專題16解答壓軸幾何綜合題

一、解答題

1.（2024.廣東深圳?統考中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個

頂點作關于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中

點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”.

圖1圖2

圖3圖3備用圖

（1）如圖1所示，四邊形ABCD為“垂中平行四邊形"，AF=5CE=2,則AE=

；AB=；

（2）如圖2,若四邊形ABC。為“垂中平行四邊形"，且=猜想A尸與CD的關

系，并說明理由；

（3）①如圖3所示，在中，BE=5,CE=2AE=12,班，AC交AC于點E,

請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點A在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提

示：不限作圖工具）；

②若一ABC關于直線AC對稱得到VAB'C，連接CB',作射線CB'交①中所畫平行四邊形

的邊于點P,連接PE,請直接寫出PE的值.

2.（2023?廣東深圳?統考中考真題）（1）如圖，在矩形ABCD中，E為A￡＞邊上一點，連

接BE,

①若BE=BC,過C作5,6￡交助于點r，求證：AABEdFCB；

②若S矩形4BC。=2°時，則BECF=.

D

E

A

(2)如圖，在菱形ABC。中，cosA=-,過C作CE1A6交A5的延長線于點E,過E

3

作EF_ZAD交AD于點產，若S菱形"CD=24時，求EF-5C的值.

(3)如圖，在平行四邊形A6CD中，ZA=60°,AB=6,">=5,點E在上，且CE=2,

點p為上一點，連接所，過E作EG,即交平行四邊形ABC。的邊于點G,若

￡R46=7班時，請直接寫出47的長.

備用圖

3.(2022?廣東深圳?統考中考真題)(1)【探究發現】如圖①所示，在正方形ABCD中，E

為A。邊上一點，將ZkAEB沿班翻折到，5EF處，延長所交CD邊于G點.求證：

△BFG學4BCG

(2)【類比遷移】如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD=8,AB=6,將

AAEB沿BE翻折到aBEF處，延長所交邊于點G,延長BF交CD邊于點H,且

FH=CH,求AE的長.

圖②

(3)【拓展應用】如圖③，在菱形ABCD中，E為。。邊上三等分點，40=60。,將ADE

沿AE翻折得到AAFE,直線E產交于點P,求CP的長.

備用1備用2

4.(2024?廣東深圳?鹽田區一模)如圖，等腰RtZkABC中，ZACB=90°,AC=3C,點

D為BC邊上一點,。石，人。于點石，延長3E交AC于點

AA

備用圖

AC2

（1）求證:

ED~CD-

（2）當即平分/AEC時，求——的值；

DC

AF

（3）當點。為5c的三等分點時，請直接寫出一的值.

FC

5.（2024?廣東深圳?福田區三模）【初步探究】

如圖1,四邊形ABCD是矩形，點尸是平面內任一點，則下列結論成立的是（）

BC

A.PA+PD=PB+PC；B.PA+PC=PB+PD

C.PA2+PD2PB2+PC2;D.PA2+PC2=PB2+PD2

【深入探究】

如圖2,正方形ABC。的邊長為4,,6的半徑為2,點P是‘B上一動點，連接Q4,PC,

PD,設F4=x,PC=y.（如有需要，可直接使用（1）中你所得的結論）

備用圖

①求％y2的最小值;

②直接寫出|x-y|的最大值，并直接寫出此時的長.

6.(2024?廣東深圳-33校聯考二模)在學習圖形的旋轉時，創新小組同學們借助三角形和菱

形感受旋轉帶來圖形變化規律和性質.

【操作探究】

(1)如圖1,已知JSC,NC=90，將一ABC繞著直角邊AC中點G旋轉，得到DEF，

當印的頂點。恰好落在的斜邊AB上時，斜邊OE與AC交于點巴

①猜想：ZADC=

②證明：—DGH?ADH.

【問題解決】

(2)在(1)的條件下，已知AC=4,BC=3,求C”的長.

