專題14排列組合與二項式定理

目錄

題型一：兩個原理

易錯點01混淆兩個計數原理而出錯

易錯點02分步“有序”導致錯誤

易錯點03分步不合理導致重復或遺漏

題型二排列組合

易錯點04忽視排列數組合數公式的隱含條件致誤

易錯點05分組問題混淆“均分”與“非均分”

易錯點07計數時混淆有序與定序

題型三二項式定理

易錯點08混淆“系數”與“二項式系數”而出錯

題型一：兩個原理

易錯點01：混淆兩個計數原理而出錯

叁易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?湖北武漢?期末）某校舉辦中學生運動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊5名同學分別報

名參加跳遠，跳高，鉛球，跑步4個項目，每名同學只能報1個項目，每個項目至少有1名同學報名，且甲

不能參加跳遠，則不同的報名方法共有（）

A.60種B.120種C.180種D.240種

【答案】C

【分析】在甲單獨參加某項比賽條件下，結合分堆問題的處理方法及分步乘法計數原理求滿足條件的方法

數，再在甲不單獨參加某項比賽條件下，.由分步乘法計數原理及排列知識求滿足條件的方法數，最后利用

分類加法原理求結論.

【詳解】滿足條件的報名方法可分為兩類：

第一類：甲單獨參加某項比賽，

先安排甲，由于甲不能參加跳遠，故甲的安排方法有3種，

再將余下4人，安排到與下的三個項目，

由于每名同學只能報1個項目，每個項目至少有1名同學報名，

故滿足條件的報名方法有七尸A；=36,

所以甲單獨參加某項比賽的報名方法有3x36=108種，

第二類：甲與其他一人一起參加某項比賽，先選一人與甲一起，再將兩人安排至某一項目，有C；A；=12種

方法，再安排余下三人，有A；=6種方法，所以甲不單獨參加某項比賽的報名方法有12x6=72種，

所以滿足條件的不同的報名方法共有72+108=180種方法.

故選：C.

【易錯剖析】

在利用兩個計數原理處理計數問題時，往往容易因為混淆分類、分步而錯用兩個原理致錯.

【避錯攻略】

1、分類加法計數原理

完成一件事有兩類不同方案.在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有

n種不同的方法，完成這件事共有N=m+n種不同的方法。

2、分步乘法計數原理

完成一件事需要兩個步驟.做第1步有初種不同的方法，做第2步有"種不同的方法，完成這件事共

有N=m-n種不同的方法。

3、兩個計數原理的綜合應用

如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數時，使用分類計數原理.如

果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事

的方法數時，使用分步計數原理.

易錯提醒：|兩個原理的辨析：

⑴聯(lián)系

分類加法計數原理和分步乘法計數原理解決的都是有關完成一件事的不同方法的種數問題.

(2)區(qū)別

分類加法計數原理每次得到的都是最后結果，而分步乘法計數原理每步得到的都是中間結果，具體區(qū)

別如下表：

區(qū)別分類加法計數原理分步乘法計數原理

①針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題

各種方法相互獨立各個步驟中的方法互相依存

用其中任何一種方法都可以完成這件

只有各個步驟都完成才算完成這件事

事

（3）分類加法計數原理與分步乘法計數原理的合理選擇

分類-將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決一分類加法計數原理；

分步一將問題分為幾個相互關聯(lián)的步驟，逐步解決一分步乘法計數原理.

在解決有關計數問題時，應注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉換法的

應用.

舉一反三

1.（24-25高三上?江蘇南京?開學考試）甲、乙、丙、丁共4名同學參加某知識競賽，已決出了第1名到第

4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很

遺憾，你沒有得到第1名”，從這個回答分析，4人的名次排列情況種數為（）

A.4B.6C.8D.12

2.（2025?上海?模擬預測）有一四邊形ABCD,對于其四邊AB、BC、CD、DA,按順序分別拋擲一枚質量

均勻的硬幣：如硬幣正面朝上，則將其擦去；如硬幣反面朝上，則不擦去.最后，以A為起點沿著尚未擦

去的邊出發(fā)，可以到達C點的概率為（）.

