專題12概率

目錄

易錯點01混淆互斥、對立、獨立事件的概念

易錯點02混淆“有放回”與“不放回”致錯

易錯點03古典概型問題忽略“等可能性”

易錯點04對條件概率理解不透徹致錯

易錯點01：混淆互斥、對立'獨立事件的概念

易錯陷阱與避錯攻略

典例(2024?上海虹口?一模)已知事件A和事件B滿足AB=0,則下列說法正確的是().

A.事件A和事件8獨立B.事件A和事件8互斥

C.事件A和事件8對立D.事件彳和事件8互斥

【答案】B

【分析】根據互斥事件、相互獨立事件的定義判斷即可.

【詳解】因為事件A和事件8滿足AB=0,則一定可以得到事件A和事件8互斥，但不一定對立，故B

正確，C錯誤；

因為尸(45)=0,當P(A),P(B)不為0時，事件A和事件B不獨立，故A錯誤；

拋擲一枚骰子，記出現1點為事件A,出現2點為事件8,

則無={2,3,4,5,6},方={1,3,4,5,6},顯然事件?和事件月不互斥，故D錯誤.

故選：B

【易錯剖析】

本題容易混淆互斥事件、對立事件和相互獨立事件的概率而出錯.

【避錯攻略】

1.互斥事件與對立事件

(1)互斥事件：在一次試驗中，事件A和事件3不能同時發生，即AB=0,則稱事件A與事件3互

斥，可用韋恩圖表示如下:

如果4，4,…，4中任何兩個都不可能同時發生，那么就說事件4，.4.，…，4彼此互斥.

(2)對立事件：若事件A和事件3在任何一次實驗中有且只有一個發生，即A.3不發生,

A3=0則稱事件A和事件3互為對立事件，事件A的對立事件記為X.

【解讀】互斥事件與對立事件的關系

①互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者

之一必須有一個發生.

②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充

分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件.

2、相互獨立事件的概念

(1)對于兩個事件A,B,如果尸(3|A)=P(3),則意味著事件A的發生不影響事件8發生的概率.設

P(A)>0,根據條件概率的計算公式，P(3)=P(B|A)=￡52,從而p(AB)=P(A)P(B).

P(A)

由此可得：設A,5為兩個事件，若P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件8相互獨立.

(2)相互獨立事件的性質：如果事件A,3互相獨立，那么A與月，Z與3,Z與否也都相互獨立.

兩個事件的相互獨立性的推廣：兩個事件的相互獨立性可以推廣到〃(">2,〃eN*)個事件的相互獨立性,

即若事件A，4，…，A"相互獨立，則這〃個事件同時發生的概率尸(A44)=P(A)(4)p(4).

易錯提醒：(1)判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發生的兩個事件為互斥事件；兩個事

件，若有且僅有一個發生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.

(2)互斥事件與相互獨立事件的相同點與不同點：①相同點：二者都是描述兩個事件間的關系；

②不同點：互斥事件強調兩事件不可能同時發生，即P(AB)=O,相互獨立事件則強調一個事件的發生與否

對另一個事件發生的概率沒有影響.

舉一反三

1.(24-25高三上?上海?期中)拋擲一枚質地均勻的骰子一次，記事件A：“出現偶數點”，事件8：“出現3點

或4點”，則事件A與事件8的關系為()

A.是相互獨立事件，不是互斥事件B.是互斥事件，不是相互獨立事件

C.既是相互獨立事件又是互斥事件D.既不是互斥事件也不是相互獨立事件

2.（24-25高二上?湖北?期中）一個不透明的盒子中裝有大小和質地都相同的編號分別為1,2,3,4,5,6

的6個小球，從中任意摸出兩個球.設事件4="摸出的兩個球的編號之和不超過6"，事件4="摸出的兩

個球的編號都大于3”，事件4="摸出的兩個球中有編號為4的球”，則（）

A.事件4與事件4是相互獨立事件B.事件4與事件A是對立事件

c.事件A口4與事件A是互斥事件D.事件ACA3與事件是互斥事件

3.（24-25高三上?江蘇南京?期中）有6個相同的球，分別標有數字1,2,3,4,5,6,從中不放回地隨機

取兩次，事件A表示“第一次取出的球的數字是偶數”，事件8表示“第二次取出的球的數字是奇數”，事件C

表示“兩次取出的球的數字之和是偶數”，則（）

A.A與B為互斥事件B.B與C相互獨立

32

C.P（A+B）=-D.P（C\B）=-

＞易錯題通關.

