專題02函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

考點01函數(shù)的定義域

1.(2025高三?全國?專題練習(xí))下列函數(shù)中，定義域為［0,m)的是()

A.”x)=e*B./(X)=A/3'-1-xC./(x)=-^D./(x)=|x|

【答案】B

【分析】求出各選項中函數(shù)的定義域，可得出合適的選項.

【詳解】對于A選項，函數(shù)/(力=爐的定義域為R；

對于B選項，由3*-120,得xNO,故函數(shù)==T-x的定義域為［0,+8)；

對于C選項，函數(shù)/(無)=揄定義域為國尤力。｝；

對于D選項，函數(shù)/(x)=|x|的定義域為R.

故選：B.

2.(24-25高三上?河北滄州?期中)函數(shù)〃x)=—1+ln(2x+2)的定義域為()

X-1

A.(1,+8)B.(0,—l)U(l,+8)C.y,l)D.(―l,l)U(l,+s)

【答案】D

x—1w0

【分析】由解析式可得函數(shù)的定義域應(yīng)滿足2x+2＞。,求解即引

【詳解】函數(shù)"同=工+111(2抖2)的定義域應(yīng)滿足:

x-1

%—1w0

2x+2＞。'解得"I且"1,

所以函數(shù)〃X)=—1+ln(2x+2)的定義域為(-U)U(l,+8).

x-1

故選:D.

3.已知函數(shù)〃無尸去弓+乒^,則函數(shù)g(x)=/(2-i)+/［￡(的定義域為()

A.B.

C.°4D.(0,1]

【答案】A

【分析】先求出/(x)的定義域，然后由抽象函數(shù)的定義域的求法求解即可.

1

【詳解】因為〃尤)=+，4-x,

x-2>0

由“、八得：2Vx<4,

4-x>0

所以的定義域為:(2,4],

2<2V+1<40<x<l

3

由，3得33,所以:WxWl,

2<-<4-<x<—4

x142

故g(x)=/(2，+)+dj)的定義域為:I-

故選：A

易錯分析：已知函數(shù)於)的定義域為切，求力g(x)]的定義域應(yīng)由aWg(x)C求得.

/(2%)

4.己知函數(shù)/(?的定義域為[3,6],則函數(shù)>=

flogl(2-x)的定義域為(

A.B.2C.D.

*I*P2

【答案】B

【分析】由函數(shù)的定義域得到2元的范圍，根據(jù)分母不為。及被開方數(shù)非負(fù)得到關(guān)于九的不等式，求出不等

式的解集.

【詳解】解：由函數(shù)/(X)的定義域是[3,6],得到臻如6,

3

士觸3

3毅電尤62

故，2-x>0即<2>x

logi(2-x)>01<x<2

2

3

解得：］,,%<2；

所以原函數(shù)的定義域是：|，2I

故選：B.

【點睛】本題考查學(xué)生掌握復(fù)合函數(shù)的定義域，考查了對數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知函數(shù)/(x)的定義域為(2,+8),值域為R,貝|()

A.函數(shù)函(尤2+2)的定義域為R

B.函數(shù)/卜2+2)-2的值域為R

C.函數(shù)/'(尤2+2X+3)的定義域和值域都是R

D.函數(shù)/(，(》))的定義域和值域都是R

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由抽象函數(shù)單調(diào)性的求解，逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】對于A選項：令爐+2>2,可得"0,所以函數(shù)了(丁+2)的定義域為{x|xwO},故A選項錯誤；

對于B選項：因為/(x)的值域為R,f+2>2,所以/(Y+2)的值域為R,可得向下平移兩個單位的函數(shù)

f(x2+2)-2的值域也為R,故B選項正確；

對于C選項：令/+2X+3=(X+1)2+2,得xw-1,所以函數(shù)/(f+2x+3)的定義域為{x|xwT},故c選

項錯誤；

對于D選項：若函數(shù)/(/(x))的值域為R,則/(尤)>2,此時無法判斷其定義域是否為R,故D選項錯誤.

故選：B

6.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)“X)的定義域為[-3,3],則函數(shù)g(司=/匚2)的定義域為.

