重難點12：簡單幾何體的表面積和體積問題

一、知識點梳理

L棱柱、棱錐、棱臺的表面積

棱柱、棱錐、棱臺是多面體，它們的各個面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個面的面積之和.計

算時要分清面的形狀，準確算出每個面的面積再求和.棱柱、棱錐、棱臺底面與側面的形狀如下表：

名稱,底面側面

棱柱平面多邊形平行四邊形面積=底?高

棱錐平面多邊形三角形面積=一?底?高

2

棱臺平面多邊形梯形面積?（上底+下底）?高

2

棱柱'棱錐’梭臺的表面積

方法技巧與總結：（求多面體表面積注意事項）

1、多面體的表面積轉化為各面面積之和.

2、解決有關棱臺的問題時，常用兩種解題思路：一是把基本量轉化到梯形中去解決；二是把棱臺還原成棱

錐，利用棱錐的有關知識來解決.

棱柱'棱錐、棱臺的體積

方法技巧與總結（求棱柱'棱錐'棱臺體積的注意事項）

1、常見的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.②等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高

都易求的形式即可.③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

2、求幾何體體積時需注意的問題

柱、錐、臺的體積的計算，一般要找出相應的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最

后代入公式計算.

2.圓柱'圓錐'圓臺的表面積

圓柱、圓錐、圓臺是旋轉體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側面是曲面，應把它們的側面展開

為平面圖形，再去求其面積.

1/23

①圓柱的表面積

(1)圓柱的側面積：圓柱的側面展開圖是一個矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為心母線長/,那么這個矩

形的長等于圓柱底面周長C=2^r,寬等于圓柱側面的母線長/(也是高)，由此可得S圓柱側=€7=2加7.

--------------

I

一—一J

2^7-------

⑵圓柱的表面積：5圓柱表=2?/+2加7=2加?&+/)?

②圓錐的表面積

(1)圓錐的側面積：如下圖(1)所示，圓錐的側面展開圖是?個扇形，如果圓錐的底面半徑為r,母線長

為/,那么這個扇形的弧長等于圓錐底面周長C=仃，半徑等于圓錐側面的母線長為/,由此可得它的側面積

是S圓錐側=5。/=兀rl.

(2)圓錐的表面積：S圓錐表=萬川+"/.

③圓臺的表面積

(1)圓臺的側面積：如上圖(2)所示，圓臺的側面展開圖是一個扇環.如果圓臺的上、下底面半徑分別

為/、廠，母線長為/,那么這個扇形的面積為萬(/+「)/,即圓臺的側面積為S既惻="(/+.)/.

(2)圓臺的表面積：6H表="&'2+/+//+〃).

網f口衣'/

圓柱'圓錐、圓臺的體積

方法技巧與總結：(求幾何體積的常用方法)

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等積法：例如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的幾何體即可.

(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，棱臺補成棱錐等.

(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

3.柱體'錐體'臺體的體積

①柱體的體積公式

棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高/?的乘積，即「典

2/23

圓柱的體積：底面半徑是r,高是人的圓柱的體積是「圓柱=$〃=42/7.

綜上，柱體的體積公式為V=Sh.

②錐體的體積公式

棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S,高是鼠那么它的體積/錐.

圓錐的體積：如果圓錐的底面積是S,高是〃，那么它的體積/錐=；如果底面積半徑是尸，用7TF2表不

1.

S,則，?錐=—7irh.

綜上，錐體的體積公式為修=工防.

3

③臺體的體積公式

棱臺的體積：如果棱臺的上、下底面的面積分別為S,、S,高是那么它的體積是曝臺=；〃（S+后+S'）.

圓臺的體積：如果圓臺的上、下底面半徑分別是/、r,高是肌那么它的體積是

22

嗯臺=Lh^s+4sS'+S'）=^7rh（r+rr'+r'）.

綜上，臺體的體積公式為「=；/z（S+回+S'）.

4.球的表面積和體積

①球的表面積

（1）球面不能展開成平面，要用其他方法求它的面積.

（2）球的表面積

設球的半徑為R,則球的表面積公式S球=4"2.