【拓展提升】

(3)如圖2,在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,將菱形ABC。繞著A5中點M順時

針旋轉，得到菱形EFGH,當菱形EFGH的頂點E分別恰好落在菱形ABCD的AD邊和

對角線上時，菱形EFGH的邊與邊相交于點N,請直接寫出的長.

圖2番用圖

7.(2024?廣東深圳-33校聯考一模)在矩形ABCD中，點E是射線5c上一動點，連接AE,

過點2作8AE于點G,交直線8于點足

H

（1）當矩形ABCD是正方形時，以點尸為直角頂點在正方形ABC。的外部作等腰直角三

角形CFH,連接

①如圖1,若點E在線段5C上，則線段AE與EH之間的數量關系是，位置關系

是；

②如圖2,若點E在線段5C的延長線上，①中的結論還成立嗎？如果成立，請給予證明；

如果不成立，請說明理由；

（2）如圖3,若點E在線段5C上，以3E和防為鄰邊作「班*,聞是9中點，連接

GM,AB=3,BC=2,求GM的最小值.

8.（2024?廣東深圳?南山區一模）如圖1,在等腰三角形ABC中，ZA=90°,AB=AC,

點。、E分別在邊ABAC上，A￡）=AE,連接3E,點/，N,P分別為DE,BE,BC

的中點.

圖2

（1）觀察猜想:

圖1中，線段與NP的數量關系是,NMVP的大小是

（2）探究證明:

把VADE繞點A順時針方向旋轉到圖2的位置，連接MP、BD、CE,判斷△MNP的形

狀，試說明理由;

（3）拓展延伸:

把VADE繞點A在平面內自由旋轉，若AZ）=1,AB=3,請直接寫出△感?面積的最大

值.

9.（2024?廣東深圳?寶安區二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,5。交于點。,

過點A作的垂線，垂足為點E,延長到點歹，使CF=BE,連接OR.

BECI

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

（2）連接OE,若BD=8,AC=4,求cos/BOE.

10.（2024?廣東深圳?寶安區二模）（1）【問題探究】如圖1,正方形ABCD中，點RG分

別在邊5C、CD±,且”_LBG于點尸，求證：AF=BG；

（2）【知識遷移】如圖2,矩形ABCD中，AB=4,BC=8,點E、RG、H分別在邊A3、

BC、CD、A￡>上，且于點P.若￡GH/=48,求彼的長；

（3）【拓展應用】如圖3,在菱形ABCD中，NA6c=60°,AB=9,點E在直線A5上，

BE=6,A產，DE交直線于點尺請直接寫出線段bC的長.

AD

11.（2024?廣東深圳?寶安區三模）如圖1.四邊形ABC。、CEGb都是矩形，點G在AC

上，且——=—,A6=6,=8,小李將矩形CEGF繞點C順時針轉a°（0<a<360）,

AC2

如圖2所示：

（1）①他發現——的值始終不變，請你幫他計算出一的值二

②在旋轉過程中，當點8、E、F在同一條直線上時，求出AG的長度是多少?

（2）如圖3,_ABC中，AB=AC=非，ZBAC=a0,tanZABC=-,G為的

2

中點，點。為平面內的一個動點.且。G=好，將線段3。繞點。逆時針旋轉a。，得到

5

DB'，則四邊形BACB'的面積的最大值為

12.（2024?廣東深圳?福田區二模）問題探究：如圖1,在正方形點E,Q分別在

邊BC,ABk,。。，4后于點。點6,尸分別在邊CD、AB±,GPLAE.

（1）①判斷DQ與AE的數量關系：DQAE-,

②推斷：——=（填數值）；

AE

（2）類比探究：如圖2,在矩形ABCD中，—將矩形ABCD沿G/折疊，使點A

AB3

落在邊上的點E處,得到四邊形FEPG,EP交CD于點、H,連接AE交GF于點。.試

探究GE與AE之間的數量關系，并說明理由；

（3）拓展應用1：如圖3,四邊形ABC。中，ZABC=90°,AB=AD=10,BC=CD^5,

DN

點M,N分別在邊BC、ABh,求——的值.

