

長.

【解答】解：過點C作CHOD,交BA的延長線于尸，延長BE交CP于G,連接AG,如圖所示:

：.BE：BG=AE：FG,BE：BG=DE：CG,

：.AE：FG=DE：CG,

???AD=5,點E為AZ)的中點，

：.AE=DE=I，

:.FG=CG,

即點G為。尸的中點，

\9CF//AD,

：.ZF=ZBAD,NACF=/CAD,

TA。平分NBA。，

：.ZBAD=ZCADf

：.ZF=ZACF,

即△ACT為等腰三角形，

根據等腰三角形三線合一定理得：AGXCF,

：.AGLAD,

在RtZkAEG中，ZAEG=ZBED=60°,AE=|,

ZAGE=90°-ZAEG=30°,

：.EG=2AE=2x|=5,

由勾股定理得：AG=7EG2-AE2=J52-(|)2=等，

在RtZkACG中，AC=7,AG=詈，

由勾股定理得：CG='AC?_ZG2=J72_(零產=導

；?BG=BE+EG=BE+5,

,:BE：BG=DE：CG,

511

：.BE：（B￡+5）,

22

25

；.8￡=會

【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，理解等腰

三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質，靈活利用相似三角形的性質及勾股定理進行計算

是解決問題的關鍵，正確地添加輔助線構造相似三角形是解決問題的難點.

三、解答題（本大題共9題，共98分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（12分）（1）計算：（一1）2。24+|百一2|-2cos30。；

%+3

（2）如圖，點A,B（不重合）在數軸上所表示的數分別為個一，3,求x的正整數解.

小磊分析過程如下：

工+3

因為點3在點A的右側，列不等式為——<3；

-2---

解得：x<3；

所以x的正整數解為1或2.

~AB~

【分析】（1）先算乘方，去絕對值，然后計算加減法即可；

（2）先列出不等式，再求解即可.

【解答】解：（1）（-1）2024

+_2|_2COS3QO

—1+2-V3-2x

—1+2-V3-V3

=3-2亞

汽+3

（2）因為點B在點A的右側，列不等式為一丁<3,

解得尤<3,

所以x的正整數解為1或2,

汽+3

故答案為：---<3,x<3,1或2.

2

【點評】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式、實數的運算，熟練掌握運算法則是解答本題的

關鍵.

18.（10分）中國古代有輝煌的數學成就：其中《周髀算經》，《九章算術》，《海島算經》，《孫子

算經》,《五經算術》是我國古代數學的重要文獻（分別記為A,B,C,D,E）某中學為豐富學校數

學文化，調查學生對這五部數學文獻的了解情況，隨機抽取部分學生進行調查，根據調查結果制作如

下不完整的統計圖.

根據以上信息解答下列問題：

(1)隨機抽取的學生人數為60人,并補全條形統計圖；

(2)若該校有900名學生，估計該校學生對《九章算術》和《孫子算經》了解的人數；

(3)該校決定從A、B、C、。四部文獻中隨機選兩部作為假期學習課程，用列表法或畫樹狀圖法求恰

好選中A和8的概率.

了解5部數學文獻的學生人數了解5部數學文獻的學生人數

條形統計圖扇形統計圖

【分析】(1)用條形統計圖中B的人數除以扇形統計圖中B的百分比可得隨機抽取的學生人數；求出

。類的人數，補全條形統計圖即可.

(2)根據用樣本估計總體，用900乘以樣本中B類和。類的人數所占的百分比之和，即可得出答案.

(3)列表可得出所有等可能的結果數以及恰好選中A和8的結果數，再利用概率公式可得出答案.

【解答】解：(1)隨機抽取的學生人數為21?35%=60(人).

故答案為：60.

。類的人數為60-15-21-3-9=12(人).

補全條形統計圖如圖所示.

了解5部數學文獻的學生人數

條形統計圖

:.估計該校學生對《九章算術》和《孫子算經》了解的人數約495人.

(3)列表如下：

ABCD

A(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(D,A)CD,B)(D,C)

共有12種等可能的結果，其中恰好選中A和8的結果有2種，

21

...恰好選中A和2的概率為一=

126

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統計圖、扇形統計圖、用樣本估計總體，能夠讀懂統計圖,

掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計總體是解答本題的關鍵.

19.(10分)已知反比例函數yi=1的圖象與一次函數丁2=以+。的圖象交于點A(-1,4)和點3(如

-2).

(1)求小的值及反比例函數的解析式;

k

(2)觀察圖象，請直接寫出-＞a久+6時，自變量尤的取值范圍.

x

【分析】(1)由A在反比例函數圖象上，把A的坐標代入反比例解析式，確定出左的值，從而得出反

比例函數解析式，又B也在反比例函數圖象上，把B的坐標代入確定出的反比例解析式即可確定出m

的值；

(2)根據圖象結合交點坐標即可求得.