即球面面積等于它的大圓面積的四倍.

②球的體積

設球的半徑為R,它的體積只與半徑R有關，是以R為自變量的函數.

4

球的體積公式為4=飛球.

球的表面積與體積（外接球、內切球、棱切球）

方法技巧與總結：（與球有關問題的注意事項）

1、正方體的內切球

球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內切球，此時球的半徑為過在一個平面上的四個切點

12

作截面如圖（1）.

3/23

2、球與正方體的各條棱相切

球與正方體的各條棱相切于各棱的中點，過球心作正方體的對角面有r=孚，如圖（2）.

22

3、長方體的外接球

長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據球的定義可知，長方體的體對角線是球的直

徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為a,b,c,則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r=近孚至,

32

如圖（3）.

r3=2-Va2+6^-c2

a

(1)

4、正方體的外接球

正方體棱長a與外接球半徑R的關系為2尺=他或

5、正四面體的外接球

正四面體的棱長。與外接球半徑尺的關系為：2R=&

2

6、有關球的截面問題

常畫出過球心的截面圓，將問題轉化為平面中圓的有關問題解決.

二、題型精刷精練

【題型訓練-刷模擬】

1.已知三棱錐的底面是邊長為。的正三角形，則過各側棱中點的截面的面積為（）

A.—a2B.—a2C.-a2D.—a2

481632

【答案】C

【詳解】???三棱錐的底面是邊長為。的正三角形，

棱錐的底面面積S=—xaxaxsin60°=2

2

4/23

,??過各側棱中點的截面與底面相似，且相似比為3,

???過各側棱中點的截面的面積及=1口~S=Lxa/=旦2.

U)4416

故選：C.

2.我國有著豐富悠久的印章文化，印章是簽署文件時代表身份的信物，因其獨特的文化內涵，有時作為裝

飾物來使用.圖1是一個金屬印章擺件，除去頂部的環可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何

體，如圖2所示.已知正四棱柱和正四棱錐的底面邊長為4,體積之比為3:1,且該幾何體的頂點在球。的

【答案】B

【詳解】

由題意，正四棱柱和正四棱錐的體積之比為3:1,且共一個底面，

所以正四棱柱和正四棱錐的高相等，則設正四棱柱和正四棱錐的高都為力,

如圖所示，根據正四棱柱和一個正四棱錐的對稱性可知：球心O在高線GA/上,

設該幾何體外接球的半徑為R,因為點G，G都在球。上，

所以OG=R,OCt=R,又GN=h,貝！=且NG=g/C=2VL

5/23

所以，在直角AONG中，由勾股定理得：（氏_獷+（2也『=旌，

在直角AOMC中，OM=2h-R,MC=-AC=2^2.,

2

又點C在球。上，所以OC=A,所以由勾股定理得：（2力-a）2+（20丁=必,

（尺-獷+（2女）仿=2

聯立，、2,解得*2，

（2A-A）2+（2^）=7?2［尺_3

因此，球。的半徑為3.

故選：B.

3.如圖某實心零部件的形狀是正四棱臺，已知48=10cm,44=20cm,棱臺的高為12cm,先需要對該

零部件的表面進行防腐處理，若每平方厘米的防腐處理費用為0.5元，則該零部件的防腐處理費用是（）

【答案】A

【詳解】

如圖所示，ACHBD=O,4Gc42=O1,連接OQ,分別是3C,4G的中點，連接,

取QN的中點“，連接

由題意，在正四棱臺/8。。一4414中，0。，平面44弓2,則。。1=12,

因為O,“分別是/C,3C的中點，所以0M〃28,且OM=；/3=5,

又Q,N分別是4G，4G的中點，所以QN///#,且。囚=34月=10,

6/23

故OM//QN,則。,a四點共面;

因為。。1，平面4耳QD1，qNu平面481C]A，所以

所以四邊形OMNO\為直角梯形,

在直角梯形OMNQ中，OM=；O1N,又點77是QN的中點，

所以四邊形。為矩形，則且M/=OOI=12,又HN=；0、N=5,

因此，在直角AM/N中，MN7MHz+HN?=13,

所以在正四棱臺/BCD-44C〃中，

側面積岳=4義；x（2C+4G）xMV=4x：x（10+2。xl3=78（,

2

底面積52=AB+4用2=I。?+2（）2=5Q0,

表面積5=耳+邑=780+500=1280（平方厘米）,

又每平方厘米的防腐處理費用為0.5元,

所以該零部件的防腐處理費用是1280x0.5=640（元）.