A.[B.—C.-D.—

216416

3.（23-24高二下?天津紅橋?期中）中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動

物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位

同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡龍、牛和羊，乙同學喜歡龍和馬，丙同學哪個吉祥物都喜歡，如果

讓三位同學選取禮物都滿意，則選法有種.

■4易錯題通關A

1.（24-25高三上?重慶?期末）已知某班級將學生分為4個不同的大組，每個大組均有14名學生，現(xiàn)從這

個班級里抽取5名學生參加年級活動，要求每個大組至少有1名同學參加，則不同的抽取結果共有（）

A.（C；J.q種B.種

C.4（C：J.C；種D.2（C：J.C；2種

2.（24-25高三上?云南昆明?階段練習）將1,2,3,4,5,6,7這七個數隨機地排成一個數列、記第z?項

為q1=l,2,…,7）,若01V出</，a3>a4>a5,a5<a6<a7,則這樣的數列共有（）

A.70個B.71個C.80個D.81個

3.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）某校計劃在五四青年節(jié)期間舉行歌唱比賽，高二年級某班從本班5名男

生4名女生中選4人，代表本班參賽，按照學校要求女生至少參加1人至多參加2人，則選派方式共有（）

A.80種B.90種C.100種D.120種

4.（24-25高三上?湖北武漢?階段練習）武漢外校國慶節(jié)放7天假（10月1日至10月7日），馬老師、張

老師、姚老師被安排到校值班，每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，則不同

的值班方法共有（）種

A.114B.120C.126D.132

5.（2024?江西新余.模擬預測）為了協(xié)調城鄉(xiāng)教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包

括希望中學在內的三所學校支教（每所學校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同

一所學校，丙教師不去往希望中學，則不同的分配方法有（）種.

A.144B.260C.320D.540

6.（23-24高二下?廣東中山?期末）用數字0,1,2,3,4,5組成的有重復數字的三位數且是偶數的個

數為（）

A.76B.38C.36D.30

易錯點02：分步“有序”導致錯誤

fb易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高二上?福建泉州?階段訓練）有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從這20

個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法是（）

A.560B.2735C.1136D.480

【答案】C

【解析】方法一將“至少有1個是一等品”的不同取法分三類：“恰有1個一等品”“恰有2個一等品”“恰

有3個一等品”.由分類加法計數原理，得不同取法有C；6C：+C；6C：+C；6=1136（種）.

方法二考慮其對立事件“3個都是二等品“，用間接法，得至少有1個一等品的不同取法有

C；o-C：=1136（種），故選C.

【易錯剖析】

由于對實際問題中“至少有1個一等品，，意義理解不明，可能導致下面的錯誤：按分步乘法計數原理，第

一步確保有1個一等品，有C；6種取法；第二步從余下的19個零件中任取兩個，有CM種不同的取法，故共

有C；6c9=2736（種）取法，實際上這個解法是錯誤的.下面我們作如下分析，第一步取出1個一等品，那

么第二步就有3種可能：①取出的2個都是二等品，這時的取法有C；6c：=96（種）；②取出1個一等品，

1個二等品，因為取出2個一等品是分步完成的，這2個一等品的取法就有了先后順序，而實際上這2個一

等品是沒有先后順序的，因此這時的取法就產生了多一倍的重復，即這時的取法有gc；6C；sC：=480（種）；

③取出的2個都是一等品，這時我們取出的3個都是一等品了，實際的取法種數應是C：=560.

【避錯攻略】

用兩個計數原理解決計數問題時，最重要的是在最開始計算之前進行仔細分析一需要分類還是需要分

步；分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數;

分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立，分步后再計算每一

步的方法數，最后根據分步乘法計數原理，把完成每一步的方法數相乘，得到總數.