1.（24-25高三上?上海黃浦?期末）擲一顆質地均勻的骰子，觀察朝上面的點數.設事件E：點數是奇數,

事件尸：點數是偶數，事件G：點數是3的倍數，事件點數是4.下列每對事件中，不是互斥事件的

為（）

A.E與FB.F與GC.E與HD.G與H

2.（2024?全國.模擬預測）分別擲兩枚質地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件A,“第二枚為正面”記

為事件8,“兩枚結果相同”記為事件C,那么事件A與8,A與C間的關系是（）

A.A與B,A與C均相互獨立B.A與B相互獨立，A與C互斥

C.A與B,A與C均互斥D.4與B互斥，4與C相互獨立

3.（24-25高三上?上海?開學考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，有如下的一些

事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥

而非對立的事件是（）

A.①B.①②C.②③D.①②③

4.（24-25高三上?上海楊浦?期末）已知P（AP（司=g,P（B）=:,則事件A與3的關系是（）

A.A與8互斥不對立B.A與8對立

C.A與B相互獨立D.A與8既互斥又獨立

5.（2024.江蘇.二模）隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運動的參與人數有了突飛猛進的提升.某校為提升

學生的綜合素養、大力推廣冰雪運動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運動的主力軍”，開設了“陸地冰

壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運動體驗課程.甲、乙兩名同學各自從中任意挑選兩門課程學習，

設事件A="甲乙兩人所選課程恰有一門相同"，事件B="甲乙兩人所選課程完全不同"，事件C="甲乙兩人

均未選擇陸地冰壺課程”，則（）

A.A與8為對立事件B.A與C互斥

C.A與C相互獨立D.8與C相互獨立

6.（24-25高三上?上海?期中）對于一個古典概型的樣本空間Q和事件A、B、C、。，其中〃（。）=60,A）=30,

“（3）=10,M（C）=20,n（Z＞）=30,〃（AuB）=40,〃（AcC）=10,〃（AuO）=60,則（）（注：n（A）

表示集合A的元素個數）

A.A與B不互斥B.A與。互斥但不對立

C.C與。互斥D.A與C相互獨立

易錯點02:混淆“有放回”與“不放回”致錯

，易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?天津南開?期中）從兩名男生（記為耳和鳥）、兩名女生（記為G1和GQ中任意抽取

兩人，分別采取不放回簡單隨機抽樣和有放回簡單隨機抽樣.在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男

生一女生的概率分別為（）

21r11-12_11

A.一,—B.一C.一,—D.—,一

32462364

【答案】A

【分析】分別寫出樣本空間，利用古典概型的概率計算公式求解.

【詳解】從兩名男生（記為耳和鳥）、兩名女生（記為G1和GQ中任意抽取兩人，

記事件A="抽到的兩人是一男生一女生”，

在無放回簡單隨機抽樣方式下的樣本空間為：

（Gj,G2）,（G2,Bi）,（G2,B2）,（G2,Gj

共12個樣本點，

其中4=｛（46）,（綜&），（與，5）,但0，（@，4）,（仇與）,（&，4），（62，名）｝有8個樣本點，所以

在有放回簡單隨機抽樣方式下的樣本空間為：

。2=｛（耳，4）,（4，4），（4,5）,（g6）,（5中）,（凡也）,出《）,出@）,（。閏）,（5，4），

（G，G）,（GG）,（G2,4）,（G，32），（G2，GJ,（G2，G2）｝共16個樣本點，

其中4=｛（46）,（4，&），但，5）,（氏62），3,4）,（仇華），（&，4），（62，田）｝有8個樣本點，所以

P（A）=—=-.

162

故選：A.

【易錯剖析】

本題求解時容易混淆“有放回”和“無放回”的區別而出錯.

【避錯攻略】

1.定義和操作方式

<1）無放回抽取：每次抽取后，抽出的元素不再放回原處。例如，如果有10個元素，第一次抽取后

剩下9個，第二次抽取時只剩下9個元素可供選擇。

（2）有放回抽取：每次抽取后，元素仍然放回原處，攪拌均勻后再進行下一次抽取。這樣，每次抽取

時元素總數保持不變和概率不變。

2.概率模型和應用場景

（1）無放回抽取：適用于超幾何分布，主要用于處理總體中成功與失敗的獨立事件，如抽獎活動中獎

概率等。

（2）有放回抽取：適用于二項分布，常用于重復獨立試驗的情況，如多次投擲硬幣、多次獨立試驗等。

3.數學表達和計算方法

<1）無放回抽取：計算概率時需要考慮元素的順序和組合數。例如，從〃個元素中抽取根個元素的組

合數為

（2）有放回抽取：每次抽取是相互獨立的，因此可以直接使用二項分布公式進行計算，即Pgk）=

binom（n,p,k）,其中〃是試驗次數，p是成功的概率，發是成功的次數。

易錯提醒：在處理與抽樣有關的概率問題時要區分“有放回抽取”和“無放回抽取”的不同，有放回抽取

時每一次抽取背景是一樣的，即總體個數不變概率不變；無放回抽取時每一次抽取背景是變化的，即總體

個數要變，概率也變.