故選：A

4.蜜蜂被譽為“天才的建筑師”.蜂巢結構是一種在一定條件下建筑用材面積最小的結構.如圖是一個蜂房的立

體模型，底面48c7）￡尸是正六邊形，棱NG,BH,CI,DJ,EK,也均垂直于底面/8CDE凡上頂由三個

全等的菱形尸Gm，PIJK,PKLG構成.設2C=1,ZGPI=ZIPK=ZKPG=3,則上頂的面積為()

339

A.3sin0B.~~~eC.~~eD.-e

2tan—tan—2tan—

222

【答案】D

7/23

【詳解】因為NBCDE尸是正六邊形，又BC=1,

則/C2=12+12_2xlx]x（_：]=3,即/C=V5，

因為四邊形PGHI為菱形，連接PH,G1,則PHLGI,

又GIHAC且GI=AC,則G/=百，

設G/fW=O,

則GO=—=立,NG尸O=-，

222

也

則署"心,則尸。,

tan—

2

則菱形PGm的面積為：xG/xP"=：x6=T"^，

乙乙tan—2tan—

22

r39

4x---------—----------

則上頂菱形的面積為。一一e.

2tan—2tan—

22

故選：D.

5.將邊長為1的正方形/BCD沿對角線/C折起，折起后點。記為。.若3D'=1,則四面體/BCD'的體積

為（）

A五口2桓V2

A?------D.------D.V2

1234

【答案】A

【詳解】設正方形/5CD的對角線交點為O,

則可得折疊后的二面角。'-/C-8的平面角為/D'O8,

萬

又BD'=1,D'O=BO=J,

2

AD'O2+BO'=BD'2,/.AD'OB=90°,

8/23

D'OJ_平面NBC,

四面體A8CD的體積為Wlx1乂2=旦.

32212

故選：A.

6.若長方體的三條棱長分別是1,2,3,則它的外接球的表面積（）

A.28兀B.14兀C.56TID.32K

【答案】B

【詳解】解：???長方體的三條棱長分別是1,2,3,

設長方體的外接球的直徑為2R,則27?即為長方體的體對角線長，

（27?）2=12+22+32=14,

該長方體的外接球的表面積為S=471A2=14兀.

故選：B.

7.沙漏是一種古代計時儀器.如圖，某沙漏由上下兩個相同圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm,細

沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的：2，則這些細沙的體積為（）

【答案】B

【詳解】由題意可知：這些細沙的體積為&xLx6x7rx32=g7Tcm3.

2733

故選：B.

8.如圖，在棱長為6的正四面體尸中，以尸為頂點的圓錐在正四面體的內部（含表面），則該圓錐體

9/23

積的最大值為（）

A.2"兀B.3"兀C.2拒TiD.3出兀

【答案】A

【詳解】由題意可知當圓錐的底面與VN2C相切時，圓錐體積憶=gs”最大，

因為P-4BC是棱長為6的正四面體，

設底面圓半徑為，，BC中點、為D,

則｝（|4刈++|5C|）=||^pC|sin60°,解得尸=百,

222

圓錐的高〃=尸=^|pC|-|Z）C|-r=2指，

所以圓錐體積P=-7ir2h=2幾兀,

3

故選：A

9.若球。的半徑為5,一個內接圓臺的兩底面半徑分別為3和4（球心。在圓臺的兩底面之間），則圓臺的

體積為（）

A.等兀B.yTtC.（25+35后）無D.（25+7后）兀

【答案】A

【詳解】球和圓臺的軸截面如下，。，儀分別為圓臺上下底面的圓心，

由題意可知，OA=OB=5,OtA=3,O2B=4,

22

貝1JOO}=J。///=招與=4,00廣,]OB-O2B=J52-42=3,

10/23

，圓臺的高為4+3=7,

12597r

圓臺體積為§x7x（9兀+12兀+16兀）=---.