AM

BE3

（4）拓展應用2：如圖2,在（2）的條件下，連接CP,若——=—,GF=2回,求CP

BF4

的長.

13.（2024?廣東深圳?光明區二模）在四邊形ABCD中，點E為線段CD上的動點（點E與

點C不重合），連接班，線段班的垂直平分線與ADBC、5E分別相交于點尸、G、H,

連接FB、EE.

【探究發現】如圖1,若四邊形ABCD為矩形，BFA.EF，求證：AABF^ADFE；

【能力提升】如圖2,若四邊形ABCD為矩形，A3=4,5C=6,43G尸是等腰三角形,

求EC的長:

【拓展應用】如圖3,若四邊形ABCD為菱形，5￡，。,3后的垂直平分線與4。、

BC、3E分別相交于點/、G、H,連接EB、FE.若△BEE是等邊三角形，求sinA的

值.

圖3

14.（2024?廣東深圳-33校三模）數學課上老師讓學生們折矩形紙片.由于折痕所在的直線

不同，折出的圖形也不同，請根據下面不同的折痕解決下列問題：

問題（1）：如圖，在矩形紙片ABCD中，將紙片沿對角線AC對折，A5邊對折后與邊

相交于點￡,試判斷八4。￡形狀，并說明理由.

問題（2）：如圖，在矩形ABCD中，A3=6,AD=4,以尸。為折痕對折V3PQ,2點落

在。C的中點F處，求折痕PQ的長

問題（3）：如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2娓,P在直線AB上，。在邊上,

以尸。為折痕對折V3PQ,2點落在邊。C上對應點為R當尸到A點的距離為1時，直接

寫出折痕PQ的長.

答用圖

15.（2024?廣東深圳?龍華區二模）如圖1,在正方形ABCD中，點E是A3邊上一點，F

為CE的中點，將線段4/繞點廠順時針旋轉90。至線段GF,連接CG.某數學學習小組

成員發現線段CE與CG之間存在一定的數量關系，并運用“特殊到一般”的思想開展了探

圖1

【特例分析】當點E與點8重合時，小組成員經過討論得到如下兩種思路:

思路一思路二

第如圖3,將線段Cb繞點尸逆時針旋轉90。

如圖2,連接AG,AC,證明

至HF,連接AH,證明

AAC3AAEF；

步AAFHgAGFC；

第利用相似三角形的性質及線段CE與利用全等三角形的性質及線段CE與AH

防之間的關系，得到線段CE與CG之間的關系，得到線段CE與CG之間的數

步之間的數量關系.量關系.

（1）①在上述兩種思路中，選擇其中一種完成其相應的第一步的證明：②寫出線段CE與

CG之間的數量關系式：；

【深入探究】（2）如圖1,當點E與點B不重合時，（1）中線段CE與CG之間的數量關系

還成立嗎？若成立，請加以證明：若不成立，請說明理由；

【拓展延伸】（3）連接AG,記正方形ABCD的面積為S],_AFG的面積為$2,當△FCG

工

是直角三角形時，請直接寫出亍的值.

16.（2024?廣東深圳.羅湖區二模）【問題提出】

⑴如圖1,在邊長為6的等邊.ABC中，點。在邊上，CD=2,連接A。，貝『ACD的

面積為

圖1

【問題探究】

（2）如圖2,己知在邊長為6的正方形ABCD中，點E在邊上，點尸在邊CD上，且

NE4F=45。，若EF=5,求△AEF的面積；

8

【問題解決】

(3)如圖3是我市華南大道的一部分，因自來水搶修，需要在AB=4米，40=46米的矩

形A6CD區域內開挖一個△AEF的工作面，其中E、尸分別在BC、CD邊上(不與點8、

C、。重合)，且NE4F=60。，為了減少對該路段的交通擁堵影響，要求△AEF面積最小,

那么是否存在一個面積最小的_A即？若存在，請求出△AEF面積的最小值；若不存在,

17.(2024?廣東深圳?羅湖區三模)【問題探究】

課外興趣小組活動時，同學們正在解決如下問題：

如圖1,在矩形ABCD中，點E,尸分別是邊DC,上的點，連接AE,DF,S.AE±DF

于點G,若A3=6,BC=8,求——的值.