易錯提醒：對于“至少”“至多”類型的問題，考生應注意從兩個方面處理：一是從正面進行處理，可以根據要

求進行合理分類，利用分類加法計數原理求解；二是求解該事件的對立事件，即利用排除法求解，其實質

還是先進行分類.求解時要根據具體情況選取類別較少的一種方法進行解答.

舉一反三

1.（24-25高三上?廣西?期中）為促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展，某地區(qū)教育局安排包括甲、乙在內的5名城區(qū)教

師前往四所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校支教，若每所學校至少安排1名教師，每名教師只能去一所學校，則甲、乙不安排在

同一所學校的方法數有（）

A.1440種B.240種C.216種D.120種

2.（24-25高三上?廣東?開學考試）某中學數學組來了5名即將畢業(yè)的大學生進行教學實習活動，現(xiàn)將他們

分配到高一年級的1,2,3三個班實習，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（）

A.30種B.90種C.150種D.180種

3.（24-25高三上?廣東河源?階段練習）某市教育局人事部門打算將甲、乙、丙、丁、戊這5名應屆大學畢業(yè)生

安排到該市4所不同的學校任教，每所學校至少安排一名，則不同的安排方法種數是.

,易錯題通關

1.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）某校致力于打造“書香校園”，以此來提升學生的文化素養(yǎng).現(xiàn)準備將7

本不同的書全部分配給甲、乙、丙、丁4個不同的班級，要求每個班級均有書，且甲班的書比乙班多，丙

班至少2本，則不同的分配方案有（）

A.630種B.840種C.1470種D.1480種

2.（24-25高三上?江蘇宿遷?期中）從5名男生和3名女生中選出4人參加一項創(chuàng)新大賽.如果男生中的甲和

女生中的乙至少要有1人在內，那么不同的選法種數為（）

A.15B.40C.55D.70

3.（24-25高三上?河北唐山?開學考試）某學校4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只能

去1個小區(qū)，且每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法種數為（）

A.6B.12C.24D.36

4.（2024?河南安陽?模擬預測）教育部于2022年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業(yè)專項行動，某市3

所高校的校長計劃拜訪當地企業(yè)，共有4家企業(yè)可供選擇.若每名校長拜訪3家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1

名校長，則不同的安排方法共有（）

A.60種B.64種C.72種D.80種

5.（24-25高三?上海?隨堂練習）將4名志愿者分配到花樣滑冰、速度滑冰2個項目協(xié)助培訓工作，每名志

愿者分配到1個項目，每個項目至少分配到1名志愿者，則不同的分配方案共有種.（用數字作答）

6.（24-25高三?上海?隨堂練習）重陽節(jié)，農歷九月初九，二九相重，諧音是“久久”，有長久之意，是我國

民間的傳統(tǒng)節(jié)日，人們常在此日感恩敬老.某校在重陽節(jié)當日安排6名學生到兩所敬老院開展志愿服務活

動，要求每所敬老院至少安排2人，則不同的分配方案是種.

7.（24-25高三?上海?課堂例題）在迎新班會上，小王設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球

和20個白球，這些球除顏色外完全相同.從中任意摸出5個球，至少摸到3個紅球中獎，則中獎的概率

為.（結果保留兩位小數）

7.（2024?河南周口?模擬預測）十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開.會議期間，會議

籌備組將包含甲、乙在內的5名工作人員分配到3個會議廳負責進場引導工作，每個會議廳至少1人.每

人只負責一個會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有種.（用數字作答）

易錯點03：分步不合理導致重復或遺漏

,易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?陜西渭南?階段練習）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要

的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數字1,2,3,L,8.現(xiàn)準備給

該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域（如

區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有種.

【答案】630

【分析】確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，分區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色是否相同兩種情況討論，進而可得出答

案.

【詳解】解：根據題意，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，即可確定整個傘面的涂色.

先涂區(qū)域1,有6種選擇，再涂區(qū)域2,有5種選擇，

當區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時，區(qū)域3有4種選擇，剩下的區(qū)域4有4種選擇；

當區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域4有5種選擇，

故不同的涂色方案有6x5x（4x4+5）=630種.