故選：A.

10.中國古代數學的瑰寶《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環

形的柱體（扇環是指圓環被扇形截得的部分）.現有一個如圖所示的“曲池”，其高為3/4,底面，底面扇環

所對的圓心角為;，石長度為部長度的3倍，且線段NB=CD=2,則該“曲池”的體積為（）

117T

B.5兀C.D.671

~2~

【答案】D

【詳解】設行對應的半徑為R,前對應的半徑為小曲池的高為仙

因為石，前所對的圓心角相同，設為則由弧長公式可知，

石的弧長等于。尺，病的弧長等于ar,

且行長度為前長度的3倍，所以火=3廠，

因為AB=CD=R—r=2,所以氏=3/=1,

1JT

所以曲池的體積為『=-（成”-兀r%）=—x（32-12"3=6兀.

44

故選：D

11.小明同學在通用技術課上，制作了一個半正多面體模型.他先將正方體交于同一頂點的三條棱的中點

分別記為C，如圖1所示，然后截去以V/5C為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所示，按照這種

方法共截去八個正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型.若原正方體的棱長為6,則此半正多面體模

型的體積為（）

11/23

D.189

【答案】C

【詳解】設此半正多面體模型的體積為z,

,11,

貝1|/=噎方體一8七三棱錐=63-8X-X-X33=180.

故選：C.

12.已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且圓錐側面積為6兀,則該圓錐的內切球體積為（）

r4兀

A.4兀B.—C.4也兀D.6TI

3

【答案】B

【詳解】設圓錐的底面半徑為因為圓錐的軸截面為等邊三角形,

所以圓錐的母線長為2.

依題意：兀?廠-2廠=6兀，解得r=6.

設圓錐的內切球半徑為K,又圓錐的軸截面為等邊三角形,

所以R=2百xsin60°><!=2A—x-=1,

323

則內切球的體積展A47r

33

13.已知四面體4-55的外接球半徑為2,若BC二百,4。。=三，則四面體4-35的體積最大值為（)

993+273

A.B.-C.D.

424

【答案】D

【詳解】如圖所示，設四面體4-5CZ）的外接球球心為。，底面△5C。的外接圓圓心為

12/23

則OE，底面BCD,4。,E共線且A在OE上方時四面體的高〃最大,

最大值為/?=￡/=2+OE,取8C的中點為廠，

由BC=6nBF=JOF=

2

由正弦定理可知：2BE=———=2nBE=\,

sinZBDC

底面△BCD中，顯然當。,及尸共線時，。到8C距離最大，

所以(%s)皿=*C.(EF+DE)=f1]=咨，

則四面體力一BCD的體積最大值r=JS.BS?〃=/x(2+灼=?世

故選：D

14.已知正四棱臺NBCD-HB'C'Z)',其高為=8,49=4,則此正四棱臺外接球的直徑為()

A.8B.872C.8亞D.16

【答案】B

【詳解】由題意可知，正四棱臺外接球的球心在正四棱臺的高上，

設球心位置為O,如圖所示，距離下平面距離為x,

13/23

因為高為2A/6,AB=8,A'B'=4，

所以（2"一無j+（26/=-+（4也"j,解得x=o,

即正四棱臺下底面中心即為球心，則直徑為80，

故選：B.

15.以邊長為2的正三角形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正三角形旋轉一周所得幾何體的表面積為（）

A.6兀B.2兀C.2也nD.4A/3TT

【答案】D

【詳解】如圖，正三角形繞NB所在直線為旋轉軸旋轉一周，

得到幾何體是兩個同底的圓錐，

圓錐的底面半徑為r=OC=/,

，所得幾何體的表面積為5=2口./。=2*兀乂囪乂2=4百71.

故選：D.

16.如圖，五面體/BCDEF,其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形.已知

4B=25,BC=10,且等腰梯形所在平面，等腰三角形所在平面與平面N8C。的夾角的正切值均為巫，則

該五面體的體積為.