舉一反三

1.（2024?四川宜賓?一模）從標有1,2,3,4,5,6的六張卡片中無放回隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡

片數字之積是3的倍數的概率為（）

2.（24-25高三上?浙江?期中）某袋子中有大小相同的4個白球和2個紅球，甲乙兩人先后依次從袋中不放

回取球，每次取1球，先取到紅球者獲勝，則甲獲勝的概率（）

A.AB.1C.之D.2

15553

3.（2024?上海徐匯?一模）一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和5個黑球，這些球除顏色外均相同.每次

將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色后再放回盒子.經過重復摸球足夠多次試驗后發現，摸到黑球的

頻率穩定在0.1左右，則據此估計盒子中紅球的個數約為（）

A.40個B.45個C.50個D.55個

?易錯題通關一

1.（24-25高三上?專題訓練）從甲袋中隨機摸出1個球是紅球的概率是g,從乙袋中隨機摸出1個球是紅

球的概率是白，從兩袋中有放回的各摸兩次球且每次摸出一個球，則!是（）

/n

A.4個球不都是紅球的概率B.4個球都是紅球的概率

C.4個球中恰有3個紅球的概率D.4個球中恰有1個紅球的概率

2.（23-24高二下?江蘇蘇州?期末）在一個口袋中裝有大小和質地均相同的5個白球和3個黃球，第一次從

中隨機摸出一個球，觀察其顏色后放回，同時在袋中加入兩個與所取球完全相同的球，第二次再從中隨機

摸出一個球，則此次摸出的是黃球的概率為（）

A.—B.-C.-D.1

16852

3.（24-25高三?上海?隨堂練習）盒中有。個紅球，b個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，

并加上同色球c個，再從盒中第二次抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率為（）

a+b+c

b

a+b+c

4.（24-25高三上?江西贛州?階段練習）從1,2,3,4,5這5個數字中每次隨機取出一個數字，取出后放

回，連續取兩次，至少有一個是奇數的概率為（）

.6c12r21

A.—B.—C.—D.—

2525525

5.（2024高三.全國?專題練習）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回地隨機抽取2張，則抽

到的2張卡片上的數字之和是5的倍數的概率為（）

A.

6.（2024高三?全國?專題練習）口袋中有質地、大小完全相同的5個球，編號分別為1,2,3,4,5,甲、

乙兩人玩一種游戲：甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為

偶數算甲贏，否則算乙贏.

（1）求甲、乙兩人摸出的兩個球編號之和為6的概率；

（2）這種游戲規則公平嗎？試說明理由.

7.袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚，從中任取2枚棋子都是白色的概率為現有甲、乙兩人從袋中

7

輪流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，....，取后均不放回，直到有一人取到白棋即終止.每

枚棋子在每一次被摸出的機會都是等可能的.用X表示取棋子終止時所需的取棋子的次數.

（1）求隨機變量X的概率分布列和數學期望E（X）；

（2）求甲竭白棋的概率.

易錯點03：古典概型問題忽略“等可能性”

，易錯陷阱與避錯攻略

【典例】（2025全國高三專題訓練）甲乙兩人進行一場抽卡游戲，規則如下：有編號1,2,3,4,5,6,7的

卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號之和等于12或者所

有卡片被抽完時，游戲結束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時，恰好游戲結束的概率是.

29

【答案】茄

【解析】根據題意可知甲抽了3張卡片時，恰好游戲結束相當于從7張卡片中抽取了5張，

且甲抽取的三張卡片數字之和為12,乙抽取的兩張卡片數字之和不為12；

總的情況相當于從7張卡片中抽取了5張并進行全排列，即共A；種排法;

其中三張卡片數字之和為12的組合有1,4,7；1,5,6；2,3,7；2,4,6；3,4,5共5種情況;

當甲抽取的數字為1,4,7；1,5,6；2,3,7；3,4,5時，

乙在剩余的4個數字中隨意抽取兩張卡片再進行排列，共有4A；A：種；

當甲抽取的數字為2,4,6時，

若乙抽取的兩張卡片數字可能為5,7,此時不合題意，此時共有A；（A；-A；）種；

所以符合題意的排列總數為4A；A：+A；（A：-A；）種，

可得所求概率為尸=4A〉+A；（儲AL4X6X12+6X10.58?里.

