切線的相關證明與計算1、如圖所示,直線DP和☉O相切于點C,交直徑AE的延長線于點P,過點C作AE的垂線,交AE于點F,交☉O于點B,作平行四邊形ABCD,連接BE,DO,CO.(1)求證：DA=DC;(2)求∠P及∠AEB的大小.第1題圖(1)證明：∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，CB⊥AE，∴AD⊥AE，∴∠DAO＝90°，又∵直線DP和☉O相切于點C，∴DC⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴在Rt△DAO和Rt△DCO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DO＝DO,AO＝CO))，∴Rt△DAO≌Rt△DCO(HL)，∴DA＝DC；(2)解：∵CB⊥AE，AE是⊙O的直徑，∴CF＝FB＝eq\f(1,2)BC，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∴CF＝eq\f(1,2)AD，又∵CF∥DA，∴△PCF∽△PDA，∴eq\f(PC,PD)＝eq\f(DC,PD)＝eq\f(1,2)，即PC＝eq\f(1,2)PD，DC＝eq\f(1,2)PD.由(1)知DA＝DC，∴DA＝eq\f(1,2)PD，∴在Rt△DAP中，∠P＝30°.∵DP∥AB，∴∠FAB＝∠P＝30°，又∵∠ABE＝90°，∴∠AEB＝90°－30°＝60°.2、如圖，已知AO為Rt△ABC的角平分線，∠ACB＝90°，eq\f(AC,BC)＝eq\f(4,3)，以O為圓心，OC為半徑的圓分別交AO，BC于點D，E，連接ED并延長交AC于點F.(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)求tan∠CAO的值；(3)求的值.第2題圖(1)證明：作OG⊥AB于點G，如解圖．∵在△OGA和△OCA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OGA＝∠OCA,∠GAO＝∠CAO,AO＝AO))，∴△OGA≌△OCA(AAS)，∴OG＝OC，∴OG為⊙O的半徑，∵OG⊥AB，∴AB是⊙O的切線；解：設AC＝4x，BC＝3x，⊙O半徑為r，則AB＝5x，由切線長定理知，AC＝AG＝4x，故BG＝x.∵tan∠B＝OG∶BG＝AC∶BC＝4∶3，∴OG＝eq\f(4,3)BG＝eq\f(4,3)x，∴tan∠CAO＝tan∠GAO＝eq\f(\f(4,3)x,4x)＝eq\f(1,3)；(3)解：在Rt△OCA中，AO＝eq\r(OC2＋AC2)＝eq\f(4\r(10),3)x，∴AD＝OA－OD＝eq\f(4,3)(eq\r(10)－1)x.如解圖，連接CD，則∠DCF＋∠ECD＝∠ECD＋∠CEF，∴∠DCF＝∠CEF，又∠CEF＝∠EDO＝∠FDA，∴∠DCF＝∠ADF，又∵∠FAD＝∠DAC，第2題解圖∴△DFA∽△CDA，∴DA∶AC＝AF∶AD，即eq\f(4,3)(eq\r(10)－1)x∶4x＝AF∶eq\f(4,3)(eq\r(10)－1)x，∴AF＝eq\f(4,9)(11－2eq\r(10))x，∴CF＝eq\f(8（\r(10)－1）x,9)，∴eq\f(AD,CF)＝eq\f(3,2).3、如圖，AB是⊙O的直徑，點D是弧AE上的一點，且∠BDE＝∠CBE，BD與AE交于點F.(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)若BD平分∠ABE，延長ED、BA交于點P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的長．第3題圖(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，∴∠EAB＝∠CBE，∴∠ABE＋∠CBE＝90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直徑，∴BC是⊙O的切線；(2)解：∵BD平分∠ABE，∴∠ABD＝∠DBE，如解圖，連接DO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EBD＝∠ODB，第3題解圖∴OD∥BE，∴eq\f(PD,PE)＝eq\f(PO,PB)，∵PA＝AO，∴PA＝AO＝OB，∴eq\f(PO,PB)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(PD,PE)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(PD,PD＋DE)＝eq\f(2,3)，∵DE＝2，∴PD＝4.4、如圖,CD是⊙O的直徑,點B在⊙O上,連接BC、BD,直線AB與CD的延長線相交于點A,AB2=AD·AC,OE∥BD交直線AB于點E,OE與BC相交于點F,(1)求證：直線AE是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為3,cosA=,求OF的長.