【答案】[-5,-2)U(-21

【分析】根據(jù)〃尤)的定義域為[-3,3],得到〃x+2)的定義域為[-5』，再由x+2*0求解.

【詳解】解：因為的定義域為-3,3],

貝IJX+2E[-3,3],即九目—5』],

所以/(X+2)的定義域為[-5』，

又無+2w0,

所以函數(shù)g(x)=T；)的定義域為[-5,-2)U(-2,l].

故答案為：[-5,-2)U(-2』

考點02函數(shù)的單調(diào)性

1.函數(shù)/(x)=j3+2x—-的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-oo,l]B.[L+oo)C.[1,3]D.[-1,1]

【答案】D

【分析】先求出/(x)定義域，再利用二次函數(shù)單調(diào)性判斷出結(jié)果.

【詳解】函數(shù)/(x)=j3+2x_f的定義域需要滿足3+2X-弘20,解得了(x)定義域為

因為y=3+2x-V在卜詞上單調(diào)遞增，所以/(x)=，3+2A*在[-1,1]上單調(diào)遞增,

故選：D.

易錯分析：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)先求函數(shù)的定義域，因為單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子

集.

2.函數(shù)>=不一~7的單調(diào)增區(qū)間為()

4+3x-x

A.c.和（4,+s）

【答案】C

【分析】由4+3x-f#0可得xhT且然后求出、=4+3》-必的減區(qū)間即可.

【詳解】由4+3尤一/力0可得XK—1且xw4,

3

因為y=4+3x-Y開口向下，其對稱軸為x=5，

所以y=4+3x-尤2的減區(qū)間為之41口(4,小)

所以y=—~7的單調(diào)增區(qū)間為仁，4〕和(4,+8)

4+3x-x|_2)

故選：c

3.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(2a-l)log“x(。>0且"1)在(0,+s)上單調(diào)遞增，則實數(shù)

。的取值范圍是()

A.(L+8)B.(0,1)

11

C.(-,1)U(1,+?>)D.(O,-)Ud,+^)

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列式求解即得.

fO<a<1fa>11

【詳解】由函數(shù)/(x)=(2a-l)log.x在(0,+⑹上單調(diào)遞增，得.，八或.1八，解得0<“<；或

[2a-l<0[2a-l>02

實數(shù)。的取值范圍是(0,；)U(L小).

故選：D

易錯分析：函數(shù)在（。,+8）上單調(diào)遞增，則函數(shù)一定在區(qū)間Q+⑹上有意義.

4.（24-25高三上?陜西渭南?階段練習(xí)）若函數(shù)〃x）=logo,5（依-巧在區(qū)間（-L。）上單調(diào)遞增，則。的取值

范圍是（）

A.（0,2]B.[—2,0）C.[2,+oo）D.（―°o,—2]

【答案】D

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】由于y=log。/在（。，+8）上單調(diào)遞減,令i=+辦，xe（-l,0）,

因為y=log。/為減函數(shù)，又"X）=logo-5（依--）在區(qū)間（-1,0）上單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，Z=-X2+◎在（—1,0）上單調(diào)遞減，

且好一/+公>0在（—1,。）上恒成立，因為公一尤2+6為二次函數(shù)，開口向下，

對稱軸為彳=晟，由y-Y+巾在（T,0）上單調(diào)遞減，可得解得aV—2,

由/■=+ax>0在（一1,。）上恒成立，即內(nèi)>必，1,0）,

可得a<x在（TO）上恒成立，則a<-l,

綜上，實數(shù)。的取值范圍為

故選：D.

5.（2024.湖北.二模）已知函數(shù)/（"^^（"-）在1+⑹上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

A.（1,+<?）B.[in2,+oo）C.（2,+oo）D.[2,+oo）

【答案】C

【分析】先由題設(shè)條件證明a>2,再驗證a>2時條件滿足即可.

【詳解】若/⑴=log5（優(yōu)-2）在[1,+8）上單調(diào)遞增，

則必然在x=l處有定義，所以"-2>0，即。>2；

若a>2,貝!I當(dāng)時a*-22q-2>0，所以〃x）在[L+°o）上有定義，

再由a>1知"-2在R上單調(diào)遞增，所以/（x）在[1,+⑹上單調(diào)遞增.