AE

A

圖1圖2圖3

(1)請你幫助同學們解決上述問題，并說明理由.

【初步運用】

An3

(2)如圖2,在ABC中，ZBAC=90°,不；=:，點。為人。的中點，連接3。，過

AC4

AF

點A作AEL8D于點點E，交BC于點F,求一的值.

BD

【靈活運用】

AD2

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，440=90°,—=—,AB=BC,AD=CD,

AD3

CF

點E,尸分別在邊AB,上，且DELCF,垂足為G,則—=

DE

18.（2024?廣東深圳?南山區三模）如圖①，在正方形ABCD中，點E,尸分別在邊A3、BC

上，江，0￡于點0,點6,以分別在邊A￡＞、BCEGH1CE.

（1）問題解決：①寫出。歹與CE的數量關系：

②k的值為;

（2）類比探究，如圖②，在矩形ABCD中，—=k（/為常數），將矩形ABCD沿GH折

BC

疊，使點C落在A5邊上的點E處，得到四邊形EEG”交A。于點P，連接CE交GH于

點。.試探究GH與CE之間的數量關系，并說明理由；

（3）拓展應用，如圖③，四邊形ABCD中，4A0=90°,AB=BC=6,AD=CD=4,

CE

BFLCE,點、E、尸分別在邊AB、AD上，求——的值.

BF

19.（2024?廣東深圳?南山區二模）（1）問題呈現：如圖1,「ABC和VADE都是直角三角

形，ZABC=ZADE=90°,且空=42=』.連接30，CE,求"的值.

BCDE4CE

（2）類比探究：如圖2,—ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,將」WC繞點A逆時

針旋轉60°得到VADE，連接3D,EC,延長EC交BD于點P，設AB=6,求￡尸的

長；

（3）拓展提升：如圖3,在等邊.4BC中，AB=6,是BC邊上的中線，點M從點A

移動到點。，連接MC,以MC為邊長，在MC的上方作等邊_MVC,求點N經過的路

徑長.

圖1圖2圖3

20.（2024?廣東深圳?九下期中）（1）請根據教材提示，結合圖1,寫出完整的證明過程.

（2）初步探究：如圖2,在四邊形ABCD中，

ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,ZCBD=30°,皿于點P,連接CP,

AC=G+1.

①/ACD的度數為

②求AD長.

（3）拓展運用：如圖3,在平行四邊形ABCD中，歹是邊上一點,

ZABC=60°,BC=6,BF=2.按以下步驟作圖：①以點B為圓心，以適當的長為半

徑作弧，分別交ABBC于點,M,N；②分別以點N為圓心，大于工的長為半

2

徑作弧,兩弧交于點E,作射線BE.過點F作PF〃AB交BE于點、P,過點P作PG，A3

于點G,。為射線座上一動點，連接GQ,CQ,若PQ二BP,直接寫出期的值.

專題16解答壓軸幾何綜合題

一、解答題

1.（2024.廣東深圳.統考中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個

頂點作關于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中

點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”.

圖1圖2

（1）如圖1所示，四邊形ABCD為“垂中平行四邊形"，AF=非,CE=2,則AE=

；AB=；

（2）如圖2,若四邊形ABC。為“垂中平行四邊形”，S.AB^BD,猜想A尸與CD的關

系，并說明理由；

（3）①如圖3所示，在ABC中，BE=5,CE=2AE=12,班，AC交AC于點E,

請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點A在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提

示：不限作圖工具）；

②若ABC關于直線AC對稱得到VAB'C，連接CB',作射線CB'交①中所畫平行四邊形

的邊于點P,連接尸E,請直接寫出/方的值.