【解答】解：(1).??反比例函數為=［的圖象過點A(-1,4)和點3(如-2),

:?k=-1X4=-2m,

'.k=-4,m=2,

...反比例函數的解析式為y=-p

k

(2)觀察圖象，一,ax+6時，自變量尤的取值范圍是-1＜尤＜0或無＞2.

x

【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數圖象的交點坐標滿足

兩函數解析式.也考查了待定系數法求函數解析式以及觀察函數圖象的能力.

20.(10分)如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,點。是邊AC的中點，AE〃2C交的延長線于點

E,EFLBC,交8c的延長線于點R

(1)求證：AE=BC；

(2)若乙48c=60°,BC=V3,連接CE,求四邊形48CE的面積.

【分析】(1)利用A4s證明根據“全等三角形的對應邊相等”即可得證；

(2)解直角三角形求出AC=3,根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”推出四邊形

ABCE是平行四邊形，再根據平行四邊形的面積公式求解即可.

【解答】(1)證明：：點。是邊AC的中點，

:.AD=CD,

"."AE//BC,

：.ZAED=ZCBD,

在△?1￡)￡1和中，

/.AED=乙CBD

Z.ADE=乙CDB,

AD=CD

：.AADE^ACDB(A4S),

：.AE=BC；

(2)解：VZACB=90°,ZABC=60°,BC=?

tanNABC=益==V3,

：.AC=3,

由(1)知，AE=BC,

又,：kEJ/BC,

四邊形ABCE是平行四邊形，

四邊形ABCE的面積=2C?AC=3次.

【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質等知識，熟練運用全等三角

形的判定與性質是解題的關鍵.

21.(10分)某校在世界讀書日啟動“書香校園”活動，某班在參與讀書活動中，計劃購買一批筆記本

用于學生摘抄“好詞好句”.提供以下信息：

信息①：購買10個A型筆記本與3個B型筆記本共45元；

信息②：A型筆記本的單價比B型筆記本便宜2元；

信息③：購買1個A型筆記本與1個B型筆記本需8元.

（1）在信息①②③中任選兩個作為條件①③（填序號），求A型筆記本和8型筆記本的單價；

（2）在（1）的條件下，全班50個同學每人購買一個筆記本，若購買A,2兩種筆記本的總費用不超

過200元，則A型筆記本至少購買多少個？

【分析】（1）設A型筆記本的單價為x元，8型筆記本的單價為y元，由購買10個A型筆記本與3個

2型筆記本共45元；購買1個A型筆記本與1個B型筆記本需8元.列出方程組可求解；

（2）設A型筆記本購買。個，購買B型筆記本（50-a）個，由購買A,B兩種筆記本的總費用不超過

200元，列出不等式，即可求解.

【解答】解：（1）選①③，設A型筆記本的單價為尤元，8型筆記本的單價為y元，

由題意可得：2=45,

解得：［［；，

答：A型筆記本的單價為3元，B型筆記本的單價為5元；

故答案為：①③（答案不唯一）；

（2）設A型筆記本購買。個，購買2型筆記本（50-a）個，

由題意可得：3a+5（50-a）W200,

答：A型筆記本至少購買25個.

【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，二元一次方程組的應用，找到正確的數量關系是解題的

關鍵.

22.（10分）貴州遵義“公館橋”被譽為“黔北第一古石橋”.某數學小組利用無人機測量公館橋的高

度，如下是兩種測量方案.

實物圖課測量公館橋的高度

題

測方案一方案二

方無人機位于水面上方62米的P無人機位于水面上方62米的N

案處，測得A的俯角為45°,C的處，測得橋面正中心A的俯角為

說俯角為37°(A,C在橋面45°,將無人機水平向左移動91

明上).米到達M處，測得點A的俯角為

37°.

(1)根據以上數據判斷，方案一不能求公館橋的高度;

QQA

(2)利用以上可行方案求公館橋的高度(參考數據tan37。/,sin37"(cos37°?|)

【分析】(1)根據題目的數據和圖形，即可解答；

(2)延長54交MN于點C,根據題意可得：ACLMN,8C=61米，MN=91米，設MC=x米，則CN

=(91-%)米，然后分別在Rt^ACM和Rt^ACN中，利用銳角三角函數的定義求出AC的長，從而

列出關于x的方程，進行計算即可解答.

【解答】解：(1)根據以上數據判斷，方案一不能求公館橋的高度，

故答案為：一；

(2)延長交于點C,

由題意得：ACLMN,BC=62米，MN=91米,

設MC=x米，

:.CN=MN-MC=(91-x)米，

在RtZXACM中，ZAMC=31°,

/.AC=MC?tan37°?(米)，

在中中，NA7VC=45°,

.?.4C=CN?tan45°=(91-x)米，

.3

??一尤=91-尤，

4

解得：x—52,

.*.AC?-TX=39(米)，

q

：.AB=BC-AC=62-39=23米.