故選：C.

6.(24-25高三上?河南許昌?期中)已知函數(shù)/(x)=lg，-4x-5)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

A.(-oo,-l]B.(-co,2]C.[2,+8)D,[5,+00)

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性、結(jié)合對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解作答.

【詳解】由X2-4X-5>0=(X+1)(X-5)>0=X<-1或X>5.

所以函數(shù)/(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(5,+?)上單調(diào)遞增.

又函數(shù)/(x)在(。，內(nèi))上單調(diào)遞增，所以。大5.

即。的取值范圍為：[5,+功.

故選：D

7.(24-25高三上?四川眉山?期中)命題P：〃尤)=[(：+?1叱+?一"一：'一2<尤<一1在％€(-2,2]上為減函數(shù),

lx+2〃x—7,—1WxW2

命題q:g(x)="?在(1,+e)為增函數(shù)，則命題"是命題4的()條件

X-1

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要

【答案】A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)f(x)的單調(diào)性得到不等式得到-5Wa<T,分離常數(shù)后，由g(尤)的單調(diào)性得到a<-4,

結(jié)合集合的包含關(guān)系得到P是4的充分不必要條件.

(a+4)ln(>x+2)工—a—1,_2Vx<_1要在］上單調(diào)遞減,

【詳解】〃x)=LIAT2xe(z-42

-->2

2

則Q+4<0,解得一5?a<T,

q：g(x)=竺土l==a+*在。,+8)為增函數(shù)，貝l]4+a<0,解得a<T,

因為-54a<T是a<T的真子集，故命題P是命題4的充分不必要條件.

故選：A

易錯分析：分析分段函數(shù)的單調(diào)性時要注意兩方面，一是各段的單調(diào)性，二是分段處函數(shù)

值的大小關(guān)系.

8.（24-25高三上?湖南長沙?期末）已知〃x）=1°："）x+L：<l的最小值是〃i）,那么a的取值范圍是（）

.\ogax,x>l

A.看3）B.（0,3）C.（1,3）D.（3,4]

【答案】D

【分析】因為函數(shù)〃尤）有最小值/（I）,所以當(dāng)x<l時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)尤21時，函數(shù)/（x）單調(diào)遞

增，再結(jié)合（3-a）+121og“l(fā),即可解得結(jié)果.

【詳解】因為函數(shù)〃制='一"）"+了<1的最小值是川），

[logax,x>l

所以當(dāng)x<l時，函數(shù)/'（X）單調(diào)遞減，即3-a<0,解得a>3①

當(dāng)xNl時，函數(shù)/（X）單調(diào)遞增，即。>1②

又因最小值為/⑴，得（3-a）+121og“l(fā),解得aV4③，聯(lián)立①②③可得3<aV4.

故選：D

考點03導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1.（24-25高三上?黑龍江?期末）設(shè)函數(shù)〃x）=sin（2x+g],則曲線y=〃x）在卜山處的切線方程為（）

A.2x+2^y+y/3-0B.x+2y—A/3=0

C.x+2y+\/3=0D.2%+2y-石=0

【答案】D

【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，再得出切線的斜率進(jìn)而得出點斜式方程即可.

【詳解】由題意得:（X）=2COS（2X+3^,

于是當(dāng)x=0時，曲線y=f（x）在點口，乎]處的切線斜率為％=y'L,=2cos1=-1,

此時切線方程為y-5=-（x-。），即2x+2y-8=0.

故選:D.

2.過坐標(biāo)原點作曲線y=ei+l的切線，則切線方程為（）

A.丁=尤B.y=2xC.y=\xD.y=

e

【答案】A

【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為9e5+1),求得切線方程為y-(e-2+i)=e-2(xT),把原點(0,0)代入方程，得到

?-l)e”2=l,解得r=2,即可求得切線方程.

【詳解】由函數(shù)y=eT+i,可得y=e-,

設(shè)切點坐標(biāo)為(r,e-2+i),可得切線方程為廣?-2+1)=/2(尤一),

把原點(0,0)代入方程,可得0-(e-2+l)=e-2(0T),即”1對々=1,

解得/=2,所以切線方程為y-(e°+l)=e°(x-2),即丁=工

故選：A.