故答案為：630.

【易錯剖析】

本題在求解過程中容易錯用分步乘法計數原理，從1到8依次涂色，方法數為6x5,，錯解的根源是涂完1、

2后，3號可以與1相同，也可以不同，而3號的顏色影響4號顏色的選擇.

【避錯攻略】

1.分類計數原理的應用原則

分類計數時，首先要根據問題的特點，確定一個適當的分類標準，然后利用這個分類標準進行分類，

分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應的類；二是不同類的任意兩種

方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數時不重不漏.

2.分類計數原理的應用原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經過哪幾步才能完

成這件事；

②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件

事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個步驟逐步去做，才能完成這件事，各

個步驟既不能重復也不能遺漏.

易錯提醒：|使用分步計數原理時，要注意以下三點：（1）步驟完整性：完成一件事必須且只需連續(xù)完

成所有步驟。每個步驟的方法選擇與其他步驟無關，但所有步驟必須依次完成；

（2）獨立性：每一步的方法選擇是獨立的，即前一步的選擇不會影響后一步的選擇;

（3）連續(xù)性：只有當前一步完成后，才能進行下一步。所有步驟必須依次進行，不能跳過任何一步.

舉一反三

1.（24-25高三上?廣西?階段練習）如圖，對A,B,C,D,E五塊區(qū)域涂色，現(xiàn)有5種不同顏色的顏料

可供選擇，要求每塊區(qū)域涂一種顏色，且相鄰區(qū)域（有公共邊）所涂顏料的顏色不相同，則不同的涂色方

法共有（）

AB

E

CD

A.480種B.640種C.780種D.920種

2.（24-25高二上?遼寧?期末）《九章算術》第一章“方田”問題二十五、二十六指出了三角形田面積算法:

“半廣以乘正從”.數學社團制作板報向全校師生介紹這一結論，給證明圖形的六個區(qū)域涂色，有三種顏色可

用，要求有相鄰邊的區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法有（）

半廣

3.（23-24高三上?河南?期中）玩積木有利于兒童想象力和創(chuàng)造力的培養(yǎng).一小朋友在玩四棱柱形積木（四

個側面有各不相同的圖案）時，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側棱用同一種顏色，且在積木的

6個面中，除側棱的顏色相同外，則染法總數為（）

A.216B.360C.720D.1080

叁易錯題通關

1.（25-26高三上?上海?單元測試）如題圖所示是某展區(qū)的一個菊花布局圖，現(xiàn)有5個不同品種的菊花可供

選擇，要求相鄰的兩個展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（）.

B{A\D

A.240種

B.300種

C.360種

D.420種

2.（24-25高二上?山東范澤?期中）如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)要給地圖著色，要求相鄰區(qū)

域不得使用同一顏色，若有四種顏色可供選擇，則不同的著色方案種數為（）

A.36B.48C.72D.144

3.（2025高三?全國?專題練習）學習涂色能鍛煉手眼協(xié)調能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色,

欲給如圖所示的地圖中南昌市及與它相鄰的4個城市著色，要求相鄰城市不涂同一顏色，則不同的涂色方

法共有種.

近市,

上饒

朝自1

，市

4.（24-25高三上?福建福州?期中）如圖，對某市的4個區(qū)縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能

用同一種顏色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的著色方法有種.

5.（24-25高三?全國?專題訓練）已知自然界氧的同位素有|6。,。OF。，氫的同位素有1H,2H（自然界中存

在極微3f1,可忽略不計），水由氧元素和氫元素組成，化學式為H20,則自然界中水分子共有種.

6.（2025年高考模擬）現(xiàn)有A,B,C,D,E五個興趣小組，在勞動實踐課上制作的手工藝品，擺放到如

圖所示桌面上的四個區(qū)域，供學生參觀，若要求相鄰區(qū)域不可以放入同一個興趣小組的手工藝品，每個區(qū)

域內只能擺放一個興趣小組的手工藝品，共有種擺法.