【答案】（1）1,V17

（2）AF=，理由見解析

（3）①見解析；②PE=士叵或上叵.

42

【解析】

【分析】（1）根據題意可推出△AERSACEB,得到一=一,從而推出AE,再根據

BCCE

勾股定理可求得跳，再求得A5；

4J-!1T-Ay-VJ-!

（2）根據題意可推出.AED^,-.FEB，得到生=—=—=2,設BE=a,則。E=2。,

EFBFEB

AB=CD=3a,再利用勾股定理得到AE,從而推出反、A/，即可求得答案；

（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線A。，使AO=6C,連接CD,延長BE

交AD于點F；第二種情況，作ZABC的平分線，取CH=CB交ZABC的平分線于點H,

延長CH交BE的延長線于點。，在射線B4上取A*=A5，連接。咒；第三種情況，作

AD//BC,交3E的延長線于點。，連接CD,作的垂直平分線；

在DA延長線上取點F使AR=AD,連接3戶；

②根據①中的三種情況討論：

第一種情況，根據題意可證得AB4c是等腰三角形，作則AH=HC,可推

出△CDHS2\CB，E,從而推出卓=必，計算可得P”，最后利用勾股定理即可求得

B'ECE

PE；

第二種情況，延長C4、。尸交于點G,同理可得,PGC是等腰三角形，連接E4,可由

_GAFs_CAB,結合三線合一推出24,AC,從而推出CR4S_CB，E,同第一種情況

即可求得/方；

第三種情況無交點，不符合題意.

【小問1詳解】

解：ADBC,歹為A￡）的中點，AD=BC,AF=逐，CE=2,

：._AEFsCEB,BC=AD=2AF=2后,

AFM即奈竽解得31，

~BC

BE2=BC2-CE2=(2后-2?=16,

AB=VAE2+BE2=JF+16=A/17；

故答案為：1；Ji萬;

【小問2詳解】

解：AF=41CD>理由如下：

根據題意，在垂中四邊形ABCD中，AF±BD,且尸為的中點,

AD=BC=2BF,ZAEB=90°；

又AD//BC,

:._AED^_FEB>

AEADDE

?，------------------2；

EFBFEB

設BE=a,則。￡=2〃，

AB=BD，

AB=BD=BE+ED=Q+2a=3a,

???AE=-BE1=J(3a)2-上=2缶，EF=6a，

AF=AE+EF=2y[2a+41a=3版a，

AB=CD,

,AF_AF_3亞a_A

CDAB3a

AF=41CD；

【小問3詳解】

解：①第一種情況：

作的平行線A。，使40=5。，連接CD,

則四邊形ABCD為平行四邊形；

延長3E交A。于點尸，

BCAD,

QAEFSCEB,

AF_AE

''~BC~而‘

AD=BC，CE=2AE,

AFAE111

-----=—,即QnAF=-BC——AD,

BCCE222

???尸為AD的中點；

故如圖1所示，四邊形A5CD即為所求的垂中平行四邊形:

第二種情況：

作/ABC的平分線，取CH=CB交/ABC的平分線于點“，延長C”交延的延長線于

點、D,在射線朋上取■=A5,連接。支，

故A為JB戶的中點；

同理可證明：AB=-CD,

2

則6歹=AB+AF=2AB=CD,

則四邊形BCDF是平行四邊形；

故如圖2所示，四邊形BCD尸即為所求的垂中平行四邊形：

第三種情況：

作AD〃BC,交助的延長線于點。，連接C。，作的垂直平分線;