易錯分析：求曲線的切線方程時要區(qū)分在P點和過P點的切線的不同.

3.(2024.湖南.模擬預(yù)測)曲線y=ln2x在點g,0)處的切線方程為()

A.2x—y+l=0B.2x—y—1=0C.2x—y+2=0D.2x—y—2=0

【答案】B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】由題意，y=ln2x的導(dǎo)函數(shù)y=:，故曲線y=ln2x在點6,0)處的切線斜率為4=2,

貝U切線方程y=2(x-g1=2x-l,即2x-y-l=0,

故選：B.

4.(2024?河北邯鄲?二模)設(shè)函數(shù)=x++的圖像與x軸相交于點尸，則該曲線在點尸處的切線方程

為()

A.>=一九B.y=-x-lC.y=0D.y=x-l

【答案】C

【分析】令/(x)=0可計算出切點坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，即可得解.

【詳解】令X+士=0,即x(x+2)+l=0,即(x+l)2=0,解得x=T,

故P(T。)，加)=1-4，則「(T)=「p^=°，

則其切線方程為：y-f(i)=r(-i)^+i),即y=o.

故選：c.

5.（2023?全國甲卷?高考真題）曲線>=三在點[1,e

處的切線方程為（）

ee_eee3e

A.y=-xB.y=—xC.y=一犬+一D.y=—x+——

424424

【答案】c

【分析】先由切點設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方

程即可求解.

【詳解】設(shè)曲線y=工在點（舟處的切線方程為

x+1k2

因為y=工，

x+1

xex

所以y=

(x+以

所以左=y'

所以y_'|="|（xT）

所以曲線丫=工在點處的切線方程為y=

■x+lI2J44

故選：C

6.（2024?河南信陽?三模）動點P在函數(shù)>=111（4-彳）-111；?:的圖像上，以尸為切點的切線的傾斜角取值范圍

是（）

八兀[「八乃]「3兀、

A.0,—B.0,丁u——,71

[4」L4jL4J

f7137I-I「3兀、

124JL4J

【答案】C

【分析】求出定義域，求導(dǎo)，結(jié)合基本不等式得到y(tǒng)'w-i,求出以尸為切點的切線的傾斜角取值范圍.

[x>0,、

【詳解】令4r>o,解得。。<4,故〉=ln（4—%）—Inx的定義域為（0,4）,

,11-4-41

y~----------------=-------------W-------------------——I

4一%x（4-x）x[4一%+%],當(dāng)且僅當(dāng)4-%=龍，即兀=2時，等號成立，

（TT371

故y'W-l,故以尸為切點的切線的傾斜角取值范圍是J,丁.

故選：c

易錯分析：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時要注意正確應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

7.(2024.貴州六盤水.三模)已知曲線y=f-31nx的一條切線方程為＞=r+旭，則實數(shù)()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

3

【分析】根據(jù)切線的斜率的幾何意義可知川『,=2%-：=T,求出切點，代入切線即可求出加.

【詳解】設(shè)切點為(%,%)

因為切線y=-x+"z,

3

所以==,

九0

3

解得%=1,%=-](舍去)

代入曲線y=Y-31rLY得%=1,

所以切點為(1,1)

代入切線方程可得1=-1+m，解得根=2.

故選：D.

8.(2024?四川宜賓?模擬預(yù)測)若曲線y=e，+a在x=O處的切線也是曲線y=li?的切線，則。=()

A.—2B.1C.—1D.e

【答案】A

【分析】求出了=^+。的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率為1,可得切線方程y=x+l+。，再設(shè)與曲線、=1型相切

的切點為(%,%),求得函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，解方程可得知%的值，進(jìn)

而得到。的值.

【詳解】由曲線y=e，+a,得y'=e，，

在x=0處的切線斜率為1,當(dāng)x=O時，y=l+。，

曲線y=e"+a在％=0處的y—(y+a)=lx(x—0),即y=x+l+a,

曲線，導(dǎo)數(shù)為y=L,

X

設(shè)切點為(%,%),則‘=1,解得毛=1,%=。，切點在切線丫=尤+1+。上，

%

即有0=1+1+〃，得a=—2.