7.（2024.河南新鄉(xiāng).模擬預測）2024年7月14日13時，2024年巴黎奧運會火炬開始在巴黎傳遞，其中某

段火炬?zhèn)鬟f活動由包含甲、乙、丙在內的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2名火炬

手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬?zhèn)鬟f方案種數為.

8.（24-25高三上?全國?單元測試）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種

顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種.（用數字作答）

題型二：排列組合

易錯點04：忽視排列數組合數公式的隱含條件致誤

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?河北?期末）若A：=C：,貝（）

A.1B.2C.8D.9

【答案】B

【分析】直接利用排列數和組合數的公式計算.

【詳解】由A：=C:得仆-1)=〃(〃T)(-2)，心3,〃eN,

3x2x1

解得〃=8

故選：B.

【易錯剖析】

本題在求解過程中容易忽略〃23這一隱含條件而出錯.

【避錯攻略】

1、排列與排列數

(1)定義：從"個不同元素中取出W”)個元素排成一列，叫做從“個不同元素中取出加個元素的

一個排列.從〃個不同元素中取出機(加個元素的所有排列的個數，叫做從〃個不同元素中取出加個元

素的排列數，用符號父表示.

yiI

(2)排列數的公式：=n(n-l)(n-2)(n-m+l)=-———.

(〃—my.

特例：當機=w時，47=?!=?(?-1)(?-2)3.2.1；規(guī)定：0!=1.

(3)排列數的性質：①線=吟二；②第=―1—4："+1=心;③父=7T；+端.

n—mn—m

2、組合與組合數

(1)定義：從".個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從〃個不同元素中取出用個元素的

一個組合.從“個不同元素中取出機個元素的所有組合的個數，叫做從"個不同元素中取出加個元

素的組合數，用符號C：表示.

(2)組合數公式及其推導

求從〃個不同元素中取出m個元素的排列數4",可以按以下兩步來考慮：

第一步，先求出從這〃個不同元素中取出小個元素的組合數C：；

第二步，求每一個組合中m個元素的全排列數A：；

根據分步計數原理，得到A：=C；?線;

因此CJ工"("T)(”2)("一.+1).

"4：加

riI

這里〃，mG7V,且m這個公式叫做組合數公式.因為M,所以組合數公式還可表示

+\ji-my.

ri'

為：c：="?特例：C：n=c：=l.

易錯提醒:無論是排列數A7還是組合數C：，在計算含參題目中要注意n>m,n^N,m^N隱含條件.

舉一反三

1.（23-24高二下.河南.期中）若C：3=C；”（尤eN*）,則A；=（）

A.5B.20C.60D.120

2.（23-24高三下?寧夏吳忠?期中）不等式A：<6A；2的解集是（）

A.{8}B.{8,9,10,11）C.1x|7<x<12|D.1x|7<x<8|

3.（2024?上海寶山?一模）已知關于正整數元的方程CR=C*5,則該方程的解為.

易錯題通關

1.（24-25高三上?全國?專題訓練）若C：-C：=0,則￡的值為（

A.12B.14C.16D.18

2.（23-24高二下?陜西西安?期末）若。3-。；=0?2）,則”等于（）

A.11B.12C.13D.14

3.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）已知組合數C'C：,則關于機的不等式>C：的解集為

（24-25高三上?河北承德?開學考試）若昌=:，貝什=

4.

5.（24-25高三?上海裸堂例題）若立尸十八：=4（2",貝ij〃=

6.（24-25高三?上海?課堂例題）不等式的解集為.

7.（23-24高三.全國.對口高考）計算C；尸+C：%的值為.

8.（24-25高三上?江西上饒?階段練習）若C/'cr，貝口=.