【詳解】如圖，作尸G1/3于G,HGIIDA,連接EH；同理作EWL45于MN//BC,連接EN,

取40中點P,連接。尸，再作尸0_LGH于O,

因為等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面與平面ABCD的夾角的正切值均為正，

5

因為尸G145,房頂的底面為矩形，HG//DA,所以

14/23

又40中點P,PFLAD,且尸G=FH,所以F0_LG〃，

所以OP，/。，FP1AD,所以由二面角的定義可得NFG//=ZFP。，正切值均為恒.則

5

GO=〃O=1BC=5m.所以廠。=恒X5=AM,OP="+且=5,

255

因為FO_LG”，FO1PO,POC\GH=O,且P0,G〃u底面N3CD,

所以FO_L底面/BCD,

所以該五面體的體積為2倍的四棱錐ADHG-F的體積加上三棱柱FGH-EMN的體積，

SP-^G-G7fxf'Ox2+-G7f-FOxGAf=-x5xlOxVi4+-xlOxVL4xl5=^^，

32323

故答案為：竺叵.

3

17.如圖，已知正四面體/BCD的棱長為1,過點8作截面a分別交側棱/C,40于￡,F兩點,且四面體

NBEF的體積為四面體/BCD體積的g,則邑/即=，E尸的最小值為.

【答案】—/173

121233

【詳解】因為%則研=:5."3=!'。'以卜￡=*,

3△的3"s32212

記EF=a,AE=b,AF—c,

因為，besin60°二也，即Z?c=g。

2123

又因為/=b1+/-2bccos60°>2bc-be=be,

b=c廠

1,即6=°=也時，取等號.

當且僅當

bc=-3

3

15/23

所以。的最小值為也.

3

故答案為：—;—.

123

18.中國國家博物館中的清代仿官窯四方委角象耳瓶向我們展示了我國古代工匠的高超技藝：瓶唇口，直

頸，頸兩側飾對稱象耳，方腹委角，高圈足外撇……其中“委角”是一種工藝術語，指的是將方形器物的尖角

抹平，向內收縮，如同把角折起來.如圖，該瓶的瓶身相當于是在長方體/2C。-44GA中抹去八個形狀

與大小都相同的三棱錐.在長方體中，AB=BC=x,44]=2,E為的中點，F與G

分別是棱ND與棱上的點，且滿足疝?=AF=NG.已知委角之后的瓶身體積是長方體N2CD-體

Q

積的9，則長方體ABCD-44GA的體對角線長度為.

【答案】4

【詳解】由題長方體/BCD-44GA體積為2/,AE=4F=4G=1,

所以抹去的八個形狀與大小都相同的三棱錐的體積之和為8xg*[g*1x1JX1=g,

所以=gnx=痛’

所以長方體ABCD-44的體對角線長度為壽導=4.

故答案為：4.

19.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為百，則圓錐的體積為.

【答案】3&

【詳解】設圓柱的底面半徑為「，則圓錐的母線長為Ei，

而它們的側面積相等，所以2WX6=WX677，即2G二歷3，

故r=3,故圓錐的體積為:兀X9XG=36TT.

16/23

故答案為：3百無.

20.設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為。，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為,體積

為.

【答案】~na2酒商

354

【詳解】根據題意條件可知三棱柱是棱長都為。的正三棱柱，

上下底面中心連線的中點就是球心，如圖：

則V/8C的外接圓的半徑為—J=@a,

2sin603

所以其外接球的半徑為R

所以球的表面積為S=4TI/?2=47rxZ￡_=—7E22

123

體積為P=d兀*=￡兀（叵功3=巫兀“3.

33654

故答案為：卜2；等小

21.陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而成（如圖）.已

知一木制陀螺模型內接于一表面積為167rcm2的球，其中圓柱的兩個底面為球的兩個截面，圓錐的頂點在該

球的球面上，若圓柱的高為2cm,則該圓柱的側面積為cm2,該陀螺的體積為cm3.