故選：A.

9.已知直線丁=了是曲線/(x)=lnx+。的切線，則。=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.

【詳解】函數(shù)〃x)=lnx+a,求導(dǎo)得廣(x)=],令直線y=x與曲線〃x)=lnx+a相切的切點為(xo，lnxo+a),

1,

于是一=1且=%,所以a=Xo=l.

故選：B

10.(2024.貴州銅仁.模擬預(yù)測)已知定義在R上的函數(shù)〃X)滿足2〃x)=〃T)+6eX,則曲線y=〃”在

點(0,/(0))處的切線方程為.

【答案】2x-y+6=0

【分析】利用方程組法求出函數(shù)解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，由點斜式可得切線方程.

【詳解】因為2"x)=/(f)+6e',所以2/‘a(chǎn))=-_f(T)+6e)

令x=0,得2r(0)=-7'(-0)+6e°,解得1f(0)=2,所以切線斜率為2,

因為2/(x)=/(r)+6e',令x=。，得2〃0)=/(-0)+66°,

解得/(。)=6,所以切點坐標(biāo)為(。,6).

所以尸了⑺在點(0，〃。))處的切線方程為y-6=2(x-0),即2x-y+6=0.

故答案為：2x-y+6=0.

11.(24-25高三上?寧夏石嘴山?階段練習(xí))若直線曠=履+6是曲線〃x)=lnx+2的切線，也是曲線

g(x)=ln(x+l)的切線,則左=.

【答案】2

,11

【分析】設(shè)出兩個切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得%=一=17.將切點代入兩條曲線，聯(lián)立方程可

X]x2+1

分別求得上

【詳解】直線y=Ax+6是曲線〃x)=lnx+2的切線，也是曲線g(x)=ln(x+l)的切線，

則兩個切點都在直線曠=區(qū)+，上，設(shè)兩個切點分別為(占，例+8)，(%，仁+加，

則兩個曲線的導(dǎo)數(shù)分別為＞=工，y=工，

xx+\

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知k=工=」7，則占=%+1,

%x2+l

[kx,+b-Inx,+2,①

且切點在各自曲線上，②

則將玉=彳2+1代入①可得，紅Xj+IH萬=山(馬+1)+2,③

③一②可得左=2,

故答案為：2.

考點04導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

1.函數(shù)/(x)=-lnx+x的遞增區(qū)間是()

A.(-<?,0)o(l,+oo)B.(3,0)和(1,+8)

C.(1,+co)D.(-l,+oo)

【答案】C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求/(元)的遞增區(qū)間.

【詳解】由題設(shè)，/口)=1一2>0且龍€(0,”)，可得X>1,

X

所以/(x)遞增區(qū)間為(I,+8).

故選：C

易錯分析：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時要先求函數(shù)的定義域，再在定義域上求函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)/(x)=g/-in尤的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(1,+℃)D.(0,2)

【答案】B

【分析】求導(dǎo)，解不等式r(無)<。可得.

【詳解】f(x)的定義域為(0,+⑹

解不等式r⑴=尤」=(D(x+D<0,可得0<x<l,

XX

故函數(shù)=一Inx的遞減區(qū)間為(0,1).

故選：B.

3.若函數(shù)f(x)=xlnx-G+1在[e,+8)上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(—8,2)B.(—8,2］C.(2,+oo)D.［2,+co)

【答案】B

【分析】求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)在［e,+8)上恒非負(fù)，根據(jù)恒成立的問題的辦法解決.

【詳解】/'(x)=l+lnx-a,又洋x)在［e,+oo)上單調(diào)遞增,故八x)20在［e,+8)上恒成立,而工e［e,+oo)時,

易見「(?min=2-4,只需要2-々20即可，故。<2.

故選：B.

4.若函數(shù)/(x)=g尤2-91nx在區(qū)間［。-1間上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.1？3B.a>4

C.-2<a<3D.l<a<4

【答案】A

【分析】先求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞減可知/'(x)W0在區(qū)間5-1,0上恒成立，即可由定義域及不等式

求得。的取值范圍.