在。A延長線上取點E使AR=AT>,連接卸L

則A為。戶的中點，

同理可證明AD=13C,從而DF=BC,

2

故四邊形BCDF是平行四邊形；

故如圖3所示，四邊形3C"即為所求的垂中平行四邊形：

B

圖3

②若按照圖1作圖

由題意可知，ZACB=ZACP,

四邊形ABCD是平行四邊形，

:.ZACB=ZPAC,

:.ZPAC=ZPCA,

.?.△Q4c是等腰三角形；

過P作于H,則=

BE=5,CE=2AE=12,

■.B'E=BE=5,AE=6,

A//=HC=1AC=1(AE+CE)=1(6+12)=9,

:.EH=AH—AE=9—6=3；

PHLAC,BEVAC,

.?△CPHS^CB'E,

PHCHannTTCHB'E9x515

B'ECECE124

3741

；?PE='EH?+PH

若按照圖2作圖,

延長C4、。尸交于點G,

同理可得：PGC是等腰三角形,

連接Q4,

GF〃BC,

:._GAF^CAB,

AFAG,

---=----=1,

ABAC

:.AG=AC,

.-.PA±AC；

同理，△CPAs^cfi'E,

AE=6,EC=12,B'E=BE=5,

B'ECEB'EAC5x1815

——=——，BHPnPA=

PAAC

PE=y/pA2+AE~=

若按照圖3作圖，貝ij：沒有交點,不存在PE（不符合題意）

故答案為：PE=2叵或土亙

42

【點睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質與判定，相似三角形的判定

與性質，勾股定理，尺規作圖，等腰三角形的判定與性質等，熟練掌握以上知識點，讀懂題

意并作出合適的輔助線是解題的關鍵.

2.（2023?廣東深圳?統考中考真題）（1）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，連

接BE,

①若BE=BC,過C作CFL5E交5E于點尸，求證：AABE必FCB；

②若S矩形ABCO=2°時，則BECF=.

(2)如圖，在菱形ABCD中，cosA=—,過C作CEIAB交A5的延長線于點E,過E

3

作EF1AD交AD于點產，若S菱形"co=24時，求ER5C的值.

(3)如圖，在平行四邊形ABCD中，ZA=60°,AB=6,">=5,點E在。。上，且CE=2,

點口為上一點，連接所，過E作EGLER交平行四邊形ABCD的邊于點G,若

■?￡6=7若時，請直接寫出47的長.

備用圖

3

【答案】(1)①見解析；②20；(2)32；(3)3或4或一

2

【解析】

【分析】(1)①根據矩形的性質得出NA6E+NCBb=90°,NCEB=NA=90°,進而證

明ZFCB=NABE結合已知條件，即可證明AABE^AFCB；

②由①可得NFCB=NAB￡,NCEB=NA=90°,證明ABEs..FCB,得出—=—,

CFBC

根據S^ABCD=AB-CD=2Q,即可求解；

(2)根據菱形的性質得出，AB=BC,根據已知條件得出

14

BE=-BC,AE=-AB,證明根據相似三角形的性質即可求解；

(3)分三種情況討論,①當點G在AD邊上時,如圖所示,延長FE交AD的延長線于點M,

連接GF,過點E作石于點證明_EZ)MS_EC尸，解Rtz\DER,進而得

出MG=7,根據tan/MEH=tan/HGE,得出HE?=HM?HG，建立方程解方程即

可求解；②當G點在A5邊上時，如圖所示，連接GF,延長GE交5C的延長線于點知,

過點6作仍〃人。，則GN〃BC,四邊形ADNG是平行四邊形，同理證明

一ENGS—ECM,根據tanNFEH=tan/M得出硝2,建立方程，解方程

即可求解；③當G點在邊上時，如圖所示，過點5作于點T,求得

S而SEFG=ZG，得出矛盾，則此情況不存在.