易錯點05：分組問題混淆“均分”與“非均分”

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?天津武清?期末）為了推動城鄉(xiāng)義務教育一體化發(fā)展，某師范大學6名畢業(yè)生主動申請

到某貧困山區(qū)的鄉(xiāng)村小學工作，若將這6名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學，每所學校至少分配1人,

則分配方案的總數為.

【答案】540

【分析】先將6名畢業(yè)生分成3組，結合平均分組和不平均分組公式，得到分配方案數，再進行全排列,

求出答案.

【詳解】第一步將6名畢業(yè)生分成3組，且每組至少1人，一共有3種分配方案，

其中1、1、4分配方式有《畢=15種;

1、2、3,分配方式有C；C；C；=60種;

2、2、2,分配方式有生4=15種,

第二步將分好的3組畢業(yè)生分配到3所鄉(xiāng)村小學，其分法有A：=6種，

利用分步計數原理可知，分配方案的總數為(15+60+15)x6=540.

故答案為：540

【易錯剖析】

本題容易在分組過程中，忽略均分組的計數方法而出錯.

【避錯攻略】

分組、分配問題是排列組合的綜合問題，解題思想是先分組后分配

(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組方法有三種：

①完全均勻分組，每組元素的個數都相等；

②部分均勻分組，應注意不要重復；

③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現(xiàn)象.

(2)分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：

①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；

②不同元素的分配問題，利用分步乘法計數原理，先分組，后分配；

③有限制條件的分配問題，采用分類求解.

易錯提醒：對于分堆與分配問題應注意：①處理分配問題要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不

同的,位置也應是不同的；③分堆時要注意是否均勻.

舉一反三

1.(24-25高三上?湖北武漢?期末)某校舉辦中學生運動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊5名同學分別報名

參加跳遠，跳高，鉛球，跑步4個項目，每名同學只能報1個項目，每個項目至少有1名同學報名，且甲不

能參加跳遠，則不同的報名方法共有（）

A.60種B.120種C.180種D.240種

2.（24-25高三上?河北邢臺?期末）運動會期間，將甲、乙等5名志愿者安排到A,B,C三個場地參加志

愿服務，每名志愿者只能安排去一個場地，每個場地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到

同一個場地，則不同的安排方法種數為（）

A.72B.96C.114D.124

3.（25-26高三上?上海?單元測試）3位男生、3位女生平均分成三組，恰好每組都有一位男生和一位女生

的概率是.

易錯題通關

1.（24-25高三上?河北邯鄲?開學考試）在第33屆夏季奧運會期間，中國中央電視臺體育頻道在某比賽日

安排甲、乙、丙、丁4個人參加當天A,B,C三個比賽場地的現(xiàn)場報道，且每個場地至少安排一人，甲不

在A場地的不同安排方法數為（）

A.32B.24C.18D.12

2.（24-25高三上?江蘇南通?開學考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱門的有

《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華

兩位同學準備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵

探柯南》，則兩位同學不同的觀影方案種數為（）

A.12B.24C.28D.36

3.（23-24高二上?遼寧撫順?階段練習）已知A,8兩個公司承包6項工程，每個公司至少承包2項，則承

包方式共有（）

A.24種B.70種C.48種D.50種

4.（2024高三下?江西新余?專題練習）將5本不同的書分給3位同學，則每位同學至少有1本書的不同分

配方式共有（）種.

A.25B.75C.150D.300

5.（24-25高三上?廣東?開學考試）某中學數學組來了5名即將畢業(yè)的大學生進行教學實習活動，現(xiàn)將他們

分配到高一年級的1,2,3三個班實習，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（）

A.30種B.90種C.150種D.180種

6.（24-25高三?上海?課堂例題）6本不同的書平均分給3人，共有（）種分法.