A；7x6x5x4x37x5x4x3210

29

故答案為：而

【易錯剖析】

在處理古典概型問題時一定要注意基本事件的等可能性，否則容易誤用古典概型概率公式而出錯.

【避錯攻略】

1.古典概型的定義

一般地，若試驗E具有以下特征：

①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

②等可能性：每個樣本點發生的可能性相等.

稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

2.古典概型的概率公式

一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間。包含〃個樣本點，事件A包含其中的左個樣本點，則定義

事件A的概率尸（匈=：=居.

3.古典概型解題步驟

（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

（2）判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A；

（3）分別求出基本事件的個數〃與所求事件A中所包含的基本事件個數加；

,八到中八一5八A包含的基本事件的個數卡山事人“依如如

（4）利用公式P（A）=——甘一擊二田乂站——求出事件A的概率.

基本事件的總數

易錯提醒：在解決這類問題時，首要步驟是確認試驗是否符合古典概型的特征。隨后，關鍵在于構建樣本

空間，這一過程中需特別注意兩點：一是樣本中的元素是否存在順序性，因為順序的不同會構成不同的樣

本空間；二是取樣時是否允許元素重復，即取樣是放回還是不放回，這直接決定了樣本中元素是否可以重

復出現。明確了這兩點后，就可以計算出樣本空間的總樣本點數量，以及所求事件對應的樣本點數量，最

后利用古典概型的概率計算公式，得出所求事件的概率。

舉一反三

1.（2024?山東日照?三模）從標有1,2,3,4,5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出

現重復編號卡片的概率是（）

2.（2024?廣東廣州?模擬預測）一個盒子里裝有3個黑球，2個白球，它們除顏色外完全相同.現每次從袋

中不放回地隨機取出一個球，記事件4表示“第左次取出的球是黑球"，％=L2,3,則下列結論不正確的是（

3

A.尸(44)=歷

C.P⑷A)=§

3.（2024?全國?高考真題）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6,從中無放回地隨機取3次，

每次取1個球.記加為前兩次取出的球上數字的平均值，〃為取出的三個球上數字的平均值，則加與〃之差

的絕對值不大于g的概率為.

＞易錯題通關

1.（24-25高三上?江蘇連云港?期末）已知在8個電子元件中，有2個次品，6個合格品，每次任取一個測

試，測試完后不再放回，直到2個次品都找到為止，則經過3次測試恰好將2個次品全部找出的概率為（）

A.—B.—C.-D.—

2814756

2.（2025高三上?專題訓練）從兩名男生和兩名女生中任意抽取兩人，分別采取有放回簡單隨機抽樣和不

放回簡單隨機抽樣，在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人都是女生的概率分別為（）

A.1B.-C.L-D.-

42264664

3.（2024.全國?模擬預測）4個產品中有3個正品，1個次品.現每次取出1個做檢查（檢查完后不再放回），

直到次品被找到為止，則經過3次檢查恰好將次品找到的概率是（）

A.—B.-C.gD.一

4324

4.（2024?廣東佛山?模擬預測）在《周易》中，長橫“■■”表示陽爻，兩個短橫“■■”表示陰爻.有放回

地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有23=8種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，

四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放

回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，

得到六爻，然后對應不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是

（）

E.均不是

5.（2024?廣西.模擬預測）每次從0?9這10個數字中隨機取一個數字（取后放回），連續取“次，依次

得到〃個數字組成的數字序列.若使該序列中的數字。至少出現一次的概率不小于0.9,則n的最小值是（）

（參考數據1g9a0.954）

A.23B.22C.21D.20

6.（24-25高二上?北京平谷?階段練習）從1,2,3,4,5這5個數字中不放回地任取兩個數，則兩個數都

是奇數的概率是.

7.（24-25高三上?廣西貴港?開學考試）甲、乙玩一個游戲，游戲規則如下：一個盒子中裝有標號為123,4,5,6

的6個大小質地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機取一個球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機

取一個球，比較小球上的數字，數字更大者得1分，數字更小者得0分，以此規律，直至小球全部取完，

總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為.

8.（24-25高三上?天津?階段練習）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選

的概率為—；從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的

數字之積是4的倍數的概率為一.