【詳解】解：(1)①???四邊形ABCD是矩形，則NA=/4BC=90°,

ZABE+ZCBF=90°,

又；CFLBC,

：.NFCB+Z.CBF=90°,ZCFB=ZA=90°,

：.ZFCB=ZABE,

又：BC=BE,

：.Z\ABE^Z\FCB；

②由①可得NECB=/4BE,NCFB=ZA=90°

ABErFCB

.ABBE

"CF-BC'

又：S矩形BAC。=ABC。=20

:.BECF=ABBC=2b,

故答案為：20.

(2)?..在菱形ABC。中，cosA=-,

3

：.AD//BC,AB=BC,

則NCBE=NA,

CEJ.AB,

ZCEB=90°,

BF

'：cosZCBE=——

CB

：.BE=BC?cosNCBE=BCxcosNA=工BC,

3

114

/.AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AB=-AB,

333

EFJ.AD,CE.LAB

：.ZAFE=ZBEC=90°,

又NCBE=NA,

:?△AFEMBEC,

.AEEFAF

"BC~CE~BE'

…444

；

EF-BC—AE-CE——3ABxCE——3S奏^,^*ARrn=—3x24=32

(3)①當點G在AD邊上時，如圖所示，延長石石交AD的延長線于點連接GF,過

點E作EHLDM于點H,

:平行四邊形ABCD中，AB=6,CE=2,

：.CD=AB=6,DE=DC—EC=6—2=4,

,：DM//FC,

aEDMSAECF

EMED

：.——=——=-=2,

EFEC2

.SMGE_EM_

,?仁一正一

***SMGE=2SEFG=EF-EG=76

在中，ZHDE=ZA=60°,

則E〃=@DE&X4=25DH==DE=2,

222

：.-MGxHE=7y/3

2

:.MG=7,

?：GE±EF,EHIMG,

：.ZMEH=90°-ZHEG=ZHGE

：.tanZMEH=tanZHGE

.HEHM

,?HG-HE

：■HE2=HMHG

設AG=a,則GD=AD—AG=5—a,GH=GD+HD=5—a+2=7—a,

HM=GM—GH=1—(J—a)=a,

解得：a=3或a=4,

即AG=3或AG=4,

②當G點在AB邊上時，如圖所示，

Z/

連接GF,延長GE交3c的延長線于點M,過點G作GN〃AT>,則GN〃BC,四邊

形ADNG是平行四邊形，

設AG=x,則D/V=AG=x,EN=DE—DN=4—x,

,：GN//CM

ENG^ECM

.EGENGN4-x

CM=*10

4^1

SGEF_EG_4-x

SMEFEM2

,:EFEG=70

?c?2sCEF7^/3

■,MEF—j-匚^

過點E作即IBC于點”,

在RtAEHC中，EC=2,ZECH=60°,

:.EH=6CH=L

:.SMEF=之義MFXEH,則=辿，

224-x

14inx

/.FH=MF—CM—CH=--------------1=—^—

4-x4—x4-x

in14-x

MH=CM+CH=-^-+1=——-

4-x4-x

ZMEF=NEHM=9U0,

：.NFEH=90°-ZMEH=ZM

tanZ.FEH—tanNM,

即必=空

EHHM

?'-EH?=FH?HM

2=^x14-x

4-x4-x

3

解得：%=萬,々=8（舍去）

3

即AG=-；

2

③當G點在邊上時，如圖所示,

過點8作于點T，

在Rt37T中，CT=-BC=-,BT=6TC=^^，

222

?0_1”"_1585_25百

??S——BTxTC——x--x——------，

nTr22228

EF?EG=7A/3，

,,SEFC=—6,

???生百＜工6,

82

???G點不可能在BC邊上，

3

綜上所述，AG的長為3或4或一.

2

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，平行四邊形的性質，解直角三角形，矩形的

性質，熟練掌握相似三角形的性質與判定，分類討論是解題的關鍵.