【詳解】函數(shù)〃x)=gx2-91nx,(x>0).

Q2-Q

則f'(x)=x——=-r----,

XX

因為/(x)在區(qū)間［。-1,a］上單調(diào)遞減，

則/(x)W0在區(qū)間［a-1,a］上恒成立，即V-9W0,

所以0<x<3在區(qū)間5-1,上恒成立,

ftz—1>0

所以1Q<3，解得1<〃？3，

故選：A.

5.若函數(shù)/(x)=lnx+/-2在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實數(shù)〃的取值范圍是(

1

A.(-oo,-2)B.——,4-00C.(-2,+oo)D.(-8,+8)

8

【答案】D

設(shè)8⑺一)/［；/］,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即

【分析】把題意轉(zhuǎn)化為在尤上有解,

可求解.

【詳解】由/(x)=lnx+ax2-2可得:f'(x)=-+2ax.

X

因為函數(shù)/（x）=lnx+辦02在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，

所以/'（x）＞0在上有解，即〃＞_/在上有解.

設(shè)80）=一*"€（：,”,由8'（》）=尸＞0在尤上恒成立，所以g（x）在xe[,1]單調(diào)遞增，所以

g]￡|＜g（x）＜g⑴.

所以a＞g[J=-8.

故選：D

易錯分析：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問題往往要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題處理.

6.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃力=（2/+辦+1,小（。＞0）在一；廠：上存在單調(diào)遞減區(qū)間,

則。的取值范圍為（）

0,gU（8,+=o）

A.（0,l）u（4,+oo）B.（1,4）C.D.r8

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，只需存在區(qū)間上,心1，使得當(dāng)xe[c,d]時，f'（x）＜0,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的零點大小

分a=2,〃＞2和。＜。＜2討論求角軍.

【詳解】由題意得廣（力=（以+。）砂1+（2/+依+l）ae"T=（2x+a）（依+2"小，

1111

要使〃尤）在-于-a上存在單調(diào)遞減區(qū)間，只需存在區(qū)間[c/仁，使得當(dāng)xe[c,d]時，/'（x）＜0,

當(dāng)4=2時，r（x）=4（%+l）2e2^＞0,顯然不存在滿足條件的區(qū)間匕心；

當(dāng)a＞2時,尸（力＜0的解集為-p-1,因為￡＜一1＜一,

所以要使“X）在-彳，-7上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則-4＞-：，解得。＞4：

當(dāng)0＜a＜2時，/（x）W0的解集為V",因為一＜T＜J，

所以要使了⑺在，;，-1上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則-解得0＜"L

綜上，”的取值范圍為（0」）口（4,y）.

故選：A.

V.21

7.若函數(shù)/（工）=了-In%在區(qū)間（九加+§）上不單調(diào)，則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.0<m<—B.—<m<l

33

2

C.—<m<1D.m>l

3

【答案】B

【詳解】首先求出/（X）的定義域和極值點，由題意得極值點在區(qū)間（九四+；）內(nèi)，且機>0,得出關(guān)于m的

不等式組，求解即可.

【分析】函數(shù)/（x）=3-Inx的定義域為（0,+⑹,

且尸(x)=x」1=」X2-1(x+l)(x—1)

XXX

令((%)=0,得％=1,

因為/（X）在區(qū)間（m,機+1）上不單調(diào),

m>0

2

所以<1I,解得：-<w<1

m<\<m+—5

I3

故選：B.

8.若。<玉<%<。都有々1g-%11n^2〈玉-兀2成立，則〃的最大值為（）

A.1B.1C.eD.2e

【答案】B

【分析】將所給不等式轉(zhuǎn)化為上乎<%已，構(gòu)造函數(shù)"x）=@F（x>0）,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

單調(diào)性，由此得出正確的選項.

,_11lax.liix911lux,+1lax9+1

[詳尚牟]根據(jù)題思，右。〈玉〈兄2<〃，貝I/hiX]—x]inx2<玉一々n<n<.

設(shè)J（x）=3+1（%>0）.

X

所以可得〃”=處已（犬>0）在（0,。），函數(shù)/（X）為增函數(shù).