答：公館橋的高度約為23米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當

的輔助線是解題的關鍵.

23.(12分)如圖，在△ABC中，CB與。。相交于點O.下面是兩位同學的對話：

(1)選擇其中一位同學的說法并進行證明；

(2)在(1)的條件下，過點A作O。的切線交8C的延長線于E,若8C=12,O。的半徑為5,求

tan/CAE的值.

小杰：添加條件：小蘭：添加條件：

①AB是直徑；②BD=CD@AC=AB；?DC=DB

結論：AB=AC結論：AB是OO的直徑。

——cH

【分析】(1)連接A。，由圓周角定理得到AOLBC,由線段垂直平分線的性質推出A2=AC；

(2)過C作于H,由圓周角定理得到NAZ)8=90°,由等腰三角形的性質得到80=■|BC=

6,由勾股定理求出7AB2一BD2=8,由三角形面積公式求出CH=普，由勾股定理得到AH=

y/AC2-CH2=即可求出tan/ACH=^=務由平行線的性質推出NCAE=NACH,于是得到

7

tanZCAE=源.

【解答】解：(1)選擇小杰的說法，

證明：連接A0,

〈AB是圓的直徑，

：.AD±BCf

■:BD=CD,

???A。垂直平分BC,

：.AB=AC；

(2)過。作CH_LA5于〃,

:AB是圓的直徑，

ZADB=90°,

VAB=AC,

11

：.BD=^BC=^X12=6f

:圓的半徑是5,

.?.AB=2X5=10,

：.AD=7AB2—BD2=8,

??AABC的面積=1fiC*AZ)=^AB-CH,

；.12X8=10CH,

：.AH=yjAC2-CH2=m

???/tanN/AAC^THT="H7

TAE切圓于A,

：.AE±AB,

??,CHLAB,

J.AE//CH,

：.ZCAE=ZACH,

7

tanZCAE=tanZACH=3.

【點評】本題考查切線的性質，解直角三角形，勾股定理，圓周角定理，三角形的面積，線段垂直平

分線的性質，關鍵是由三角形面積公式求出CH的長，由勾股定理求出A”的長.

24.（12分）綜合與實踐

如圖①，某公園計劃在噴水池的四周安裝一圈可移動的噴頭向中央噴水，噴出的水流呈拋物線型.若

以噴水池中心為原點，水平方向為x軸，中心線為y軸建立平面直角坐標系，則水流高度y（單位：，〃）

與水流到噴水池中心的距離x（單位：；九）之間的函數圖象如圖②所示.當水流距中心線的距離為4m

10

時，水流最大高度為6"z,此時水流剛好經過中心線上的點A,已知點A距水面高百小.

（1）求拋物線的解析式；

（2）為了使噴出的水形成錯落有致的景觀，現決定將噴水頭向中心線沿直線移動，水流拋物線形狀不

變，使水流最高點不超過中心線.若噴水頭的位置用0）表示（n>0）.

①求〃的取值范圍；

②若水流剛好噴到中心線上，且距水面高4機處，直接寫出a的值.

y/my/m

【分析】(1)依據題意得，拋物線的頂點坐標為(4,6),從而可設y=a(%-4)2+6,再將點A代

入求出。后即可得解；

(2)①依據題意，令y=0,則—焉。—4)2+6=0,求出x的值，再根據當噴水柱最高點位于中心線

時，即拋物線頂點正好在y軸上時，滿足題目要求，可得此時拋物線解析式為：y=-//+6,故可

令y=0,則一■1%2+6=0,進而可以判斷〃的范圍；

②依據題意，設噴水頭向中心線沿直線滑動距離為左如進而可得拋物線的解析式為y=-崟(x-4+左)

2+6,又令y=4=(0-4+左)2+6,求出總故可得此時拋物線解析式，最后再令y=0,求出x后即

可判斷得解.

【解答】解：(1)由題意得，拋物線的頂點坐標為(4,6),

???設(x-4)2+6.

1010

點4(0,W)代入得：—=16a+6.

??CL工?

拋物線的解析式為y=-1(%-4)2+6,

(2)①拋物線為尸一卷(%-4)2+6,

1

.,.令y=0,貝U—看Q—4)2+6=0.

/.Xi=10,XI--2(舍去).

又當噴水柱最高點位于中心線時，即拋物線頂點正好在y軸上時，滿足題目要求.

此時拋物線解析式為：y=—9+6.

令y=0,貝!I-*2+6=0,

.,.Xi—6,XI--6(舍去).

二”的取值范圍為:6W"W10.

②由題意，設噴水頭向中心線沿直線滑動距離為加外

.?.拋物線的解析式為尸一(尤-4+E)2+6.