【答案】4百兀7兀

17/23

【詳解】設圓柱的底面半徑為小高為h,圓錐的高為人陀螺的外接球的半徑為尺,

:.R=2,

???圓柱的側面積為S=2jirxh=4百兀，

圓柱體積為Vx=兀r之x〃二6兀；

h

圓錐的高為，二尺-鼻=2-1=1,

所以圓錐的體積為匕=;a葭1=兀；

???該陀螺的體積為憶=匕+匕=7兀

故答案為：4人兀；7兀.

22.《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中提到了一種名為“芻薨[chiim6ng]”的五面體（如

下圖），四邊形A8CD為矩形，棱￡////反若此幾何體中，AB=6,EF=2,V/DE和VBCF都是邊長為4的

等邊三角形，則此幾何體的體積為.

【詳解】過尸作尸。,平面N3C。，垂足為O,取3c的中點P,連結尸尸，過尸作尸。，48,垂足為。,

連結0。，延長。。交CD于點G,連接FG.

因為V/AE和VBCF都是邊長為2的等邊三角形，

18/23

所以OP=；(AB-EF)=2,PF=28oQ=3C=2,

因為FO_L平面/BCD,OPu平面48cD,

所以尸O,OP,

:.OF=4PF1-OP1=7(2A/3)2-22=2V2，

如圖，把此“芻薨”分為兩側各一個四棱錐，中間一個三棱柱.

因為尸。，48,FO±AB,FQ,FO<=^FGQ,FQHFO=F,

所以平面FG0,

因為G0u平面廠G。，

所以/8J_G。，

所以四邊形8CG0是矩形.

23.如圖1,一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內盛

有加升水時，水面恰好經過正四棱錐的頂點P.如果將容器倒置，水面也恰好經過點P（圖2）,設正四棱

h,

柱的高為九,正四棱錐的高為刈，則/=.

?2

【詳解】設棱柱的底面面積為S,

123m

在圖1中，^Sh2—Sh2=^Sh2=mf所以色二三一，

332s

在圖2中，可得s（4-?=機，所以九一色=2,則九=薨,

19/23

5m

所以M更=：

「3m3

一2?

故答案為：j

24.如今中國被譽為“基建狂魔”，可謂逢山開路，遇水架橋.高速公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一,建

設過程中研制出的用于基建的大型龍門吊、平衡盾構機等國之重器更是世界領先水平.如圖是某重器上一

零件結構模型，中間大球為正四面體的內切球，小球與大球相切，同時與正四面體的三個面相切.設43=3,

則該模型中5個球的表面積之和為

【答案】3兀

【詳解】如圖所示,

設。為大球的球心，大球的半徑為A,大正四面體的底面中心為E,棱長為3,高為為，CD的中點為尸,

連接OA,OB,OC,OD,OE,BF,

由8尸MBCsinNBCOuBCsinGO=—

2

正四面體/-BCD的高/z=-B守=

因為腺四面體4BC0=4嚏棱錐，所以;XSABC/=4X］義S&BCD*R,

所以R=-h=

44

20/23

設小球的半徑為，，小球也可看作一個小的正四面體的內切球，且小正四面體的高標="-2尺=半，同理

4J82

\2

故該模型中5個球的表面積之和為4依2+4x4/=8成2=87rx二3兀.

I4J

故答案為：3兀.

25.已知圓錐的母線長為4,軸截面,是一個頂角為7牛IT的等腰三角形，則該圓錐的體積為

【答案】8兀

【詳解】

7T

由題意可得，PB=4,ZBPD=-

所以底面半徑為=4xsin工=26",圓錐的高為PD=4xcos'=2,

33

所以圓錐的體積憶=：無?￡?臺2?尸。=；7TX（2行『x2=8兀，

故答案為：871.

26.如圖1是唐朝著名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球與圓柱的組合體（如

圖2）.當這種酒杯內壁的表面積為Sen?,半球的半徑為Rem時，若要使得酒杯的容積不大于半球體積（厚

度忽略不計）的3倍，則叵的取值范圍是.

（兀取3）

圖1圖2

【答案】（跖后］

【詳解】設圓柱的高為〃，則