A.90B.180C.270D.45

7.(24-25高三上?天津和平?期末)在杭州亞運會比賽中，6名志愿者被安排到安檢、引導運動員入場、賽

場記錄這三項工作，若每項工作至少安排1人，每人必須參加且只能參加一項工作，則合適的安排方案共

有種.(用數字作答)

8.(2024?陜西寶雞.三模)圍棋起源于中國，據先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，圍棋至今

已有四千多年歷史，蘊含著中華文化的豐富內涵.在某次國際比賽中，中國派出包含甲、乙在內的5位棋

手參加比賽，他們分成三個小組，則甲和乙在同一個小組的概率為.

易錯點06:計數時混淆有序與定序

易錯陷阱與避錯攻略

典例(2024山東臨沂?模擬)身高互不相同的七名學生排成一排，從中間往兩邊越來越矮,不同的排法有

()

A.5040種B.720種C.240種D.20種

【答案】D

【詳解】最高個子站在中間，只需排好左右兩邊，第一步:先排左邊，因順序固定有廢=20種排法，第二步:

排右邊，因順序固定，有1種排法，根據分步乘法計數原理，共有20x1=20種，故選。.

【易錯剖析】

本題容易混淆定序與有序的區(qū)別而錯解，即最高個子站在中間，只需排好左右兩邊，第一步：先排左邊,

有A：=120種排法，第二步：排右邊，有A；種排法，根據分步乘法計數原理，共有120x6=720種,而錯選B.

【避錯攻略】

1.一般地，對于某些元素的順序固定型問題，解決時有兩種方法：

(1)倍縮法：先不考慮限制條件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；

(2)空位(或占位)法:在總位置中，安排非定序元素的位置，然后對定序元素進行排列時，只有1種排法.如

已知n個不同的元素進行排列，要求其中m(m<n,“GN*,〃zGN*)個元素相對順序固定不變，有砥種不同

的方法，或從〃個位置中排加個元素之外的"一根個元素，再放這定序的機個元素，共有AIT"種不同的方

法.

對于給定元素順序確定，再插入其他元素進行排列：順序確定的元素為"個，新插入的元素為根個，

(m+n)!

則排列數為

n!

2.相同元素分配問題的處理策略

（1）隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干

隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔

板法.隔板法專門解決相同元素的分配問題.

（2）將幾個相同的元素分給加個不同的對象（"沙j）,有C；；匚，種方法.可描述為〃一1個空中插入初一1塊

板.

易錯提醒：“定序”是指元素的相對順序固定,定序問題可看作組合問題，可以看做排列問題之后除掉之間

的順序.

舉一反三

1.（24-25高三上?全國?專題訓練）用2個0,2個1和1個2組成一個五位數，則這樣的五位數有（）

A.8個B.12個C.18個D.24個

2.（23-24高三上?鄭州?模擬）今有2個紅球，3個黃球，同色球不加以區(qū)分，將這5個球排成一行，則不

同的排法種數為（）

N

A.AgB.A；C.A；D.-2'3

A2A3

3.甲，乙等5人站成一排，則甲，乙相鄰，且甲在乙左側的概率為.

■易錯題通關

1.某班2024年元旦晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個新節(jié)目，如果將這兩個節(jié)目

插入原節(jié)目單中，那么不同的插入方法的種數為（）

A.2B.11

C.36D.42

2.某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程

乙完成后進行，那么安排這6項工程不同的排法種數是.

3.身高互不相同的7名同學站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列的排法有種（用

數字作答）.

4.某學校舉行校慶文藝晚會，己知節(jié)目單中共有七個節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，主辦方特地邀請了三位老

校友演唱經典歌曲，并要將這三個不同節(jié)目添入節(jié)目單，且不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有

種.

題型三：二項式定理

易錯點07：混淆“系數”與“二項式系數”而出錯

，易錯陷阱與避錯攻略

典例(2024.寧夏銀川.模擬預測)(2x+l)5的展開式的第4項的系數為()

A.10B.20C.40D.80

【答案】C

【分析】利用二項式定理的通項可知展開式中的第％+1項為C：(2x)"HF,代入計算可得結果.

【詳解】根據二項展開式的通項可知第4項為C；(2才戶=401,

因此展開式的第4項的系數為4