9.（2024?浙江寧波?一模）一個盒子中裝有標號為1,2,3,4,5的五個大小質地完全相同的小球.甲、乙

兩人玩游戲，規則如下：第一輪，甲先從盒子中不放回地隨機取兩個球，乙接著從盒子中不放回地隨機取

一個球，若甲抽取的兩個小球數字之和大于乙抽取的小球數字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、

乙從盒子中剩余的兩個球中依次不放回地隨機取一個球，若甲抽取的小球數字大于乙抽取的小球數字，則

甲得1分，否則甲不得分.則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為.

易錯點04：對條件概率理解不透徹致錯

，易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高二上?遼寧?期末）某高中為了解學生的肥胖是否與經常飲用碳酸飲料有關，現對400名高二

學生進行了問卷調查，學生飲用碳酸飲料的統計結果如下：學校有;的學生每天飲用碳酸飲料不低于500

4

12

毫升，這些學生的肥胖率為每天飲用碳酸飲料低于500毫升的學生的肥胖率為|■.若從該中學高二的學

生中任意抽取一名學生，則該學生肥胖的概率為（）

A.-B.4C.-D.—

42412

【答案】A

【分析】設相應事件,根據題意利用全概率公式運算求解即可.

【詳解】設“學生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升”為事件4則尸（A）=；,P（A）=|,

設“學生肥胖”為事件2,則「（2|A）=g,P（B|A）=|,

由全概率公式可得P(B)=尸(A)P(網力+P(可尸(BH)=；x；+[xg=；,

所以若從該中學高二的學生中任意抽取一名學生，則該學生肥胖的概率為]

4

故選：A

【易錯剖析】

本題容易混淆“交事件概率”與“條件概率”的區別而致錯.

【避錯攻略】

1、條件概率

(1)條件概率的定義：一般地，設A,B為兩個事件，且尸(A)>0,稱P(0A)=￡幽為在事件A發

生的條件下，事件3發生的條件概率.

(2)條件概率的性質

①條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在0和1之間，即04P(B|A)V1.

②必然事件的條件概率為11不可能事件的條件概率為0.

③如果3與C互斥,則尸(3C|A)=P(B|A)+P(C|A).

2、全概率公式

(1)全概率公式：P(B)=尸(A)P(B|A)+P(A)P(B\A)；

(2)若樣本空間。中的事件A，&,…，人滿足：

①任意兩個事件均互斥，即44=0,i,j=l,2,,n,j；

②A+4+-+=Q；

③尸⑷>0,i=l,2,,n.

則對。中的任意事件B,都有8=陰+%++網,，且

P(B)=XP(BAi)=J尸⑷尸(B|A).

i=lt=l

3、貝葉斯公式

(1)一般地，當0<P(A)<l且尸(8)>0時，有尸(4出)=P(A)P('I")=------P(A)P(叱)----一

1P(B)P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)

(2)定理2若樣本空間。中的事件A，4，，4滿足:

①任意兩個事件均互斥，即44=0，i，j=l，2,,n,i4j；

②4+4+,+A=。；

③0〈尸⑷<1,i=l,2,,n.

則對。中的任意概率非零的事件3,都有8=陰+%++%，

且尸（4忸）=R4）尸網4）="⑻⑶

P（B）/⑷尸網A）

i=l

易錯提醒：解決條件概率問題的步驟

第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現“已知””在……前提下”等字眼，一般為條件概率.題

目中若沒有出現上述字眼，但已知事件的出現影響所求事件的概率時，也需注意是否為條件概率.若為條

件概率，則進行第二步.

第二步，計算概率，這里有兩種思路:

縮減樣本空間法計算條件概率，如求可分別求出事件氏包

思路一

含的基本事件的個數，再利用公式尸（A|B）—嘿計算

直接利用公式計算條件概率，即先分別計算出尸a而，p⑦,再利用公

思路二

式尸⑷3）—簫1計算

叁舉一反三

32

1.（2025高三?全國?專題練習）已知甲、乙去北京旅游的概率分別為I，y,甲、乙兩人中至少有一人去

北京旅游的概率為且甲是否去北京旅游對乙去北京旅游有一定影響，則在乙不去北京的前提下，甲去

O

北京旅游的概率為（）

A,-B,-C,-D.1

7532

2.（24-25高三上?天津河東?期末）某廠產品有70%的產品不需要調試就可以出廠上市，另30%的產品經過

調試以后有80%能出廠，則該廠產品能出廠的概率；任取一出廠產品，求未經調試的概率.

3.（24-25高