3.（2022?廣東深圳?統考中考真題）（1）【探究發現】如圖①所示，在正方形A6CD中，E

為AD邊上一點，將A4EB沿BE翻折到.5EF處，延長所交CD邊于G點.求證：

ABFG^ABCG

(2)【類比遷移】如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD=8,AB=6,將

AAEB沿BE翻折到aBEF處，延長所交邊于點G,延長BF交CD邊于點H,且

FH=CH,求AE的長.

圖②

(3)【拓展應用】如圖③，在菱形ABCD中，E為CD邊上三等分點，/。=60。,將.ADE

沿AE翻折得到AAFE,直線E產交于點P,求CP的長.

備用1備用2

936

【答案】(1)見解析；(2)-；(3)CP的長為一或一

225

【解析】

【分析1(1)根據將AAEB沿BE翻折到ABEF處，四邊形ABCD是正方形，得=5尸,

ZBFE=ZA=90°,即得ZBFG=90°=ZC,可證Rt_BFG%Rt_BCG(HL)；

(2)延長A。交于。，設FH=HC=x,在RjBCH中,有8?+d=(6+/2,

r6BGFG一

711-=------=-----257

得x=—，DH=DC—HC=—,由ABFG^ABCH，得8「77,BG=—,FG=一,

336+--44

33

7

而EQ//GB,DQ//CB,可得器=器，即擊=3，口。若,設AE=EF=m,

6~3

144

j-J_'j-?mc

則上=8—加，因上=—,有7=},即解得AE的長為二

BGFG2572

44

(3)分兩種情況：(I)當。E=gr>C=2時，延長EE交AD于。，過Q作于〃，

設DQ=x,QE=y,^\AQ=6-x,CP=2x,由AE是的角平分線，有生三=)

62

①，在RtAHQE中，(1一;x)?+(日盼2=9②，可解得x=4，CP=2x=1；

(II)當CE=gz)C=2時，延長FE交A。延長線于Q',過。作。NLAB交班延長線

于N,同理解得x=￡,CP=1.

【詳解】證明：(1)將AAES沿BE翻折到ABEF處，四邊形ABCD是正方形，

：.AB=BF,ZBFE=ZA=90°,

:.ZBFG^90°=ZC,

AB=BC=BF,BG=BG,

Rt_BFG沿Rt_BCG(HL)；

(2)解：延長BH,AD交于。，如圖:

設FH=HC=x,

在RtBCH中,BC2+CH2=BH2,

82+x2=(6+x)2,

7

解得x——,

3

:.DH=DC-HC=—,

3

ZBFG=ZBCH=90°,ZHBC=NFBG,

:.^BFG^ABCH,

6BGFG

BFBGFG

----------------，即Rn87,

BCBHHC二

33

257

:.BG=—,FG=—,

44

EQUGB,DQ//CB,

AEFQ^AGFB,NDHQsACHB,

7

BCCH83

而‘即質=二

3

設AE=EF=m,則DE=8—m,

88144

/.EQ=DE+DQ=8-m-\----=-------m,

77

MFQSAGFB,

144

，旦交，即Tw，

BGFG257

44

9

解得加=一,

2

9

/.AE的長為一；

2

(3)(1)當OE=；OC=2時，延長EE交A￡)于。，過。作"LCD于"，如圖:

CP//DQ,

/.ACPESAQDE,

-C-P=-C-E=2c,

DQDE

CP=2x,

MDE沿AE翻折得到AAFE,

:.EF=DE=2,AF=AD=6,NQAE=NFAE,

.?.AE是AA。尸的角平分線，

AQ=QEan6-x裳①,

~AF~~EF即7

ZD=60°,

?.DH=—DQ=—x,HE=DE—DH=2——x,HQ=乖）DH=x,

在RtAHQE中,HE2+HQ2=EQ2,

廠.（1—；x）2+（^-x）2=y?②，

3

聯立①②可解得％=—,

4

3

：CP=2x=-；

2

（II）當CE=：OC=2時，延長FE交AD延長線于。'，過。作ON,交B4延長線

于N,如圖: