PAGE1-四直角三角形的射影定理課時(shí)過(guò)關(guān)·實(shí)力提升基礎(chǔ)鞏固1如圖,在矩形ABCD中,若AB=4,BC=6,則線段AC在AB上的射影長(zhǎng)等于()A.4 B.6 C.2 D.213解析∵BC⊥AB,∴AC在AB上的射影是AB.答案A2如圖,在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,若BD·DC=16,則AD等于()A.2 B.4 C.16 D.不確定解析由題意知,AD2=BD·DC=16,故AD=4.答案B3在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于點(diǎn)Q,如圖,若NQ=3,則MN等于()A.3PN B.13C.3PN D.9解析∵M(jìn)N⊥MP,MQ⊥PN,∴MN2=NQ·PN.又NQ=3,∴MN=NQ·答案C4在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,若ACAB=34,則BDA.34 B.43 C.16解析如圖,由射影定理,得AC2=CD·BC,AB2=BD·BC,∴AC即CDBD=916答案C5如圖,已知在Rt△ABP中,∠ABP=90°,BC⊥AP,垂足為點(diǎn)C,且AB=26,AC=4,則PB=.

解析∵在Rt△ABP中,∠ABP=90°,BC⊥AP,∴AB2=AC·AP,即(26)2=4AP,解得AP=6.在Rt△ABP中,由勾股定理,得BP=AP2-A答案236已知PA是☉O的切線,切點(diǎn)為A,PA=2cm,AC是☉O的直徑,PC交☉O于點(diǎn)B,AB=3cm,則△ABC的面積為cm2.

解析如圖,由于PA是☉O的切線,AC是☉O的直徑,則PA⊥AC,AB⊥BC,則PB=PA2-又AB2=PB·BC,所以(3)2=1×BC,所以BC=3cm.所以△ABC的面積為12AB·BC=12×3×3=3答案37如圖,在矩形ABCD中,DE⊥AC于點(diǎn)E,若AE=1,EC=8,則矩形ABCD的面積S=.

解析在Rt△ADC中,∠ADC=90°,DE⊥AC,∴DE2=AE·EC=1×8=8,解得DE=22.AC=AE+EC=1+8=9.矩形ABCD的面積S=2S△ADC=2×12×9×22=182答案1828如圖,已知AD是△ABC的高,DP⊥AB,DQ⊥AC,垂足分別為點(diǎn)P,Q.求證:AP·AB=AQ·AC.分析應(yīng)用射影定理轉(zhuǎn)化為證明AP·AB=AD2,AQ·AC=AD2.證明∵DP⊥AB,DQ⊥AC,AD⊥BC,∴在Rt△ADB中,有AD2=AP·AB.在Rt△ADC中,有AD2=AQ·AC.∴AP·AB=AQ·AC.9如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,DE⊥AC于點(diǎn)E,DF⊥BC于點(diǎn)F.求證:AE·BF·AB=CD3.分析分別在Rt△ABC,Rt△ADC,Rt△BDC中運(yùn)用射影定理,再將線段進(jìn)行代換,就可以實(shí)現(xiàn)等積式的證明.證明因?yàn)樵赗t△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,所以CD2=AD·BD,所以CD4=AD2·BD2.又因?yàn)樵赗t△ADC中,DE⊥AC,在Rt△BDC中,DF⊥BC,所以AD2=AE·AC,BD2=BF·BC,所以CD4=AE·BF·AC·BC.又因?yàn)椤螦=∠A,∠ACB=∠ADC=90°,所以△ABC∽△ACD.所以BCCD即AC·BC=AB·CD,所以CD4=AE·BF·AB·CD.所以AE·BF·AB=CD3.10如圖,已知線段a,b,求作線段c,使b是a和c的比例中項(xiàng),并加以證明.作法如圖.(1)作線段AB=a,過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線l,在l上取一點(diǎn)C,使BC=b;(2)連接AC,過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線l',l'交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則線段BD為所求作線段c.證明:∵AC⊥CD,CB⊥AD,∴CB2=AB·BD.∴b2=ac,即線段c使得b是a和c的比例中項(xiàng).實(shí)力提升1已知在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,若AD=p,BD=q,則tanA的值是()A.p∶q B.pq∶q C.pq∶p D.p解析由射影定理得CD2=AD·BD=pq,∴CD=pq.∴tanA=CDAD答案C2如圖,在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于點(diǎn)Q,若MN=3,PN=9,則NQ等于()A.1 B.3 C.9 D.27解析∵M(jìn)N2=NQ·NP,∴32=9NQ.∴NQ=1.答案A3如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,若AD=3,BD=2,則AC∶BC的值是()A.3∶2 B.9∶4C.3∶2 解析在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,由射影定理知,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.又AD=3,BD=2,∴AB=AD+BD=5,∴AC2=3×5=15,BC2=2×5=10.∴ACBC=1510=3答案C4在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,若AD=4,sin∠ACD=45,則CD=,BC=.

解析在Rt△ADC中,AD=4,sin∠ACD=45由sin∠ACD=ADAC,得AC=ADsin∠由射影定理知,AC2=AD·AB,即AB=AC∴BD=AB-AD=254-4=9由射影定理知,CD2=AD·BD=4×94=∴CD=3.由射影定理知,BC2=BD·AB,∴BC=BD·答案3155在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,若CD=6,AB=5,則AD=.

解析∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AD·DB.∵CD=6,∴AD·DB=6.又AB=5,∴DB=5-AD.∴AD(5-AD)=6,解得AD=2或3.答案2或36如圖,四邊形ABCD是正方形,E為AD上一點(diǎn),且AE=14AD,N是AB的中點(diǎn),NF⊥CE于點(diǎn)F.求證:FN2=EF·FC.證明如圖,連接NE,NC.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a.∵AE=14a,AN=12a,∴NE=∵BN=12a,BC=a,∴NC=a∵DE=34a,DC=a∴EC=9a∴NE2=5a216,NC2=5a24∴NE2+NC2=25a∴NE2+NC2=EC2.∴EN⊥NC,△ENC是直角三角形.又NF⊥EC,∴NF2=EF·FC.★7如圖,分別在正方形ABCD的邊BC和CD上取點(diǎn)H和M,且BHHC=CMMD=12,AH和BM證明在正方形ABCD中,∵BHHC=CMMD∴BHAB又∠ABH=∠C=90°,∴△ABH∽△BCM,∠PBH=∠BAH.又∠BAH+∠BHA=90°,∴∠PBH+∠BHP=90°,即BP⊥AH.在Rt△ABH中,設(shè)BH=k,則AB=3k,AH=10k.∴AB2=AP·AH,BH2=PH·AH.∴AB∴AP=9PH.★8如圖,在△ABC中,D,F兩點(diǎn)分別在AC,BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1.求AC的長(zhǎng).解在△ABC中,設(shè)AC=x,∵AB⊥AC,AF⊥BC,又FC=1,依據(jù)射影定理,得AC2=FC·BC,即BC=x2.再由射影定理,得AF