對于y（x）=l!E±l,其導(dǎo)數(shù)尸⑺J一嗎+1）=一卑.

*XX

若/'（x）>0,解得0<x<l,即函數(shù)〃同=電9的遞增區(qū)間為（0,1）；

若。<玉<x?都有々1叫一印nr?<網(wǎng)-%成立，即在（0,a）,函數(shù)為增函數(shù)，則。的最大值為1.

故選：B.

2

9.(24-25高三上?山東煙臺?期末)已知函數(shù)〃x)=alnx+二斤QGR.

⑴若曲線y=/(x)在兄=1處的切線方程為辦-勿+1=0,求實數(shù)的值;

⑵討論函數(shù)/(司的單調(diào)性.

1

fa=na=~2

【答案】⑴、。或/;

也=2b=l_

[2

(2)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合切線方程，列式求解，即得答案.

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的判別式，分類討論，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，即可求得答案.

【詳解】(1)由于〃x)=alnx+—?aeR,貝廳(1)=1,

點(1,1)在or-勿+1=0上，故。-6+1=0；

又「⑺*2

(x+lf，貝廳⑴=。

1

a-b+l=0a=—

6Z—12

貝IJ1a，解得6=2或

Q--

2bb=-

2

(2)由題意得的定義域為(0,+s),

2ax2+2(^a-l)x+a

貝?"%)=三—

(x+1)2x(x+l)2

令g(%)="2+2(?-l)x+a,XG(0,+a)),

當(dāng)aW0時,g(x)<0即/'(x)<0,所以在(0,+8)上單調(diào)遞減;

當(dāng)〃>0時,△=4(a-1)2—4/=4(1-2々),

當(dāng)〃2;時,

A<0,/.g(x)>0,/(x)>0,則/(力在(0,+oo)上單調(diào)遞增;

1-〃+J1—2〃

當(dāng)0<a<5時，A>0,g(x)=+2(a—l)x+a=0的根為&=------------------

aa

由于(1—a)—(1—2a)=/>0,1—a>0,1—2a>0,/.1-q>Jl-2a,即玉>。,馬〉。，

當(dāng)XJ0,匕佇正句］或Xe［三士E句,+/時，八X)>0,

/(x)在1,匕佇盧互］和，,+［上單調(diào)遞增；

當(dāng)xJ1“一^^,1一a+時,廣⑺<0,

、aaJ

?/、，(1-a—J1—2a1—a+Jl—2a),“、E、”、。

fx在-----------,------------上單調(diào)遞減；

aa

綜上，當(dāng)aVO時，/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減;

1—a+y/1—2a］匚品、陽、孑4?吊

當(dāng)。<°<,時，/(%)在0,

和------------------,+8上單調(diào)遞增,

2、Ia)

.(1—a—yJl—2a1-a+J1-2L)品、由、,竹

在------------,------------上單調(diào)遞減.

［aa,

當(dāng)a'g時，/(元)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

考點05導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值

1.(24-25高三上?北京海淀?期末)設(shè)函數(shù)/⑺=(x+a)(x-l)2,則“a=-1”是“/(x)沒有極值點”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點的意義，及充分條件、必要條件的定義判斷得解.

【詳解】函數(shù)/(x)=(x+a)(x-l)2,求導(dǎo)得廣(x)=(x-l)2+2(x+o)(x-l)=(x-D(3x+2o-l),

當(dāng)。=-1時，/'(x)=3(x-l)2>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號，則/(尤)在R上單調(diào)遞增，無極值點；

若/Q)沒有極值點，則:(x)沒有變號零點，因此-1-24=1,解得。=-1,

所以“。=-1”是“/(X)沒有極值點”的充分必要條件.

故選：C

2.(24-25高三上?江蘇常州?期末)若函數(shù)/(x)=；-辦2+(2/一4卜一3在x=2處取得極小值，則實數(shù)“=()

A.-2B.2C.2或0D.0

【答案】D

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)極小值點求參數(shù)，注意驗證即可得答案.