第4題圖(1)證明：如解圖，連接OB，∵AB2＝AD·AC，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AB)，∵∠A為公共角，∴△ABD∽△ACB，∴∠ABD＝∠ACB，在⊙O中，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC＝∠ABD，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CBD＝90°，∴∠OBC＋∠OBD＝90°，∴∠OBD＋∠ABD＝90°，即∠OBA＝90°，∵點B為AE上一點，且OB為⊙O的半徑，∴AE是⊙O的切線；第4題解圖(2)解：在Rt△ABO中，OB＝3，cosA＝eq\f(AB,OA)＝eq\f(4,5)，∴設AB＝4k，OA＝5k(k>0)，又OA2＝AB2＋OB2，∴(5k)2＝(4k)2＋32，∴k2＝1(k>0)，∴k＝1，即AB＝4，OA＝5，∵OD＝3，∴AD＝OA－OD＝2，∵OE∥BD，∴eq\f(AD,OD)＝eq\f(AB,BE)，即eq\f(2,3)＝eq\f(4,BE)，∴BE＝6.在Rt△OBE中，OE＝eq\r(BE2＋OB2)＝eq\r(62＋32)＝3eq\r(5)，∵∠CBD＝90°，BD∥OE，∴∠EFB＝90°，∵S△OBE＝eq\f(1,2)OB·BE＝eq\f(1,2)OE·BF，∴BF＝eq\f(OB·BE,OE)＝eq\f(3×6,3\r(5))＝eq\f(6\r(5),5)，在Rt△OBF中，由勾股定理可知，.5、如圖，在△ABD中，AB=AD,以AB為直徑的⊙F交BD于點C，交AD于點E，CG⊥AD于點G.（1）求證：GC是⊙F的切線；（2）若△BCF的面積為15，求△BDA的面積；第5題圖(1)證明：∵AB＝AD，FB＝FC，∴∠B＝∠D，∠B＝∠BCF，∴∠D＝∠BCF，∴CF∥AD，∵CG⊥AD，∴CG⊥CF，又∵FC為⊙F的半徑，∴GC是⊙F的切線；(2)解：由(1)得：CF∥AD，∴△BCF∽△BDA，∵eq\f(BF,BA)＝eq\f(1,2)，∴S△BCF∶S△BDA＝1∶4，∴S△BDA＝4S△BCF＝4×15＝60.6、如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點P在CA的延長線上，∠CAD＝45°.(1)若AB＝4，求eq\o(CD,\s\up8(︵))的長；(2)若eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))，AD＝AP，求證：PD是⊙O的切線．第6題圖(1)解：如解圖，連接OC、OD，∵∠CAD＝45°，∴∠COD＝2∠CAD＝90°，∵AB＝4，∴OC＝eq\f(1,2)AB＝2.∴eq\o(CD,\s\up8(︵))的長為eq\f(90,180)×π×2＝π；第6題解圖(2)證明：∵eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))，∴∠BOC＝∠AOD.∵∠COD＝90°，∴∠AOD＝eq\f(180°－∠COD,2)＝45°.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∵∠AOD＋∠ODA＋∠OAD＝180°，∴∠ODA＝eq\f(180°－∠AOD,2)＝67.5°.∵AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD.∵∠CAD＝∠ADP＋∠APD＝45°，∴∠ADP＝eq\f(1,2)∠CAD＝22.5°.∴∠ODP＝∠ODA＋∠ADP＝90°.又∵OD是⊙O的半徑，∴PD是⊙O的切線．7.如圖，AB為⊙O的直徑，D、T是圓上的兩點，且AT平分∠BAD，過點T作AD延長線的垂線PQ，垂足為C.（1）求證：PQ是⊙O的切線；（2）已知⊙O的半徑為2，若過點O作OE⊥AD，垂足為E，OE＝eq\r(3)，求弦AD的長.第7題圖(1)證明：連接OT，如解圖①所示，∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA，∵AT平分∠BAD，∴∠OAT＝∠CAT，第7題解圖①∴∠OTA＝∠CAT，∴OT∥AC，∵PQ⊥AC，∴PQ⊥OT，∵OT是⊙O的半徑，∴PQ是⊙O的切線；(2)解：如解圖②所示，∵OE⊥AD，∴AE＝DE，∠AEO＝90°，∴AE＝eq\r(OA2－OE2)＝eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，第7題解圖②∴AD＝2AE＝2.8.如圖，∠OPA＝eq\f(1,2)∠APB，⊙O與PA相切于點C.（1）求證：直線PB與⊙O相切.（2）PO的延長線與⊙O相交于點E，若⊙O的半徑為3，PC＝4，求CE的長.第8題圖(1)證明：如解圖，連接OC，作OD⊥PB于D點．∵⊙O與PA相切于點C，∴OC⊥PA.∵點O在∠APB的平分線上，OC⊥PA，OD⊥PB，∴OD＝OC，即OD為⊙O的半徑，∴直線PB與⊙O相切；第8題解圖(2)解：如解圖，設PO交⊙O于F，連接CF.∵OC＝3，PC＝4