【詳解】由/'(x)=V-2依+2/-4,則/'(2)=2片-44=0,得。=0或2,

。=2時，/,(^)=X2-4X+4=U-2)2>0,在R上單調(diào)遞增，不滿足；

。=0時，/(J;)=X2-4,在(T?,—2),(2,+OO)上/(％)>0,在(-2,2)上尸(久)<0,

所以/⑺在(-*-2),(2,E)上單調(diào)遞增，在(-2,2)上單調(diào)遞減，滿足題設(shè)，

所以a=0.

故選：D

易錯分析：已知函數(shù)的極值(點)求參數(shù)要注意函數(shù)極值點其本質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)折

點，對于可導(dǎo)函數(shù)而言，極值點處導(dǎo)數(shù)為零且兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號相反.

3.(2024?河北?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(x)=(x-a)sink，若存在與使得/既是/'(x)的零點，也是/'(x)的極值

點，則。的可能取值為()

A.0B.占C.兀D.7i2

【答案】B

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后，令導(dǎo)數(shù)為零，討論方程的根，再根據(jù)零點的定義即可求值.

【詳解】由/"(X)=(x-a)sin辦，得/''(彳)=5111"+(依-。2)(：0$辦，

令/(%o)-(%一。)sinax0=0,貝lj%=a或sinax0=0,

2

當(dāng)/=。時，由/\x0)=sinax0+(ax0-a)cosax0=0,得sin/=0，

所以〃2=kn(kGN),貝Ua=GN)

r22

當(dāng)sinax0=0時，由f(x0)=sinax0+(axQ-a)cosax0=0,得(ax。-a)cosax0=0,

由COSQ/WO,得a=0或%=。，

當(dāng)a=0時，/。)=。不存在極值點，

當(dāng)天=a時，得a=尿H(kGN),

綜上，a=GN),

所以當(dāng)左=1時，a=五.

故選：B

4.函數(shù)〃元)=幻11%-履2-a在定義域內(nèi)有兩個極值點，則實數(shù)4的取值范圍為()

ab

--10°3c［娟口.［。,曰

【答案】D

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)極值分析可得y=2左與g(x)=U竺有2個變號交點，對g(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單

X

調(diào)性和最值，結(jié)合g(x)的圖象分析求解.

【詳解】因為“X)的定義域為(0,+8),且-(x)=lnx-2辰，

令尸(x)=0,可得2人=皿，

X

由題意可知y=2左與g(無)=叱有2個變號交點，

X

貝i］g<x)=W^，

令g'(x)>0，解得0<x<e；令g'(無)<0,解得了>e；

可知g(x)在(0,e)內(nèi)單調(diào)遞增，在(e,+s)內(nèi)單調(diào)遞減，

可得g(x)Wg(e)=L且當(dāng)x趨近于0,g(x)趨近于-oo,當(dāng)x趨近于+8,g(x)趨近于0,

e

可得g(x)的圖象，如圖所示：

故選：D.

5.(2024.陜西西安.模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃x)=21nx+gx2-3x有極值點在閉區(qū)間g+2］上，貝心的取值范

圍為(),

A.[-1,2]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,1]

【答案】A

【分析】對“X）求導(dǎo)，求出〃尤）的單調(diào)性和極值，可得Y1V/+2或云2V/+2,解不等式即可得出答案.

【詳解】因為/⑺=2hu+白2-3元的定義域為（0,+8）,

所以/，（X）=Z+X_3=X2-3X+2=（X-1）（X-2）,

XXX

令/'（%）>0,角畢得：冗>2或0<兄<1,

令/'（%）V0,解得：l<x<2,

所以/（x）在（1,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）,（0,1）上單調(diào)遞增,

所以尤=1為〃x）的極大值點，x=2為/（X）的極小值點，

所以rvivr+2或區(qū)2V/+2,

解得：一1W/W1或0W2.

所以/的取值范圍為：[-1,2].

故選：A.

6.（2024.廣西.二模）已知x=0是函數(shù)4%）=/（九一。）的極小值點，則〃的取值范圍為（）

3

A.（』0）B.C.（0,+8）D.—,+00

f號2

【答案】A

【分析】根據(jù)極小值的定義，在1=0的左側(cè)函數(shù)遞減，右側(cè)函數(shù)遞增可得.

【詳解】由已矢口/（X）=/一a/,「（無）=3/一2。